Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 5
Đề bài
Một hình hộp đứng có hai đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(4\)
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(4{a^3}\), đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng \({a^2}\). Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
-
A.
\(12a\)
-
B.
\(6a\)
-
C.
\(3a\)
-
D.
\(4a\)
Cho hàm số $y = \dfrac{5}{{x - 2}}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
Hàm số đồng biến trên $R\backslash \left\{ 2 \right\}$
-
B.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2; + \infty } \right)$
-
C.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; 2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$
-
D.
Hàm số nghịch biến trên $R$
Bất phương trình \({\left( {\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 2x}} \le {\left( {\sqrt 2 } \right)^3}\) có tập nghiệm là:
-
A.
\(\left[ { - 2;1} \right]\)
-
B.
\(\left( {2;5} \right)\)
-
C.
\(\left[ { - 1;3} \right]\)
-
D.
\(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Cho hình đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) có cạnh bằng a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
\(S = 4{a^2}\).
-
B.
\(S = 10{a^2}\).
-
C.
\(S = 6{a^2}\).
-
D.
\(S = 8{a^2}\).
Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận?
-
A.
\(y = \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + 3x + 6}}\)
-
B.
\(y = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}}\)
-
C.
\(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\)
-
D.
\(y = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên:
Hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng:
-
A.
\(\left( {1;\,2} \right)\)
-
B.
\(\left( {2;\,\,3} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 1;\,\,0} \right)\)
-
D.
\(\left( { - 1;\,\,1} \right)\)
Khi quay hình chữ nhật \(MNPQ\) quanh đường thẳng \(AB\) với \(A,B\) lần lượt là trung điểm của \(MN,PQ\) ta được một hình trụ có đường kính đáy:
-
A.
\(MA\)
-
B.
\(AB\)
-
C.
\(MQ\)
-
D.
\(MN\)
Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}\left( {x - 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(\left( {1; + \infty } \right)\)
-
B.
\(\left[ {1; + \infty } \right)\)
-
C.
\(\left( {0; + \infty } \right)\)
-
D.
\(\mathbb{R}\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến nếu \(a > 1\).
-
B.
Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nghịch biến nếu \(0 < a < 1\).
-
C.
Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến nếu \(0 < a < 1\).
-
D.
Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) luôn nghịch biến trên \(R\).
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?
-
A.
\(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\)
-
B.
\(y = \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}\)
-
C.
\(y = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\)
-
D.
\(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\)
Cho số nguyên dương $n \ge 2$, số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số thực $b$ nếu:
-
A.
${b^n} = a$
-
B.
${a^n} = b$
-
C.
${a^n} = {b^n}$
-
D.
${n^a} = b$
Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{1}{2}$.
-
A.
$\left\{ { - 1;2} \right\}.$
-
B.
$\left\{ {0;1} \right\}.$
-
C.
$\left\{ { - 1;0} \right\}.$
-
D.
$\left\{ { - 2;1} \right\}.$
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{m{x^2}}}{3} + 4$ đạt cực đại tại $x = 2?$
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = 2$
-
C.
$m = 3$
-
D.
$m = 4$
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
${\log _2}16 = {\log _3}81$
-
B.
${\log _3}9 = 3$
-
C.
${\log _4}16 = {\log _2}8$
-
D.
${\log _2}4 = {\log _3}6$
Tính giá trị của biểu thức \({3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{25^{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\) có kết quả là:
-
A.
\(25\)
-
B.
\(15\)
-
C.
\(9\)
-
D.
\(5\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $R$ có bảng biến thiên:
Bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào?
-
A.
$y = {x^4} - 2{x^2}$
-
B.
$y = - {x^4} + 2{x^2}$
-
C.
$y = - {x^4} - 2{x^2} - 3$
-
D.
$y = - {x^4} - 2{x^2} + 1$
Cho hai hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng \(a\). Cần bổ sung thêm điều kiện gì để hai hình chóp đó bằng nhau?
-
A.
chung đỉnh
-
B.
cạnh bên bằng nhau
-
C.
khoảng cách \(2\) đỉnh bằng \(a\)
-
D.
không cần bổ sung điều kiện gì
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\).
-
A.
\(P = 2\sqrt 6 - 5\).
-
B.
\(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}\).
-
C.
\(P = {\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2020}}\).
-
D.
\(P = 2\sqrt 6 + 5\).
Hình trụ có bán kính \(r = 5cm\) và chiều cao \(h = 3cm\) có diện tích toàn phần gần với số nào sau đây?
-
A.
\(251,3c{m^2}\)
-
B.
\(141,3c{m^2}\)
-
C.
\(172,8c{m^2}\)
-
D.
\(125,7c{m^2}\)
Giải bất phương trình \({\log _{0,7}}\left( {{{\log }_6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}}} \right) < 0\)
-
A.
\(\left( { - 4; - 3} \right) \cup \left( {8; + \infty } \right)\)
-
B.
\(\left( { - 4; - 3} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 4; + \infty } \right)\)
-
D.
\(\left( {8; + \infty } \right)\)
Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - x + 1}}{{2x - 3}}\) là:
-
A.
\(\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\)
-
B.
\(\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
-
C.
\(\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\)
-
D.
\(\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\)
Công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\), độ dài đường sinh \(l\) và chiều cao \(h\) là:
-
A.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi rl\)
-
B.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}l\)
-
C.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)
-
D.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi rh\)
Xét hàm số \(y = {x^\alpha }\) trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\) có đồ thị dưới đây, chọn kết luận đúng:
-
A.
\(\alpha = 0\)
-
B.
\(\alpha = 1\)
-
C.
\(\alpha > 1\)
-
D.
\(0 < \alpha < 1\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
A.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$
-
B.
GTNN của hàm số bằng giá trị cực tiểu của hàm số.
-
C.
Hàm số không có GTNN.
-
D.
Hàm số có GTLN là $3$.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Chọn kết luận đúng:
-
A.
Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$
-
B.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$
-
C.
Hàm số đồng biến trên $R$.
-
D.
Hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
Nếu điểm cực đại của đồ thị hàm số bậc ba nằm ở trục hoành thì:
-
A.
điểm cực tiểu cũng nằm ở trục hoành
-
B.
điểm cực tiểu nằm phía trên trục hoành.
-
C.
điểm cực tiểu nằm bên trái trục tung.
-
D.
điểm cực tiểu nằm dưới trục hoành.
Điều kiện để ${\log _a}b$ có nghĩa là:
-
A.
$a < 0,b > 0$
-
B.
$0 < a \ne 1,b < 0$
-
C.
$0 < a \ne 1,b > 0$
-
D.
$0 < a \ne 1,0 < b \ne 1$
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
${{e}^{\ln 2}}+\ln ({{e}^{2}}.\sqrt[3]{e})=\dfrac{10}{3}$
-
B.
\({e^{\ln 2}} + \ln ({e^2}.\sqrt[3]{e}) = \dfrac{{13}}{3}\)
-
C.
${e^{\ln 2}} + \ln ({e^2}.\sqrt[3]{e}) = \dfrac{{15}}{3}$
-
D.
${e^{\ln 2}} + \ln ({e^2}.\sqrt[3]{e}) = 4$
Giải phương trình $\log_{3}\left( {2x-1} \right) = 2$ , ta có nghiệm là:
-
A.
$x = 15$
-
B.
$x = \dfrac{1}{5}$
-
C.
$x = 25$
-
D.
$x = 5$
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
-
A.
\(0\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(-3\)
Hình dưới là đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\). Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
-
B.
\(\left( {1;2} \right)\)
-
C.
\(\left( {2; + \infty } \right)\)
-
D.
\(\left( {0;1} \right)\)
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ có $2$ điểm cực trị $A,\;B.$ Diện tích tam giác $OAB\;$ với $O(0;0)$ là gốc tọa độ bằng:
-
A.
\(2\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(3\)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$
-
A.
$M = - 10$
-
B.
$M = - 7$
-
C.
$M = - 5$
-
D.
$M = 1$
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?
-
A.
$y = {x^3} - 2{x^2} + x - 2$
-
B.
$y = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}$
-
C.
$y = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}$
-
D.
$y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1$
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 2}}{{x - 2}}\) có đồ thị là\(\left( C \right)\), \(M\)là điểm thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\)cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) thỏa mãn \(AB = 2\sqrt 5 \). Gọi \(S\) là tổng các hoành độ của tất cả các điểm \(M\)thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của \(S\).
-
A.
\(6\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(8\)
-
D.
\(7\)
Đơn giản biểu thức $P = \left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} - {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} + {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\,\,\,\,(a,b > 0)$ ta được:
-
A.
$P = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$
-
B.
$P = a + b$
-
C.
\(P = a - b\)
-
D.
$P = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$
Đơn giản biểu thức $A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}$ ta được:
-
A.
$A = a$
-
B.
$A = - a$
-
C.
$A = \dfrac{1}{a}$
-
D.
$A = {a^{2\sqrt 2 - 1}}$
Tìm TXĐ của hàm số \(y = {\left( {{x^3} - 27} \right)^{\dfrac{\pi }{2}}}\)
-
A.
\(D = R\backslash \left\{ 2 \right\}\)
-
B.
\(D = R\)
-
C.
\(D = \left[ {3; + \infty } \right)\)
-
D.
\(D = \left( {3; + \infty } \right)\)
Nếu $\log_a b{\rm{ }} = {\rm{ }}p$ thì $\log_a{a^2}{b^4}$ bằng:
-
A.
${a^2}{p^4}$
-
B.
$4p{\rm{ }} + {\rm{ }}2$
-
C.
$4p{\rm{ }} + {\rm{ }}2a$
-
D.
${p^4} + 2a$
Cho hàm số \(y = {3^x} + \ln 3\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(y' = y\ln 3 - {\ln ^2}3\)
-
B.
\(y'.\ln 3 = y + \ln 3\)
-
C.
\(y' = y - {\ln ^2}3\)
-
D.
\(y' = y - \ln 3\)
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \({4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\).
-
A.
\(T = 2\).
-
B.
\(T = 3\).
-
C.
\(T = \dfrac{{13}}{4}\).
-
D.
\(T = \dfrac{1}{4}\).
Tập hợp nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right)\) là:
-
A.
\(\left\{ {0;1} \right\}\)
-
B.
\(\left\{ {0;{{2.3}^{50}}} \right\}\)
-
C.
\(\left\{ 0 \right\}\)
-
D.
$R$
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x - y}} + 6{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} - 7 = 0\\{3^{{{\log }_9}\left( {x - y} \right)}} = 1\end{array} \right.$. Chọn khẳng định đúng:
-
A.
Điều kiện xác định của hệ phương trình là \(x > y > 0\).
-
B.
Hệ phương trình đã cho có \(2\) nghiệm.
-
C.
Hệ phương trình đã cho có \(1\) nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1; - 2} \right)\).
-
D.
Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân \(AB = AC = a;\widehat {BAC} = {120^0}\) và $AB'$ vuông góc với $\left( {A'B'C'} \right)$ . Mặt phẳng $\left( {AA'C'} \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ một góc \({30^0}\). Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{8{a^3}}}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình \(f\left( x \right) < {e^x} + m\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) khi và chỉ khi:
-
A.
\(m \ge f\left( 1 \right) - e\)
-
B.
\(m > f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}\)
-
C.
\(m \ge f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}\)
-
D.
\(m > f\left( 1 \right) - e\)
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng \(a\sqrt 3 \). Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
-
B.
\(4{a^3}\sqrt 3 \)
-
C.
\({a^3}\sqrt 3 \)
-
D.
\(\dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = 2x - y\).
-
A.
\({P_{\min }}= 4\)
-
B.
\({P_{\min }}= -4\).
-
C.
\({P_{\min }}\)= \(2\sqrt 3 \).
-
D.
\({P_{\min }}\)= \(\dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}\).
Một người lần đầu gửi vào ngân hàng $100$ triệu đồng với kì hạn $3$ tháng, lãi suất $2\% $ một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm $100$ triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được sau 1 năm gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?
-
A.
$210$ triệu
-
B.
$220$ triệu
-
C.
$212$ triệu
-
D.
$216$ triệu
Cho hàm số $y = {x^4} - 4{x^2} + 3$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình $\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right| = m$ có $4$ nghiệm phân biệt.
-
A.
$\dfrac{1}{3} < m < 1$
-
B.
$m = 0$ hoặc $1 < m < 3$
-
C.
$m=0$ hoặc $\dfrac{1}{3} < m < 1$
-
D.
$m = 0$
Lời giải và đáp án
Một hình hộp đứng có hai đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(4\)
Đáp án : A
Vẽ hình và dựa vào số trục đối xứng của hình thoi.
Một hình hộp đứng có hai đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có 3 mặt phẳng đối xứng.
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(4{a^3}\), đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng \({a^2}\). Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
-
A.
\(12a\)
-
B.
\(6a\)
-
C.
\(3a\)
-
D.
\(4a\)
Đáp án : C
Sử dụng tỉ số thể tích để tính \({V_{SABM}}\).
Áp dụng công thức tính thể tích để suy ra \({d_{M;\left( {SAB} \right)}}\)
Vì M là trung điểm của SD nên \(\frac{{{V_{SABM}}}}{{{V_{SABD}}}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{1}{2}\)
Mà \(\frac{{{V_{SABD}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{SABD}} = \frac{1}{2}.4{a^3} = 2{a^3}\)
\( \Rightarrow {V_{SABM}} = {a^3} = \frac{1}{3}.d\left( {M;\left( {SAB} \right)} \right).{S_{SAB}} \Leftrightarrow d\left( {M;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{3{a^3}}}{{{a^2}}} = 3a\)
Cho hàm số $y = \dfrac{5}{{x - 2}}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
Hàm số đồng biến trên $R\backslash \left\{ 2 \right\}$
-
B.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2; + \infty } \right)$
-
C.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ; 2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$
-
D.
Hàm số nghịch biến trên $R$
Đáp án : C
Hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\left( {a;b} \right)$ sẽ đồng biến (nghịch biến) trên $\left( {a;b} \right)$ nếu $f'\left( x \right) \geqslant 0\left( { \leqslant 0} \right),\forall x \in \left( {a,b} \right)$ và chỉ bằng $0$ tại hữu hạn điểm thuộc $\left( {a;b} \right)$.
Ta có: $y' = - \dfrac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0$ $\forall x \in D$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$
Bất phương trình \({\left( {\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 2x}} \le {\left( {\sqrt 2 } \right)^3}\) có tập nghiệm là:
-
A.
\(\left[ { - 2;1} \right]\)
-
B.
\(\left( {2;5} \right)\)
-
C.
\(\left[ { - 1;3} \right]\)
-
D.
\(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Đáp án : C
Sử dụng \(a > 1 \Rightarrow {a^x} < {a^y} \Leftrightarrow x < y\)
\({\left( {\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 2x}} \le {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} \Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;3} \right]\)
Cho hình đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) có cạnh bằng a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
\(S = 4{a^2}\).
-
B.
\(S = 10{a^2}\).
-
C.
\(S = 6{a^2}\).
-
D.
\(S = 8{a^2}\).
Đáp án : C
- Khối đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) là hình lập phương.
- Xác định số mặt của hình lập phương.
- Tính diện tích một mặt, sau đó nhân với 6.
Khối đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) là hình lập phương. Khối lập phương có 6 mặt là hình vuông cạnh a.
Diện tích một mặt là \({a^2}\).
Vậy tổng diện tích các mặt của hình lập phương đó là: \(S = 6{a^2}\).
Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận?
-
A.
\(y = \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + 3x + 6}}\)
-
B.
\(y = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}}\)
-
C.
\(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\)
-
D.
\(y = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }}\)
Đáp án : B
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = a\) hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = a \Rightarrow y = a\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số.
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} y = \infty \Rightarrow x = {x_0}\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số.
Đáp án A: Đồ thị hàm số chỉ có \(1\) đường tiệm cận \(y = 0\).
Đáp án B: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}}\) có 1 TCN là \(y = 0\) và 2 TCĐ là \(x = \pm 3\) nên có \(3\) tiệm cận.
Đáp án C: Đồ thị hàm số có \(2\) tiệm cận là \(y = 1,x = 1\).
Đáp án D:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }} \\=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 1}}{|x|{\sqrt {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{8}{x^2}} }} \\=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 1}}{-x{\sqrt {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{8}{x^2}} }}=-1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }} = 1\)
Đồ thị hàm số chỉ có \(2\) tiệm cận là \(y = \pm 1\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên:
Hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng:
-
A.
\(\left( {1;\,2} \right)\)
-
B.
\(\left( {2;\,\,3} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 1;\,\,0} \right)\)
-
D.
\(\left( { - 1;\,\,1} \right)\)
Đáp án : A
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y = f\left( x \right)\) từ đó suy ra tính đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y = - 2f\left( x \right).\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) và \(\left( {2;\, + \infty } \right).\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\,\,2} \right).\)
Xét hàm số: \(y = - 2f\left( x \right)\) ta có: \(y' = - 2f'\left( x \right).\)
Hàm số đồng biến \( \Leftrightarrow - 2f'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.\)
Vậy hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến \( \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\,2} \right].\)
Khi quay hình chữ nhật \(MNPQ\) quanh đường thẳng \(AB\) với \(A,B\) lần lượt là trung điểm của \(MN,PQ\) ta được một hình trụ có đường kính đáy:
-
A.
\(MA\)
-
B.
\(AB\)
-
C.
\(MQ\)
-
D.
\(MN\)
Đáp án : D
Sử dụng định nghĩa hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật quanh đường trung bình của nó.
Hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật \(MNPQ\) quanh đường trung bình \(AB\) ta sẽ được hình trụ có đường cao \(AB\), đường sinh \(MQ,NP\) và bán kính đáy \(MA,NA,BP,BQ\), đường kính đáy \(MN,PQ\).
Do đó đường kính đáy của hình trụ là \(MN\).
Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}\left( {x - 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(\left( {1; + \infty } \right)\)
-
B.
\(\left[ {1; + \infty } \right)\)
-
C.
\(\left( {0; + \infty } \right)\)
-
D.
\(\mathbb{R}\)
Đáp án : A
Hàm số \(y = {\log _a}f\left( x \right)\) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0.\)
Hàm số \(y = {\log _a}f\left( x \right)\) nghịch biến trên TXĐ \( \Leftrightarrow 0 < a < 1.\)
Xét hàm số \(y = {\log _{\frac{e }{3}}}\left( {x - 1} \right)\) có TXĐ: \(D = \left( {1; + \infty } \right)\) và \(a = \frac{e }{3} < 1\)
\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến nếu \(a > 1\).
-
B.
Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nghịch biến nếu \(0 < a < 1\).
-
C.
Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến nếu \(0 < a < 1\).
-
D.
Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) luôn nghịch biến trên \(R\).
Đáp án : C
Ta có:
Hàm số $y=a^{-x}$ nghịch biến khi $a>1$ nên các đáp án B, D đều sai.
\(y = {a^{ - x}} = \dfrac{1}{{{a^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nên hàm số đồng biến nếu \(\dfrac{1}{a} > 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1\).
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?
-
A.
\(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\)
-
B.
\(y = \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}\)
-
C.
\(y = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\)
-
D.
\(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\)
Đáp án : A
- Tìm các tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.
- Tìm các điểm đi qua.
Nhận xét: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 1$ và tiệm cận đứng là \(x = - 1\)
Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm \(\left( {2;\,0} \right)\) và \(\left( {0;\, - 2} \right)\)
Đáp án C và D không có tiệm cận đứng là \(x = - 1\)
\(\Rightarrow\) Loại đáp án C và D
Xét đáp án A và B đều có tiệm cận đứng là \(x = - 1\) và tiệm cận ngang là $y = 1$
Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;\,0} \right)\)
\(\Rightarrow\) thay $x = 2, y = 0$ vào hàm số thì chỉ có đáp án A thỏa mãn
Cho số nguyên dương $n \ge 2$, số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số thực $b$ nếu:
-
A.
${b^n} = a$
-
B.
${a^n} = b$
-
C.
${a^n} = {b^n}$
-
D.
${n^a} = b$
Đáp án : B
Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n\left( {n \ge 2} \right)$. Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số $b$ nếu ${a^n} = b$.
Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{1}{2}$.
-
A.
$\left\{ { - 1;2} \right\}.$
-
B.
$\left\{ {0;1} \right\}.$
-
C.
$\left\{ { - 1;0} \right\}.$
-
D.
$\left\{ { - 2;1} \right\}.$
Đáp án : C
Để giải phương trình mũ này ta đưa về cùng cơ số, sau đó cho số mũ bằng nhau rồi tìm x.
\({2^{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 1}} = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = - 1 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{m{x^2}}}{3} + 4$ đạt cực đại tại $x = 2?$
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = 2$
-
C.
$m = 3$
-
D.
$m = 4$
Đáp án : C
- Bước 1: Tính $y',y''$.
- Bước 2: Nêu điều kiện để $x = {x_0}$ là cực trị của hàm số:
+ $x = {x_0}$ là điểm cực đại nếu $\left\{ \begin{gathered} f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\f''\left( {{x_0}} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
+ $x = {x_0}$ là điểm cực tiểu nếu $\left\{ \begin{gathered}f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\ f''\left( {{x_0}} \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
- Bước 3: Kết luận.
TXĐ $D = \mathbb{R}$
$y' = - {x^2} + \dfrac{2}{3}mx \Rightarrow y'' = - 2x + \dfrac{2}{3}m$
Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 2$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y'(2) = 0 \hfill \\ y''\left( 2 \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - {2^2} + \dfrac{2}{3}m.2 = 0 \hfill \\ - 2.2 + \dfrac{2}{3}m. < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 4 + \dfrac{4}{3}m = 0 \hfill \\- 4 + \dfrac{2}{3}m < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 3 \hfill \\m < 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 3$
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
${\log _2}16 = {\log _3}81$
-
B.
${\log _3}9 = 3$
-
C.
${\log _4}16 = {\log _2}8$
-
D.
${\log _2}4 = {\log _3}6$
Đáp án : A
Sử dụng công thức ${\log _a}{a^b} = b$ với $0<a\ne 1$.
Ta có: ${\log _2}16 = {\log _2}{2^4} = 4$; ${\log _3}81 = {\log _3}{3^4} = 4$ nên ${\log _2}16 = {\log _3}81$.
Tính giá trị của biểu thức \({3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{25^{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\) có kết quả là:
-
A.
\(25\)
-
B.
\(15\)
-
C.
\(9\)
-
D.
\(5\)
Đáp án : C
Sử dụng các công thức \(\sqrt[m]{{{a^n}}} = {a^{\dfrac{m}{n}}},\,\,{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{25^{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\\ = {3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{5^{2 + 2\sqrt 2 }}\\ = {3^2}\\ = 9\end{array}\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $R$ có bảng biến thiên:
Bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào?
-
A.
$y = {x^4} - 2{x^2}$
-
B.
$y = - {x^4} + 2{x^2}$
-
C.
$y = - {x^4} - 2{x^2} - 3$
-
D.
$y = - {x^4} - 2{x^2} + 1$
Đáp án : B
- Nhận xét dáng đồ thị suy ra hệ số $a$.
- Tìm điểm đi qua và đối chiếu các đáp án
Nhận xét: Dễ thấy bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 4.
Ngoài cùng bên phải của $y' < 0 \Rightarrow a < 0 \Rightarrow $Loại đáp án A
Thay điểm $\left( {0;0} \right)$ vào các hàm số ở đáp án B, C, D
Điểm $\left( {0;0} \right)$ chỉ thuộc vào đồ thị hàm số $y = - {x^4} + 2{x^2}$
Cho hai hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng \(a\). Cần bổ sung thêm điều kiện gì để hai hình chóp đó bằng nhau?
-
A.
chung đỉnh
-
B.
cạnh bên bằng nhau
-
C.
khoảng cách \(2\) đỉnh bằng \(a\)
-
D.
không cần bổ sung điều kiện gì
Đáp án : B
- Sử dụng tính chất: Hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng nhau.
- Sử dụng dấu hiệu: Hai tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau.
Vì cả hai hình chóp tam giác đều có cách cạnh đáy bằng nhau và bằng \(a\) nên chúng chỉ cần có các cạnh bên bằng nhau là đủ.
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\).
-
A.
\(P = 2\sqrt 6 - 5\).
-
B.
\(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}\).
-
C.
\(P = {\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2020}}\).
-
D.
\(P = 2\sqrt 6 + 5\).
Đáp án : D
- Áp dụng công thức \({a^m}.{b^m} = {\left( {ab} \right)^m}.\)
- Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} - {b^2}\).
\(\begin{array}{l}P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\\\,\,\,\,\, = {\left[ {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)} \right]^{2020}}.\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)\\\,\,\,\, = {\left( {24 - 25} \right)^{2020}}.\left( {2\sqrt 6 + 5} \right) = 2\sqrt 6 + 5\end{array}\)
Hình trụ có bán kính \(r = 5cm\) và chiều cao \(h = 3cm\) có diện tích toàn phần gần với số nào sau đây?
-
A.
\(251,3c{m^2}\)
-
B.
\(141,3c{m^2}\)
-
C.
\(172,8c{m^2}\)
-
D.
\(125,7c{m^2}\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần hình trụ \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\)
Ta có: \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .5.3 + 2\pi {.5^2} \approx 251,3c{m^2}\)
Giải bất phương trình \({\log _{0,7}}\left( {{{\log }_6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}}} \right) < 0\)
-
A.
\(\left( { - 4; - 3} \right) \cup \left( {8; + \infty } \right)\)
-
B.
\(\left( { - 4; - 3} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 4; + \infty } \right)\)
-
D.
\(\left( {8; + \infty } \right)\)
Đáp án : A
Giải bất phương trình logarit cơ bản với chú ý về cơ số $a>1$ và $0<a<1$.
${\log _{0,7}}({\log _6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}}) < 0$ .
Đkxđ: $\left\{ \begin{array}{l}{\log _6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} > 0\\\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4 < x < - 2\\x > 2\end{array} \right.(*)$
\(\begin{array}{l}{\log _6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} > 0,{7^0} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} > 6 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} - 6 > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 5{\rm{x}} - 24}}{{x + 4}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{(x - 8)(x + 3)}}{{x + 4}} > 0\end{array}\)
Xét dấu \(f\left( x \right) = \dfrac{{(x - 8)(x + 3)}}{{x + 4}}\):
Vậy \( - 4 < x < - 3\) hoặc \(x > 8\).
Kết hợp với điều kiện ta được \( - 4 < x < - 3\) hoặc \(x > 8\).
Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - x + 1}}{{2x - 3}}\) là:
-
A.
\(\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\)
-
B.
\(\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)
-
C.
\(\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\)
-
D.
\(\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\)
Đáp án : C
Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là \(I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = \dfrac{3}{2}\) và tiệm cận ngang \(y = - \dfrac{1}{2}\)
Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - x + 1}}{{2x - 3}}\) là \(\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\)
Công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\), độ dài đường sinh \(l\) và chiều cao \(h\) là:
-
A.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi rl\)
-
B.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}l\)
-
C.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)
-
D.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi rh\)
Đáp án : C
Công thức tính thể tích khối nón: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)
Xét hàm số \(y = {x^\alpha }\) trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\) có đồ thị dưới đây, chọn kết luận đúng:
-
A.
\(\alpha = 0\)
-
B.
\(\alpha = 1\)
-
C.
\(\alpha > 1\)
-
D.
\(0 < \alpha < 1\)
Đáp án : D
Sử dụng các dáng đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) ứng với các điều kiện khác nhau của \(\alpha \):
Từ hình vẽ ta thấy \(1 < {2^\alpha } < 2 \Rightarrow 0 < \alpha < 1\)
.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
A.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$
-
B.
GTNN của hàm số bằng giá trị cực tiểu của hàm số.
-
C.
Hàm số không có GTNN.
-
D.
Hàm số có GTLN là $3$.
Đáp án : B
Xét tính đúng, sai của từng đáp án. Sử dụng các định nghĩa GTLN, GTNN, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số.
Đáp án A: Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và $y = 3$ là giá trị cực đại của hàm số nên A sai.
Đáp án B: GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 0$ nên B đúng và C sai.
Đáp án D: Hàm số không có GTLN vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty $.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Chọn kết luận đúng:
-
A.
Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$
-
B.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$
-
C.
Hàm số đồng biến trên $R$.
-
D.
Hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
Đáp án : B
Quan sát bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$.
Nếu điểm cực đại của đồ thị hàm số bậc ba nằm ở trục hoành thì:
-
A.
điểm cực tiểu cũng nằm ở trục hoành
-
B.
điểm cực tiểu nằm phía trên trục hoành.
-
C.
điểm cực tiểu nằm bên trái trục tung.
-
D.
điểm cực tiểu nằm dưới trục hoành.
Đáp án : D
Hàm số bậc ba luôn có ${y_{CD}} > {y_{CT}}$ nên nếu ${y_{CD}} = 0$ thì ${y_{CT}} < 0$.
Do đó điểm cực tiểu của đồ thị hàm số luôn nằm dưới trục hoành.
Điều kiện để ${\log _a}b$ có nghĩa là:
-
A.
$a < 0,b > 0$
-
B.
$0 < a \ne 1,b < 0$
-
C.
$0 < a \ne 1,b > 0$
-
D.
$0 < a \ne 1,0 < b \ne 1$
Đáp án : C
Sử dụng chú ý về logarit:
- Không có logarit của số âm, nghĩa là $b > 0$.
- Cơ số phải dương và khác $1$, nghĩa là $0 < a \ne 1$.
Điều kiện để ${\log _a}b$ có nghĩa là $0 < a \ne 1,b > 0$.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
${{e}^{\ln 2}}+\ln ({{e}^{2}}.\sqrt[3]{e})=\dfrac{10}{3}$
-
B.
\({e^{\ln 2}} + \ln ({e^2}.\sqrt[3]{e}) = \dfrac{{13}}{3}\)
-
C.
${e^{\ln 2}} + \ln ({e^2}.\sqrt[3]{e}) = \dfrac{{15}}{3}$
-
D.
${e^{\ln 2}} + \ln ({e^2}.\sqrt[3]{e}) = 4$
Đáp án : B
Áp dụng các công thức logarit:
${a^{{{\log }_a}b}} = b;\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b;\ln {a^n} = n\ln a$
\({e^{\ln 2}} + \ln ({e^2}.\sqrt[3]{e}) = 2 + \ln {e^{\dfrac{7}{3}}} = 2 + \dfrac{7}{3} = \dfrac{{13}}{3}\)
Giải phương trình $\log_{3}\left( {2x-1} \right) = 2$ , ta có nghiệm là:
-
A.
$x = 15$
-
B.
$x = \dfrac{1}{5}$
-
C.
$x = 25$
-
D.
$x = 5$
Đáp án : D
Giải phương trình logarit cơ bản \({\log _a}x = m \Leftrightarrow x = {a^m}\)
${\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 2x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow 2x = 10 \Leftrightarrow x = 5$
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
-
A.
\(0\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(-3\)
Đáp án : D
Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt trục tung thì giao điểm có hoành độ \(x = 0\)
Thay \(x = 0\) vào $f(x)$ để tìm \(y\).
Đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\) cắt trục tung \( \Rightarrow x = 0\)
Với \(x = 0\) thay vào hàm số \( \Rightarrow y = - 3\).
Hình dưới là đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\). Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
-
B.
\(\left( {1;2} \right)\)
-
C.
\(\left( {2; + \infty } \right)\)
-
D.
\(\left( {0;1} \right)\)
Đáp án : C
Khi đạo hàm của hàm số mang dấu dương trên một khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
Hàm số $y = f'\left( x \right)$ dương trong khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$
$ \Rightarrow $ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ có $2$ điểm cực trị $A,\;B.$ Diện tích tam giác $OAB\;$ với $O(0;0)$ là gốc tọa độ bằng:
-
A.
\(2\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : A
- Xác định tọa độ 2 điểm cực trị $A,\;B.$
- Tính diện tích tam giác $OAB$ theo công thức: $S = \dfrac{1}{2}a.h$ (với $a$ là độ dài đáy, $h$ là độ dài đường cao tương ứng với đáy đã chọn).
$\begin{array}{*{20}{l}}{y = {x^3} - 3x + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3}\\{y' = 0 \Leftrightarrow x = {\rm{\;}} \pm 1}\end{array}$
Tọa độ $2$ điểm cực trị : $A(1;{\mkern 1mu} 0),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B( - 1;4)$
Khi đó ${S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}.OA.{d(B,OA)} = \dfrac{1}{2}.\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = \dfrac{1}{2}.\left| 1 \right|.\left| 4 \right| = 2$
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$
-
A.
$M = - 10$
-
B.
$M = - 7$
-
C.
$M = - 5$
-
D.
$M = 1$
Đáp án : C
- Bước 1: Tính $y'$, giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...{x_n}$ thỏa mãn $a \leqslant {x_1} < {x_2}< ... < {x_n} \leqslant b$.
- Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$.
- Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:
+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN $M$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$.
+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN $m$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$.
$y' = 3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 3 \in \left[ {2;4} \right] \hfill \\x = \dfrac{1}{3} \notin \left[ {2;4} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$f\left( 2 \right) = - 7,f\left( 3 \right) = - 10,f\left( 4 \right) = - 5$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ là $M = - 5$
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?
-
A.
$y = {x^3} - 2{x^2} + x - 2$
-
B.
$y = \left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}$
-
C.
$y = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}$
-
D.
$y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1$
Đáp án : B
Quan sát đồ thị và nhận xét điểm cực đại, cực tiểu, điểm đi qua,… từ đó rút ra kết luận.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;4} \right)$ nên loại A và D
Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại điểm $\left( { - 1;0} \right)$ và tiếp xúc $Ox$ tại $\left( {2;0} \right)$ nên phương trình hoành độ giao điểm $y = 0$ có 1 nghiệm đơn $x=-1$ và 1 nghiệm kép ${x_{2,3}} = 2$
Vậy chỉ có đáp án B thỏa mãn.
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 2}}{{x - 2}}\) có đồ thị là\(\left( C \right)\), \(M\)là điểm thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\)cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) thỏa mãn \(AB = 2\sqrt 5 \). Gọi \(S\) là tổng các hoành độ của tất cả các điểm \(M\)thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của \(S\).
-
A.
\(6\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(8\)
-
D.
\(7\)
Đáp án : C
- Tìm 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Gọi \(M\left( {m;\,\dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\).
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).
- Tìm giao điểm \(A,\,\,B\) của tiếp tuyến với 2 đường tiệm cận.
- Tính độ dài đoạn thẳng \(AB:\) \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
- Giải phương trình tìm \(m\), từ đó tính \(S\).
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là \(x = 2\) và \(y = 2\).
Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Gọi \(M\left( {m;\,\dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại \(M\): \(y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}\).
Cho \(x = 2 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {2 - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{2}{{m - 2}} + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}} = \dfrac{{2m}}{{m - 2}}\).
\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(x = 2\) là \(A\left( {2;\,\dfrac{{2m}}{{m - 2}}} \right)\).
Cho \(y = 2 \Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}} = 2\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2\left( {x - m} \right) + \left( {2m - 2} \right)\left( {m - 2} \right) = 2{\left( {m - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 2x + 2m + 2{m^2} - 6m + 4 = 2{m^2} - 8m + 8\\ \Leftrightarrow 2x = 4m - 4 \Leftrightarrow x = 2m - 2\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(y = 2\) là \(B\left( {2m - 2;\,2} \right)\).
Ta có: \(AB = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {2m - 4} \right)^2} + {\left( {2 - \dfrac{{2m}}{{m - 2}}} \right)^2} = 20\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\left( {m - 2} \right)^2} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^4} - 5{\left( {m - 2} \right)^2} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} = 1\\{\left( {m - 2} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\\m = 4\\m = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(S = 3 + 1 + 4 + 0 = 8\).
Đơn giản biểu thức $P = \left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} - {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} + {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\,\,\,\,(a,b > 0)$ ta được:
-
A.
$P = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$
-
B.
$P = a + b$
-
C.
\(P = a - b\)
-
D.
$P = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$
Đáp án : C
Sử dụng các công thức lũy thừa với số mũ hữu tỉ \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\).
Ta có:
$P = \left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} - {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} + {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right) = \left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} - {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right) = a - b$
Vậy \(P = a - b\).
Đơn giản biểu thức $A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}$ ta được:
-
A.
$A = a$
-
B.
$A = - a$
-
C.
$A = \dfrac{1}{a}$
-
D.
$A = {a^{2\sqrt 2 - 1}}$
Đáp án : A
Áp dụng công thức ${a^x}.{a^y} = {a^{x + y}};{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x} = {a^{ - x}}\left( {a > 0,x,y \in R} \right)$.
$A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {{a^{ - 1}}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{ - \sqrt 2 + 1}} = {a^{\sqrt 2 - \sqrt 2 + 1}} = a$
Tìm TXĐ của hàm số \(y = {\left( {{x^3} - 27} \right)^{\dfrac{\pi }{2}}}\)
-
A.
\(D = R\backslash \left\{ 2 \right\}\)
-
B.
\(D = R\)
-
C.
\(D = \left[ {3; + \infty } \right)\)
-
D.
\(D = \left( {3; + \infty } \right)\)
Đáp án : D
Sử dụng lý thuyết: Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
Hàm số \(y = {\left( {{x^3} - 27} \right)^{\dfrac{\pi }{2}}}\) xác định khi \({x^3} - 27 > 0 \Leftrightarrow x > 3\).
Nếu $\log_a b{\rm{ }} = {\rm{ }}p$ thì $\log_a{a^2}{b^4}$ bằng:
-
A.
${a^2}{p^4}$
-
B.
$4p{\rm{ }} + {\rm{ }}2$
-
C.
$4p{\rm{ }} + {\rm{ }}2a$
-
D.
${p^4} + 2a$
Đáp án : B
Lần lượt áp dụng các công thức:
${\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y$
${\log _a}{b^n} = n{\log _a}b$
${\log _a}a = 1$
Ta có: $\log_a{a^2}{b^4} = \log_a{a^2} + \log_a{b^4} $ $= 2\log_a a + 4\log_a b = 2 + 4p$
Cho hàm số \(y = {3^x} + \ln 3\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(y' = y\ln 3 - {\ln ^2}3\)
-
B.
\(y'.\ln 3 = y + \ln 3\)
-
C.
\(y' = y - {\ln ^2}3\)
-
D.
\(y' = y - \ln 3\)
Đáp án : A
Áp dụng công thức tính đạo hàm hàm số mũ \(y = {a^x} \Rightarrow y' = {a^x}\ln a\).
Ta có: \(y = {3^x} + \ln 3 \Rightarrow y' = {3^x}\ln 3\)
Lại có: \(y = {3^x} + \ln 3 \Rightarrow {3^x} = y - \ln 3 \Rightarrow y' = \left( {y - \ln 3} \right)\ln 3 = y\ln 3 - {\ln ^2}3\)
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \({4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\).
-
A.
\(T = 2\).
-
B.
\(T = 3\).
-
C.
\(T = \dfrac{{13}}{4}\).
-
D.
\(T = \dfrac{1}{4}\).
Đáp án : A
- Chia cả hai vế cho $9^x$.
- Giải phương trình bậc hai ẩn ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x}$.
\(\begin{array}{l}{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0 \Leftrightarrow 4 - 13.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} + 9.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = 1\\{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = \dfrac{4}{9}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow T = 0 + 2 = 2\end{array}\)
Tập hợp nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right)\) là:
-
A.
\(\left\{ {0;1} \right\}\)
-
B.
\(\left\{ {0;{{2.3}^{50}}} \right\}\)
-
C.
\(\left\{ 0 \right\}\)
-
D.
$R$
Đáp án : B
Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số.
Điều kiện: \(x > - \dfrac{{{3^{50}}}}{2}\)
Phương trình đã cho tương đương với:
\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}\left( {{9^{50}} + 4x{{.3}^{50}} + 4{x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 6{x^2} = 4x{.3^{50}} + 4{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 2x{.3^{50}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {2.3^{50}}\end{array} \right.\end{array}\)
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x - y}} + 6{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} - 7 = 0\\{3^{{{\log }_9}\left( {x - y} \right)}} = 1\end{array} \right.$. Chọn khẳng định đúng:
-
A.
Điều kiện xác định của hệ phương trình là \(x > y > 0\).
-
B.
Hệ phương trình đã cho có \(2\) nghiệm.
-
C.
Hệ phương trình đã cho có \(1\) nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1; - 2} \right)\).
-
D.
Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Đáp án : C
Tìm ĐKXĐ và giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
ĐKXĐ: \(x - y > 0 \Leftrightarrow x > y\) nên A sai.
Xét phương trình thứ nhất của hệ: ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x - y}} + 6{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} - 7 = 0$.
Đặt \(t = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} > 0\) thì phương trình trở thành \({t^2} + 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1(TM)\\t = - 7(L)\end{array} \right.\)
Suy ra \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} = 1 \Leftrightarrow 2x - y = 0\)
Phương trình thứ hai của hệ ${3^{{{\log }_9}\left( {x - y} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {\log _9}\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 1$.
Từ đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left( { - 1; - 2} \right)\).
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân \(AB = AC = a;\widehat {BAC} = {120^0}\) và $AB'$ vuông góc với $\left( {A'B'C'} \right)$ . Mặt phẳng $\left( {AA'C'} \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ một góc \({30^0}\). Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{8{a^3}}}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
Đáp án : C
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính diện tích đáy \({S_{A'B'C'}}\) và đường cao \(AB'\).
- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức \(V = Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.
Trong (A’B’C’) kẻ \(B'K \bot A'C'\,\,\left( {K \in A'C'} \right)\)
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AB' \bot A'C'\left( {AB' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\\B'K \bot A'C'\end{array} \right\} \Rightarrow A'C' \bot \left( {AB'K} \right) \Rightarrow A'C' \bot AK\)
\(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = A'C'\\\left( {AA'C'} \right) \supset AK \bot A'C'\\\left( {A'B'C'} \right) \supset B'K \bot A'C'\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AA'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AK;B'K} \right)} = \widehat {AKB'} = {30^0}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}A'B'.A'C'.\sin 120 = \dfrac{1}{2}{a^2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{1}{2}B'K.A'C'\\ \Rightarrow B'K = \dfrac{{2{S_{A'B'C'}}}}{{A'C'}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
\(AB' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow AB' \bot B'K \Rightarrow \Delta AB'K\) vuông tại B’
$ \Rightarrow AB' = B'K.tan30 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{a}{2}$
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AB'.{S_{A'B'C'}} = \dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình \(f\left( x \right) < {e^x} + m\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) khi và chỉ khi:
-
A.
\(m \ge f\left( 1 \right) - e\)
-
B.
\(m > f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}\)
-
C.
\(m \ge f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}\)
-
D.
\(m > f\left( 1 \right) - e\)
Đáp án : C
Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(g\left( x \right) < m\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( x \right)\).
Theo đề bài ta có : \(f\left( x \right) < {e^x} + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - {e^x} < m\)
Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x}.\) Khi đó :
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) < {e^x} + m\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x} < m\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right)\\g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - {e^x}\end{array}\)
Trên \(\left( { - 1;1} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) < 0;\,\,{e^x} > 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\)
\( \Rightarrow g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;\;1} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - {e^{ - 1}} = f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}\\ \Rightarrow m \ge f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}.\end{array}\)
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng \(a\sqrt 3 \). Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
-
B.
\(4{a^3}\sqrt 3 \)
-
C.
\({a^3}\sqrt 3 \)
-
D.
\(\dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Đáp án : D
- Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CD\) và \(SA\) chéo nhau bằng cách tìm một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia và tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song (chính là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng).
- Tính diện tích đáy \({S_{ABCD}}\) và chiều cao \(SO\), từ đó tính được thể tích khối chóp.
Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì chóp $S.ABCD$ đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AB$
Ta có:
\(\begin{array}{l}AB//CD \Rightarrow SA \subset \left( {SAB} \right)//CD\\ \Rightarrow d\left( {CD;SA} \right) = d\left( {CD;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {E;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}OF \bot AB\\SO \bot AB\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SOF} \right)\)
Trong $\left( {SOF} \right)$ kẻ \(OH \bot SF\,\,\left( 1 \right)\)
Vì \(AB \bot \left( {SOF} \right) \Rightarrow AB \bot OH\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét tam giác vuông SOF có: \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{F^2}}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{O{F^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} - \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} \Rightarrow SO = a\sqrt 3 \)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 3 .4{a^2} = \dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = 2x - y\).
-
A.
\({P_{\min }}= 4\)
-
B.
\({P_{\min }}= -4\).
-
C.
\({P_{\min }}\)= \(2\sqrt 3 \).
-
D.
\({P_{\min }}\)= \(\dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án : C
Sử dụng bất đẳng thức Cô si: $\forall x,y \ge 0$ ta có: $\dfrac{{x + y}}{2} \ge \sqrt {xy} $
Điều kiện : $x + y >0, x – y > 0$
\({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4\)
Ta có: $P = 2x - y = \dfrac{{x + y + 3(x - y)}}{2} \ge \sqrt {(x + y).3(x - y)} = \sqrt {3({x^2} - {y^2})} = \sqrt {3.4} = 2\sqrt 3 $
Dấu “=” xảy ra khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\left( {x - y} \right)\\{x^2} - {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\left( {x - y} \right)\\3{\left( {x - y} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\x + y = 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 \\y = \sqrt 3 - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)
Vậy $Min\,P = 2\sqrt 3 $.
Một người lần đầu gửi vào ngân hàng $100$ triệu đồng với kì hạn $3$ tháng, lãi suất $2\% $ một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm $100$ triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được sau 1 năm gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?
-
A.
$210$ triệu
-
B.
$220$ triệu
-
C.
$212$ triệu
-
D.
$216$ triệu
Đáp án : B
- Tính số tiền có được sau 6 tháng đầu.
- Tính số tiền có được sau 1 năm gửi tiếp.
Sử dụng công thức lãi kép không kì hạn $T = A{\left( {1 + r} \right)^N}$
Số tiền người đó có sau 6 tháng = 2 quý: ${T_1} = 100{\left( {1 + 2\% } \right)^2} = 104,04$ triệu.
Số tiền người đó có ngay sau khi gửi thêm $100$ triệu là: $104,04 + 100 = 204,04$ triệu.
Số tiền người đó có sau 1 năm = 4 quý nữa là: ${T_2} = 204,04{\left( {1 + 2\% } \right)^4} = 220$ triệu.
Cho hàm số $y = {x^4} - 4{x^2} + 3$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình $\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right| = m$ có $4$ nghiệm phân biệt.
-
A.
$\dfrac{1}{3} < m < 1$
-
B.
$m = 0$ hoặc $1 < m < 3$
-
C.
$m=0$ hoặc $\dfrac{1}{3} < m < 1$
-
D.
$m = 0$
Đáp án : B
- Vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$:
Trước hết ta vẽ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$.
Ta có: $y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{gathered} f\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,f\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ - f\left( x \right)\,\,\,\,khi\,\,\,f\left( x \right) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Do đó đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ gồm hai phần:
+) Phần 1: Giữ lại phần đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ ở phía trên trục hoành.
+) Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ ở phía dưới trục hoành lên phía trên qua trục hoành sau đó xóa đi phần đồ thị phía dưới trục hoành
- Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào số giao điểm của đường thẳng và đường cong vừa vẽ được.
Số nghiệm của pt $\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right| = m$(*) số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ và đường thẳng $y = m$.
Ta có đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ như hình vẽ:
Để pt $(*)$ có $4$ nghiệm phân biệt thì đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ tại $4$ điểm phân biệt.
Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ tại $4$ điểm phân biệt $ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = 0 \hfill \\ 1 < m < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$