-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 - Đề số 4
Đề bài
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left( {x{y^2} - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^8}.$
-
A.
$70{y^4}.$
-
B.
$60{y^4}.$
-
C.
$50{y^4}.$
-
D.
$40{y^4}.$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có cạnh đáy $AB$ và $CD$ . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Tìm điều kiện của $AB$ và $CD$ để thiết diện của $\left( {IJG} \right)$ và hình chóp là một hình bình hành.
-
A.
\(AB = \dfrac{2}{3}CD\)
-
B.
$AB = CD$
-
C.
\(AB = \dfrac{3}{2}CD\)
-
D.
$AB = 3CD$ .
Cho năm điểm \(A,B,C,D,E\) trong đó không có bốn điểm nào ở trên cùng một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho?
-
A.
$10$.
-
B.
$12$.
-
C.
$8$.
-
D.
$14$.
Cho điểm $N\left( { - 2;3} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng
-
A.
Điểm $M\left( {2; - 3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Oy$.
-
B.
Điểm $M\left( { - 2; - 3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
-
C.
Điểm $M\left( {2;3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
-
D.
Điểm $M\left( { - 2;3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Oy$.
Cho hình chóp $S.ABCD.$ Gọi $M, N $ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $ABC.$ Khi đó $MN$ song song với
-
A.
$mp(SAD) $
-
B.
$AD$
-
C.
$mp(SCD)$
-
D.
$mp(SBD)$
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép vị tự \(V\) tỉ số \(k = 2\) biến điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - 5;1} \right).\) Hỏi phép vị tự \(V\) biến điểm \(B\left( {0;1} \right)\) thành điểm có tọa độ nào sau đây?
-
A.
\(\left( {0;2} \right).\)
-
B.
\(\left( {12; - 5} \right).\)
-
C.
\(\left( { - 7;7} \right).\)
-
D.
\(\left( {11;6} \right).\)
Phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \) có hai họ nghiệm có dạng \(x = \alpha + k2\pi ,\,x = \beta + k2\pi ,\)
\(\left( { - \dfrac{\pi }{2} < \alpha <\beta < \dfrac{\pi }{2}} \right)\) . Khi đó \(\alpha .\beta \) là:
-
A.
\( - \dfrac{{5{\pi ^2}}}{{12}}\)
-
B.
\( - \dfrac{{5{\pi ^2}}}{{144}}\)
-
C.
\(\dfrac{{5{\pi ^2}}}{{144}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{12}}\)
Gọi $m$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép quay tâm $I$ góc quay \(\alpha \) (biết rằng $I$ không nằm trên $d$), đường thẳng $d$ song song với $m$ khi:
-
A.
\(\varphi = \dfrac{\pi }{3}\)
-
B.
\(\varphi = - \pi \)
-
C.
\(\varphi = \dfrac{\pi }{6}\)
-
D.
\(\varphi = \dfrac{{2\pi }}{3}\)
Viết sáu số xen giữa $3$ và $24$ để được một cấp số cộng có $8$ số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là :
-
A.
$6, 9, 12, 15, 18, 21$
-
B.
$21, 18, 15, 12, 9, 6 $
-
C.
\(\dfrac{{13}}{2},10,\dfrac{{27}}{2},17,\dfrac{{41}}{2},24\)
-
D.
\(\dfrac{{16}}{3},\dfrac{{23}}{3},\dfrac{{37}}{3},\dfrac{{44}}{3},\dfrac{{58}}{3},\dfrac{{65}}{3}\)
Cho hình vuông tâm $O$. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm $O$, góc quay \(\alpha \,\,\left( {0 < \alpha \le 360^0} \right)\) biến hình vuông đã cho thành chính nó.
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q > 0\) . Biết \({u_2} = 4;{u_4} = 9\) .
-
A.
\({u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
B.
\({u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\({u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\({u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận \(mp\left( \alpha \right)//mp\left( \beta \right)\)?
-
A.
\(\left( \alpha \right)//\left( \gamma \right)\) và \(\left( \beta \right)//\left( \gamma \right)\) (\(\left( \gamma \right)\) là mặt phẳng nào đó).
-
B.
\(\left( \alpha \right)//a\) và \(\left( \alpha \right)//b\) với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc \(\left( \beta \right)\).
-
C.
\(\left( \alpha \right)//a\) và \(\left( \alpha \right)//b\) với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với \(\left( \beta \right)\).
-
D.
\(\left( \alpha \right)//a\) và \(\left( \alpha \right)//b\) với a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc \(\left( \beta \right)\)
Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo \({T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\) biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?
-
A.
BC
-
B.
AB
-
C.
DC
-
D.
CA
Cho tứ diện \(ABCD\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(AD \subset \left( {ABC} \right)\)
-
B.
\(AD \cap \left( {ABC} \right) = C\)
-
C.
\(AB \subset \left( {ABC} \right)\)
-
D.
\(AC//\left( {ABD} \right)\)
Xếp ngẫu nhiên $3$ nam và $5$ nữ ngồi vào $8$ ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất để $3$ nam ngồi cạnh nhau.
-
A.
\(\dfrac{3}{{28}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{20}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{10}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{5}\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Hàm số \(y = \sin x\) có chu kỳ \(T = \pi \)
-
B.
Hàm số \(y = \cos x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
-
C.
Hàm số \(y = \cot x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
-
D.
Hàm số \(y = \cot x\) có chu kỳ \(T = 2\pi \)
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
$q = - 4\,.$
-
B.
$q = 4.$
-
C.
$q = - 12.$
-
D.
$q = 10.$
Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy là hình thang, đáy lớn $AB$ , Gọi $O$ là giao của $AC$ với $BD$ . $M$ là trung điểm $SC$ . Giao điểm của đường thẳng $AM$ và $mp\left( {SBD} \right)$ là:
-
A.
$I$ , với \(I = AM \cap SO\)
-
B.
$I$ , với \(I = AM \cap SC\)
-
C.
$I$ , với \(I = AM \cap SB\)
-
D.
$I$ , với \(I = AM \cap BC\)
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:
-
A.
\({P_n} = n!\)
-
B.
\({P_n} = n\)
-
C.
\({P_n} = \left( {n - 1} \right)!\)
-
D.
\({P_n} = {n^2}\)
Có bao nhiêu cách xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?
-
A.
\(1\).
-
B.
\(25\).
-
C.
\(5\).
-
D.
\(120\).
Phép đối xứng tâm \(I\left( {1;1} \right)\) biến đường thẳng \(d:\,\,x + y + 2 = 0\) thành đường thẳng $d'$ có phương trình là:
-
A.
\(x + y + 4 = 0\)
-
B.
\(x + y + 6 = 0\)
-
C.
\(x + y - 6 = 0\)
-
D.
\(x + y = 0\)
Giả sử $M$ là giao của đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
$M \in a$
-
B.
$M \in \left( P \right)$
-
C.
Tồn tại đường thẳng $b \subset \left( P \right)$ sao cho $M$ là giao điểm của $a$ và $b$
-
D.
Với đường thẳng $b$ bất kỳ nằm trong $\left( P \right)$, ta có $M$ là giao của $a$ và $b$
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}}\). Số \(\dfrac{8}{{15}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
-
A.
\(8.\)
-
B.
\(6.\)
-
C.
\(5.\)
-
D.
\(7.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({S_n} = 3{n^2} - 2n\). Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.
-
A.
\({u_1} = 2;d = 7\)
-
B.
\({u_1} = 1,d = 6\)
-
C.
\({u_1} = 1;d = - 6\)
-
D.
\({u_1} = 2;d = 6\)
Tích các giá trị $x$ nguyên thỏa mãn bất phương trình \(\dfrac{1}{2}A_{2x}^2 - A_x^2 \le \dfrac{6}{x}C_x^3 + 10\) là:
-
A.
$10$
-
B.
$15$
-
C.
$12$
-
D.
$ - 8$
Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là :
-
A.
$5$ mặt, $5$ cạnh
-
B.
$6$ mặt, $5$ cạnh
-
C.
$6$ mặt, $10$ cạnh
-
D.
$5$ mặt, $10$ cạnh
Điểm nào là ảnh của \(M\left( {3; - 1} \right)\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;2} \right)\)
-
A.
\(\left( {2;1} \right)\)
-
B.
\(\left( { - 1;5} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 1;3} \right)\)
-
D.
\(\left( {5; - 4} \right)\)
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7 là:
-
A.
\(\dfrac{2}{9}\).
-
B.
\(\dfrac{1}{6}\).
-
C.
\(\dfrac{7}{{36}}\).
-
D.
\(\dfrac{5}{{36}}\).
Phương trình \(\tan \dfrac{x}{2} = \tan x\) có nghiệm:
-
A.
\(k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
Cả 3 đáp án đúng
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
A.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì song song
-
B.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau
-
C.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
-
D.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(k \ne p.\)
-
B.
\(k \ge p.\)
-
C.
\(k = p.\)
-
D.
\(k < p.\)
Một lớp có $8$ học sinh được bầu chọn vào 3 chức vụ khác nhau: lớp trưởng, lớp phó và bí thư (không được kiêm nhiệm). Số cách lựa chọn khác nhau sẽ là:
-
A.
$336$
-
B.
$56$
-
C.
$31$
-
D.
$40320$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x\) là
-
A.
\(2\sqrt 2 \)
-
B.
\(1 - \sqrt 2 \)
-
C.
\(1 + \sqrt 2 \)
-
D.
\(3\)
Một nhóm $9$ người gồm $3$ đàn ông, $4$ phụ nữ và $2$ đứa trẻ đi xem phim. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên một hàng ghế sao cho mỗi đứa trẻ ngồi giữa hai người phụ nữ và không có hai người đàn ông nào ngồi cạnh nhau.
-
A.
$288$
-
B.
$864$
-
C.
$24$
-
D.
$576$
Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = 243\) là:
-
A.
\(n = 5\)
-
B.
\(n = 4\)
-
C.
\(n = 3\)
-
D.
\(n = 6\)
Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy kết quả thu được là một số chia hết cho 3?
-
A.
\(90\).
-
B.
\(1200\).
-
C.
\(384\).
-
D.
\(1025\).
Một chiếc tàu khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa có xác suất khoan trúng túi dầu là $0,4$. Xác suất để trong $5$ lần khoan độc lập, chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần.
-
A.
\(0,07776\)
-
B.
\(0,84222\)
-
C.
\(0,15778\)
-
D.
\(0,92224\)
Giá trị của tổng $S = 1-2 + 3-4 + ... - 2n + \left( {2n + 1} \right)$ là:
-
A.
$1$
-
B.
$0$
-
C.
$5$
-
D.
$n + 1$
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: \({x^3} - 7{x^2} + 2\left( {{m^2} + 6m} \right)x - 8 = 0.\)
-
A.
\(m = - 7.\)
-
B.
\(m = 1.\)
-
C.
\(m = - 1\) hoặc \(m = 7.\)
-
D.
\(m = 1\) hoặc \(m = - 7.\)
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1;6), B(-1;-4). Gọi C, D lần lượt là ảnh của A và B qua phép dời hình \(\left\{ \begin{array}{l}x' = {x} + 1\\y' = {y} + 5\end{array} \right.\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
-
A.
ABCD là hình thang
-
B.
ABCD là hình bình hành
-
C.
ABCD là hình thoi
-
D.
Bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:x + y - 2 = 0.\) Ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng trục \(Ox\) có phương trình là:
-
A.
\(x - y - 2 = 0.\)
-
B.
\(x + y + 2 = 0.\)
-
C.
\( - x + y - 2 = 0.\)
-
D.
\(x - y + 2 = 0.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I,{\rm{ }}J\) lần lượt là trung điểm \(SA,{\rm{ }}SB.\) Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(IJCD\) là hình thang
-
B.
\(\left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.\)
-
C.
\(\left( {SBD} \right) \cap \left( {JCD} \right) = JD.\)
-
D.
\(\left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = AO{\rm{ }}(O\) là tâm \(ABCD).\)
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD,\) \(M\) là trung điểm \(CD,\) \(I\) là điểm ở trên đoạn thẳng \(AG,\) \(BI\) cắt mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) tại \(J.\) Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(AM = \left( {ACD} \right) \cap \left( {ABG} \right).\)
-
B.
\(A,{\rm{ }}J,{\rm{ }}M\) thẳng hàng
-
C.
\(J\) là trung điểm của \(AM.\)
-
D.
\(DJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BDJ} \right).\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}G\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}BD\) sao cho \(EF\) cắt \(BC\) tại \(I\), \(EG\) cắt \(AD\) tại \(H\). Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
-
A.
\(CD,{\rm{ }}EF,{\rm{ }}EG.\)
-
B.
\(CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF.\)
-
C.
\(AB,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF\).
-
D.
\(AC,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}BD.\)
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$ . Gọi $M$ và $P$ lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh $AD$ và $BC$ sao cho $MA = PC = x\left( {0 < x < \dfrac{a}{2}} \right)$ . Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua $MP$ song song với $CD$ cắt tứ diện theo một thiết diện là hình gì?
-
A.
Hình bình hành
-
B.
Hình thoi
-
C.
Hình thang
-
D.
Hình thang cân
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt $SA, SB, SC, SD$ theo thứ tự lần lượt tại $A’, B’, C’, D’$ (không đồng thời trùng với các đầu mút). \(A'B'C'D'\) là hình bình hành khi và chỉ khi:
-
A.
\(\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)\)
-
B.
\(\left( \alpha \right)\) và $(ABCD)$ cắt nhau
-
C.
\(\left( \alpha \right)\) và $(ABCD)$ trùng nhau
-
D.
\(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của các đoạn $SA, SB, SC, SD.$
Cho tứ diện $ABCD,$ $M$ là trung điểm của cạnh $CD,$ $G$ là trọng tâm tứ diện. Khi đó 2 đường thẳng $AD$ và $GM $ là hai đường thẳng:
-
A.
Chéo nhau
-
B.
có hai điểm chung
-
C.
song song
-
D.
có một điểm chung
Giải phương trình \(\cos 3x\tan 5x = \sin 7x\).
-
A.
\(x = \dfrac{n\pi }{{2}};\,\,x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{13}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
B.
\(x = n\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
C.
\(x = n\pi ;\,\,x = \dfrac{3\pi }{{5}} + \dfrac{{2k\pi }}{{7}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
D.
\(x = n\pi ;\,\,x = \dfrac{3\pi }{{5}} + \dfrac{{7k\pi }}{{13}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).
Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$ học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:
-
A.
\(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
-
B.
\(T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)\)
-
C.
\(T = n{2^{n - 1}}\)
-
D.
\(T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng : \({x^3} - 3m{x^2} + 2m\left( {m - 4} \right)x + 9{m^2} - m = 0\) ?
-
A.
$m = 0$
-
B.
\(m = \dfrac{{17 + \sqrt {265} }}{{12}}\)
-
C.
\(m = \dfrac{{17 - \sqrt {265} }}{{12}}\)
-
D.
$m = 1$
Lời giải và đáp án
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left( {x{y^2} - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^8}.$
-
A.
$70{y^4}.$
-
B.
$60{y^4}.$
-
C.
$50{y^4}.$
-
D.
$40{y^4}.$
Đáp án : A
Sử dụng công thức tổng quát ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k\,=\,0}^{n}{C_{n}^{k}}.{{a}^{n\,-\,k}}.{{b}^{k}}\,\,\xrightarrow{{}}$ Tìm hệ số của số hạng cần tìm.
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có
${\left( {x{y^2} - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^8} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} .{\left( {x{y^2}} \right)^{8 - k}}.{\left( { - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^k} $ $= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{8 - k}}.{y^{16 - 2k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {xy} \right)^{ - k}} $ $= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{8 - 2k}}.{y^{16 - 3k}}.$
Số hạng không chứa $x$ ứng với $8-2k=0\Leftrightarrow k=4\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Số hạng cần tìm là $C_8^4.{\left( { - \,1} \right)^4}.{y^4} = 70{y^4}.$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có cạnh đáy $AB$ và $CD$ . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Tìm điều kiện của $AB$ và $CD$ để thiết diện của $\left( {IJG} \right)$ và hình chóp là một hình bình hành.
-
A.
\(AB = \dfrac{2}{3}CD\)
-
B.
$AB = CD$
-
C.
\(AB = \dfrac{3}{2}CD\)
-
D.
$AB = 3CD$ .
Đáp án : D
- Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có điểm chung $M$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $d$ và $d'$ thì giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\)là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$ và $d'$ .
- Sử dụng các tính chất của đường trung bình của hình thang.
- Sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác.
- Sử dụng định lí Ta-let để suy ra các tỉ lệ.
- Dấu hiệu nhận biết các tứ giác đặc biệt.
Ta có: $ABCD$ là hình thang và $I,J$ là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$.
\( \Rightarrow IJ//AB//CD\) .
\(\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {{\rm{IJ}}G} \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\{\rm{IJ}} \subset \left( {{\rm{IJ}}G} \right)\\AB//{\rm{IJ}}\end{array} \right. \Rightarrow \) Trong $\left( {SAB} \right)$ qua $G$ kẻ \(MN//AB\left( {M \in SA;N \in SB} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {{\rm{IJ}}G} \right) = MN\) và $MN//IJ//AB//CD$ .
Dễ thấy thiết diện của $\left( {IJG} \right)$ và hình chóp là hình thang $MNJI$.
$G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $MN//AB$ nên theo định lí Ta-let ta có:
\(\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SG}}{{SE}} = \dfrac{2}{3}\) (Với $E$ là trung điểm của $AB$).
\( \Rightarrow MN = \dfrac{2}{3}AB\)
Lại có: $IJ$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên ${\rm{IJ}} = \dfrac{{AB + CD}}{2}.$
Để hình thang $MNJI$ trở thành hình bình hành thì cần điều kiện $MN = IJ$.
\( \Rightarrow \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \Leftrightarrow AB = 3CD.\)
Cho năm điểm \(A,B,C,D,E\) trong đó không có bốn điểm nào ở trên cùng một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho?
-
A.
$10$.
-
B.
$12$.
-
C.
$8$.
-
D.
$14$.
Đáp án : A
Cứ chọn ra ba điểm trong số năm điểm \(A,B,C,D,E\) ta sẽ có một mặt phẳng. Từ năm điểm ta có $C_5^3 = 10$ cách chọn ra ba điểm bất kỳ trong số năm điểm đã cho, nên có $10$ mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho.
Cho điểm $N\left( { - 2;3} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng
-
A.
Điểm $M\left( {2; - 3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Oy$.
-
B.
Điểm $M\left( { - 2; - 3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
-
C.
Điểm $M\left( {2;3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
-
D.
Điểm $M\left( { - 2;3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Oy$.
Đáp án : B
Điểm $M'\left( {a; - b} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $M\left( {a;b} \right)$ qua phép đối xứng trục $Ox$ và $M''\left( { - a;b} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $M\left( {a;b} \right)$ qua phép đối xứng trục $Oy$.
Điểm $M\left( { - 2; - 3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
Cho hình chóp $S.ABCD.$ Gọi $M, N $ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $ABC.$ Khi đó $MN$ song song với
-
A.
$mp(SAD) $
-
B.
$AD$
-
C.
$mp(SCD)$
-
D.
$mp(SBD)$
Đáp án : C
- Đưa về cùng một mặt phẳng.
- Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác.
- Áp dụng định lí Ta – let đảo để chứng minh hai đường thẳng song song.
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ ta có:
\(\begin{array}{l}M \in SE\,;\,\dfrac{{EM}}{{ES}} = \dfrac{1}{3}\\N \in EC\,;\,\dfrac{{EN}}{{EC}} = \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Xét tam giác $ESC$ ta có \(\dfrac{{EM}}{{ES}} = \dfrac{{EN}}{{EC}} = \dfrac{1}{3} \)
\(\Rightarrow \) $MN // SC$ (Định lí Ta – let đảo).
Mà \(SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow MN // (SCD)\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép vị tự \(V\) tỉ số \(k = 2\) biến điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - 5;1} \right).\) Hỏi phép vị tự \(V\) biến điểm \(B\left( {0;1} \right)\) thành điểm có tọa độ nào sau đây?
-
A.
\(\left( {0;2} \right).\)
-
B.
\(\left( {12; - 5} \right).\)
-
C.
\(\left( { - 7;7} \right).\)
-
D.
\(\left( {11;6} \right).\)
Đáp án : C
Sử dụng tính chất của phép vị tự \({V_{\left( {I;k} \right)}}\left( A \right) = A',{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( B \right) = B'\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {A'B'} = k\overrightarrow {AB} \)
Gọi \(B'\left( {x;y} \right)\) là ảnh của \(B\) qua phép vị tự \(V.\)
Suy ra \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {x + 5;y - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right).\)
Theo giả thiết, ta có \(\overrightarrow {A'B'} = 2\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 5 = 2.\left( { - 1} \right)\\y - 1 = 2.3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\y = 7\end{array} \right.\).
Phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \) có hai họ nghiệm có dạng \(x = \alpha + k2\pi ,\,x = \beta + k2\pi ,\)
\(\left( { - \dfrac{\pi }{2} < \alpha <\beta < \dfrac{\pi }{2}} \right)\) . Khi đó \(\alpha .\beta \) là:
-
A.
\( - \dfrac{{5{\pi ^2}}}{{12}}\)
-
B.
\( - \dfrac{{5{\pi ^2}}}{{144}}\)
-
C.
\(\dfrac{{5{\pi ^2}}}{{144}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{12}}\)
Đáp án : B
Bước 1: Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\):
\(a.\sin x+b.\cos x=c\)
+) Nếu $a^2+b^2 \ge c$ thì chia hai vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$
+) Biến đổi $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ về dạng $\cos m$ và $\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ về dạng $\sin m$.
+) Sử dụng công thức cộng: $\sin a. \cos b+\sin b. \cos a=\sin (a+b)$
Bước 2: Giải phương trình tìm giá trị \(\alpha ,\beta \) và suy ra đáp án.
$\sin x=\sin a$\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a + k2\pi }\\{x =\pi-a + k2\pi }\end{array}} \right.\)
Bước 1:
\({\mkern 1mu} \sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}\)
Bước 2:
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{\;}} - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\alpha {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \dfrac{\pi }{{12}}}\\{\beta {\rm{\;}} = \dfrac{{5\pi }}{{12}}}\end{array}} \right. \)
(Vì $ - \dfrac{\pi }{{12}}$ và $ \dfrac{{5\pi }}{{12}}$ đều thỏa mãn điều kiện đề bài)
\(\Rightarrow \alpha .\beta {\rm{\;}} = \dfrac{{ - 5{\pi ^2}}}{{144}}\)
Gọi $m$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép quay tâm $I$ góc quay \(\alpha \) (biết rằng $I$ không nằm trên $d$), đường thẳng $d$ song song với $m$ khi:
-
A.
\(\varphi = \dfrac{\pi }{3}\)
-
B.
\(\varphi = - \pi \)
-
C.
\(\varphi = \dfrac{\pi }{6}\)
-
D.
\(\varphi = \dfrac{{2\pi }}{3}\)
Đáp án : B
Nhận xét ảnh của $d$ qua phép quay tâm $I$ ứng với mỗi góc quay của từng đáp án rồi đối chiếu ảnh có được có phải là đường thẳng song song với $d$ hay không
Ta dễ thấy chỉ có phép quay tâm $I$ góc quay \(\varphi = - \pi \) biến $d$ thành $m$ sao cho $d//m$ .
Viết sáu số xen giữa $3$ và $24$ để được một cấp số cộng có $8$ số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là :
-
A.
$6, 9, 12, 15, 18, 21$
-
B.
$21, 18, 15, 12, 9, 6 $
-
C.
\(\dfrac{{13}}{2},10,\dfrac{{27}}{2},17,\dfrac{{41}}{2},24\)
-
D.
\(\dfrac{{16}}{3},\dfrac{{23}}{3},\dfrac{{37}}{3},\dfrac{{44}}{3},\dfrac{{58}}{3},\dfrac{{65}}{3}\)
Đáp án : A
Coi \({u_1} = 3,{u_8} = 24\), biểu diễn ${u_8}$ theo ${u_1}$ và $d$ nhờ công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_8} = 24 = {u_1} + 7d\end{array} \right. \Rightarrow 24 = 3 + 7d \Rightarrow d = 3 \Rightarrow \) Sáu số hạng cần viết thêm là: $6,9,12,15,18,21$.
Cho hình vuông tâm $O$. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm $O$, góc quay \(\alpha \,\,\left( {0 < \alpha \le 360^0} \right)\) biến hình vuông đã cho thành chính nó.
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Đáp án : D
Sử dụng tính chất của hình vuông để xác định các góc quay thỏa mãn bài toán.
$\begin{array}{l}
{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = D\\
{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = A\\
{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( C \right) = B\\
{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( D \right) = C\\
\Rightarrow {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( {ABCD} \right) = ABCD\\
{Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( A \right) = C\\
{Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( B \right) = D\\
{Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( C \right) = A\\
{Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( D \right) = B\\
\Rightarrow {Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( {ABCD} \right) = ABCD\\
{Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\\
{Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( B \right) = C\\
{Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( C \right) = D\\
{Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( D \right) = A\\
\Rightarrow {Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( {ABCD} \right) = ABCD\\
{Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( A \right) = A\\
{Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( B \right) = B\\
{Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( C \right) = C\\
{Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( D \right) = D\\
\Rightarrow {Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( {ABCD} \right) = ABCD
\end{array}$
Vậy có 4 phép quay cần tìm.
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q > 0\) . Biết \({u_2} = 4;{u_4} = 9\) .
-
A.
\({u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
B.
\({u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\({u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\({u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
Đáp án : B
Sử dụng định nghĩa cấp số nhân:
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) (hữu hạn hoặc vô hạn) là cấp số nhân \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = q.{u_n},\forall n \ge 1,n \in {N^*}\)
Ta có \({u_2} = 4 = {u_1}.q\) và \({u_4} = 9 = {u_1}.{q^3}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow \dfrac{9}{4} = {q^2} \) \(\Rightarrow q = \dfrac{3}{2}{\rm{ }}\left( {q > 0} \right) \Rightarrow {u_1} = \dfrac{8}{3}\)
Trong các điều kiện sau, điều kiện nào kết luận \(mp\left( \alpha \right)//mp\left( \beta \right)\)?
-
A.
\(\left( \alpha \right)//\left( \gamma \right)\) và \(\left( \beta \right)//\left( \gamma \right)\) (\(\left( \gamma \right)\) là mặt phẳng nào đó).
-
B.
\(\left( \alpha \right)//a\) và \(\left( \alpha \right)//b\) với a, b là hai đường thẳng phân biệt thuộc \(\left( \beta \right)\).
-
C.
\(\left( \alpha \right)//a\) và \(\left( \alpha \right)//b\) với a, b là hai đường thẳng phân biệt cùng song song với \(\left( \beta \right)\).
-
D.
\(\left( \alpha \right)//a\) và \(\left( \alpha \right)//b\) với a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc \(\left( \beta \right)\)
Đáp án : D
A sai vì \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) có thể trùng nhau.
B sai vì nếu a // b thì \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) chưa chắc song song với nhau.
C không thể kết luận được vị trí của \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\).
D đúng vì dựa vào định nghĩa hai mặt phẳng song song khi mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với mặt phẳng kia.
Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo \({T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\) biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?
-
A.
BC
-
B.
AB
-
C.
DC
-
D.
CA
Đáp án : B
Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến: \({T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) = B \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \).
Mà ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} \).
Do đó
\(\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( D \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( D \right) = A\\{T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( C \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( C \right) = B\end{array}\)
Vậy \({T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( {DC} \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( {DC} \right) = AB\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(AD \subset \left( {ABC} \right)\)
-
B.
\(AD \cap \left( {ABC} \right) = C\)
-
C.
\(AB \subset \left( {ABC} \right)\)
-
D.
\(AC//\left( {ABD} \right)\)
Đáp án : C
Vẽ hình và xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Từ hình vẽ ta thấy:
+) Đường thẳng \(AD\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) tại điểm duy nhất \(A\) nên đáp án A, B đều sai.
+) \(A \in \left( {ABC} \right),B \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB \subset \left( {ABC} \right)\) nên C đúng.
+) Đường thẳng \(AC\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) tại điểm duy nhất \(A\) nên D sai.
Xếp ngẫu nhiên $3$ nam và $5$ nữ ngồi vào $8$ ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất để $3$ nam ngồi cạnh nhau.
-
A.
\(\dfrac{3}{{28}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{20}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{10}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{5}\)
Đáp án : A
- Tính số phần tử của không gian mẫu \(\left| \Omega \right|\)
- Tính số kết quả có lợi cho biến cố \(\left| A \right|\)
- Sử dụng công thức tính xác suất \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)
Không gian mẫu \(\Omega \) là tập các hoán vị của $8$ phần tử, ta có: \(\left| \Omega \right| = 8! = 40320\)
Gọi $A$ là biến cố $3$ nam ngồi cạnh nhau.
Coi \(3\) nam là một người và thêm \(5\) nữ là \(6\) người nên sẽ có \(6!\) cách, hoán đổi vị trí của \(3\) nam ta có \(3!\) cách nên \(\left| A \right| = 3!.6! = 4320\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{4320}}{{40320}} = \dfrac{3}{{28}}\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Hàm số \(y = \sin x\) có chu kỳ \(T = \pi \)
-
B.
Hàm số \(y = \cos x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
-
C.
Hàm số \(y = \cot x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
-
D.
Hàm số \(y = \cot x\) có chu kỳ \(T = 2\pi \)
Đáp án : C
Hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) có chu kì \(T = 2\pi \).
Hàm số \(y = \cot x\) và hàm số \(y = \tan x\) có chu kì \(T = \pi \).
Vậy chỉ có đáp án C đúng.
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
$q = - 4\,.$
-
B.
$q = 4.$
-
C.
$q = - 12.$
-
D.
$q = 10.$
Đáp án : A
Sử dụng định nghĩa công bội của cấp số nhân:
Nếu \(q\) là công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thì \(q = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \(q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4\).
Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy là hình thang, đáy lớn $AB$ , Gọi $O$ là giao của $AC$ với $BD$ . $M$ là trung điểm $SC$ . Giao điểm của đường thẳng $AM$ và $mp\left( {SBD} \right)$ là:
-
A.
$I$ , với \(I = AM \cap SO\)
-
B.
$I$ , với \(I = AM \cap SC\)
-
C.
$I$ , với \(I = AM \cap SB\)
-
D.
$I$ , với \(I = AM \cap BC\)
Đáp án : A
Đưa về cùng mặt phẳng, tìm trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ một đường thẳng đồng phẳng với $AM$ .
Xét trong $\left( {SAC} \right)$ ta gọi \(I = AM \cap SO,SO \subset \left( {SBD} \right) \) \(\Rightarrow AM \cap \left( {SBD} \right) = I\)
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:
-
A.
\({P_n} = n!\)
-
B.
\({P_n} = n\)
-
C.
\({P_n} = \left( {n - 1} \right)!\)
-
D.
\({P_n} = {n^2}\)
Đáp án : A
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là \({P_n} = n!\)
Có bao nhiêu cách xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?
-
A.
\(1\).
-
B.
\(25\).
-
C.
\(5\).
-
D.
\(120\).
Đáp án : D
Số cách sắp xếp \(n\) bạn vào \(n\) vị trí khác nhau là \({P_n} = n!\)
Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.
Vậy số cách xếp là \({P_5} = 5! = 120\) (cách).
Phép đối xứng tâm \(I\left( {1;1} \right)\) biến đường thẳng \(d:\,\,x + y + 2 = 0\) thành đường thẳng $d'$ có phương trình là:
-
A.
\(x + y + 4 = 0\)
-
B.
\(x + y + 6 = 0\)
-
C.
\(x + y - 6 = 0\)
-
D.
\(x + y = 0\)
Đáp án : C
Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Trường hợp trùng chỉ xảy ra khi tâm đối xứng nằm trên dường thẳng đó.
Gọi $d'$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép đối xứng tâm \(I \Rightarrow d'//d \Rightarrow \) phương trình $d'$ có dạng \(x + y + c = 0\) ($d//d'$ vì $I \notin d$)
Lấy \(A\left( { - 1; - 1} \right) \in d\). Gọi $A'$ là ảnh của $A$ qua phép đối xứng tâm \(I \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AA' \Rightarrow A'\left( {3;3} \right)\)
\( \Rightarrow A' \in d' \Leftrightarrow 3 + 3 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 6\)
Vậy phương trình đường thẳng $d'$ là \(x + y - 6 = 0\)
Giả sử $M$ là giao của đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
$M \in a$
-
B.
$M \in \left( P \right)$
-
C.
Tồn tại đường thẳng $b \subset \left( P \right)$ sao cho $M$ là giao điểm của $a$ và $b$
-
D.
Với đường thẳng $b$ bất kỳ nằm trong $\left( P \right)$, ta có $M$ là giao của $a$ và $b$
Đáp án : D
Dựa vào vị trí tương đối đường thẳng cắt mặt phẳng.
Khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ thì $M \in a$ và $M \in \left( P \right)$ và tồn tại đường thẳng $b \subset \left( P \right)$ đi qua $M$, do đó $M$ là giao điểm của $a$ và $b$
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}}\). Số \(\dfrac{8}{{15}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
-
A.
\(8.\)
-
B.
\(6.\)
-
C.
\(5.\)
-
D.
\(7.\)
Đáp án : D
Giải phương trình \({u_n} = \dfrac{8}{{15}}\) để tìm \(n\) và suy ra đáp án.
\({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \dfrac{8}{{15}} \Leftrightarrow 15n + 15 = 16n + 8 \Leftrightarrow n = 7.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({S_n} = 3{n^2} - 2n\). Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.
-
A.
\({u_1} = 2;d = 7\)
-
B.
\({u_1} = 1,d = 6\)
-
C.
\({u_1} = 1;d = - 6\)
-
D.
\({u_1} = 2;d = 6\)
Đáp án : B
Tính \({S_1} = {u_1},{S_2} = {u_1} + {u_2}\). Sau đó tìm hiệu \({u_2} - {u_1}\) và suy ra công sai của CSC đó
Ta có \({S_1} = 3.1 - 2.1 = 1 = {u_1},\) \({S_2} = {3.2^2} - 2.2 = 8 = {u_1} + {u_2} \) \(\Rightarrow {u_2} = 7 \Rightarrow d = {u_1} - {u_2} = 6\)
Tích các giá trị $x$ nguyên thỏa mãn bất phương trình \(\dfrac{1}{2}A_{2x}^2 - A_x^2 \le \dfrac{6}{x}C_x^3 + 10\) là:
-
A.
$10$
-
B.
$15$
-
C.
$12$
-
D.
$ - 8$
Đáp án : C
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}2x \ge 2\\x \ge 2\\x \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 3,x \in N\)
$\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}A_{2x}^2 - A_x^2 \le \dfrac{6}{x}C_x^3 + 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\dfrac{{\left( {2x} \right)!}}{{\left( {2x - 2} \right)!}} - \dfrac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} \le \dfrac{6}{x}\dfrac{{x!}}{{3!\left( {x - 3} \right)!}} + 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2x - 1} \right)2x}}{2} - x\left( {x - 1} \right) \le \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + 10\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - x - {x^2} + x - {x^2} + 3x - 2 - 10 \le 0\\ \Leftrightarrow 3x - 12 \le 0\\ \Leftrightarrow x \le 4\end{array}$
Kết hợp điều kiện ta có \(3 \le x \le 4\)
Mà \(x \in Z \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 3\\{x_2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = 3.4 = 12\)
Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là :
-
A.
$5$ mặt, $5$ cạnh
-
B.
$6$ mặt, $5$ cạnh
-
C.
$6$ mặt, $10$ cạnh
-
D.
$5$ mặt, $10$ cạnh
Đáp án : C
Vẽ hình và đếm số cạnh, số mặt của hình chóp ngũ giác.
Hình chóp ngũ giác có $5$ mặt bên + $1$ mặt đáy. $5$ cạnh bên và $5$ cạnh đáy.
Điểm nào là ảnh của \(M\left( {3; - 1} \right)\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;2} \right)\)
-
A.
\(\left( {2;1} \right)\)
-
B.
\(\left( { - 1;5} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 1;3} \right)\)
-
D.
\(\left( {5; - 4} \right)\)
Đáp án : B
Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua tâm \(I \Rightarrow I\) là trung điểm của $MM'$.
Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua tâm \(I \Rightarrow I\) là trung điểm của $MM'$ .
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_I} - {x_M} = - 1\\{y_{M'}} = 2{y_I} - {y_M} = 5\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( { - 1;5} \right)\)
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7 là:
-
A.
\(\dfrac{2}{9}\).
-
B.
\(\dfrac{1}{6}\).
-
C.
\(\dfrac{7}{{36}}\).
-
D.
\(\dfrac{5}{{36}}\).
Đáp án : B
- Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Liệt kê các khả năng có lợi cho biến cố.
- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
Ta có: \(n(\Omega ) = 6.6 = 36\).
Gọi \(A\):”tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7”.
\(A = {\rm{\{ (1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)\} }}\).
Do đó \(n(A) = 6\).
Vậy \(P(A) = \dfrac{6}{{36}} = \dfrac{1}{6}\).
Phương trình \(\tan \dfrac{x}{2} = \tan x\) có nghiệm:
-
A.
\(k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
Cả 3 đáp án đúng
Đáp án : A
Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Sử dụng công thức $\tan x =\dfrac{\sin x}{\cos x}$ và \(\tan \dfrac{x}{2} = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{\cos \dfrac{x}{2}}}\)
$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi$
Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) và kết hợp với điều kiện xác định để loại nghiệm.
Bước 1:
Điều kiện:\(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \pi + k2\pi \end{array} \right.\)
Bước 2:
Ta có: \(\tan \dfrac{x}{2} = \tan x \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = x + k\pi \) \(\Leftrightarrow - \dfrac{x}{2} = k\pi \Leftrightarrow - x = 2k\pi \) \(\Leftrightarrow x = - k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) (*)
Đặt \(k = - l\) nên:
(*)\(\Leftrightarrow x = l2\pi \left( {l \in Z} \right)\) (TMĐK)
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
A.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì song song
-
B.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau
-
C.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
-
D.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song
Đáp án : D
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung (không cắt nhau) thì có thể song song hoặc chéo nhau nên A, B, C sai, D đúng.
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(k \ne p.\)
-
B.
\(k \ge p.\)
-
C.
\(k = p.\)
-
D.
\(k < p.\)
Đáp án : B
Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) với \(k \ge p\).
Một lớp có $8$ học sinh được bầu chọn vào 3 chức vụ khác nhau: lớp trưởng, lớp phó và bí thư (không được kiêm nhiệm). Số cách lựa chọn khác nhau sẽ là:
-
A.
$336$
-
B.
$56$
-
C.
$31$
-
D.
$40320$
Đáp án : A
Vì các chức vụ là khác nhau nên mỗi cách chọn sẽ là $1$ chỉnh hợp chập $3$ của $8$
Số cách chọn ra $3$ người để bầu cho $3$ vị trí khác nhau là \(A_8^3 = 336\) (cách).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x\) là
-
A.
\(2\sqrt 2 \)
-
B.
\(1 - \sqrt 2 \)
-
C.
\(1 + \sqrt 2 \)
-
D.
\(3\)
Đáp án : B
Bước 1: Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\)
Bước 2: Sử dụng công thức \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin \,a.sinb\) để tính \(\dfrac{y}{{\sqrt 2 }}\)
Bước 3: Sử dụng \( - 1 \le \cos x \le 1\) để đánh giá , từ đó đánh giá \(y\).
Bước 4: Xét dấu “=” xảy ra \( \to \) Tìm x.
Bước 5: Kết luận
Bước 1:
Ta có \(y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x = 2.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + \sin 2x\)\( = 1 + \cos 2x + \sin 2x\)
Bước 2:
\( \Rightarrow \dfrac{y}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x\) \( = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos 2x\cos \dfrac{\pi }{4} + \sin 2x.\sin \dfrac{\pi }{4}\) \( = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)
Bước 3:
Ta có \(\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Hay \(\dfrac{y}{{\sqrt 2 }} \ge - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow y \ge 1 - \sqrt 2 \)
Bước 4:
Dấu = xảy ra khi \(\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} = - \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 3\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Bước 5:
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(1 - \sqrt 2 \).
Một nhóm $9$ người gồm $3$ đàn ông, $4$ phụ nữ và $2$ đứa trẻ đi xem phim. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên một hàng ghế sao cho mỗi đứa trẻ ngồi giữa hai người phụ nữ và không có hai người đàn ông nào ngồi cạnh nhau.
-
A.
$288$
-
B.
$864$
-
C.
$24$
-
D.
$576$
Đáp án : B
- Kí hiệu T là ghế đàn ông ngồi, N là ghế cho phụ nữ ngồi, C là ghế cho trẻ em ngồi.
- Xét lần lượt các phương án sau và sử dụng quy tắc nhân để tính số cách xếp.
PA1: TNCNTNCNT.
PA2: TNTNCNCNT.
PA3: TNCNCNTNT.
- Sử dụng quy tắc cộng để tính số cách xếp thỏa mãn.
Kí hiệu T là ghế đàn ông ngồi, N là ghế cho phụ nữ ngồi, C là ghế cho trẻ em ngồi. Ta có phương án sau:
PA1: TNCNTNCNT.
PA2: TNTNCNCNT.
PA3: TNCNCNTNT.
Xét phương án 1: Xếp ba vị trí ghế cho $3$ người đàn ông ngồi.
- Người đàn ông thứ nhất có $3$ cách xếp.
- Người đàn ông thứ hai có $2$ cách xếp.
- Người đàn ông thứ ba có $1$ cách xếp
Nên số cách xếp ba vị trí cho $3$ người đàn ông là $3.2.1 = 6$ cách.
Tương tự: Bốn vị trí ghế cho phụ nữ ngồi có $4.3.2.1 = 24$ cách.
Hai vị trí cho trẻ em ngồi có $2.1 = 2$ cách.
Lập luận tương tự cho PA2 và PA3.
Theo quy tắc cộng ta có: $3.6.24.2 = 864$ cách.
Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = 243\) là:
-
A.
\(n = 5\)
-
B.
\(n = 4\)
-
C.
\(n = 3\)
-
D.
\(n = 6\)
Đáp án : A
+) Xuất phát từ khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
+) Thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp.
+) Giải phương trình để tìm \(n\)
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Thay \(a = 1,b = 2\) ta có:
\({3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n\)
Kết hợp với giả thiết ta có: \({3^n} = 243 \Leftrightarrow {3^n} = {3^5} \Leftrightarrow n = 5\)
Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy kết quả thu được là một số chia hết cho 3?
-
A.
\(90\).
-
B.
\(1200\).
-
C.
\(384\).
-
D.
\(1025\).
Đáp án : C
Chia các số từ 1 đến 20 thàng 3 nhóm : Chia hết cho 3, chia cho 3 dư 1 và chia cho 3 dư 2.
Đếm số khả năng có lợi cho biến cố chọn được ba số có tổng chia hết cho 3.
Chia các số từ 1 đến 20 làm 3 nhóm:
\({X_1}:\left\{ {1;4;7;...;19} \right\}\): chia cho 3 dư 1 (có 7 phần tử)
\({X_2}:\left\{ {2;5;8;...;20} \right\}\): chia cho 3 dư 2 (có 7 phần tử)
\({X_3}:\left\{ {3;6;9;...;18} \right\}\): chia hết cho 3 (có 6 phần tử)
Để kết quả thu được là một số chia hết cho 3 thì số ghi trên viên bi có các trường hợp sau:
+) Cả 3 viên thuộc \({X_1}\), có: \(C_7^3\) cách
+) Cả 3 viên thuộc \({X_2}\), có: \(C_7^3\) cách
+) Cả 3 viên thuộc \({X_3}\), có: \(C_6^3\) cách
+) 1 viên thuộc \({X_1}\), 1 viên thuộc \({X_2}\), 1 viên thuộc \({X_3}\), có: \(7.7.6\) cách
\( \Rightarrow \)Số cách thỏa mãn là: \(C_7^3 + C_7^3 + C_6^3 + 7.7.6 = 384\)
Một chiếc tàu khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa có xác suất khoan trúng túi dầu là $0,4$. Xác suất để trong $5$ lần khoan độc lập, chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần.
-
A.
\(0,07776\)
-
B.
\(0,84222\)
-
C.
\(0,15778\)
-
D.
\(0,92224\)
Đáp án : D
Sử dụng các công thức tính xác suất.
- Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì \(P(AB) = P(A).P(B)\) .
- Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .
- Nếu A và B là hai biến cố đối nhau thì \(P\left( A \right) + P(B) = 1\)
Gọi A là biến cố “chiếc tàu khoan trúng túi dầu”. Ta có \(P\left( A \right) = 0,4\)
Suy ra \(\bar A\) là biến cố “chiếc tàu khoan không trúng túi dầu”. Ta có \(P(\bar A) = 0,6\)
Xét phép thử “tàu khoan 5 lần độc lập” với biến cố
B:“chiếc tàu không khoan trúng túi dầu lần nào”, ta có \(P(B) = 0,{6^5} = 0,07776\)
Khi đó ta có \(\overline B\) “chiếc tàu khoan trúng túi dầu ít nhất một lần”. Ta có:
\(P\left( {\overline B} \right) = 1 - P(B) \) \(= 1 - 0,07776 = 0,92224\)
Giá trị của tổng $S = 1-2 + 3-4 + ... - 2n + \left( {2n + 1} \right)$ là:
-
A.
$1$
-
B.
$0$
-
C.
$5$
-
D.
$n + 1$
Đáp án : D
- Cách tính tổng S: Xác định số hạng cuối cùng (2n+1) trong tổng rồi thực hiện các phép toán cộng trừ xen kẽ từ 1 đến số đó.
- Dự đoán công thức tổng $S$ sau đó chứng minh công thức vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với $n = 0$ ta có: $S = 1$
Với $n = 1$ ta có $S = 1 – 2 + 3 = 2$
Với $n = 2$ ta có $S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3$
Dự đoán $S = n + 1 (*)$, ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng bằng quy nạp.
Với $n = 0$ đương nhiên $(*)$ đúng.
Giả sử $(*)$ đúng với $n = k$, tức là \({S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} \right) = k + 1\), ta chứng minh $(*)$ đúng với $n =k+1$.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} \right) + \left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + 2k + 1} \right) - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = {S_k} - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = k + 1 + 1.\end{array}\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$, tức là $S = n + 1$.
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: \({x^3} - 7{x^2} + 2\left( {{m^2} + 6m} \right)x - 8 = 0.\)
-
A.
\(m = - 7.\)
-
B.
\(m = 1.\)
-
C.
\(m = - 1\) hoặc \(m = 7.\)
-
D.
\(m = 1\) hoặc \(m = - 7.\)
Đáp án : D
- Sử dụng Vi – et cho phương trình bậc ba \({x_1}{x_2}{x_3} = - \dfrac{d}{a}\) và tính chất CSN tìm nghiệm ở giữa.
- Thay nghiệm này vào phương trình tìm \(m\) và thử lại.
+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số nhân.
Theo định lý Vi-ét, ta có \({x_1}{x_2}{x_3} = 8.\)
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có \({x_1}{x_3} = x_2^2\). Suy ra ta có \(x_2^3 = 8 \Leftrightarrow {x_2} = 2.\)
+ Điều kiện đủ: Với \(m = 1\) và \(m = 7\) thì \({m^2} + 6m = 7\) nên ta có phương trình
\({x^3} - 7{x^2} + 14x - 8 = 0.\)
Giải phương trình này, ta được các nghiệm là \(1,2,4.\) Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị \(q = 2.\)
Vậy, \(m = 1\) và \(m = - 7\) là các giá trị cần tìm. Do đó phương án \(D.\)
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1;6), B(-1;-4). Gọi C, D lần lượt là ảnh của A và B qua phép dời hình \(\left\{ \begin{array}{l}x' = {x} + 1\\y' = {y} + 5\end{array} \right.\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
-
A.
ABCD là hình thang
-
B.
ABCD là hình bình hành
-
C.
ABCD là hình thoi
-
D.
Bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng
Đáp án : D
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
- Chứng minh các vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {AB} \) cùng phương.
Nhận thấy đây là phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v \left( {1;5} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 10} \right) = - 2\left( {1;5} \right) = - 2\overrightarrow v \,\,\,\left( 1 \right)\).
Vì C, D lần lượt là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v \left( {1;5} \right)\) nên \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} = \overrightarrow v \,\,\,\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {AB} \) cùng phương hay AB // AC // BD.
Vậy A, B, C, D thẳng hàng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:x + y - 2 = 0.\) Ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng trục \(Ox\) có phương trình là:
-
A.
\(x - y - 2 = 0.\)
-
B.
\(x + y + 2 = 0.\)
-
C.
\( - x + y - 2 = 0.\)
-
D.
\(x - y + 2 = 0.\)
Đáp án : A
- Tìm tọa độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \(Ox\).
- Lấy một điểm \(B \in d\) và tìm ảnh \(B'\) của \(B\) qua \(Ox\).
- Viết phương trình \(AB'\) và kết luận.
Trục \(Ox\) có phương trình \(y = 0.\)
Tọa độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \(Ox\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;0} \right).\)
Vì \(A \in Ox\) nên qua phép đối xứng trục \(Ox\) biến thành chính nó, tức \(A' \equiv A\left( {2;0} \right).\)
Chọn điểm \(B\left( {1;1} \right) \in d \Rightarrow B'\left( {1; - 1} \right)\) là ảnh của \(B\) qua phép đối xứng trục \(Ox\).
Vậy đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng trục \(Ox\) đi qua hai điểm \(A'\left( {2;0} \right)\) và \(B'\left( {1; - 1} \right)\) nên có phương trình \(x - y - 2 = 0.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I,{\rm{ }}J\) lần lượt là trung điểm \(SA,{\rm{ }}SB.\) Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(IJCD\) là hình thang
-
B.
\(\left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.\)
-
C.
\(\left( {SBD} \right) \cap \left( {JCD} \right) = JD.\)
-
D.
\(\left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = AO{\rm{ }}(O\) là tâm \(ABCD).\)
Đáp án : D
- Xét tính đúng sai của các đáp án bằng cách tìm giao tuyến của mỗi cặp mặt phẳng đã cho ở mỗi đáp án.
\( \bullet \) Ta có \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\) \( \Rightarrow IJ\parallel AB\parallel CD \Rightarrow IJ\parallel CD\)
\( \Rightarrow IJCD\) là hình thang. Do đó A đúng.
\( \bullet \) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IB \subset \left( {SAB} \right)\\IB \subset \left( {IBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.\) Do đó B đúng.
\( \bullet \) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}JD \subset \left( {SBD} \right)\\JD \subset \left( {JBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBD} \right) \cap \left( {JBD} \right) = JD.\) Do đó C đúng.
\( \bullet \) Trong mặt phẳng \(\left( {IJCD} \right)\), gọi \(M = IC \cap JD\)$ \Rightarrow \left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = MO.$ Do đó D sai.
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD,\) \(M\) là trung điểm \(CD,\) \(I\) là điểm ở trên đoạn thẳng \(AG,\) \(BI\) cắt mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) tại \(J.\) Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(AM = \left( {ACD} \right) \cap \left( {ABG} \right).\)
-
B.
\(A,{\rm{ }}J,{\rm{ }}M\) thẳng hàng
-
C.
\(J\) là trung điểm của \(AM.\)
-
D.
\(DJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BDJ} \right).\)
Đáp án : C
- Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\)
- Chứng minh \(J\) thuộc cả hai mặt phẳng \( \Rightarrow J \in AM\).
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {BDJ} \right)\).
Ta có \(A\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right).\)
Do \(BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow M \in \left( {ABG} \right)\\M \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow M \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right).\)$\Rightarrow \left( ABG \right)\cap \left( ACD \right)=AM\xrightarrow{{}}$A đúng.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BI \subset \left( {ABG} \right)\\AM \subset \left( {ABM} \right)\\\left( {ABG} \right) \equiv \left( {ABM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AM,BI\) đồng phẳng.
\( \Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M\) thẳng hàng$\xrightarrow{{}}$ B đúng.
Ta có $\left\{ \begin{align} & DJ\subset \left( ACD \right) \\ & DJ\subset \left( BDJ \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow DJ=\left( ACD \right)\cap \left( BDJ \right)\xrightarrow{{}}$ D đúng.
Điểm \(I\) di động trên \(AG\) nên \(J\) có thể không phải là trung điểm của \(AM\)
$\xrightarrow{{}}$ C sai
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}G\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}BD\) sao cho \(EF\) cắt \(BC\) tại \(I\), \(EG\) cắt \(AD\) tại \(H\). Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
-
A.
\(CD,{\rm{ }}EF,{\rm{ }}EG.\)
-
B.
\(CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF.\)
-
C.
\(AB,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF\).
-
D.
\(AC,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}BD.\)
Đáp án : B
Để chứng minh ba đường thẳng \({d_1},{\rm{ }}{d_2},{\rm{ }}{d_3}\) đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\); đồng thời \({d_3}\) là giao tuyến \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
Gọi \(O = HF \cap IG\). Ta có
\(O \in HF\) mà \(HF \subset \left( {ACD} \right)\) suy ra \(O \in \left( {ACD} \right)\).
\(O \in IG\) mà \(IG \subset \left( {BCD} \right)\) suy ra \(O \in \left( {BCD} \right)\).
Do đó \(O \in \left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right)\). \(\left( 1 \right)\)
Mà \(\left( {ACD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = CD\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(O \in CD\).
Vậy ba đường thẳng \(CD,{\rm{ }}IG,{\rm{ }}HF\) đồng quy.
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$ . Gọi $M$ và $P$ lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh $AD$ và $BC$ sao cho $MA = PC = x\left( {0 < x < \dfrac{a}{2}} \right)$ . Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua $MP$ song song với $CD$ cắt tứ diện theo một thiết diện là hình gì?
-
A.
Hình bình hành
-
B.
Hình thoi
-
C.
Hình thang
-
D.
Hình thang cân
Đáp án : D
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng các tính chất về đường cao, đường trung tuyến trong tam giác cân.
- Vận dụng các dấu hiệu nhận biết một số tứ giác đặc biệt.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right)\\CD\parallel \left( \alpha \right)\\CD \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN\parallel CD\) với \(N \in AC\).
Tương tự \(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ\parallel CD\) với \(Q \in BD.\)
Vì $MN//CD//PQ$ nên thiết diện $MNPQ$ là hình thang.
Ta có $DQ = CP = x,DM = a-x$.
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $DMQ$ ta có:
\(MQ = \sqrt {D{M^2} + D{Q^2} - 2DM.DQ.cos60} = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} .\)
Tương tự ta cũng tính được \(NP = \sqrt {3{x^2} - 3ax + {a^2}} .\)
Suy ra $MQ = NP$ .
Mặt khác ta có
\(\begin{array}{l}MN = x < \dfrac{a}{2};PQ = a - x > \dfrac{a}{2}\\ \Rightarrow MN \ne PQ\end{array}\)
\( \Rightarrow MNPQ\) không là hình bình hành
Vậy thiết diện $MNPQ$ là hình thang cân.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt $SA, SB, SC, SD$ theo thứ tự lần lượt tại $A’, B’, C’, D’$ (không đồng thời trùng với các đầu mút). \(A'B'C'D'\) là hình bình hành khi và chỉ khi:
-
A.
\(\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)\)
-
B.
\(\left( \alpha \right)\) và $(ABCD)$ cắt nhau
-
C.
\(\left( \alpha \right)\) và $(ABCD)$ trùng nhau
-
D.
\(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của các đoạn $SA, SB, SC, SD.$
Đáp án : A
Suy luận từng đáp án.
Do $A',B',C',D'$ không đồng thời trùng với các đầu mút nên loại đáp án C.
Gọi $a$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB, b$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AD.$
$A’B’C’D’$ là hình bình hành khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}A'B'//C'D'\\A'B' = C'D'\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\A'B'//C'D'\\A'B' \subset \left( {SAB} \right),\,\,C'D' \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'B'//a\)
Suy ra $A’B’ // AB$ $(1)$
Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}b = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\A'D'//B'C'\\A'D' \subset \left( {SAD} \right),\,\,C'B' \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'D'//b\)
Suy ra $A’D’ // AD$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ \( \Rightarrow \left( {A'B'C'D'} \right)//\left( {ABCD} \right)\) hay \(\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)\)
Cho tứ diện $ABCD,$ $M$ là trung điểm của cạnh $CD,$ $G$ là trọng tâm tứ diện. Khi đó 2 đường thẳng $AD$ và $GM $ là hai đường thẳng:
-
A.
Chéo nhau
-
B.
có hai điểm chung
-
C.
song song
-
D.
có một điểm chung
Đáp án : A
- Định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD, E$ và $F$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD$ và $ACD$ \( \Rightarrow E \in BM,F \in AM.\)
Trong $(AMB):$ \(G = AE \cap BF \Rightarrow \) $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD.$
Giả sử bốn điểm $A, D, G, M$ đồng phẳng.
$A, D, M$\( \in \left( {ACD} \right)\) \( \Rightarrow G \in \left( {ACD} \right) \) \(\Rightarrow AG \subset \left( {ACD} \right)\) \( \Rightarrow E \in \left( {ACD} \right)\)(Vô lí)
Do đó $A, D, M, G $ không đồng phẳng.
Vậy $AD $ và $GM$ là hai đường thẳng chéo nhau.
Giải phương trình \(\cos 3x\tan 5x = \sin 7x\).
-
A.
\(x = \dfrac{n\pi }{{2}};\,\,x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{13}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
B.
\(x = n\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
C.
\(x = n\pi ;\,\,x = \dfrac{3\pi }{{5}} + \dfrac{{2k\pi }}{{7}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).
-
D.
\(x = n\pi ;\,\,x = \dfrac{3\pi }{{5}} + \dfrac{{7k\pi }}{{13}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án : B
- Tìm ĐKXĐ.
- Sử dụng công thức \(\tan 5x = \dfrac{{\sin 5x}}{{\cos 5x}}\).
- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {sin\left( {a + b} \right) + sin\left( {a - b} \right)} \right]\).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
ĐKXĐ: \(\cos 5x \ne 0 \Leftrightarrow 5x \ne \dfrac{\pi }{2} + m\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{m\pi }}{5}\,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos 3x\tan 5x = \sin 7x\\ \Leftrightarrow \cos 3x\sin 5x = \sin 7x\cos 5x\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 12x + \sin 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 8x + \sin 2x = \sin 12x + \sin 2x\\ \Leftrightarrow \sin 12x = \sin 8x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}12x = 8x + k2\pi \\12x = \pi - 8x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Đối chiếu điều kiện ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{k\pi }}{2} \ne \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{m\pi }}{5}\,\,\left( {k,\,\,m \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow 5k \ne 1 + 2m\\ \Leftrightarrow k \ne \dfrac{{1 + 2m}}{5}\end{array}\)
Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên: \(k = \dfrac{{1 + 2m}}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{1 + 2m}}{5}\) là số nguyên. Mà \(1 + 2m\) luôn lẻ nên \(\dfrac{{1 + 2m}}{5}\) không chia hết cho 2 với mọi \(m\). Do đó, nếu \(k \ne \dfrac{{1 + 2m}}{5}\) thì \(k\) phải là số nguyên chẵn.
\( \Rightarrow k\) chẵn, đặt \(k = 2n\), khi đó ta có \(x = \dfrac{{2n\pi }}{2} = n\pi \) \(\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}} \ne \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{m\pi }}{5}\,\,\left( {k,\,\,m \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow 1 + 2k \ne 2 + 4m\end{array}\)
Vì \(1 + 2k\) lẻ, \(2 + 4m\) chẵn nên \(1 + 2k \ne 2 + 4m\) luôn đúng với mọi \(k,\,\,m \in \mathbb{Z}\).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = n\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).
Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$ học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:
-
A.
\(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
-
B.
\(T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)\)
-
C.
\(T = n{2^{n - 1}}\)
-
D.
\(T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \)
Đáp án : A
Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm mà chưa biết nhóm này có bao nhiêu học sinh nên sẽ có các phương án:
PA 1: Nhóm có $2$ học sinh
PA 2: Nhóm có $3$ học sinh.
PA 3: Nhóm có $4$ học sinh.
….
PA (n-2): Nhóm có $n-1$ học sinh.
Tính số cách thực hiện của mỗi phương án sau đó áp dụng quy tắc cộng.
Gọi \({A_k}\) là phương án: Chọn nhóm có $k$ học sinh và chỉ định $1$ bạn trong k học sinh đó làm nhóm trưởng.
Thầy chủ nhiệm có các phương án: \({A_2},{A_3},{A_4},...,{A_{n - 1}}\)
Ta tính xem \({A_k}\) có bao nhiêu cách thực hiện.
Phương án \({A_k}\) có hai công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn $k$ học sinh trong $n$ học sinh có \(C_n^k\) cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn $1$ học sinh trong $k$ học sinh làm nhóm trưởng có \(C_k^1 = k\) cách.
Theo quy tắc nhân thì phương án \({A_k}\) có \(kC_n^k\) cách thực hiện.
Các phương án \({A_k}\) là độc lập với nhau.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: \(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng : \({x^3} - 3m{x^2} + 2m\left( {m - 4} \right)x + 9{m^2} - m = 0\) ?
-
A.
$m = 0$
-
B.
\(m = \dfrac{{17 + \sqrt {265} }}{{12}}\)
-
C.
\(m = \dfrac{{17 - \sqrt {265} }}{{12}}\)
-
D.
$m = 1$
Đáp án : D
Giá sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt, sử dụng định lí Vi-et và tính chất của cấp số cộng để tìm ra một trong ba nghiệm đó.
Thử lại và kết luận.
Cách 1: Giải bài toán bằng cách tự luận:
Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng. Theo định lí Vi-et ta có \({x_1} + {x_2} + {x_3} = - \dfrac{b}{a} = 3m\)
Vì \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng nên \({x_1} + {x_3} = 2{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 3{x_2} = 3m \Leftrightarrow {x_2} = m\).
Thay ${x_2} = m$ vào phương trình ban đầu ta được \({m^3} - 3{m^3} + 2{m^2}\left( {m - 4} \right) + 9{m^2} - m = {m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)
Thử lại:
Khi $m = 0$ , phương trình trở thành \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\), phương trình có nghiệm duy nhất (loại)
Khi $m = 1$ , phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\). Dễ thấy $ - 2,1,4$ lập thành 1 cấp số cộng có công sai $d = 3$.
Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Giải bài toán bằng cách trắc nghiệm.
Thử lần lượt từng đáp án. Trước hết ta thử đáp án A và D vì $m$ nguyên.
Khi $m = 0$ ta có phương trình \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\), phương trình có nghiệm duy nhất (loại)
Khi $m = 1$ phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\). Dễ thấy $ - 2,1,4$ lập thành 1 cấp số cộng có công sai $d = 3$ .
Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
