Phương pháp giải:

Hai véctơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại hằng số \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow u  = k\overrightarrow v \).

Lời giải chi tiết:

Để \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b \)và \(\overrightarrow v  = \overrightarrow a  + \left( {x - 1} \right)\overrightarrow b \) cùng phương thì \(\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x - 1 =  - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{2}.\)

Chọn: C.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc 3 điểm để cộng vectơ.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \\\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)\\\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Đáp án B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trung điểm.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AK}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} .\)         

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc trung điểm.

Lời giải chi tiết:

Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có

\(\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {NK}  + 2\overrightarrow {NH}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {NH}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow N\) là trung điểm của \(KH.\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc trung điểm và trọng tâm tam giác.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) khi đó ta có \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PD}  = 3\overrightarrow {PG} \)

Suy ra: \(3\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PD}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 3\overrightarrow {PA}  + 3\overrightarrow {PG}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PG}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow P\) là trung điểm \(AG\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm để tách và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {AG} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {AG}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB} \\ = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} } \right) - \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \overrightarrow {CH}  = \overrightarrow {AH}  - \overrightarrow {AC}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc 3 điểm, quy tắc trung điểm để tách và triệt tiêu.

Lời giải chi tiết:

Theo quy tắc ba điểm ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IJ}  + \overrightarrow {JC} \)

Tương tự:  \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {IJ}  + \overrightarrow {JD} \)

Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên \(\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BI}  = \overrightarrow 0 ,\,\,\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD}  = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BI} } \right) + \left( {\,\,\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD} } \right) + 2\overrightarrow {IJ}  = 2\overrightarrow {IJ} .\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Biến đổi để áp dụng quy tắc 3 điểm.

Lời giải chi tiết:

Do \(\frac{1}{2}\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CM} \) suy ra theo quy tắc ba điểm ta có:

\(\frac{1}{2}\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {CA} \)

Vậy  \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {MA} } \right| = CA = a.\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc cộng vecto.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} .\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Gọi M là trung điểm của BC. Áp dụng quy tắc trừ và định lý Pitago để tính

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì \(\frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BM} \) nên theo quy tắc trừ ta có \(\overrightarrow {BA}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {MA} \)

Theo định lí Pitago ta có: \(MA = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {BA}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right| = MA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc trung điểm.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm BC suy ra \(\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 2\overrightarrow {MI} \)

Do đó \(2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MI}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra M là trung điểm AI.   

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm .

Đường trung tuyến của tam giác đều cạnh \(a\)  có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Lời giải chi tiết:

Theo quy tắc trừ ta có: \(\frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  - 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {AM} \)

\( \Rightarrow \left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  - 2\overrightarrow {MN} } \right| = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, định lý Pytago.

Công thức tích vô hướng: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có tam giác ABC vuông có \(AB = AC = 3\)

\( \Rightarrow \)Tam giác ABC vuông cân tại A.

\( \Rightarrow \angle ACB = \angle ABC = {45^o}\) (định lý tổng 3 góc trong tam giác)

Gọi D là điểm đối xứng với A qua C \( \Rightarrow \angle BCD = {180^o} - \angle ACB = {135^o};\;CD = AC = 3;\;\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CD} .\) 

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông cân tại A\( \Rightarrow CB = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 3\sqrt 2 \)

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {CB}  = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CB} } \right) = CD.CB.\cos \angle BCD = 3.3\sqrt 2 .\cos {135^o} =  - 9\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho 2 vectơ \(\overrightarrow a \;\;\left( {\overrightarrow a  \ne 0} \right)\) và \(\overrightarrow b  = k\overrightarrow a \)

+) Nếu \(k > 0\) thì 2 vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) cùng hướng.

+) Nếu \(k < 0\) thì 2 vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) ngược hướng.

Lời giải chi tiết:

Vectơ \( - 2\overrightarrow a \) và vectơ \(\overrightarrow a \;\;\left( {\overrightarrow a  \ne 0} \right)\)  là hai vectơ ngược hướng.

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

+) Chọn \(\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OB} \) . Ta có:

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IC}  - 2\overrightarrow {ID}  = 3\left( {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OI} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OI} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OI} } \right)\\ =  - 3\overrightarrow {OI}  + 3\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OC}  - 2\overrightarrow {OD} \\ =  - 3\overrightarrow {OI}  + 3\overrightarrow {OA}  - 2\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {OI}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB} } \right)\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

+) Lại có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {JA}  - 2\overrightarrow {JB}  + 2\overrightarrow {JC}  = \left( {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OJ} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OJ} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OJ} } \right)\\ =  - \overrightarrow {OJ}  + \overrightarrow {OA}  - 2\overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC} \\ =  - \overrightarrow {OJ}  + \overrightarrow {OA}  - 2\overrightarrow {OB}  - 2\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {OJ}  =  - \overrightarrow {OA}  - 2\overrightarrow {OB} \,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

+) Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {OI}  = \frac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {OJ} \)  Suy ra 3 điểm O, I, J thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ba điểm, công thức trung điểm.

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(\overrightarrow {GA}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {MA}  = \frac{{ - 2}}{3}\overrightarrow {AM} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {BD}  - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CA} } \right)\\ = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {BD}  - \overrightarrow {CN}  = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {NC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {GA}  = \frac{{ - 2}}{3}\left( {\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {NC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {NC} \end{array}\)

Chọn đáp án D. 

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ba điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} \,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CI}  + \overrightarrow {IB}  \Rightarrow 2\overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {CI}  + 2\overrightarrow {IB} \,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta được: \(3\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {CI}  + 2\overrightarrow {IB} \)

Do \(\overrightarrow {AB}  =  - 2\overrightarrow {IB}  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow 3\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CA}  + 2\overrightarrow {CI}  \Rightarrow 2\overrightarrow {CI}  = 3\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA}  \Rightarrow \overrightarrow {CI}  = \frac{1}{2}\left( {3\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} } \right)\).

Chọn đáp án C.

Phương pháp giải:

+) Chứng minh MN là đường trung bình của tam giác ABC.

+) Sử dụng công thức ba điểm.

Lời giải chi tiết:

M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB \( \Rightarrow \) MN là đường trung bình của tam giác OAB

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OB} } \right) =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {OA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} \)

Mà \(\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow m =  - \frac{1}{2},\,\,n = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow m + n = 0\end{array}\)

Chọn: C

Phương pháp giải:

+) Từ tỉ số đoạn thẳng suy ra tỉ số vectơ.

+) Sử dụng công thức 3 điểm.

Lời giải chi tiết:

M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 2\overrightarrow {MC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  =  - 2\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {AC}  \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Chọn: C

Phương pháp giải:

Để A, M, N thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {AM} \,\,\left( {k \in R} \right)\). 

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BC} - 2\overrightarrow {AB} \\
\Rightarrow - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC} - 2\overrightarrow {AB} \\
\Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {CN} = x\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} \\
\Rightarrow - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AN} = x\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AN} = \left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {BC} + \left( {x + 1} \right)\overrightarrow {AC}
\end{array}\)

Để A, M, N thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {AM} \) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 1 = 2k\\
x + 1 = - k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = - \dfrac{1}{2}\\
x = - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ba điểm và công thức trung điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BD}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {BC} } \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {BA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} \\ =  - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) =  - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  =  - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức trung điểm đoạn thẳng và quy tắc 3 điểm để tìm mối qua hệ giữa \(\overrightarrow {KD} ,\,\,\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \)

Quy tắc trung điểm: M là trung điểm của AB  thì \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \) và với I  bất kì ta có: \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = 2\overrightarrow {IM} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có M là trung điểm của AB \( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

N là điểm thuộc AC sao cho \(\overrightarrow {CN}  = 2\overrightarrow {NA}  \Rightarrow \overrightarrow {NC}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

K là trung điểm của MN \( \Rightarrow \overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {KN}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có  D là trung điểm của BC \( \Rightarrow \overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {KC}  = 2\overrightarrow {KD} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {KD}  = \frac{{\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {KC} }}{2} = \frac{{\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {KN}  + \overrightarrow {NC} }}{2}\\ = \frac{{\left( {\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {KN} } \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} }}{2} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý tổng 3 góc trong tam giác, tứ giác, đưa các vectơ về cùng một gốc để tìm góc giữa chúng.

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle BAD = \angle BCD\\\angle ABC = \angle CDA\end{array} \right.\) (tính chất hình bình hành)

\( \Rightarrow \angle BAD = \dfrac{{{{360}^o} - 2.\angle B}}{2} = {130^o}\)  (định lý tổng 4 góc trong tứ giác)

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} \) (ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \angle BAD = {130^o}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc cộng trừ vectơ để biến đổi \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {CB} \)

G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG}  = \overrightarrow 0 .\)

Lời giải chi tiết:

G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG}  = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AG}  =  - \overrightarrow {BG}  - \overrightarrow {CG}  =  - \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {AG}  - \overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {AG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {CB}  - 2\overrightarrow {CA}  - 2\overrightarrow {AG} \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AG}  =  - 2\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \frac{{ - 2\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} }}{3} = \frac{{ - 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b }}{3}.\end{array}\)

 Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc 3 điểm, các tính chất vectơ để tính \(\overrightarrow {AM} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)  

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

      \( = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC}  - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \) 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Gọi \(N\) là trung điểm \(AB\), \(Q\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(C\) và \(P\) là đỉnh của hình bình hành \(AQPN\)để áp dụng quy tắc hình bình hành. Gọi \(L\) là hình chiếu của \(A\) lên \(QN\) để tính.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(N\) là trung điểm \(AB\), \(Q\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(C\) và \(P\) là đỉnh của hình bình hành \(AQPN\).

Khi đó ta có: \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AN} ,\,\,2\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AQ} \)

Suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có:  \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {AQ}  = \overrightarrow {AP} \)

Gọi \(L\) là hình chiếu của \(A\) lên  \(PN.\)

Vì  \(MN//AC \Rightarrow \angle ANL = \angle MNB = \angle CAB = {60^0}\)

Xét tam giác vuông \(ANL\) ta có \(\begin{array}{l}\sin \angle ANL = \frac{{AL}}{{AN}} \Rightarrow AL = AN.\sin \angle ANL = \frac{a}{2}\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\\cos \angle ANL = \frac{{NL}}{{AN}} \Rightarrow NL = AN.\cos \angle ANL = \frac{a}{2}\cos {60^0} = \frac{a}{4}\end{array}\)

Ta lại có:  \(AQ = PN \Rightarrow PL = PN + NL = AQ + NL = 2a + \frac{a}{4} = \frac{{9a}}{4}\)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác \(ALP\) ta có:

\(A{P^2} = A{L^2} + P{L^2} = \frac{{3{a^2}}}{{16}} + \frac{{81{a^2}}}{{16}} = \frac{{21{a^2}}}{4} \Rightarrow AP = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}\)

Vậy \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC} } \right| = AP = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}.\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Gọi \(O\) là tâm hình vuông. Lấy điểm \(A'\) trên tia \(OA\)sao cho \(OA' = 3OA\). Áp dụng các quy tắc để biến đổi và tính \(\overrightarrow u \).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là tâm hình vuông.

Theo quy tắc ba điểm ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = 4\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  - 2\overrightarrow {MD} \\\,\,\,\,\, = 4\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} } \right) - 3\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OD} } \right)\\\,\,\,\,\, = 4\overrightarrow {OA}  - 3\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  - 2\overrightarrow {OD} \end{array}\)

Mà \(\overrightarrow {OD}  =  - \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OC}  =  - \overrightarrow {OA} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = 4\overrightarrow {OA}  - 3\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  - 2\overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {OA}  - 3\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  = 3\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} \)

Lấy điểm \(A'\) trên tia \(OA\)sao cho \(OA' = 3OA,\) khi đó: \(\overrightarrow {OA'}  = 3\overrightarrow {OA} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = \overrightarrow {OA'}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA'} .\)

Mặt khác: \(BA' = \sqrt {O{B^2} + OA{'^2}}  = \sqrt {O{B^2} + 9O{A^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + 9.{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = BA' = a\sqrt 5 .\)

 Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức trung điểm để chứng minh \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \). Từ đó tách để suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết:

Theo hệ thức trung điểm ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = 2\overrightarrow {OI} ,\,\,\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = 2\overrightarrow {OJ} \)

Mặt khác \(O\)  là trung điểm \(IJ \Rightarrow \overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {OJ}  = \overrightarrow 0 .\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = 2\left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {OJ} } \right) = \overrightarrow 0 .\)

Do đó với mọi điểm \(M\)  thì:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MD} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MO} .\end{array}\)               

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Chứng minh  \(\frac{{MC}}{{BC}}\overrightarrow {MB}  + \frac{{MB}}{{BC}}\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\frac{{MB}}{{BC}} + \frac{{MC}}{{BC}} = 1\). Áp dụng để biến đổi.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M \in BC \Rightarrow \overrightarrow {BC}  =  - \frac{{BC}}{{MB}}\overrightarrow {MB}  = \frac{{BC}}{{MC}}\overrightarrow {MC}  \Rightarrow \frac{{MC}}{{BC}}\overrightarrow {MB}  + \frac{{MB}}{{BC}}\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)  và \(\frac{{MB}}{{BC}} + \frac{{MC}}{{BC}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AM}  + \frac{{MC}}{{BC}}\overrightarrow {MB}  + \frac{{MB}}{{BC}}\overrightarrow {MC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AM} \left( {\frac{{MB}}{{BC}} + \frac{{MC}}{{BC}}} \right) + \frac{{MC}}{{BC}}\overrightarrow {MB}  + \frac{{MB}}{{BC}}\overrightarrow {MC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{MC}}{{BC}}\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \frac{{MB}}{{BC}}\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MC} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{MC}}{{BC}}\overrightarrow {AB}  + \frac{{MB}}{{BC}}\overrightarrow {AC} .\end{array}\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh D ABC. Sử dụng tính chất tam giác đều và quy tắc hình bình hành để biến đổi.

Lời giải chi tiết:

Qua \(M\) kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của \(\Delta ABC:\) \({F_1},\,\,{F_2} \in AB;\,\,\,{E_1},\,\,{E_2} \in AC,\,\,\,{D_1},\,\,{D_2} \in BC\) sao cho \({F_1}{D_2}//DC,\,\,{D_1}{E_2}//AB,\,\,\,{F_2}{E_1}//BC.\)

Dễ thấy các tam giác đều \(M{D_1}{D_2},\,\,M{E_1}{E_2},\,\,M{F_1}{F_2}\) và các hình bình hành \(M{F_1}A{E_2},\,\,M{E_1}C{D_2},\,\,M{D_1}B{F_2}\).

Ta có: \(\overrightarrow {MD}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{D_1}}  + {{\overrightarrow {MD} }_2}} \right),\,\,\overrightarrow {ME}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{E_1}}  + \overrightarrow {M{E_2}} } \right),\,\,\overrightarrow {MF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{F_1}}  + \overrightarrow {M{F_2}} } \right)\)

Cộng từng vế 3 đẳng thức và nhóm  ta được:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{D_1}}  + \overrightarrow {M{D_2}}  + \overrightarrow {M{E_1}}  + \overrightarrow {M{E_2}}  + \overrightarrow {M{F_1}}  + \overrightarrow {M{F_2}} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {M{D_1}}  + \overrightarrow {M{F_2}} } \right) + \left( {\overrightarrow {M{F_1}}  + \overrightarrow {M{E_2}} } \right) + \left( {\overrightarrow {M{E_1}}  + \overrightarrow {M{D_2}} } \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC} } \right)\\ = \frac{1}{2}.3\overrightarrow {MO}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\end{array}\)         

Chọn  C.