-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 - Đề số 5
Đề bài
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn $1000$. Xác suất để số đó chia hết cho $5$ là:
-
A.
\(\dfrac{1}{5}\)
-
B.
\(\dfrac{{201}}{{1000}}\)
-
C.
\(\dfrac{{200}}{{999}}\)
-
D.
\(\dfrac{{199}}{{999}}\)
Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ . Một mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $d$ và cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến là đường thẳng $d'$ . Giao điểm của $d$ và $d'$ là $A$ . Khẳng định nào sau đây là sai?
-
A.
Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
-
B.
Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left( \beta \right)$
-
C.
Điểm $A$ là giao điểm của $d$ và $\left( \alpha \right)$
-
D.
Điểm $A$ là giao điểm của $d'$ và $\left( \beta \right)$
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D',AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O,A'C'$ và $B'D'$ cắt nhau tại $O'$ . Các điểm $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,BC,O'B'$. Khi đó thiết diện do mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt hình lập phương sẽ là đa giác có số cạnh là bao nhiêu?
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$6$
Số chữ cái có tâm đối xứng trong tên trường “ TRÍ ĐỨC” là :
-
A.
0
-
B.
1
-
C.
2
-
D.
3
Cho hai điểm \(M\left( { - 1;4} \right),M'\left( { - 4;5} \right)\). Phép vị tự tỉ số $k = 2$ biến $M$ thành $M'$ có tâm là điểm nào sau đây?
-
A.
\(I\left( {1;3} \right)\)
-
B.
\(I\left( { - 2;3} \right)\)
-
C.
\(I\left( {2;3} \right)\)
-
D.
\(I\left( {2; - 3} \right)\)
Giả sử phép đồng dạng \(F\) biến tam giác \(ABC\) thành tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\). Giả sử \(F\) biến trung tuyến \(AM\) của \(\Delta ABC\) thành đường cao \({A_1}{M_1}\) của \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
\(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác đều
-
B.
\(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác cân tại \({A_1}\) .
-
C.
\(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác vuông tại \({B_1}\).
-
D.
\(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác vuông tại \({C_1}\).
Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là :
-
A.
\(P = \dfrac{1}{{14}}.\)
-
B.
\(P = \dfrac{1}{{220}}.\)
-
C.
\(P = \dfrac{1}{4}.\)
-
D.
\(P = \dfrac{1}{{55}}.\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép quay tâm $O$ biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\). Khi đó nó biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm:
-
A.
\(M'\left( { - 1; - 1} \right)\)
-
B.
\(M'\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\(M'\left( { - 1;1} \right)\)
-
D.
\(M'\left( {1;0} \right)\)
Một đội văn nghệ chuẩn bị được $2$ vở kịch, $3$ điệu múa và $6$ bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày \(1\) vở kịch, $1$ điệu múa và \(1\) bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, các điệu múa, các bài hát là như nhau?
-
A.
$11$
-
B.
$36$
-
C.
$25$
-
D.
$18$
Trong mp\(\left( \alpha \right)\), cho bốn điểm \(A,B,C,D\) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm \(S \notin mp\left( \alpha \right)\). Có mấy mặt phẳng tạo bởi \(S\) và hai trong số bốn điểm nói trên?
-
A.
$4$.
-
B.
$5$.
-
C.
$6$.
-
D.
$8$.
Tìm hệ số của ${x^{12}}$ trong khai triển ${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}}.$
-
A.
$C_{10}^8.$
-
B.
$C_{10}^2{.2^8}.$
-
C.
$C_{10}^2.$
-
D.
$ - \,C_{10}^2{.2^8}.$
Mọi phép dời hình cũng là phép đồng dạng tỉ số
-
A.
$k = 1$
-
B.
$k = -1$
-
C.
$k = 0$
-
D.
$k = 3$
Hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $d$. Hai đường thẳng $a,b$ lần lượt nằm trong $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$ và đều cắt đường thẳng $d$. Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
Giao điểm của $a$ và $d$ là giao điểm của $a$ và mặt phẳng $\left( \beta \right)$
-
B.
Giao điểm của $b$ và $d$ là giao điểm của $b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
-
C.
Giao điểm của $b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nằm ngoài đường thẳng $d$
-
D.
Giao điểm của $a$ và mặt phẳng $\left( \beta \right)$ luôn nằm trên đường thẳng $d$
Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $M,N$ là hai điểm lần lượt thuộc cạnh $AB$ và \(CD;\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua $MN$ và song song với $SA$ . Tìm điều kiện của $MN$ để thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp\(\left( \alpha \right)\) là một hình thang.
-
A.
$MN$ và $BC$ đồng phẳng
-
B.
$MN$ và $BC$ song song với nhau
-
C.
$ABCD$ là hình thang và $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$
-
D.
Đáp án khác
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q > 0\) . Biết \({u_2} = 4;{u_4} = 9\) .
-
A.
\({u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
B.
\({u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\({u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\({u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) luôn đi qua điểm nào dưới đây?
-
A.
\(O\left( {0;0} \right)\)
-
B.
\(M\left( {0;1} \right)\)
-
C.
\(N\left( {\dfrac{\pi }{2};0} \right)\)
-
D.
\(P\left( {1;0} \right)\)
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}}\). Dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng khi:
-
A.
a = 2
-
B.
a > 2
-
C.
a < 2
-
D.
a > 1
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:
-
A.
\({P_n} = n!\)
-
B.
\({P_n} = n\)
-
C.
\({P_n} = \left( {n - 1} \right)!\)
-
D.
\({P_n} = {n^2}\)
Tìm chu kì của các hàm số sau \(f\left( x \right) = \sin 2x + \sin x\)
-
A.
\({T_0} = 2\pi \)
-
B.
\({T_0} = 3\pi \)
-
C.
\({T_0} = \pi \)
-
D.
\({T_0} = \dfrac{\pi }{4}\)
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
-
A.
$ - 3;1;5;9;14$
-
B.
$5;2; - 1; - 4; - 7$
-
C.
\(\dfrac{5}{3},1,\dfrac{1}{3}, - \dfrac{1}{3}, - 3\)
-
D.
\( - \dfrac{7}{2}, - \dfrac{5}{2}, - 2; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}}\). Số \(\dfrac{8}{{15}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
-
A.
\(8.\)
-
B.
\(6.\)
-
C.
\(5.\)
-
D.
\(7.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({x_3} + {x_{13}} = 80.\) Tính tổng ${S_{15}}$ của $15$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó?
-
A.
${S_{15}} = 600$
-
B.
${S_{15}} = 800$
-
C.
${S_{15}} = 570$
-
D.
${S_{15}} = 630$
Phương trình \(\sqrt 3 \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)\)
Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với \(d:2x\; - y = 0\) có tọa độ là:
-
A.
$A'\left( { - 2;7} \right)$
-
B.
\(A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
C.
\(A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
D.
\(A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)\)
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_5} = 3,{u_6} = - 6$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
${u_7} = 12.$
-
B.
${u_7} = - 12.$
-
C.
${u_7} = - 2$
-
D.
\({u_7} = 18\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đồ thị của hàm số \(y = \sin x\). Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đồ thị đó thành chính nó
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép
Cho đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) như hình vẽ, số điểm chung của \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
vô số
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho parabol \(\left( P \right):y=4{x^2} - 7x + 3\). Phép đối xứng trục $Oy$ biến $\left( P \right)$ thành $\left( {P'} \right)$ có phương trình
-
A.
\(y = 4{x^2} + 7x - 3\)
-
B.
\(y = 4{x^2} + 7x + 3\)
-
C.
\(y = - 4{x^2} + 7x - 3\)
-
D.
\(y = - 4{x^2} - 7x + 3\)
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng \(a:\,\,2x + y + 5 = 0\) và \(b:\,\,x - 2y - 3 = 0\). Nếu có một phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc đó có thể là góc nào trong các góc cho dưới đây:
-
A.
\({45^0}\)
-
B.
\({90^0}\)
-
C.
\({120^0}\)
-
D.
\({60^0}\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(AD \subset \left( {ABC} \right)\)
-
B.
\(AD \cap \left( {ABC} \right) = C\)
-
C.
\(AB \subset \left( {ABC} \right)\)
-
D.
\(AC//\left( {ABD} \right)\)
Cho hai đường thẳng \(a,b\) có một điểm chung duy nhất. Có thể kết luận gì về vị trí tương đối của hai đường thẳng đó?
-
A.
chéo nhau
-
B.
song song
-
C.
trùng nhau
-
D.
cắt nhau
Có bao nhiêu số tự nhiên $k$ thỏa mãn hệ thức: \(C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}\)
-
A.
$2$
-
B.
\(3\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(5\)
Nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \cos x\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = k\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Giải phương trình \(\sqrt 3 \cos 5x - 2\sin 3x\cos 2x - \sin x = 0\) ta được nghiệm:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{{9}} + \dfrac{{k2\pi }}{3};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{6};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
C.
\(x = \pm\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{3};\,\,x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho dãy số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ dãy số này lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 30000.
-
A.
\(360\)
-
B.
\(720\)
-
C.
\(1080\)
-
D.
\(920\)
Có bao nhiêu số có \(5\) chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số \(1,2,3,4,5\)?
-
A.
\(20\)
-
B.
\(10\)
-
C.
\(100\)
-
D.
\(120\)
Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ tập \(X = \left\{ {6;7;8} \right\},\) trong đó chữ số 6 xuất hiện 2 lần, chữ số 7 xuất hiện 3 lần, chữ số 8 xuất hiện 4 lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S; tính xác suất để số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6.
-
A.
\(\dfrac{2}{5}\)
-
B.
\(\dfrac{{11}}{{12}}\)
-
C.
\(\dfrac{4}{5}\)
-
D.
\(\dfrac{{55}}{{432}}\)
Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền, mỗi người được sút một quả với xác suất bàn tương ứng là $0,8$ và $0,7$. Tính xác suất để chỉ có $1$ cầu thủ làm bàn.
-
A.
\(0,14\)
-
B.
\(0,38\)
-
C.
\(0,24\)
-
D.
\(0,62\)
Giá trị của tổng $S = 1-2 + 3-4 + ... - 2n + \left( {2n + 1} \right)$ là:
-
A.
$1$
-
B.
$0$
-
C.
$5$
-
D.
$n + 1$
Dân số của thành phố A hiện nay là $3$ triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là $2\% $. Dân số của thành phố A sau $3$ năm nữa sẽ là:
-
A.
$3183624$
-
B.
$2343625$
-
C.
$2343626$
-
D.
$2343627$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai đường thẳng song song $a$ và $a'$ lần lượt có phương trình \(2x - 3y - 1 = 0\) và \(2x - 3y + 5 = 0\). Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây không biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $a'$ ?
-
A.
$\overrightarrow u \left( {0;2} \right)$
-
B.
\(\overrightarrow u \left( { - 3;0} \right)\)
-
C.
\(\overrightarrow u \left( {3;4} \right)\)
-
D.
\(\overrightarrow u \left( { - 1;1} \right)\)
Cho điểm $M$ và hai phép đối xứng tâm \({O_1}\) và \({O_2}\). Gọi \({D_{{O_1}}}\left( M \right) = {M_1},{D_{{O_2}}}\left( {{M_1}} \right) = {M_2}\), trong các đẳng thức vec tơ sau, đẳng thức nào đúng?
-
A.
\(\overrightarrow {M{M_2}} = 2\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \)
-
B.
\(\overrightarrow {M{M_2}} = - 2\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \)
-
C.
\(\overrightarrow {M{M_2}} = \overrightarrow {{O_1}{O_2}} \)
-
D.
\(\overrightarrow {M{M_2}} = - \overrightarrow {{O_1}{O_2}} \)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(BC.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là:
-
A.
\(SD.\)
-
B.
\(SO{\rm{ }}(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD).\)
-
C.
\(SG{\rm{ }}(G\) là trung điểm \(AB).\)
-
D.
\(SF{\rm{ }}(F\) là trung điểm \(CD).\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(SA\), \(SC,\) \(OB\). Gọi \(Q\) là giao điểm của \(SD\) với \(mp\left( {MNP} \right)\). Tính \(\dfrac{{SQ}}{{SD}}.\)
-
A.
\(\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{1}{4}.\)
-
B.
\(\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{1}{3}.\)
-
C.
\(\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{1}{5}.\)
-
D.
\(\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{6}{{25}}.\)
Cho tứ diện \(ABCD\,.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(AC,\) \(E\) là điểm trên cạnh \(CD\) với \(ED = 3EC.\) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\) và tứ diện \(ABCD\) là:
-
A.
Tam giác \(MNE.\)
-
B.
Tứ giác \(MNEF\) với \(F\) là điểm bất kì trên cạnh \(BD.\)
-
C.
Hình bình hành \(MNEF\) với \(F\) là điểm trên cạnh \(BD\) mà \(EF//BC.\)
-
D.
Hình thang \(MNEF\) với \(F\) là điểm trên cạnh \(BD\) mà \(EF//BC.\)
Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: \({x^4} - 10{x^2} + 2{m^2} + 7m = 0\), tính tổng lập phương của hai giá trị đó.
-
A.
\( - \dfrac{{343}}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{{721}}{8}\)
-
C.
\( - \dfrac{{721}}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{343}}{8}\)
Giải phương trình \(\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2\).
-
A.
\(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
B.
\(x = \dfrac{2\pi }{{3}} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
C.
\(x =\dfrac{{\pi }}{3} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
D.
\(x = \dfrac{k\pi }{{3}} \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $6.C_{n\, + \,1}^{n\, - \,1} = A_n^2 + 160.$ Tìm hệ số của ${x^7}$ trong khai triển $\left( {1 - 2{x^3}} \right){\left( {2 + x} \right)^n}.$
-
A.
$ - \,2224.$
-
B.
$2224.$
-
C.
$1996.$
-
D.
$ - \,1996.$
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 4,BC = AD = 5,AC = BD = 6\). \(M\) là điểm thay đổi trong tâm giác \(ABC\). Các đường thẳng qua \(M\) song song với \(AD,BD,CD\) tương ứng cắt mặt phẳng \(\left( {BCD} \right),\left( {ACD} \right),\left( {ABD} \right)\) tại \(A',B',C'\). Giá trị lớn nhất của \(MA'.MB'.MC'\) là
-
A.
\(\dfrac{{40}}{9}\)
-
B.
\(\dfrac{{24}}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{{30}}{9}\)
-
D.
\(\dfrac{{20}}{9}\)
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm $A$ cố định. Một điểm $M$ thay đổi trên \(\left( {O;R} \right)\), gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$ . Khi $M$ thay đổi trên \(\left( {O;R} \right)\), tập hợp các điểm $N$ là:
-
A.
Đường tròn tâm $A$ bán kính $R$
-
B.
Đường tròn tâm $O$ bán kính $2R$
-
C.
Đường tròn tâm $I$ bán kính \(\dfrac{R}{2}\) với $I$ là trung điểm của $AO$
-
D.
Đường tròn đường kính $AO$ .
Lời giải và đáp án
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn $1000$. Xác suất để số đó chia hết cho $5$ là:
-
A.
\(\dfrac{1}{5}\)
-
B.
\(\dfrac{{201}}{{1000}}\)
-
C.
\(\dfrac{{200}}{{999}}\)
-
D.
\(\dfrac{{199}}{{999}}\)
Đáp án : A
- Tính số phần tử của không gian mẫu \(\left| \Omega \right|\)
- Tính số kết quả có lợi cho biến cố \(\left| A \right|\)
- Sử dụng công thức tính xác suất \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn $1000$ ta có \(\left| \Omega \right| = 1000\)
Gọi $A$ là biến cố chọn được số chia hết cho $5.$
Khi đó: \(A = \left\{ {5k\left| {0 \le 5k < 1000} \right.} \right\} = \left\{ {5k\left| {0 \le k < 200} \right.} \right\}\)
Nên \(\left| A \right| = 200\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{200}}{{1000}} = \dfrac{1}{5}\)
Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ . Một mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $d$ và cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến là đường thẳng $d'$ . Giao điểm của $d$ và $d'$ là $A$ . Khẳng định nào sau đây là sai?
-
A.
Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
-
B.
Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left( \beta \right)$
-
C.
Điểm $A$ là giao điểm của $d$ và $\left( \alpha \right)$
-
D.
Điểm $A$ là giao điểm của $d'$ và $\left( \beta \right)$
Đáp án : D
Ta tìm giao tuyến của đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ :
+ Tìm một mặt phẳng chứa $b$ thích hợp
+ Tìm giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
+ Tìm giao điểm của giao tuyến đó với đường thẳng $b$
Vì $A \in d'$ mà $d' \subset \left( \alpha \right)$ và $d' \subset \left( \beta \right)$ nên $A \in \left( \alpha \right)$ và \(A \in \left( \beta \right)\)
Vì $A$ là giao điểm của $d$ và $d'$ nên $A \in d$
Mà $A \in \left( \alpha \right)$ nên $A$ là giao điểm của $d$ và $\left( \alpha \right)$
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D',AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O,A'C'$ và $B'D'$ cắt nhau tại $O'$ . Các điểm $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,BC,O'B'$. Khi đó thiết diện do mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt hình lập phương sẽ là đa giác có số cạnh là bao nhiêu?
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$6$
Đáp án : B
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có điểm chung $M$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $d$ và $d'$ thì giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$ và $d'$.
Ta có: $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN//AC//A'C'$ .
$\left( {MNP} \right)$ và $\left( {A'B'C'D'} \right)$ có điểm $P$ chung và $MN//A'C'$ .
Qua $P$ kẻ \(EF//A'C';E \in A'B',F \in B'C'.\)
Vậy thiết diện của hình lập phương cắt bởi $mp\left( {MNP} \right)$ là $MNFE$.
Số chữ cái có tâm đối xứng trong tên trường “ TRÍ ĐỨC” là :
-
A.
0
-
B.
1
-
C.
2
-
D.
3
Đáp án : B
“TRÍ ĐỨC” có chữ \(I\) có tâm đối xứng.
Cho hai điểm \(M\left( { - 1;4} \right),M'\left( { - 4;5} \right)\). Phép vị tự tỉ số $k = 2$ biến $M$ thành $M'$ có tâm là điểm nào sau đây?
-
A.
\(I\left( {1;3} \right)\)
-
B.
\(I\left( { - 2;3} \right)\)
-
C.
\(I\left( {2;3} \right)\)
-
D.
\(I\left( {2; - 3} \right)\)
Đáp án : C
Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k = 2$ biến điểm $M$ thành điểm \(M' \Rightarrow \overrightarrow {IM'} = 2\overrightarrow {IM} \)
Gọi tâm vị tự là điểm \(I\left( {x;y} \right)\) ta có: \({V_{\left( {I;2} \right)}}\left( M \right) = M' \Rightarrow \overrightarrow {IM'} = 2\overrightarrow {IM} \)
\( \Rightarrow \left( { - 4 - x;5 - y} \right) = 2\left( { - 1 - x;4 - y} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = - 2 - 2x\\5 - y = 8 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;3} \right)\)
Giả sử phép đồng dạng \(F\) biến tam giác \(ABC\) thành tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\). Giả sử \(F\) biến trung tuyến \(AM\) của \(\Delta ABC\) thành đường cao \({A_1}{M_1}\) của \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
\(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác đều
-
B.
\(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác cân tại \({A_1}\) .
-
C.
\(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác vuông tại \({B_1}\).
-
D.
\(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác vuông tại \({C_1}\).
Đáp án : B
Sử dụng chú ý: Phép đồng dạng biến trung truyến tam giác cũ thành trung tuyến tam giác mới.
Theo tính chất phép đồng dạng thì \({A_1}{M_1}\) là đường trung tuyến của \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\), theo giả thiết \({A_1}{M_1}\) lại là đường cao nên \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) là tam giác cân tại \({A_1}\). Vì vậy \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}\) cân tại \({A_1}\).
Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là :
-
A.
\(P = \dfrac{1}{{14}}.\)
-
B.
\(P = \dfrac{1}{{220}}.\)
-
C.
\(P = \dfrac{1}{4}.\)
-
D.
\(P = \dfrac{1}{{55}}.\)
Đáp án : D
Bước 1: Gọi A là biến cố “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều”
Bước 2: Tính không gian mẫu
Bước 3: Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố A.
Bước 4: Tính xác suất của biến cố A.
Bước 1:
Gọi A là biến cố “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều”.
Bước 2:
Số cách chọn 3 đỉnh bất kì trong 12 đỉnh là \(\left| \Omega \right| = C_{12}^3\).
Bước 3:
Để 3 đỉnh tạo thành 1 tam giác đều thì các đỉnh cách đều nhau. Do đó số cách chọn tam giác đều là \(\left| {{\Omega _A}} \right| = \dfrac{{12}}{3} = 4.\)
Bước 4:
Vậy xác suất là \(P = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{4}{{C_{12}^3}} = \dfrac{1}{{55}}.\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép quay tâm $O$ biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\). Khi đó nó biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm:
-
A.
\(M'\left( { - 1; - 1} \right)\)
-
B.
\(M'\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\(M'\left( { - 1;1} \right)\)
-
D.
\(M'\left( {1;0} \right)\)
Đáp án : B
Xác định góc quay.
Áp dụng công thức tính tọa độ ảnh của điểm \(M\left( {x;y} \right)\) qua phép quay tâm $O$ góc \(\alpha :\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.\)
Phép quay tâm $O$ biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\) là phép quay tâm $O$ góc \({90^0}\)
Gọi \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) qua phép quay tâm $O$ góc \({90^0}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos {90^0} + 1.\sin {90^0}\\y' = 1.\sin {90^0} - 1.\cos {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' = 1\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {1;1} \right)\)
Một đội văn nghệ chuẩn bị được $2$ vở kịch, $3$ điệu múa và $6$ bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày \(1\) vở kịch, $1$ điệu múa và \(1\) bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, các điệu múa, các bài hát là như nhau?
-
A.
$11$
-
B.
$36$
-
C.
$25$
-
D.
$18$
Đáp án : B
Chọn $1$ vở kịch có $2$ cách
Chọn $1$ điệu múa có $3$ cách.
Chọn $1$ bài hát có $6$ cách.
Vậy theo quy tắc nhân ta có: \(2.3.6 = 36\) cách
Trong mp\(\left( \alpha \right)\), cho bốn điểm \(A,B,C,D\) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm \(S \notin mp\left( \alpha \right)\). Có mấy mặt phẳng tạo bởi \(S\) và hai trong số bốn điểm nói trên?
-
A.
$4$.
-
B.
$5$.
-
C.
$6$.
-
D.
$8$.
Đáp án : C
Sử dụng điều kiện xác định mặt phẳng: Qua ba điểm không thẳng hàng, xác định duy nhất một mặt phẳng.
Điểm \(S\) cùng với hai trong số bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành một mặt phẳng, từ bốn điểm ta có $6$ cách chọn ra hai điểm, nên có tất cả $6$ mặt phẳng tạo bởi \(S\) và hai trong số bốn điểm nói trên.
Tìm hệ số của ${x^{12}}$ trong khai triển ${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}}.$
-
A.
$C_{10}^8.$
-
B.
$C_{10}^2{.2^8}.$
-
C.
$C_{10}^2.$
-
D.
$ - \,C_{10}^2{.2^8}.$
Đáp án : B
Sử dụng công thức tổng quát ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k\,=\,0}^{n}{C_{n}^{k}}.{{a}^{n\,-\,k}}.{{b}^{k}}\,\,\xrightarrow{{}}$ Tìm hệ số của số hạng cần tìm.
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có
${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {2x} \right)^{10\, - \,k}}.{\left( { - \,{x^2}} \right)^k} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.2^{10\, - \,k}}.{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{10\, + \,k}}.$
Hệ số của ${x^{12}}$ ứng với $10+k=12\Leftrightarrow k=2\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Hệ số cần tìm là $C_{10}^2{.2^8}.{\left( { - \,1} \right)^2} = C_{10}^2{.2^8}.$
Mọi phép dời hình cũng là phép đồng dạng tỉ số
-
A.
$k = 1$
-
B.
$k = -1$
-
C.
$k = 0$
-
D.
$k = 3$
Đáp án : A
Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\).
Hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $d$. Hai đường thẳng $a,b$ lần lượt nằm trong $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$ và đều cắt đường thẳng $d$. Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
Giao điểm của $a$ và $d$ là giao điểm của $a$ và mặt phẳng $\left( \beta \right)$
-
B.
Giao điểm của $b$ và $d$ là giao điểm của $b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
-
C.
Giao điểm của $b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nằm ngoài đường thẳng $d$
-
D.
Giao điểm của $a$ và mặt phẳng $\left( \beta \right)$ luôn nằm trên đường thẳng $d$
Đáp án : C
Ta tìm giao tuyến của đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ :
+ Tìm một mặt phẳng chứa $b$ thích hợp
+ Tìm giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
+ Tìm giao điểm của giao tuyến đó với đường thẳng $b$
+ Ta có $\left( \beta \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng b
+ Giao tuyến của $\left( \beta \right)$ và $\left( \alpha \right)$ là $d$
+ Giao điểm của $d$ và $b$ là $M$
$ \Rightarrow M$ là giao điểm của $b$ và $\left( \alpha \right)$
Vậy $M$ nằm trên đường thẳng $d$
Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $M,N$ là hai điểm lần lượt thuộc cạnh $AB$ và \(CD;\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua $MN$ và song song với $SA$ . Tìm điều kiện của $MN$ để thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp\(\left( \alpha \right)\) là một hình thang.
-
A.
$MN$ và $BC$ đồng phẳng
-
B.
$MN$ và $BC$ song song với nhau
-
C.
$ABCD$ là hình thang và $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$
-
D.
Đáp án khác
Đáp án : B
- Xác định thiết diện dựa vào yếu tố song song với $SA$.
- Để một tứ giác trở thành hình thang cần thêm điều kiện một cặp cạnh đối song song.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha \right) = MQ\parallel SA\,\,\left( {Q \in SB} \right).\)
Trong (ABCD), gọi \(I = MN \cap AC\). Ta có:
\(\begin{array}{l}I \in MN,\,MN \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow I \in \left( \alpha \right).\\I \in AC,\,AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow T \in \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right).\end{array}\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( \alpha \right) = IP\parallel SA\,\,\left( {P \in SC} \right).\)
Thiết diện là tứ giác $MNPQ$ .
Để tứ giác $MNPQ$ là hình thang thì cần $MQ//NP$ hoặc $MN//PQ$ .
Trường hợp 1: Nếu $MQ//NP$ thì
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel NP\\MQ\parallel SA\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel NP,\) mà \(NP \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow SA\parallel \left( {SCD} \right)\) (Vô lí).
Trường hợp 2: Nếu $MN//PQ$ thì ta có các mặt phẳng $\left( {ABCD} \right),\left( \alpha \right),\left( {SBC} \right)$ đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $MN,BC,PQ$ nên $MN//BC$.
Đảo lại nếu $MN//BC$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right)\\MN \subset \left( \alpha \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow PQ\parallel MN\parallel BC\) nên tứ giác $MNPQ$ là hình thang.
Vậy tứ giác $MNPQ$ là hình thang thì điều kiện là $MN//BC$ .
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q > 0\) . Biết \({u_2} = 4;{u_4} = 9\) .
-
A.
\({u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
B.
\({u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\({u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\({u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
Đáp án : B
Sử dụng định nghĩa cấp số nhân:
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) (hữu hạn hoặc vô hạn) là cấp số nhân \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = q.{u_n},\forall n \ge 1,n \in {N^*}\)
Ta có \({u_2} = 4 = {u_1}.q\) và \({u_4} = 9 = {u_1}.{q^3}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow \dfrac{9}{4} = {q^2} \) \(\Rightarrow q = \dfrac{3}{2}{\rm{ }}\left( {q > 0} \right) \Rightarrow {u_1} = \dfrac{8}{3}\)
Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) luôn đi qua điểm nào dưới đây?
-
A.
\(O\left( {0;0} \right)\)
-
B.
\(M\left( {0;1} \right)\)
-
C.
\(N\left( {\dfrac{\pi }{2};0} \right)\)
-
D.
\(P\left( {1;0} \right)\)
Đáp án : A
Điểm thuộc đồ thị hàm số nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình hàm số.
Nếu \(x = 0\) thì \(y = \tan 0 = 0\) nên điểm \(O\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = \tan x\)
B sai vì khi thay hoành độ của điểm M vào ta được $y=\tan x=\tan 0=0\ne 1$
C sai vì với $x=\dfrac{\pi}{2}$, không tồn tại $\tan \dfrac{\pi}{2}$
D sai vì với $x=1$ thì ta được $y=\tan 1 \ne 0$
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}}\). Dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng khi:
-
A.
a = 2
-
B.
a > 2
-
C.
a < 2
-
D.
a > 1
Đáp án : B
Xét hiệu \(A={x_{n + 1}} - {x_n} \) và kết luận:
+ Nếu $A>0$ thì dãy tăng.
+ Nếu $A<0$ thì dãy giảm.
Ta có \({x_{n + 1}} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{n + 3}}.\)
Xét hiệu
\(\begin{array}{l}{x_{n + 1}} - {x_n} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{n + 3}} - \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}} = \dfrac{{\left( {an + a + 4} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {an + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{a{n^2} + 2an + an + 2a + 4n + 8 - a{n^2} - 3an - 4n - 12}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{2a - 4}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\end{array}\)
Để \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng khi và chỉ khi \({x_{n + 1}} - {x_n} > 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow 2a - 4 > 0 \Leftrightarrow a > 2.\)
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:
-
A.
\({P_n} = n!\)
-
B.
\({P_n} = n\)
-
C.
\({P_n} = \left( {n - 1} \right)!\)
-
D.
\({P_n} = {n^2}\)
Đáp án : A
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là \({P_n} = n!\)
Tìm chu kì của các hàm số sau \(f\left( x \right) = \sin 2x + \sin x\)
-
A.
\({T_0} = 2\pi \)
-
B.
\({T_0} = 3\pi \)
-
C.
\({T_0} = \pi \)
-
D.
\({T_0} = \dfrac{\pi }{4}\)
Đáp án : A
Hàm số \(y = {f_1}\left( x \right),y = {f_2}\left( x \right)\) lần lượt có chu kỳ \({T_1},{T_2}\) thì hàm số \(y = {f_1}\left( x \right) \pm {f_2}\left( x \right)\) có chu kỳ \({T_0} = BCNN\left( {{T_1},{T_2}} \right)\)
Hàm số \(y = \sin 2x\) có chu kì \({T_1} = \dfrac{{2\pi }}{2} = \pi \) và hàm số \(y = \sin x\) có chu kì \({T_2} = 2\pi \).
Vậy chu kì của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(T = BCNN\left( {{T_1},{T_2}} \right) = 2\pi \).
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
-
A.
$ - 3;1;5;9;14$
-
B.
$5;2; - 1; - 4; - 7$
-
C.
\(\dfrac{5}{3},1,\dfrac{1}{3}, - \dfrac{1}{3}, - 3\)
-
D.
\( - \dfrac{7}{2}, - \dfrac{5}{2}, - 2; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\)
Đáp án : B
Cấp số cộng là một dãy số mà hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một số không đổi.
Kiểm tra từng đáp án cho đến khi tìm được đáp án đúng.
Đáp án A: \(1 - \left( { - 3} \right) = 5 - 1 = 9 - 5 = 4 \ne 14 - 9 = 5\)
Đáp án B:
\(2 - 5 = \left( { - 1} \right) - 2 = \left( { - 4} \right) - \left( { - 1} \right) \) \(= \left( { - 7} \right) - \left( { - 4} \right) = - 3 \)
Đáp án B là 1 cấp số cộng.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}}\). Số \(\dfrac{8}{{15}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
-
A.
\(8.\)
-
B.
\(6.\)
-
C.
\(5.\)
-
D.
\(7.\)
Đáp án : D
Giải phương trình \({u_n} = \dfrac{8}{{15}}\) để tìm \(n\) và suy ra đáp án.
\({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \dfrac{8}{{15}} \Leftrightarrow 15n + 15 = 16n + 8 \Leftrightarrow n = 7.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({x_3} + {x_{13}} = 80.\) Tính tổng ${S_{15}}$ của $15$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó?
-
A.
${S_{15}} = 600$
-
B.
${S_{15}} = 800$
-
C.
${S_{15}} = 570$
-
D.
${S_{15}} = 630$
Đáp án : A
Sử dụng công thức số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) và áp dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu tiên của CSC: \({S_n} = \dfrac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}\)
Ta có \({x_3} + {x_{13}} = 80 \Leftrightarrow {x_1} + 2d + {x_1} + 12d = 80 \Leftrightarrow 2{x_1} + 14d = 80\)
\({S_{15}} = \dfrac{{15\left( {2{x_1} + 14d} \right)}}{2} = \dfrac{{15.80}}{2} = 600\) .
Phương trình \(\sqrt 3 \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : B
Giải phương trình lượng giác đặc biệt \(\cot x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\).
ĐKXĐ: \(\sin \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 5x - \dfrac{\pi }{8} \ne k\pi \) \( \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{{40}} + \dfrac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\)
Ta có:
\(\sqrt 3 \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 5x - \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) \(\Leftrightarrow 5x = \dfrac{{5\pi }}{8} + k\pi \) \(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\)
Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với \(d:2x\; - y = 0\) có tọa độ là:
-
A.
$A'\left( { - 2;7} \right)$
-
B.
\(A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
C.
\(A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
D.
\(A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)\)
Đáp án : B
- Viết phương trình đường thẳng $d’$ qua $A$ và vuông góc với $d.$
- Tìm giao điểm $H$ của $d$ và $d’.$ Khi đó $H$ là trung điểm của $AA’.$
Áp dụng công thức tìm tọa độ trung điểm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\end{array} \right.\)
Gọi \(A'\) là ảnh của $A$ qua phép đối xứng trục $d.$ Gọi $d’$ là đường thẳng đi qua $A $ và vuông góc với $d,$ khi đó phương trình $d’$ có dạng: $x + 2y + c = 0.$
Vì \(A \in d'\) nên \(4 + 2\left( { - 3} \right) + c = 0 \Rightarrow c = 2\). Khi đó \(\left( {d'} \right):x + 2y + 2 = 0\)
Gọi \(H = d \cap d' \Rightarrow H\left( { - \dfrac{2}{5}; - \dfrac{4}{5}} \right) \Rightarrow \) $H $ là trung điểm của $AA’.$ Khi đó
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - \dfrac{2}{5}} \right) - 4 = - \dfrac{{24}}{5}\\{y_{A'}} = 2\left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + 3 = \dfrac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_5} = 3,{u_6} = - 6$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
${u_7} = 12.$
-
B.
${u_7} = - 12.$
-
C.
${u_7} = - 2$
-
D.
\({u_7} = 18\)
Đáp án : A
Sử dụng tính chất của cấp số nhân \(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}},\forall k \ge 2\).
Ta có: \(u_6^2 = {u_5}.{u_7} \Rightarrow {u_7} = \dfrac{{u_6^2}}{{{u_5}}} = \dfrac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{3} = 12\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đồ thị của hàm số \(y = \sin x\). Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đồ thị đó thành chính nó
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép
Đáp án : D
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\).
$\sin a=0 \Leftrightarrow a=k\pi$
$\cos a =1\Leftrightarrow a=k2\pi$
Cách 1:
Ta có: \(y = \sin x = \sin \left( {x + k2\pi } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x + k2\pi \\y' = y\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {k2\pi ;0} \right)\)
Do \(k \in Z\) nên có vô số véc tơ \(\overrightarrow u \) như trên.
Cách 2: Gọi vectơ tịnh tiến là \(\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)\). Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x' = x + a\\
y' = y + b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x' - a\\
y = y' - b
\end{array} \right.\)
Do \(y = \sin x\) nên \(y' - b = \sin \left( {x' - a} \right)\) \( \Leftrightarrow y' = \sin \left( {x' - a} \right) + b\). Để \(\overrightarrow v \) biến đồ thị thành chính nó thì \(y' = \sin x'\) \(\forall x'\) \( \Leftrightarrow \sin x' = \sin \left( {x' - a} \right) + b\) \(\forall x'\).
Với \(x = 0 \Rightarrow 0 = - \sin a + b \Leftrightarrow \sin a = b\).
Với \(x = \pi \Rightarrow 0 = \sin a + b \Leftrightarrow \sin a = - b\).
Với \(x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow 1 = \cos a + b \Leftrightarrow \cos a = 1 - b\).
Từ đó, ta có: \( b = 0;a = k2\pi \)
Cho đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) như hình vẽ, số điểm chung của \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
vô số
Đáp án : B
Từ hình vẽ ta thấy \(d\) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại duy nhất một điểm.
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho parabol \(\left( P \right):y=4{x^2} - 7x + 3\). Phép đối xứng trục $Oy$ biến $\left( P \right)$ thành $\left( {P'} \right)$ có phương trình
-
A.
\(y = 4{x^2} + 7x - 3\)
-
B.
\(y = 4{x^2} + 7x + 3\)
-
C.
\(y = - 4{x^2} + 7x - 3\)
-
D.
\(y = - 4{x^2} - 7x + 3\)
Đáp án : B
Phép đối xứng trục $Oy$ có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right.\)
Thay vào phương trình $\left( P \right)$ để tìm phương trình $\left( {P'} \right)$ .
Phép đối xứng trục $Oy$ có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right.\)
Thay vào phương trình $\left( P \right)$ ta có: \(y = 4{\left( { - x} \right)^2} - 7\left( { - x} \right) + 3 = 4{x^2} + 7x + 3\)
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng \(a:\,\,2x + y + 5 = 0\) và \(b:\,\,x - 2y - 3 = 0\). Nếu có một phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc đó có thể là góc nào trong các góc cho dưới đây:
-
A.
\({45^0}\)
-
B.
\({90^0}\)
-
C.
\({120^0}\)
-
D.
\({60^0}\)
Đáp án : B
Xét mối quan hệ giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.
Ta có: \({\overrightarrow n _a} = \left( {2;1} \right),{\overrightarrow n _b} = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _a}.{\overrightarrow n _b} = 0 \Rightarrow a \bot b\)
Do đó tồn tại phép quay góc \({90^0}\) biến đường thẳng này thành đường thẳng kia
Cho tứ diện \(ABCD\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(AD \subset \left( {ABC} \right)\)
-
B.
\(AD \cap \left( {ABC} \right) = C\)
-
C.
\(AB \subset \left( {ABC} \right)\)
-
D.
\(AC//\left( {ABD} \right)\)
Đáp án : C
Vẽ hình và xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Từ hình vẽ ta thấy:
+) Đường thẳng \(AD\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) tại điểm duy nhất \(A\) nên đáp án A, B đều sai.
+) \(A \in \left( {ABC} \right),B \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB \subset \left( {ABC} \right)\) nên C đúng.
+) Đường thẳng \(AC\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) tại điểm duy nhất \(A\) nên D sai.
Cho hai đường thẳng \(a,b\) có một điểm chung duy nhất. Có thể kết luận gì về vị trí tương đối của hai đường thẳng đó?
-
A.
chéo nhau
-
B.
song song
-
C.
trùng nhau
-
D.
cắt nhau
Đáp án : D
Hai đường thẳng có một điểm chung duy nhất thì chúng cắt nhau.
Có bao nhiêu số tự nhiên $k$ thỏa mãn hệ thức: \(C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}\)
-
A.
$2$
-
B.
\(3\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(5\)
Đáp án : A
Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\,\,\)
ĐK: \(0 \le k \le 12\,\,\left( {k \in N} \right)\)
\(\begin{array}{l}C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}\\ \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {14 - k} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {12 - k} \right)!}}\left[ {\frac{1}{{\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}} - \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}} - \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right) + \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) - 2\left( {k + 2} \right)\left( {14 - k} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {k^2} + 3k + 2 + {k^2} - 27k + 182 + 2{k^2} - 24k - 56 = 0\\ \Leftrightarrow 4{k^2} - 48k + 128 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 8\,\,\left( {tm} \right)\\k = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy có $2$ giá trị của $k$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \cos x\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = k\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : A
- Biến đổi phương trình về dạng \(\sin x = \sin y\) hoặc \(\cos x = \cos y\)
Sử dụng công thức: $\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)=\cos x$
- Giải phương trình lượng giác cơ bản:
\(\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + k2\pi \\x = \pi - y + k2\pi \end{array} \right.\)
Ta có:
\(\sin 3x = \cos x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =\left( { \dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \\3x = \pi - \left( {\dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Giải phương trình \(\sqrt 3 \cos 5x - 2\sin 3x\cos 2x - \sin x = 0\) ta được nghiệm:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{{9}} + \dfrac{{k2\pi }}{3};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{6};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
C.
\(x = \pm\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{3};\,\,x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án : D
- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {sin\left( {a + b} \right) + sin\left( {a - b} \right)} \right]\).
- Giải phương trình lượng giác dạng \(a\sin x + b\cos x = c\).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt 3 \cos 5x - 2\sin 3x\cos 2x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \cos 5x - \left( {\sin 5x + \sin x} \right) - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \cos 5x - \sin 5x = 2\sin x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 5x - \dfrac{1}{2}\sin 5x = \sin x\\ \Leftrightarrow \sin \dfrac{\pi }{3}\cos 5x - \cos \dfrac{\pi }{3}\sin 5x = \sin x\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - 5x} \right) = \sin x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{3} - 5x = x + k2\pi \\\dfrac{\pi }{3} - 5x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{3}\\x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{3};\,\,x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho dãy số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ dãy số này lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 30000.
-
A.
\(360\)
-
B.
\(720\)
-
C.
\(1080\)
-
D.
\(920\)
Đáp án : B
Gọi số có 5 chữ số cần tìm là: \(\overline {abcde} \) (\(a,b,c,d,e\) đều thuộc dãy số đã cho).
Vì \(\overline {abcde} < 30000\), nên:
\(a\) có 2 cách chọn.
\(b\) có 6 cách chọn.
\(c\) có 5 cách chọn.
\(d\) có 4 cách chọn.
\(e\) có 3 cách chọn.
\( \Rightarrow \) Lập được tất cả số các số có 5 chữ số: \(2 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 720\) số.
Có bao nhiêu số có \(5\) chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số \(1,2,3,4,5\)?
-
A.
\(20\)
-
B.
\(10\)
-
C.
\(100\)
-
D.
\(120\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính số hoán vị của \(5\) phần tử.
Gọi số thỏa mãn bài toán là: \(\overline {abcde} \).
Mỗi số có \(5\) chữ số thỏa mãn bài toán là một hoán vị của \(5\) chữ số trên.
Số các số là \(5! = 120\) (số).
Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ tập \(X = \left\{ {6;7;8} \right\},\) trong đó chữ số 6 xuất hiện 2 lần, chữ số 7 xuất hiện 3 lần, chữ số 8 xuất hiện 4 lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S; tính xác suất để số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6.
-
A.
\(\dfrac{2}{5}\)
-
B.
\(\dfrac{{11}}{{12}}\)
-
C.
\(\dfrac{4}{5}\)
-
D.
\(\dfrac{{55}}{{432}}\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức xác suất \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\) với \(n\left( A \right)\) là số phân ftuwr của biến cố A và \(n\left( \Omega \right)\) là số phần tử của không gian mẫu.
+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là \(C_9^2\)
+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là \(C_7^3\)
+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là \(C_4^4\)
Số phần tử của tập S là \(n\left( \Omega \right) = C_9^2.C_7^3.C_4^4 = 1260\)
Gọi A là biến cố “Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”
TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại
Số cách sắp xếp là \(C_8^1.C_7^3.C_4^4 = 280\) cách
TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chứ số 6.
Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(686\) là 1 cụm thì có \(7\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có \(C_6^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.
Vậy có \(7.C_6^3.C_3^3 = 140\) số
Cách 2: Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(6886\) là 1 cụm thì có \(6\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có \(C_5^2\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.
Vậy có \(6.C_5^2.C_3^3 = 60\) số
Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(68886\) là 1 cụm thì có \(5\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có \(C_4^1\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.
Vậy có \(5.C_4^1.C_3^3 = 20\) số
Cách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(688886\) là 1 cụm thì có \(4\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.
Vậy có \(4C_3^3 = 4\) số
Vậy biến cố A có \(280 + 140 + 60 + 20 + 4 = 504\) phần tử
Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{504}}{{1260}} = \dfrac{2}{5}\)
Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền, mỗi người được sút một quả với xác suất bàn tương ứng là $0,8$ và $0,7$. Tính xác suất để chỉ có $1$ cầu thủ làm bàn.
-
A.
\(0,14\)
-
B.
\(0,38\)
-
C.
\(0,24\)
-
D.
\(0,62\)
Đáp án : B
Sử dụng các công thức tính xác suất.
- Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì \(P(AB) = P(A).P(B)\) .
- Nếu $A $ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .
- Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố đối nhau thì \(P\left( A \right) + P(B) = 1\)
Gọi $A$ là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi được bàn thắng.
Ta có \(P\left( A \right) = 0,8\) và \(P(\overline A ) = 0,2\)
Gọi $B$ là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi được bàn thắng.
Ta có \(P\left( B \right) = 0,7\) và \(P(\overline B) = 0,3\)
Ta xét hai biến cố xung khắc sau:
\(A\overline B\) “Chỉ có cầu thủ thứ nhất làm bàn”.
Ta có:
\(P\left( {A\overline B} \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B} \right) \) \(= 0,8.0,3 = 0,24\)
\(B\bar A\) “ Chỉ có cầu thủ thứ hai làm bàn” .
Ta có:
$P\left( {B\overline A} \right) = P\left( B \right).P\left( {\overline A} \right) $ $= 0,7.0,2 = 0,14$
Gọi $C$ là biến cố chỉ có $1$ cầu thủ làm bàn.
Ta có \(P(C) = 0,24 + 0,14 = 0,38\)
Giá trị của tổng $S = 1-2 + 3-4 + ... - 2n + \left( {2n + 1} \right)$ là:
-
A.
$1$
-
B.
$0$
-
C.
$5$
-
D.
$n + 1$
Đáp án : D
- Cách tính tổng S: Xác định số hạng cuối cùng (2n+1) trong tổng rồi thực hiện các phép toán cộng trừ xen kẽ từ 1 đến số đó.
- Dự đoán công thức tổng $S$ sau đó chứng minh công thức vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với $n = 0$ ta có: $S = 1$
Với $n = 1$ ta có $S = 1 – 2 + 3 = 2$
Với $n = 2$ ta có $S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3$
Dự đoán $S = n + 1 (*)$, ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng bằng quy nạp.
Với $n = 0$ đương nhiên $(*)$ đúng.
Giả sử $(*)$ đúng với $n = k$, tức là \({S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} \right) = k + 1\), ta chứng minh $(*)$ đúng với $n =k+1$.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} \right) + \left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + 2k + 1} \right) - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = {S_k} - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = k + 1 + 1.\end{array}\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$, tức là $S = n + 1$.
Dân số của thành phố A hiện nay là $3$ triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là $2\% $. Dân số của thành phố A sau $3$ năm nữa sẽ là:
-
A.
$3183624$
-
B.
$2343625$
-
C.
$2343626$
-
D.
$2343627$
Đáp án : A
Sử dụng công thức tổng quát của cấp số nhân để tính số hạng thứ ba của dãy.
Theo giả thiết thì mỗi năm số dân của thành phố A tăng \(2\% \) nghĩa là dân số năm sau gấp năm trước \(1 + 2\% = 1,02\) lần nên số dân theo các năm liên tiếp lập thành cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = {3.10^6}\) và công bội \(q = 1 + 0,02 \)
\(\Rightarrow {u_n} = {3.10^6}{\left( {1 + 0,02} \right)^n} \Rightarrow {u_3} = {3.10^6}{\left( {1 + 0,02} \right)^3} = 3183624\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai đường thẳng song song $a$ và $a'$ lần lượt có phương trình \(2x - 3y - 1 = 0\) và \(2x - 3y + 5 = 0\). Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây không biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $a'$ ?
-
A.
$\overrightarrow u \left( {0;2} \right)$
-
B.
\(\overrightarrow u \left( { - 3;0} \right)\)
-
C.
\(\overrightarrow u \left( {3;4} \right)\)
-
D.
\(\overrightarrow u \left( { - 1;1} \right)\)
Đáp án : D
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\) rút ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = x' - a\\y = y' - b\end{array} \right.\)
- Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = x' - a\\y = y' - b\end{array} \right.\) vào phương trình đường thẳng \(a\) và suy ra phương trình đường thẳng \(a'\) theo \(a\) và \(b\).
- Đồng nhất hệ số suy ra công thức biểu thị mối quan hệ giữa \(a\) và \(b\).
- Thử từng đáp án vào công thức trên và suy ra đáp án đúng.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - a\\y = y' - b\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {x' - a} \right) - 3\left( {y' - b} \right) - 1 = 0\) hay $2x' - 3y' - 2a + 3b - 1 = 0$.
Muốn đường thẳng này trùng với đường thẳng $a':2x - 3y + 5 = 0$ ta phải có $ - 2a + 3b - 1 = 5$ hay $ - 2a + 3b = 6$. Vectơ $\overrightarrow u $ ở phương án D không thỏa mãn điều kiện đó.
Cho điểm $M$ và hai phép đối xứng tâm \({O_1}\) và \({O_2}\). Gọi \({D_{{O_1}}}\left( M \right) = {M_1},{D_{{O_2}}}\left( {{M_1}} \right) = {M_2}\), trong các đẳng thức vec tơ sau, đẳng thức nào đúng?
-
A.
\(\overrightarrow {M{M_2}} = 2\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \)
-
B.
\(\overrightarrow {M{M_2}} = - 2\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \)
-
C.
\(\overrightarrow {M{M_2}} = \overrightarrow {{O_1}{O_2}} \)
-
D.
\(\overrightarrow {M{M_2}} = - \overrightarrow {{O_1}{O_2}} \)
Đáp án : A
\({D_{{O_1}}}\left( M \right) = {M_1} \Rightarrow {O_1}\) là trung điểm của \(M{M_1}\)
\({D_{{O_2}}}\left( {{M_1}} \right) = {M_2} \Rightarrow {O_2}\) là trung điểm của \({M_1}{M_2}\)
\({D_{{O_1}}}\left( M \right) = {M_1} \Rightarrow {O_1}\) là trung điểm của \(M{M_1}\)
\({D_{{O_2}}}\left( {{M_1}} \right) = {M_2} \Rightarrow {O_2}\) là trung điểm của \({M_1}{M_2}\)
\( \Rightarrow {O_1}{O_2}\) là đường trung bình của tam giác \(M{M_1}{M_2}\)
\( \Rightarrow {O_1}{O_2}//M{M_2}\) và \(2{O_1}{O_2} = M{M_2}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {M{M_2}} = 2\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(BC.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là:
-
A.
\(SD.\)
-
B.
\(SO{\rm{ }}(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD).\)
-
C.
\(SG{\rm{ }}(G\) là trung điểm \(AB).\)
-
D.
\(SF{\rm{ }}(F\) là trung điểm \(CD).\)
Đáp án : B
- Tìm điểm chung dễ thấy của hai mặt phẳng.
- Tìm điểm chung thứ hai bằng cách tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà chúng cắt nhau.
\( \bullet \) \(S\)là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right).\)
\( \bullet \) Gọi \(O = AC \cap BD\) là tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(T = AC \cap MN\) $ \Rightarrow T \equiv O$
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\\O \in MN \subset \left( {SMN} \right) \Rightarrow O \in \left( {SMN} \right)\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow O\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right).\)
Vậy \(\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(SA\), \(SC,\) \(OB\). Gọi \(Q\) là giao điểm của \(SD\) với \(mp\left( {MNP} \right)\). Tính \(\dfrac{{SQ}}{{SD}}.\)
-
A.
\(\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{1}{4}.\)
-
B.
\(\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{1}{3}.\)
-
C.
\(\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{1}{5}.\)
-
D.
\(\dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{6}{{25}}.\)
Đáp án : A
Bước 1: Tìm điểm Q.
Bước 2: Tính \(\dfrac{{NC}}{{NS}}\) và \(\dfrac{{HD}}{{HC}}\).
Bước 3: Sử dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SCD\) với cát tuyến \(QNH\) để tính \(\dfrac{{SQ}}{{SD}}\)
Định lý: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi \(\dfrac{{FA}}{{FB}}.\dfrac{{DB}}{{DC}}.\dfrac{{EC}}{{EA}} = 1\).
Bước 1:
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) lấy \(PH\parallel AC\)\((H \in CD)\)
=> \(PH||MN\) (Do \(AC||MN\))\( \Rightarrow H \in \left( {PMN} \right)\)\( \Rightarrow NH \subset \left( {PMN} \right)\)
Trong \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(Q = NH \cap SD\)
Mà \(NH \subset \left( {PMN} \right)\)=> \(Q \in \left( {PMN} \right)\)
Khi đó \(Q\) là giao điểm của \(SD\) với \(mp\left( {MNP} \right)\)
Bước 2:
Mà \(N\) là trung điểm của \(SC \Rightarrow \dfrac{{NC}}{{NS}} = 1\).
Mặt khác áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác \(DPH\) ta có \(\dfrac{{HD}}{{HC}} = \dfrac{{DP}}{{OP}} = 3\) (vì \(P\) là trung điểm của \(OB\)).
Bước 3:
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SCD\) với cát tuyến \(QNH\) ta có: \(\dfrac{{HD}}{{HC}}.\dfrac{{NC}}{{NS}}.\dfrac{{QS}}{{QD}} = 1\)
Do đó ta có \(\dfrac{{QS}}{{QD}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{SQ}}{{SD}} = \dfrac{1}{4}\)
Cho tứ diện \(ABCD\,.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(AC,\) \(E\) là điểm trên cạnh \(CD\) với \(ED = 3EC.\) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\) và tứ diện \(ABCD\) là:
-
A.
Tam giác \(MNE.\)
-
B.
Tứ giác \(MNEF\) với \(F\) là điểm bất kì trên cạnh \(BD.\)
-
C.
Hình bình hành \(MNEF\) với \(F\) là điểm trên cạnh \(BD\) mà \(EF//BC.\)
-
D.
Hình thang \(MNEF\) với \(F\) là điểm trên cạnh \(BD\) mà \(EF//BC.\)
Đáp án : D
Sử dụng định lý ba giao tuyến song song: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến, nếu có hai đường thẳng song song thì đường thẳng thứ ba cũng song song với chúng.
Tam giác \(ABC\) có \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\,.\)
Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow \,\,MN\)//\(BC\,.\)
Từ \(E\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(BC\) và cắt \(BD\) tại \(F\,\, \Rightarrow \,\,EF\)//\(BC.\)
Do đó \(MN//EF\) suy ra bốn điểm \(M,\,\,N,\,\,E,\,\,F\) đồng phẳng và \(MNEF\) là hình thang.
Vậy hình thang \(MNEF\) là thiết diện cần tìm.
Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: \({x^4} - 10{x^2} + 2{m^2} + 7m = 0\), tính tổng lập phương của hai giá trị đó.
-
A.
\( - \dfrac{{343}}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{{721}}{8}\)
-
C.
\( - \dfrac{{721}}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{343}}{8}\)
Đáp án : C
Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn $t$.
Tìm điều kiện của $m$ để phương trình bậc hai ẩn $t$ có hai nghiệm dương phân biệt.
Sử dụng tính chất của cấp số cộng \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\) để suy ra mối quan hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn $t$
Sử dụng định lý Vi-et.
Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - 10t + 2{m^2} + 7m = 0\) (*)
Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 2{m^2} - 7m > 0\\10 > 0\\2{m^2} + 7m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < 2{m^2} + 7m < 25\)
Với điều kiện trên thì (*) có 2 nghiệm phân biệt dương là \({t_1},{t_2}\,\,\left( {{t_1} < {t_2}} \right)\). Do đó phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau \( - \sqrt {{t_2}} , - \sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_2}} \).
Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng thì \( - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_2}} \Leftrightarrow 9{t_1} = {t_2}\)
Mà theo định lí Vi-et ta có \({t_1} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow 9{t_2} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow {t_2} = 1 \Rightarrow {t_1} = 9\)
Lại có \({t_1}{t_2} = 2{m^2} + 7m = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - \dfrac{9}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
Do đó \({1^3} + {\left( { - \dfrac{9}{2}} \right)^3} = - \dfrac{{721}}{8}\)
Giải phương trình \(\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2\).
-
A.
\(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
B.
\(x = \dfrac{2\pi }{{3}} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
C.
\(x =\dfrac{{\pi }}{3} + 2k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
D.
\(x = \dfrac{k\pi }{{3}} \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án : A
- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).
- Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\).
- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc ba đối với 1 hàm số lượng giác.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}\cos 2x\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) + 2\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}\cos 2x\cos 4x + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}2x + 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = \dfrac{1}{2}{\cos ^2}2x + 2\\ \Leftrightarrow 3\cos 4x\cos 2x + 2\cos 4x = {\cos ^2}2x + 4\\ \Leftrightarrow 3\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right)\cos 2x + 2\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right) = {\cos ^2}2x + 4\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}2x - 3\cos 2x + 4{\cos ^2}2x - 2 = {\cos ^2}2x + 4\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^3}2x + 3{\cos ^2}2x - 3\cos 2x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^3}2x + {\cos ^2}2x - \cos 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{{\cos }^3}2x - 1} \right) + \cos 2x\left( {\cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {{{\cos }^2}2x + \cos 2x + 1} \right) + \cos 2x\left( {\cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}2x + 2\cos 2x + 2 + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}2x + 3\cos 2x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện $6.C_{n\, + \,1}^{n\, - \,1} = A_n^2 + 160.$ Tìm hệ số của ${x^7}$ trong khai triển $\left( {1 - 2{x^3}} \right){\left( {2 + x} \right)^n}.$
-
A.
$ - \,2224.$
-
B.
$2224.$
-
C.
$1996.$
-
D.
$ - \,1996.$
Đáp án : A
- Tìm $n$ bằng các công thức ${P_n} = n!;\,\,A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}$ và $C_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!.k!}}.$
- Sử dụng công thức tổng quát ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k\,=\,0}^{n}{C_{n}^{k}}.{{a}^{n\,-\,k}}.{{b}^{k}}\,\,\xrightarrow{{}}$ Tìm hệ số của số hạng cần tìm.
Điều kiện: $n \ge 2$
Từ giả thiết, ta có
$6.C_{n\, + \,1}^{n\, - \,1} = A_n^2 + 160 $ $\Leftrightarrow 6.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!.2!}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 160.$
$ \Leftrightarrow 3n\left( {n + 1} \right) = n\left( {n - 1} \right) + 160 $ $\Leftrightarrow 2{n^2} + 4n - 160 = 0 \Leftrightarrow n = 8$ (vì điều kiện $n \ge 2$).
Khi đó, ta được khai triển $\left( {1 - 2{x^3}} \right){\left( {2 + x} \right)^8} = {\left( {2 + x} \right)^8} - 2{x^3}{\left( {2 + x} \right)^8}.$
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có
${\left( {2 + x} \right)^8} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^k}.$
Suy ra hệ số của ${x^7}$ ứng với $k = 7.$
$\,\xrightarrow{{}}$ Hệ số của ${x^7}$ trong khai triển ${\left( {2 + x} \right)^8}$ là $2.C_8^7.$
${x^3}{\left( {2 + x} \right)^8} = {x^3}.\sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^{k\, + \,3}}.$
Suy ra hệ số của ${x^7}$ ứng với $k + 3 = 7 \Leftrightarrow k = 4.$
$\xrightarrow{{}}$ Hệ số của ${x^7}$ trong khai triển ${x^3}{\left( {2 + x} \right)^8}$ là ${2^4}.C_8^4.$
Vậy hệ số cần tìm là $2.C_8^7 - {2.2^4}.C_8^4 = - \,2224.$
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 4,BC = AD = 5,AC = BD = 6\). \(M\) là điểm thay đổi trong tâm giác \(ABC\). Các đường thẳng qua \(M\) song song với \(AD,BD,CD\) tương ứng cắt mặt phẳng \(\left( {BCD} \right),\left( {ACD} \right),\left( {ABD} \right)\) tại \(A',B',C'\). Giá trị lớn nhất của \(MA'.MB'.MC'\) là
-
A.
\(\dfrac{{40}}{9}\)
-
B.
\(\dfrac{{24}}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{{30}}{9}\)
-
D.
\(\dfrac{{20}}{9}\)
Đáp án : A
- Kéo dài \(AM,BM,CM\) cắt các đoạn thẳng \(BC,CA,AB\) lần lượt tại \(H,G,F\).
- Dựng các đường thẳng qua \(M\) và song song với \(AD,BD,CD\) suy ra các điểm \(A',B',C'\).
- Sử dụng định lý Ta – let tính \(MA',MB',MC'\).
- Sử dụng hệ thức \(\dfrac{{{A_1}M}}{{AM}} + \dfrac{{{B_1}M}}{{BM}} + \dfrac{{{C_1}M}}{{CM}} = 1\) đánh giá GTLN của tích \(MA'.MB'.MC'\).
ở đó, \(M\) là một điểm nằm trong tam giác \(ABC\) và \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là các giao điểm của \(AM,BM,CM\) với các cạnh \(BC,CA,AB\).
Trong tam giác \(ABC\), kéo dài \(AM,BM,CM\) cắt các đoạn thẳng \(BC,CA,AB\) lần lượt tại \(H,G,F\).
+) Trong mặt phẳng \(\left( {HAD} \right)\), kẻ \(MA'//AD\).
+) Trong mặt phẳng \(\left( {GBD} \right)\), kẻ \(MB'//BD\).
+) Trong mặt phẳng \(\left( {FCD} \right)\), kẻ \(MC'//CD\).
Từ đó ta được các điểm \(A',B',C'\) cần tìm.
Theo định lý Ta – let ta có: \(\dfrac{{MA'}}{{AD}} = \dfrac{{HM}}{{HA}} \Rightarrow MA' = 5.\dfrac{{MH}}{{AH}}\)
\(\dfrac{{MB'}}{{BD}} = \dfrac{{GM}}{{GB}} \Rightarrow MB' = 6.\dfrac{{MG}}{{BG}}\); \(\dfrac{{MC'}}{{CD}} = \dfrac{{FM}}{{FC}} \Rightarrow MC' = 4.\dfrac{{MF}}{{CF}}\)
\( \Rightarrow MA'.MB'.MC' = 120.\dfrac{{MH}}{{AH}}.\dfrac{{MG}}{{BG}}.\dfrac{{MF}}{{CF}}\).
Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(1 = \dfrac{{MH}}{{AH}} + \dfrac{{MG}}{{BG}} + \dfrac{{MF}}{{CF}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{MH}}{{AH}}.\dfrac{{MG}}{{BG}}.\dfrac{{MF}}{{CF}}}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{MH}}{{AH}}.\dfrac{{MG}}{{BG}}.\dfrac{{MF}}{{CF}} \le \dfrac{1}{{27}}\)
Do đó \(MA'.MB'.MC' = 120.\dfrac{{MH}}{{AH}}.\dfrac{{MG}}{{BG}}.\dfrac{{MF}}{{CF}} \le 120.\dfrac{1}{{27}} = \dfrac{{40}}{9}\)\( \Rightarrow {\left( {MA'.MB'.MC'} \right)_{\max }} = \dfrac{{40}}{9}\)
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm $A$ cố định. Một điểm $M$ thay đổi trên \(\left( {O;R} \right)\), gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$ . Khi $M$ thay đổi trên \(\left( {O;R} \right)\), tập hợp các điểm $N$ là:
-
A.
Đường tròn tâm $A$ bán kính $R$
-
B.
Đường tròn tâm $O$ bán kính $2R$
-
C.
Đường tròn tâm $I$ bán kính \(\dfrac{R}{2}\) với $I$ là trung điểm của $AO$
-
D.
Đường tròn đường kính $AO$ .
Đáp án : C
Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow {AN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AM} \)
\( \Rightarrow \) Phép vị tự \({V_{\left( {A;\frac{1}{2}} \right)}}\left( M \right) = N\)
Vậy khi $M$ thay đổi trên \(\left( {O;R} \right)\) thì điểm $N$ thay đổi trên đường tròn \(\left( T \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) qua phép vị tự \({V_{\left( {A;\frac{1}{2}} \right)}}\).
Gọi $I$ là ảnh của $O$ qua \({V_{\left( {A;\frac{1}{2}} \right)}}\) ta có \(\overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AO} \Rightarrow I\) là trung điểm của $OA$ .Vậy \(\left( T \right)\) là đường tròn tâm $I$ bán kính \(\dfrac{R}{2}\) với $I$ là trung điểm của $AO$ .
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
