30 bài tập trắc nghiệm các định nghĩa về véc tơ

Câu hỏi 1 :

Cho tam giác \(ABC\) có \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC,BC\). Khi đó, các vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {PN} \) là

A \(\overrightarrow {AM} \), \(\overrightarrow {BM} \), \(\overrightarrow {NP} \)
B \(\overrightarrow {MA} \), \(\overrightarrow {MB} \),\(\overrightarrow {NP} \)
C \(\overrightarrow {MB} \), \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BA} \)
D \(\overrightarrow {AM} \), \(\overrightarrow {MB} \), \(\overrightarrow {NP} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) đối nhau khi chúng cùng phương, ngược hướng và cùng độ dài.

Lời giải chi tiết:

Các vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {PN} \) là: \(\overrightarrow {AM} \), \(\overrightarrow {MB} \), \(\overrightarrow {NP} \).

Chọn: D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không tạo bởi hai trong số ba điểm đó?

A \(6\)
B \(5\)
C \(7\)
D \(3\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Từ hai điểm phân biệt ta luôn tạo được 2 vecto khác vecto – không.

Lời giải chi tiết:

Từ hai điểm phân biệt ta luôn tạo được 2 vecto khác vecto – không.

Vậy từ ba điểm, ta tạo được sáu vectơ khác vectơ không.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Điều kiện cần và đủ để \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) là các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) thỏa mãn

A cùng hướng
B cùng độ dài
C cùng hướng, cùng độ dài
D cùng phương, cùng độ dài

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hai véc tơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ lớn.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện cần và đủ để \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) là chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho tam giác \(ABC\) đều, tâm \(O,\,\,M\) là trung điểm của \(BC.\) Góc \(\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AB} } \right)\) bằng:

A \(150^\circ .\)
B \(30^\circ .\)
C \(120^\circ .\)
D \(60^\circ .\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tam giác đều.

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \angle BAM = 30^\circ .\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Khẳng định nào sau đây đúng?

A \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} .\)
B \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} .\)
C \(\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OC} .\)
D \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {CO} .\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Vì \(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OC} .\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho tam giác ABC, gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương.
B \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
C \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng phương.
D \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BN} \) cùng phương.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

Lời giải chi tiết:

M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC \( \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với \(\overrightarrow {BC} .\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) sao cho \(\overrightarrow a = \frac{{2018}}{{2019}}\overrightarrow b \). Khẳng định nào sau đây sai?

A \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương.
B \(\left| {\overrightarrow a } \right| > \left| {\overrightarrow b } \right|.\)
C \(\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow b \) ngược hướng.
D \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\frac{{2018}}{{2019}}\overrightarrow b } \right|.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Ta có: \(\left| {k.\overrightarrow a } \right| = k.\left| {\overrightarrow a } \right|.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow a = \frac{{2018}}{{2019}}\overrightarrow b \Rightarrow k = \frac{{2018}}{{2019}} > 0 \Rightarrow \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) cùng hướng.

\( \Rightarrow \) Đáp án A và C đúng.

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\frac{{2018}}{{2019}}\overrightarrow b } \right| = \frac{{2018}}{{2019}}\left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow b } \right|.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho hình bình hành \(ABCD,\) vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình bình hành bằng với vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:

A \(\overrightarrow {DC} .\)
B \(\overrightarrow {BA} .\)
C \(\overrightarrow {CD} .\)
D \(\overrightarrow {AC} .\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Hai vecto bằng nhau có cùng chiều và cùng độ lớn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} .\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho bốn điểm \(A, \,B, \,C,\, D\) phân biệt. Số vectơ (khác \(\overrightarrow 0 \)) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ các điểm \(A,\, B,\, C,\, D\) là

A \(10\)
B \(4\)
C \(8\)
D \(12\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đếm lần lượt số vectơ tạo thành từ các điểm.

Lời giải chi tiết:

Có ba vectơ có điểm đầu là \(A\) là: \(\overrightarrow {AB,} \,\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {AD} .\)

Tương tự cũng có mỗi điểm \(B,\,\,C,\,\,D\) cũng có thể tạo nên ba vectơ với \(B,\,\,C,\,\,D\) là các điểm đầu.

Vậy có thể tạo thành 12 vectơ.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \) thì có nhận xét gì về ba điểm A, B, C

A B là trung điểm của AC
B B nằm ngoài của AC
C B nằm trên của AC
D Không tồn tại

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//CD\\AB = CD\\\overrightarrow {AB} \nearrow \nearrow \overrightarrow {CD} \end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \) thì B là trung điểm của AC

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho hình thoi \(ABCD\) có tâm \(O\). Hãy cho biết số khẳng định đúng ?

a) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \) b) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) c) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OC} \)

d) \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} \) e) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\) f) \(2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)

A \(3\)
B \(4\)
C \(5\)
D \(6\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB\)

Lời giải chi tiết:

a) Sai b) Đúng c) Đúng

d) Sai e) Sai f) Đúng

Vậy có 3 khẳng định đúng

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\). Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho ngược hướng với \(\overrightarrow {OC} \)

A \(\overrightarrow {AO} ,\,\overrightarrow {OF} ,\,\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {DE} \)
B \(\overrightarrow {CO} ,\,\overrightarrow {AF} ,\,\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {DE} \)
C \(\overrightarrow {CO} ,\,\overrightarrow {OF} ,\,\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {DE} \)
D \(\overrightarrow {BO} ,\,\overrightarrow {OF} ,\,\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {DE} \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Giá của 2 vectơ song song hoặc trùng nhau thì hai vectơ đó cùng phương.

Hai vectơ cùng phương hoặc là cùng hướng, hoặc là ngược hướng.

Lời giải chi tiết:

Cho lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\).

Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho ngược hướng với \(\overrightarrow {OC} \) là \(\overrightarrow {CO} ,\,\overrightarrow {OF} ,\,\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {DE} \)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho \(\overrightarrow {AB} \) ≠ \(\vec 0\) và một điểm \(C,\) có bao nhiêu điểm \(D\) thỏa mãn: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {C{\rm{D}}} } \right|\)

A \(0\)
B \(1\)
C \(2\)
D Vô số

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB\)

Lời giải chi tiết:

Cho \(\overrightarrow {AB} \) ≠ \(\vec 0\) và một điểm \(C,\) có vô số điểm \(D\) thỏa mãn: \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {C{\rm{D}}} } \right|\)

Tập hợp các điểm D thỏa mãn đề bài là đường tròn tâm C bán kính \(R = AB\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) thì có nhận xét gì về bốn điểm A, B, C, D.

A A, B, C, D thẳng hàng
B ABCD là hình bình hành
C A, B đều đúng
D A, B đều sai

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Lời giải chi tiết:

Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt. Nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//DC\\AB = DC\end{array} \right. \Rightarrow ABCD\) là hình bình hành.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng. Khi nào thì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng ?

A A nằm trong đoạn BC
B Nằm chính giữa BC
C A nằm ngoài đoạn BC
D Không tồn tại

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương .

Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.

Lời giải chi tiết:

Cho ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) phân biệt thẳng hàng, hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng \( \Leftrightarrow A\) nằm ngoài đoạn BC

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm là O. Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C, D, O bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\,\,\,\,\overrightarrow {OB} \)

A \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AO} \)
B \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OC} ,\,\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {DO} \)
C \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} ,\,\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AO} \)
D \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} ,\,\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {DO} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} ,\,\,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {DO} \)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M,\,N,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,CA,\,AB\). Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \) có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.

A \(3\)
B \(4\)
C \(6\)
D \(5\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương

Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.

Lời giải chi tiết:

Các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {PB} ,\,\,\overrightarrow {NM} \).

Vậy có 3 vectơ thỏa mãn yêu cầu đề bài

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Biết điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BM} \).
B \(\overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {BM} \).
C \(MA = - MB\).
D \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BM} \).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

M là trung điểm của AB \( \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \)

Lời giải chi tiết:

M là trung điểm của AB \( \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BM} \)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Hai \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng nhau nếu chúng:

A cùng hướng.
B cùng hướng và cùng độ dài.
C cùng độ dài.
D cùng phương và cùng độ dài.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ có cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hình bình hành \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây sai.

A \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\).
B \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA} } \right|\).
C \(\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\).
D \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Độ dài vectơ chính là độ dài đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình bình hành nên \(AC \ne BD \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \ne \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\). Vậy đẳng thức A sai.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho 6 điểm phân biệt. Hỏi có mấy vectơ khác vectơ - không mà có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 6 điểm đó?

A 40
B 20
C 30
D 10

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Liệt kê các cặp điểm có được từ 6 điểm. Với mỗi cặp điểm ta sẽ được hai vectơ khác vectơ – không.

Lời giải chi tiết:

Từ 6 điểm phân biệt ta sẽ có được 15 cặp điểm khác nhau.

Với mỗi cặp điểm ta sẽ được hai vectơ khác vectơ – không nên từ 6 điểm đó tạo được 30 vectơ khác vectơ – không.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \):

A \(ABCD\) là hình bình hành.
B \(ACBD\) là hình bình hành.
C \(AD\) và \(BC\) có cùng trung điểm
D \(AB = CD\) và \(AB\)//\(CD\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//CD\\AB = CD\\\overrightarrow {AB} \nearrow \nearrow \overrightarrow {CD} \end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//CD\\AB = CD\\\overrightarrow {AB} \nearrow \nearrow \overrightarrow {CD} \end{array} \right. \Leftrightarrow ABDC\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \) \(AD\) và \(BC\)có cùng trung điểm

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho trước hai điểm \(A,\,B\) phân biệt . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right|\).

A Đường thẳng song song đoạn thẳng \(AB\)
B Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\)
C Đường vuông góc của đoạn thẳng \(AB\)
D Không tồn tại

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = MA\)

Lời giải chi tiết:

\(\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right| \Leftrightarrow MA = MB \Rightarrow \)Tập hợp điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) và \(G\) là trọng tâm. Gọi \(I\) là trung điểm của \(AG\).

Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {BI} \).

A \(\frac{{a\sqrt {21} }}{3}\)
B \(\frac{{a\sqrt {21} }}{6}\)
C \(\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\)
D \(\frac{a}{6}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\left| {\overrightarrow {BI} } \right| = BI\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a\)

Gọi M là trung điểm của \(BC\)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}\sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \frac{2}{3}\sqrt {{a^2} - {{\frac{a}{4}}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\left| {\overrightarrow {BI} } \right| = BI = \sqrt {B{M^2} + M{I^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Dựng điểm \(B'\) sao cho \(\overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {AG} \). Gọi \(J\) là trung điểm của \(BB'\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A \(\overrightarrow {3BJ} = 2\overrightarrow {IG} \).
B \(\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {IG} \)
C \(\overrightarrow {BJ} = 2\overrightarrow {IG} \)
D \(\overrightarrow {2BJ} = \overrightarrow {IG} \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

So sánh hướng và độ dài của \(\overrightarrow {BJ} ,\,\,\overrightarrow {IG} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {AG} \) suy ra \(B'B = AG\) và \(BB'//AG\).

Do đó \(\overrightarrow {BJ} ,\,\,\overrightarrow {IG} \) cùng hướng (1).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(IG = \frac{1}{2}AG\), \(J\) là trung điểm \(BB'\) suy ra \(BJ = \frac{1}{2}BB'\)

Vì vậy \(BJ = IG\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {IG} \).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khăng định nào sau đây đúng

A \(\overrightarrow {3MQ} \, = \,\overrightarrow {NP} \,\)
B \(\overrightarrow {MQ} \, = \,\overrightarrow {NP} \,\)
C \(\overrightarrow {2MQ} \, = \,\overrightarrow {NP} \,\)
D \(\overrightarrow {MQ} \, = 2\,\overrightarrow {NP} \,\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tìm n bất kỳ để \(\frac{{n(n + 1)}}{2}\) chia hết cho 11

Lời giải chi tiết:

Do M, Q lần lượt là trung điểm của AB và AD nên MQ là đường trung bình của tam giác \(ABD\) suy ra \(MQ//BD\) và \(MQ = \frac{1}{2}BD\) (1).

Tương tự NP là đường trung bình của tam giác \(CBD\) suy ra \(NP//BD\) và \(NP = \frac{1}{2}BD\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(MQ//NP\) và \(NP = MQ\) do đó tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành

Vậy ta có \(\overrightarrow {MQ} \, = \,\overrightarrow {NP} \,\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho hình bình hành \(ABCD\). Trên các đoạn thẳng\(DC,\,\,AB\) theo thứ tự lấy các điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(DM = BN\). Gọi \(P\) là giao điểm của \(AM,\,\,DB\) và \(Q\) là giao điểm của \(CN,\,\,DB\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {NC} \)
B \(\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {BQ} \)
C Cả A, B đúng
D Cả A, B sai

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác \(ANCM\) là hình bình hành, \(\Delta DMP = \Delta BNQ\) (c.g.c) để so sánh độ dài các vectơ từ đó xét hướng để đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(DM = BN \Rightarrow AN = MC\), mặt khác \(AN\) song song với \(MC\) do đó tứ giác \(ANCM\) là hình bình hành

Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {NC} \).

Ta có: \(\angle DMP = \angle APB\) (đối đỉnh) và \(\angle APQ = \angle NQB\) (hai góc đồng vị)

\( \Rightarrow \angle DMP = \angle BNQ\,\,\,\left( { = \angle APB} \right)\).

Xét tam giác \(\Delta DMP\) và \(\Delta BNQ\) ta có:

\(\begin{array}{l}DM = NB\,\,\,\left( {gt} \right)\\\angle PDM = \angle QBN\,\,\,\left( {so\,\,le\,\,\,trong} \right)\\ \Rightarrow \Delta DMP = \Delta BNQ\,\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow DP = QB\) (hai cạnh tương ứng).

Do đó \(\Delta DMP = \Delta BNQ\) (c.g.c) suy ra \(DP = QB\).

Dễ thấy \(\overrightarrow {DP} ,\,\,\overrightarrow {QB} \) cùng hướng vì vậy \(\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {QB} \).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(DC,\,AB\); \(P\) là giao điểm của \(AM,\,\,DB\) và \(Q\) là giao điểm của \(CN,\,\,DB\).Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.

A \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {NB} \)
B \(\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {QB} \)
C Cả A, B đều đúng
D Cả A, B đều sai

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác \(DMBN\) là hình bình hành. So sánh độ dài các đoạn DP, PQ, QB

Lời giải chi tiết:

Ta có tứ giác \(DMBN\) là hình bình hành vì \(DM = NB = \frac{1}{2}AB,\,\,DM//NB\).

Suy ra \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {NB} \).

Xét tam giác \(CDQ\) có \(M\) là trung điểm của \(DC\) và \(MP//QC\) do đó \(P\) là trung điểm của \(DQ\). Tương tự xét tam giác \(ABP\) suy ra được \(Q\) là trung điểm của \(PB\)

Vì vậy \(DP = PQ = QB\) từ đó suy ra \(\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {QB} \)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) cạnh \(a\). Gọi \(M\)là trung điểm của \(AB\), \(N\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(D\). Hãy tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MN} \).

A \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\)
B \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}\)
C \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
D \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = MN\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(MAD\) ta có

\(D{M^2} = A{M^2} + A{D^2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {a^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\)\( \Rightarrow DM = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Qua N kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt\(AB\) tại \(P\).

Khi đó tứ giác \(ADNP\) là hình vuông và \(PM = PA + AM = a + \frac{a}{2} = \frac{{3a}}{2}\).

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(NPM\) ta có

\(M{N^2} = N{P^2} + P{M^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{4}\)\( \Rightarrow DM = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B' là điểm đối xứng B qua O. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A \(\overrightarrow {AH} \,\, = \,\overrightarrow {B'C} \)
B \(\overrightarrow {3AH} \,\, = \,\overrightarrow {B'C} \)
C \(\overrightarrow {2AH} \,\, = \,\overrightarrow {B'C} \)
D \(\overrightarrow {AH} \,\, = \,2\overrightarrow {B'C} \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Chứng minh AHCB’ là hbh do có 2 cặp cạnh đối song song

Lời giải chi tiết:

Ta có \(B'C \bot BC\) (do \(\Delta BCB'\) có trung tuyến \(OC = OB = \frac{1}{2}BB'\) nên vuông tại C)\(,\,\,AH \bot BC \Rightarrow B'C//AH\), \(B'A \bot BA,\,\,CH \bot AB \Rightarrow B'A//CH\)

Suy ra \(AHCB'\) là hình bình hành do đó \(\overrightarrow {AH} \,\, = \,\overrightarrow {B'C} \).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải