-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 - Đề số 3
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép quay tâm \(O\) biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right).\) Khi đó nó biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm:
-
A.
\(M'\left( { - 1; - 1} \right).\)
-
B.
\(M'\left( {1;1} \right).\)
-
C.
\(M'\left( { - 1;1} \right).\)
-
D.
\(M'\left( {1;0} \right).\)
Cho đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) như hình vẽ, số điểm chung của \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
vô số
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song
-
B.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau
-
C.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó
-
D.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó
Một hộp đựng $11$ thẻ được đánh số \(1,2,3, \ldots ,11\). Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ và tính tổng các số ghi trên ba thẻ đó. Tính xác suất để tổng nhận được bằng $12$.
-
A.
\(\dfrac{1}{{15}}\)
-
B.
\(\dfrac{7}{{165}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{3}{{55}}\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, phép đối xứng trục biến điểm $A\left( {2;1} \right)$ thành $A'\left( {2;5} \right)$ có trục đối xứng là:
-
A.
Đường thẳng \(y = 3.\)
-
B.
Đường thẳng \(x = 3.\)
-
C.
Đường thẳng \(y = 6.\)
-
D.
Đường thẳng \(x + y - 3 = 0.\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) đồng thời song song với AC và SB lần lượt cắt các đoạn thẳng SA, AB, BC, SC, SD và BD tại M, N, E, F, I, J. Xét các khẳng định sau:
(1) MN // (SCD) (2) EF // (SAD)
(3) NE // (SAC) (3) IJ // (SAB)
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Cho hình vẽ sau :
Xét phép đồng dạng biến hình thang $HICD$ thành hình thang $LJIK$. Tìm khẳng định đúng :
-
A.
Phép đối xứng trục ${{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{AC}}$ và phép vị tự ${V_{\left( {B,2} \right)}}$
-
B.
Phép đối xứng tâm ${{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{I}}$ và phép vị tự ${V_{\left( {C,\dfrac{1}{2}} \right)}}$
-
C.
Phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {AB} }}$ và phép vị tự ${V_{\left( {I,2} \right)}}$
-
D.
Phép đối xứng trục ${{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{BD}}$ và phép vị tự ${V_{\left( {B, - 2} \right)}}$
Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?
-
A.
\(y = \sin x\)
-
B.
\(y = \cos x\)
-
C.
\(y = \sin 2x\)
-
D.
\(y = \cot x\)
Với giá trị nào của \(m\) dưới đây thì phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm?
-
A.
\(m = - 3\)
-
B.
\(m = - 2\)
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
\(m = 3\)
Công việc \(A\) có \(k\) phương án \({A_1},...,{A_k}\) để thực hiện. Biết có \({n_1}\) cách thực hiện \({A_1}\),…,\({n_k}\) cách thực hiện \({A_k}\). Số cách thực hiện công việc \(A\) là:
-
A.
\({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách
-
B.
\({n_1} - {n_2} - ... - {n_k}\) cách
-
C.
\({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) cách
-
D.
\(n_1^2 + n_2^2 + ... + n_k^2\) cách
Phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến \(d\) thành \(d'\)?
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
Vô số
Khẳng định nào sau đây đúng về phép quay :
-
A.
Phép biến hình biến điểm $O$ thành điểm $O$ và điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M'$ sao cho \(\left( {OM;OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm $O$ với góc quay \(\varphi \).
-
B.
Nếu ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}:\,\,\,M\,\, \mapsto \,\,M'\,\,\left( {M \ne O} \right)$ thì \(OM' \bot OM\)
-
C.
Phép quay không phải là phép dời hình.
-
D.
Nếu ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}:\,\,\,M\,\, \mapsto \,\,M'\,\,\left( {M \ne O} \right)$ thì \(OM' > OM\)
Số phần tử của tập hợp các điểm chung của một đường thẳng và một mặt phẳng không thể là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Nếu \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) và \(a \subset \left( \alpha \right),b \subset \left( \beta \right)\) thì $a // b$
-
B.
Nếu \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) và \(a \subset \left( \alpha \right),b \subset \left( \beta \right)\) thì $a$ và $b$ chéo nhau
-
C.
Nếu $a // b$ và \(a \subset \left( \alpha \right),b \subset \left( \beta \right)\) thì \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\).
-
D.
Nếu \(\left( \gamma \right) \cap \left( \alpha \right) = a,\left( \gamma \right) \cap \left( \beta \right) = b\) và \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) thì $a // b$
Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) luôn thuộc đồ thị hàm số
-
A.
\(y = \cos x\)
-
B.
\(y = \sin x\)
-
C.
\(y = \cot x\)
-
D.
\(y = \tan x - 1\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
$(NOM)$ cắt $(OPM)$
-
B.
$(MON) // (SBC)$
-
C.
\(\left( {PON} \right) \cap \left( {MNP} \right) = NP\)
-
D.
\(\left( {MNP} \right)//\left( {SBD} \right)\)
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
A.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì song song
-
B.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau
-
C.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
-
D.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song
Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ.
-
A.
$\dfrac{1}{{15}}$
-
B.
$\dfrac{2}{{15}}$.
-
C.
$\dfrac{7}{{15}}$.
-
D.
$\dfrac{8}{{15}}$.
Cho cấp số cộng \({u_1};\,{\rm{ }}{u_2};{\rm{ }}{u_3};{\rm{ }} \cdots ;{\rm{ }}{u_n}\) có công sai \(d,\) các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác \(0.\) Với giá trị nào của \(d\) thì dãy số \(\dfrac{1}{{{u_1}}};\,{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_2}}};{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_3}}};{\rm{ }} \cdots ;{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_n}}}\) là một cấp số cộng?
-
A.
\(d = - 1.\)
-
B.
\(d = 0.\)
-
C.
\(d = 1.\)
-
D.
\(d = 2.\)
Giá trị của biểu thức \(S = {9^{99}}C_{99}^0 + {9^{98}}C_{99}^1 + {9^{97}}C_{99}^2 + ... + 9C_{99}^{98} + C_{99}^{99}\)\(\) bằng:
-
A.
\({10^{98}}\)
-
B.
\({10^{100}}\)
-
C.
\({10^{99}}\)
-
D.
Đáp án khác
Cho một đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(\left( P \right)\)?
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
vô số
Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có $8$ màu khác nhau, các cây bút chì cũng có $8$ màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn
-
A.
$64$.
-
B.
$16$.
-
C.
$32$.
-
D.
$20$.
Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có \({a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\,\,\forall n \in N^*\) .
-
A.
$14$
-
B.
$15$
-
C.
$13$
-
D.
$12$
Cho \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) đồng dạng với nhau theo tỉ số \(k\). Chọn câu sai:
-
A.
\(k\) là tỉ số hai trung tuyến tương ứng
-
B.
\(k\) là tỉ số hai đường cao tương ứng
-
C.
\(k\) là tỉ số hai góc tương ứng
-
D.
\(k\) là tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tương ứng
Cho các mệnh đề sau:
1. Qua một điểm không thuộc hai mặt phẳng cắt nhau vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với hai mặt đó.
2. Ba đường thẳng đôi một cắt nhau thì xác định một mặt phẳng.
3. Qua một điểm không thuộc hai đường thẳng chéo nhau vẽ được duy nhất một mặt phẳng song song với hai đường thẳng đó.
4. Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc song song.
5. Nếu đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $d’$ trong mặt phẳng $(P)$ thì đường thẳng $d$ song song hoặc nằm trong mặt phẳng $(P).$
6. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đó.
Hãy chọn các mệnh đề đúng:
-
A.
1, 2, 3, 4
-
B.
1, 3, 4, 5, 6
-
C.
1, 4
-
D.
1, 3, 4, 5
Cho 3 đường thẳng \({d_1},\;{d_2},\;{d_3}\) không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
3 đường thẳng trên đồng quy$.$
-
B.
3 đường thẳng trên trùng nhau$.$
-
C.
3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác$.$
-
D.
Các khẳng định ở A, B, C đều sai$.$
Cho năm điểm \(A,B,C,D,E\) trong đó không có bốn điểm nào ở trên cùng một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho?
-
A.
$10$.
-
B.
$12$.
-
C.
$8$.
-
D.
$14$.
Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(7\)
-
C.
\(13\)
-
D.
\(42\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sin x + 4\cos x + 1\):
-
A.
\(\max y = 6;\min y = - 2\)
-
B.
\(\max y = 4;\min y = - 4\)
-
C.
\(\max y = 6;\min y = - 4\)
-
D.
\(\max y = 6;\min y = - 1\)
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x.\cot x = 1\) là:
-
A.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
-
B.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
C.
\(R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
D.
\(R\)
Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
-
A.
\(\left| a \right| \ge 1\)
-
B.
\(\left| a \right| > 1\)
-
C.
\(\left| a \right| = 1\)
-
D.
\(\left| a \right| \ne 1\)
Có bao nhiêu cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẻ:
-
A.
$6$.
-
B.
$72$.
-
C.
$720$.
-
D.
$144$.
Có bao nhiêu số có \(5\) chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số \(1,2,3,4,5\)?
-
A.
\(20\)
-
B.
\(10\)
-
C.
\(100\)
-
D.
\(120\)
Cho khai triển ${\left( {\sqrt {{x^3}} + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^n}$ với $x > 0.$ Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là $631.$ Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^5}.$
-
A.
$C_{12}^4{.3^8}.$
-
B.
$27.C_{12}^3.$
-
C.
$C_{12}^7{.3^7}.$
-
D.
$C_{12}^6{.3^6}.$
Chọn ngẫu nhiên 6 số nguyên dương trong tập ${\rm{\{ 1;2;}}...{\rm{;10\} }}$và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần. Gọi $P$ là xác suất để số 3 được chọn và xếp ở vị trí thứ 2. Khi đó $P$ bằng
-
A.
$\dfrac{1}{{60}}$.
-
B.
$\dfrac{1}{6}$.
-
C.
$\dfrac{1}{3}$.
-
D.
$\dfrac{1}{2}$.
Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
-
A.
$5.2500.000$ đồng
-
B.
$10.125.000$ đồng
-
C.
$4.000.000$ đồng
-
D.
$4.245.000$ đồng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai đường thẳng song song $a$ và $a'$ lần lượt có phương trình \(3x - 4y + 5 = 0\) và \(3x - 4y = 0\). Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow u \) biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $a'$. Khi đó độ dài bé nhất của vectơ \(\overrightarrow u \) bằng bao nhiêu?
-
A.
\(5\)
-
B.
\(4\)
-
C.
\(\sqrt 2 \)
-
D.
\(1\)
Cho hình thoi \(ABCD\) có góc \(\widehat {ABC} = {60^0}\) (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của cạnh \(CD\) qua phép quay \({Q_{\left( {A,{{60}^0}} \right)}}\) là:
-
A.
\(AB.\)
-
B.
\(BC.\)
-
C.
\(CD.\)
-
D.
\(DA.\)
Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho điểm \(M\left( {2;4} \right)\). Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) và phép quay tâm \(O\) góc quay \( - {90^0}\) sẽ biến điểm \(M\) thành điểm nào sau đây?
-
A.
\(\left( {2; - 1} \right)\).
-
B.
\(\left( { - 2;1} \right)\).
-
C.
\(\left( { - 1;2} \right)\).
-
D.
\(\left( {1;2} \right)\)
Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm thuộc các đoạn thẳng \(AB,AC\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {DBN} \right)\) và \(\left( {DCM} \right)\) là
-
A.
\(DG\) với \(G\) là trung điểm của \(BN\).
-
B.
\(DG\) với \(G\) là giao điểm của \(BN\) và \(CM\).
-
C.
\(DG\) với \(G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta ABC\).
-
D.
\(DG\) với \(G\) là trọng tâm tam giác \(\Delta ABC\).
Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AC, BC, BD, AD.$ Tìm điều kiện của tứ diện $ABCD$ để $MNPQ$ là hình thoi?
-
A.
$AB = BC$
-
B.
$BC = AD$
-
C.
AC = BD
-
D.
$AB = CD$
Cho tứ diện \(ABCD\,.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(AC,\) \(E\) là điểm trên cạnh \(CD\) với \(ED = 3EC.\) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\) và tứ diện \(ABCD\) là:
-
A.
Tam giác \(MNE.\)
-
B.
Tứ giác \(MNEF\) với \(F\) là điểm bất kì trên cạnh \(BD.\)
-
C.
Hình bình hành \(MNEF\) với \(F\) là điểm trên cạnh \(BD\) mà \(EF//BC.\)
-
D.
Hình thang \(MNEF\) với \(F\) là điểm trên cạnh \(BD\) mà \(EF//BC.\)
Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P).$ Khi đó, số đường thẳng phân biệt nằm trong $(P)$ và song song với $a $ có thể là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có đáy lớn $BC$ , đáy nhỏ $AD$. Mặt bên $\left( {SAD} \right)$ là tam giác đều, \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua $M$ trên cạnh $AB$ , song song với $SA,BC$ . Mp\(\left( \alpha \right)\)cắt các cạnh $CD,SC,SB$ lần lượt tại $N,P,Q.MNPQ$ là hình gì?
-
A.
Hình thoi
-
B.
Hình bình hành
-
C.
Tứ giác có các cạnh đối cắt nhau
-
D.
Hình thang cân
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và hai điểm $A,B$ phân biệt. Một điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( O \right)$. Khi đó tập hợp các điểm $N$ sao cho $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} $ là tập nào sau đây?
-
A.
Tập \(\emptyset \)
-
B.
Đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AB\)
-
C.
Đường tròn tâm \(B\) bán kính \(R\)
-
D.
Đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) với \(\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {AB} \)
Cho tứ diện $ABCD,$ $M$ là trung điểm của cạnh $CD,$ $G$ là trọng tâm tứ diện. Khi đó 2 đường thẳng $AD$ và $GM $ là hai đường thẳng:
-
A.
Chéo nhau
-
B.
có hai điểm chung
-
C.
song song
-
D.
có một điểm chung
Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$ học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:
-
A.
\(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
-
B.
\(T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)\)
-
C.
\(T = n{2^{n - 1}}\)
-
D.
\(T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \)
Phương trình $\tan x + \tan \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \tan \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = 3\sqrt 3 $ tương đương với phương trình.
-
A.
$\cot x = \sqrt 3 $.
-
B.
$\cot 3x = \sqrt 3 $.
-
C.
$\tan x = \sqrt 3 $.
-
D.
$\tan 3x = \sqrt 3 $.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = \dfrac{1}{2};{u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{{2\left( {n + 1} \right){u_n} + 1}},\,\,n \ge 1\) . \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} < \dfrac{{2017}}{{2018}}\) khi $n$ có giá trị dương lớn nhất là:
-
A.
$2017$
-
B.
$2015$
-
C.
$2016$
-
D.
$2014$
Lời giải và đáp án
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho phép quay tâm \(O\) biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right).\) Khi đó nó biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm:
-
A.
\(M'\left( { - 1; - 1} \right).\)
-
B.
\(M'\left( {1;1} \right).\)
-
C.
\(M'\left( { - 1;1} \right).\)
-
D.
\(M'\left( {1;0} \right).\)
Đáp án : B
Dựng hình và tìm tọa độ của \(M'\).
Từ giả thiết, kết hợp với hình vẽ ta thấy góc quay là \(\dfrac{\pi }{2}\).
Khi đó phép quay tâm \(O\) góc quay \(\dfrac{\pi }{2}\) biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm \(M'\left( {1;1} \right).\)
Cho đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) như hình vẽ, số điểm chung của \(d\) và \(\left( \alpha \right)\) là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
vô số
Đáp án : B
Từ hình vẽ ta thấy \(d\) cắt \(\left( \alpha \right)\) tại duy nhất một điểm.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song
-
B.
Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau
-
C.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó
-
D.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó
Đáp án : C
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Một hộp đựng $11$ thẻ được đánh số \(1,2,3, \ldots ,11\). Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ và tính tổng các số ghi trên ba thẻ đó. Tính xác suất để tổng nhận được bằng $12$.
-
A.
\(\dfrac{1}{{15}}\)
-
B.
\(\dfrac{7}{{165}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{3}{{55}}\)
Đáp án : B
Tính số phần tử của không gian mẫu \(\left| \Omega \right|\)
Tính số kết quả có lợi cho biến cố \(\left| A \right|\)
Sử dụng công thức tính xác suất \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)
Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ trong một hộp đựng $11$ thẻ ta có \(\left| \Omega \right| = C_{11}^3 = 165\)
Gọi $A$ là biến cố rút được $3$ thẻ và tổng các số ghi trên $3$ thẻ bằng $12$.
Vì \(12 = 1 + 2 + 9 = 1 + 3 + 8 = 1 + 4 + 7\) \( = 1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5\)
Nên \(\left| A \right| = 7\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{7}{{165}}\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, phép đối xứng trục biến điểm $A\left( {2;1} \right)$ thành $A'\left( {2;5} \right)$ có trục đối xứng là:
-
A.
Đường thẳng \(y = 3.\)
-
B.
Đường thẳng \(x = 3.\)
-
C.
Đường thẳng \(y = 6.\)
-
D.
Đường thẳng \(x + y - 3 = 0.\)
Đáp án : A
Phép đối xứng trục \({D_d}\) biến điểm \(A\) thành \(A'\) thì \(d\) là đường trung trực của \(AA'\).
Gọi ${D_a}\left( A \right) = A'$ $ \Rightarrow a$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AA'.$
Gọi $H$ là trung điểm đoạn thẳng $AA' \Rightarrow H\left( {2;3} \right).$
Ta có $\overrightarrow {AA'} = \left( {0;4} \right) = 4.\left( {0;1} \right).$
Đường thẳng $a$ qua điểm $H$ và có một VTPT $\vec n = \overrightarrow {AA'} = \left( {0;4} \right)$ nên có phương trình $a:y = 3.$
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) đồng thời song song với AC và SB lần lượt cắt các đoạn thẳng SA, AB, BC, SC, SD và BD tại M, N, E, F, I, J. Xét các khẳng định sau:
(1) MN // (SCD) (2) EF // (SAD)
(3) NE // (SAC) (3) IJ // (SAB)
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Đáp án : B
- Đưa về cùng mặt phẳng
- Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng a // b \( \subset \left( P \right) \Rightarrow \)a // (P).
Trước hết ta lấy điểm \(M \in \left( P \right)\) sao cho \(M \in SA\).
Trong mp(SAB) kẻ MN // SA \(\left( {N \in AB} \right)\), trong mp(ABCD) kẻ NE // AC \(\left( {E \in BC} \right)\).
\(NE \cap BD = \left\{ J \right\}\)
Trong mp(SBC) kẻ EF // SB \(\left( {F \in SC} \right)\), trong mp(SBD) kẻ JI // SD \(\left( {I \in SD} \right)\).
Giả sử MN // (SCD)
Lại có: MN // SB\( \Rightarrow SB \subset \left( {SCD} \right)\) (vô lý) nên (1) sai.
Tương tự ta chứng minh được (2) sai.
NE // AC\( \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow \) NE // (SAC). Do đó (3) đúng.
IJ // SB\( \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow \)IJ // (SAB). Do đó (4) đúng.
Cho hình vẽ sau :
Xét phép đồng dạng biến hình thang $HICD$ thành hình thang $LJIK$. Tìm khẳng định đúng :
-
A.
Phép đối xứng trục ${{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{AC}}$ và phép vị tự ${V_{\left( {B,2} \right)}}$
-
B.
Phép đối xứng tâm ${{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{I}}$ và phép vị tự ${V_{\left( {C,\dfrac{1}{2}} \right)}}$
-
C.
Phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {AB} }}$ và phép vị tự ${V_{\left( {I,2} \right)}}$
-
D.
Phép đối xứng trục ${{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{BD}}$ và phép vị tự ${V_{\left( {B, - 2} \right)}}$
Đáp án : B
Xét tính đúng sai của các đáp án bằng cách thực hiện liên tiếp các phép biến hình ở mỗi đáp án
Ta có:
\({{\rm{D}}_I}:HICD \mapsto KIAB;\)
\({V_{\left( {C,\frac{1}{2}} \right)}}{\rm{:}}KIAB{\rm{ }} \mapsto LJIK\)
Do đó ta chọn đáp án B
Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?
-
A.
\(y = \sin x\)
-
B.
\(y = \cos x\)
-
C.
\(y = \sin 2x\)
-
D.
\(y = \cot x\)
Đáp án : D
Các hàm số sin, cos đều có đồ thị là đường hình sin nên các đáp án A, B, C đều có đồ thị là đường hình sin.
Với giá trị nào của \(m\) dưới đây thì phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm?
-
A.
\(m = - 3\)
-
B.
\(m = - 2\)
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
\(m = 3\)
Đáp án : C
Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm nếu \(\left| m \right| \le 1\) và vô nghiệm nếu \(\left| m \right| > 1\)
Đáp án A: $|m|=|-3|=3>1$=> Loại
Đáp án B: $|m|=|-2|=2>1$=> Loại
Đáp án C: $|m|=|0|=0\le 1$ => Nhận
Đáp án D: $|m|=|3|=3>1$=> Loại
Công việc \(A\) có \(k\) phương án \({A_1},...,{A_k}\) để thực hiện. Biết có \({n_1}\) cách thực hiện \({A_1}\),…,\({n_k}\) cách thực hiện \({A_k}\). Số cách thực hiện công việc \(A\) là:
-
A.
\({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách
-
B.
\({n_1} - {n_2} - ... - {n_k}\) cách
-
C.
\({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) cách
-
D.
\(n_1^2 + n_2^2 + ... + n_k^2\) cách
Đáp án : C
Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách thực hiện công việc là \({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) cách.
Phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án : D
- Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).
- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng:
\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
- Bước 3: Đặt \(\sin \alpha = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\cos \alpha = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\sin \left( {x + \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
- Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x.\cos \dfrac{\pi }{6} - \cos 2x.\sin \dfrac{\pi }{6} = - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{6} = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\2x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song với nhau. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến \(d\) thành \(d'\)?
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
Vô số
Đáp án : D
Sử dụng tính chất phép tịnh tiến: biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Trên \(d,{\rm{ }}d'\) lần lượt lấy \(A,{\rm{ }}A'\) bất kì.
Khi đó, \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow {AA'} .\)
Vậy có vô số phép tịnh tiến biến \(d\) thành \(d'\) thỏa mãn \(d\) song song \(d'.\)
Khẳng định nào sau đây đúng về phép quay :
-
A.
Phép biến hình biến điểm $O$ thành điểm $O$ và điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M'$ sao cho \(\left( {OM;OM'} \right) = \varphi \) được gọi là phép quay tâm $O$ với góc quay \(\varphi \).
-
B.
Nếu ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}:\,\,\,M\,\, \mapsto \,\,M'\,\,\left( {M \ne O} \right)$ thì \(OM' \bot OM\)
-
C.
Phép quay không phải là phép dời hình.
-
D.
Nếu ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}:\,\,\,M\,\, \mapsto \,\,M'\,\,\left( {M \ne O} \right)$ thì \(OM' > OM\)
Đáp án : B
Suy luận từng đáp án, có thể sử dụng hình vẽ.
A sai vì thiếu điều kiện \(OM = OM'\)
C sai, phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên phép quay là 1 phép dời hình.
D hiển nhiên sai vì $OM = OM'$
Số phần tử của tập hợp các điểm chung của một đường thẳng và một mặt phẳng không thể là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số
Đáp án : C
Dựa vào các vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng có thể cắt mặt phẳng, song song hoặc nằm trong mặt phẳng.
Chỉ có $3$ vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì số điểm chung là giữa chúng là $0$
Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng tại $1$ điểm duy nhất thì số điểm chúng là $1$
Nếu đường thẳng nằm trong mặt phẳng thì giữa chúng có vô số điểm chung.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
A.
Nếu \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) và \(a \subset \left( \alpha \right),b \subset \left( \beta \right)\) thì $a // b$
-
B.
Nếu \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) và \(a \subset \left( \alpha \right),b \subset \left( \beta \right)\) thì $a$ và $b$ chéo nhau
-
C.
Nếu $a // b$ và \(a \subset \left( \alpha \right),b \subset \left( \beta \right)\) thì \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\).
-
D.
Nếu \(\left( \gamma \right) \cap \left( \alpha \right) = a,\left( \gamma \right) \cap \left( \beta \right) = b\) và \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) thì $a // b$
Đáp án : D
A và B sai vì nếu \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) và \(a \subset \left( \alpha \right),b \subset \left( \beta \right)\) thì a // b hoặc a và b chéo nhau.
C sai vì nếu a // b và \(a \subset \left( \alpha \right),b \subset \left( \beta \right)\) thì \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) hoặc \(\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = c//a//b\)
D đúng.
Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) luôn thuộc đồ thị hàm số
-
A.
\(y = \cos x\)
-
B.
\(y = \sin x\)
-
C.
\(y = \cot x\)
-
D.
\(y = \tan x - 1\)
Đáp án : B
Thay tọa độ điểm \(O\) vào tủng hàm số và kiểm tra.
Đáp án A sai vì \(\cos 0 = 1\).
Đáp án B đúng vì \(\sin 0 = 0\).
Đáp án C sai vì \(\cot 0\) không xác định.
Đáp án D sai vì \(\tan 0 - 1 = - 1 \ne 0\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
$(NOM)$ cắt $(OPM)$
-
B.
$(MON) // (SBC)$
-
C.
\(\left( {PON} \right) \cap \left( {MNP} \right) = NP\)
-
D.
\(\left( {MNP} \right)//\left( {SBD} \right)\)
Đáp án : B
\(\left\{ \begin{array}{l}a//\left( \beta \right)\\b//\left( \beta \right)\\a \cap b \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a//a'\\b//b'\\a \cap b \subset \left( \alpha \right)\\a',b' \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\)
Dễ dàng chứng minh được $MNOP $ là hình bình hành \( \Rightarrow M,N,O,P\) đồng phẳng \( \Rightarrow A,C\) sai.
Ta có : $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ \( \Rightarrow MN//AD//BC\)
$ON$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ \( \Rightarrow ON//SB\)
\( \Rightarrow (MON) // (SBC)\)
\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.
Đáp án D sai vì \(N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
A.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì song song
-
B.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau
-
C.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
-
D.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song
Đáp án : D
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung (không cắt nhau) thì có thể song song hoặc chéo nhau nên A, B, C sai, D đúng.
Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ.
-
A.
$\dfrac{1}{{15}}$
-
B.
$\dfrac{2}{{15}}$.
-
C.
$\dfrac{7}{{15}}$.
-
D.
$\dfrac{8}{{15}}$.
Đáp án : C
- Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Tính số khả năng có lợi cho biến cố.
- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
$n(\Omega ) = C_{10}^2 = 45$. Gọi $A$:”2 người được chọn có đúng 1 nữ”
Chọn 1 nữ có 3 cách, chọn 1 nam có 7 cách suy ra $n(A) = 7.3 = 21$. Do đó $P(A) = \dfrac{{21}}{{45}} = \dfrac{7}{{15}}$.
Cho cấp số cộng \({u_1};\,{\rm{ }}{u_2};{\rm{ }}{u_3};{\rm{ }} \cdots ;{\rm{ }}{u_n}\) có công sai \(d,\) các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác \(0.\) Với giá trị nào của \(d\) thì dãy số \(\dfrac{1}{{{u_1}}};\,{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_2}}};{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_3}}};{\rm{ }} \cdots ;{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_n}}}\) là một cấp số cộng?
-
A.
\(d = - 1.\)
-
B.
\(d = 0.\)
-
C.
\(d = 1.\)
-
D.
\(d = 2.\)
Đáp án : B
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là CSC \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d,\forall n \ge 1\).
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_1} = d\\{u_3} - {u_2} = d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{u_2}}} - \dfrac{1}{{{u_1}}} = - \dfrac{d}{{{u_1}{u_2}}}\\\dfrac{1}{{{u_3}}} - \dfrac{1}{{{u_2}}} = - \dfrac{d}{{{u_2}{u_3}}}\end{array} \right..$
Theo yêu cầu bài toán thì ta phải có $\dfrac{1}{{{u_2}}} - \dfrac{1}{{{u_1}}} = \dfrac{1}{{{u_3}}} - \dfrac{1}{{{u_2}}}$
Giá trị của biểu thức \(S = {9^{99}}C_{99}^0 + {9^{98}}C_{99}^1 + {9^{97}}C_{99}^2 + ... + 9C_{99}^{98} + C_{99}^{99}\)\(\) bằng:
-
A.
\({10^{98}}\)
-
B.
\({10^{100}}\)
-
C.
\({10^{99}}\)
-
D.
Đáp án khác
Đáp án : C
+) Xuất phát từ khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
+) Thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp.
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{99}} = C_{99}^0{a^{99}} + C_{99}^1{a^{98}}b + C_{99}^2{a^{97}}{b^2} + ... + C_{99}^{98}a{b^{98}} + C_{99}^{99}{b^{99}}\)
Thay \(a = 9,b = 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {9 + 1} \right)^{99}} = C_{99}^0{.9^{99}} + C_{99}^1{.9^{98}}.1 + C_{99}^2{.9^{97}}{.1^2} + ... + C_{99}^{98}{.9.1^{98}} + C_{99}^{99}{.1^{99}}\\ \Leftrightarrow {10^{99}} = {9^{99}}C_{99}^0 + {9^{98}}C_{99}^1 + {9^{97}}C_{99}^2 + ... + 9C_{99}^{98} + C_{99}^{99}\end{array}\)
Cho một đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(\left( P \right)\)?
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
vô số
Đáp án : B
Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì có duy nhất một mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(\left( P \right)\).
Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có $8$ màu khác nhau, các cây bút chì cũng có $8$ màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn
-
A.
$64$.
-
B.
$16$.
-
C.
$32$.
-
D.
$20$.
Đáp án : A
Đếm số cách chọn mỗi loại bút và sử dụng quy tắc nhân.
Chọn cây bút mực: có $8$ cách
Chọn cây bút chì: có $8$ cách
Theo quy tắc nhân, số cách mua là: $8.8 = 64$ (cách)
Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có \({a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\,\,\forall n \in N^*\) .
-
A.
$14$
-
B.
$15$
-
C.
$13$
-
D.
$12$
Đáp án : B
Phân tích để xuất hiện hằng đẳng thức.
\({a_n} = - {n^2} + 4n + 11 = - {n^2} + 4n - 4 + 15 = - {\left( {n - 2} \right)^2} + 15 \le 15\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2\)
Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng $15$.
Cho \(\Delta ABC\) và \(\Delta A'B'C'\) đồng dạng với nhau theo tỉ số \(k\). Chọn câu sai:
-
A.
\(k\) là tỉ số hai trung tuyến tương ứng
-
B.
\(k\) là tỉ số hai đường cao tương ứng
-
C.
\(k\) là tỉ số hai góc tương ứng
-
D.
\(k\) là tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tương ứng
Đáp án : C
- Sử dụng tính chất của phép đồng dạng: biến các đường cao, trung tuyến, đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác thành các đường cao, trung tuyến, đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác có cùng tỉ số đồng dạng.
- Phép đồng dạng giữ nguyên độ lớn của góc.
Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau nên \(k\) không thể là tỉ số hai góc tương ứng.
Cho các mệnh đề sau:
1. Qua một điểm không thuộc hai mặt phẳng cắt nhau vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với hai mặt đó.
2. Ba đường thẳng đôi một cắt nhau thì xác định một mặt phẳng.
3. Qua một điểm không thuộc hai đường thẳng chéo nhau vẽ được duy nhất một mặt phẳng song song với hai đường thẳng đó.
4. Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc song song.
5. Nếu đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $d’$ trong mặt phẳng $(P)$ thì đường thẳng $d$ song song hoặc nằm trong mặt phẳng $(P).$
6. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đó.
Hãy chọn các mệnh đề đúng:
-
A.
1, 2, 3, 4
-
B.
1, 3, 4, 5, 6
-
C.
1, 4
-
D.
1, 3, 4, 5
Đáp án : D
Suy luận từng đáp án, dựa vào các tính chất đường song song với mặt, hai mặt phẳng song song.
1. Qua một điểm vẽ đường thẳng song song với hai đường thẳng cắt nhau thì đường thẳng cần vẽ phải song song với giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Qua một điểm không thuộc đường thẳng vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Vậy 1. đúng.
2. Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng. 2 sai
3. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau, \(M \notin a,M \notin b\)
Qua M kẻ \(a'//a;\,\,b'//b \Rightarrow a',b'\) là duy nhất.
\(a' \cap b' = \left\{ M \right\} \Rightarrow \) mặt phẳng (P) xác định bới a’, b’ là duy nhất. Và ta có : \(\left( P \right)//a,\,\,\left( P \right)//b\). Vậy 3 đúng.
4, 5. Hiển nhiên đúng.
6. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì có thể song song hoặc trùng nhau, hoặc cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đó. Vậy 6 sai.
Cho 3 đường thẳng \({d_1},\;{d_2},\;{d_3}\) không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
3 đường thẳng trên đồng quy$.$
-
B.
3 đường thẳng trên trùng nhau$.$
-
C.
3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác$.$
-
D.
Các khẳng định ở A, B, C đều sai$.$
Đáp án : A
B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng
Cho năm điểm \(A,B,C,D,E\) trong đó không có bốn điểm nào ở trên cùng một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho?
-
A.
$10$.
-
B.
$12$.
-
C.
$8$.
-
D.
$14$.
Đáp án : A
Cứ chọn ra ba điểm trong số năm điểm \(A,B,C,D,E\) ta sẽ có một mặt phẳng. Từ năm điểm ta có $C_5^3 = 10$ cách chọn ra ba điểm bất kỳ trong số năm điểm đã cho, nên có $10$ mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho.
Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(7\)
-
C.
\(13\)
-
D.
\(42\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử \(C_n^k\).
Số tổ hợp chập \(6\) của \(7\) phần tử là \(C_7^6 = 7\).
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sin x + 4\cos x + 1\):
-
A.
\(\max y = 6;\min y = - 2\)
-
B.
\(\max y = 4;\min y = - 4\)
-
C.
\(\max y = 6;\min y = - 4\)
-
D.
\(\max y = 6;\min y = - 1\)
Đáp án : C
Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\)
\(y = 3\sin x + 4\cos x + 1 \Leftrightarrow y - 1 \)\(= 3\sin x + 4\cos x\)
\({\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2}\)
Ta coi \(a = 3;b = 4;c = \sin x;d = \cos x\)
Theo BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki ta được:
\({\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2}\)\( \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2} + {{\cos }^2}x} \right) = 25.1\)
\( \Rightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \le 25 \Leftrightarrow - 5 \le y - 1 \le 5\)
\( \Leftrightarrow - 5 + 1 \le y \le 5 + 1 \Leftrightarrow - 4 \le y \le 6\)
Vậy \(\max y = 6;\min y = - 4\)
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x.\cot x = 1\) là:
-
A.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
-
B.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
C.
\(R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
D.
\(R\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức \(\tan x.\cot x = 1\) nên ta chỉ cần tìm điều kiện xác định của phương trình.
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2} \Rightarrow D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
Do \(\tan x.\cot x = 1,\forall x \in D\) nên tập nghiệm của phương trình là \(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
-
A.
\(\left| a \right| \ge 1\)
-
B.
\(\left| a \right| > 1\)
-
C.
\(\left| a \right| = 1\)
-
D.
\(\left| a \right| \ne 1\)
Đáp án : B
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đối với chỉ một hàm số lượng giác.
$\left\{ \begin{array}{l}1 - {\tan ^2}x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$
$\begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = 1 - {\cos ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right){\cos ^2}x = {a^2} - 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} < 1\end{array}$
Vì \(\cos x \ne 0 \Rightarrow 0 < {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 1 > 0 \Rightarrow \left| a \right| > 1\)
Có bao nhiêu cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẻ:
-
A.
$6$.
-
B.
$72$.
-
C.
$720$.
-
D.
$144$.
Đáp án : B
- Đếm số trường hợp có thể xếp nam và nữ.
- Đếm số cách xếp vị trí của \(3\) nam, \(3\) nữ theo quy tắc nhân.
Chọn vị trí cho hai nhóm $3$ nam và $3$ nữ có \(2\) cách chọn (1 nhóm ở vị trí chẵn và nhóm còn lại ở vị trí lẻ)
Xếp 3 nam có: \(3.2.1\) cách xếp.
Xếp 3 nữ có: \(3.2.1\) cách xếp.
Vậy có \(2.{\left( {3.2.1} \right)^2} = 72\) cách xếp.
Có bao nhiêu số có \(5\) chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số \(1,2,3,4,5\)?
-
A.
\(20\)
-
B.
\(10\)
-
C.
\(100\)
-
D.
\(120\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính số hoán vị của \(5\) phần tử.
Gọi số thỏa mãn bài toán là: \(\overline {abcde} \).
Mỗi số có \(5\) chữ số thỏa mãn bài toán là một hoán vị của \(5\) chữ số trên.
Số các số là \(5! = 120\) (số).
Cho khai triển ${\left( {\sqrt {{x^3}} + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^n}$ với $x > 0.$ Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là $631.$ Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^5}.$
-
A.
$C_{12}^4{.3^8}.$
-
B.
$27.C_{12}^3.$
-
C.
$C_{12}^7{.3^7}.$
-
D.
$C_{12}^6{.3^6}.$
Đáp án : D
- Tìm $n$ bằng các công thức ${P_n} = n!;\,\,A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}$ và $C_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!.k!}}.$
- Sử dụng công thức tổng quát ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k\,=\,0}^{n}{C_{n}^{k}}.{{a}^{n\,-\,k}}.{{b}^{k}}\,\,\xrightarrow{{}}$ Tìm hệ số của số hạng cần tìm.
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có
${\left( {\sqrt {{x^3}} + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^n} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{\left( {\sqrt {{x^3}} } \right)^{n\, - \,k}}.{\left( {\dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^k} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} {.3^k}.{x^{\frac{{3\left( {n\, - \,k} \right)}}{2}}}.{x^{ - \,\frac{{2k}}{3}}} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} {.3^k}.{x^{\frac{{3n}}{2} - \frac{{13k}}{6}}}.$
Suy ra tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển là ${3^0}.C_n^0 + {3^1}.C_n^1 + {3^2}.C_n^2 = 631$
$ \Leftrightarrow 1 + 3n + \dfrac{{9n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 631 \Rightarrow n = 12.$ Khi đó ${\left( {\sqrt {{x^3}} + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} {.3^k}.{x^{18\, - \,\frac{{13k}}{6}}}.$
Hệ số của số hạng chứa ${x^5}$ ứng với $18-\dfrac{13k}{6}=5\Leftrightarrow k=6\,\,\xrightarrow{{}}$ Hệ số cần tìm là $C_{12}^6{.3^6}.$
Chọn ngẫu nhiên 6 số nguyên dương trong tập ${\rm{\{ 1;2;}}...{\rm{;10\} }}$và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần. Gọi $P$ là xác suất để số 3 được chọn và xếp ở vị trí thứ 2. Khi đó $P$ bằng
-
A.
$\dfrac{1}{{60}}$.
-
B.
$\dfrac{1}{6}$.
-
C.
$\dfrac{1}{3}$.
-
D.
$\dfrac{1}{2}$.
Đáp án : C
- Tính số phần tử của không gian mẫu: Chọn \(6\) trong \(10\) số.
- Tính số khả năng có lợi cho biến cố: Số \(3\) được chọn và ở vị trí thứ hai.
- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
$n(\Omega ) = C_{10}^6 = 210$. Gọi $A$:”số 3 được chọn và xếp ở vị trí thứ 2”.
Trong tập đã cho có 2 số nhỏ hơn số 3, có 7 số lớn hơn số 3.
+ Chọn 1 số nhỏ hơn số 3 ở vị trí đầu có: 2 cách.
+ Chọn số 3 ở vị trí thứ hai có: 1 cách.
+ Chọn 4 số lớn hơn 3 và sắp xếp theo thứ tự tăng dần có: $C_7^4 = 35$ cách.
Do đó $n(A) = 2.1.35 = 70$. Vậy $P(A) = \dfrac{{70}}{{210}} = \dfrac{1}{3}$.
Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Vậy hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
-
A.
$5.2500.000$ đồng
-
B.
$10.125.000$ đồng
-
C.
$4.000.000$ đồng
-
D.
$4.245.000$ đồng
Đáp án : B
Sử dụng công thức \({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).
Giá tiền khoan mỗi mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 80\,000,\,\,d = 5\,000.\)
Do cần khoan 50 mét nên tổng số tiền cần trả là
\({u_1} + {u_2} + \cdots + {u_{50}} = {S_{50}} = 50{u_1} + \dfrac{{50.49}}{2}d\) \( = 50.80\,000 + 1225.5\,000 = 10\,125\,000\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai đường thẳng song song $a$ và $a'$ lần lượt có phương trình \(3x - 4y + 5 = 0\) và \(3x - 4y = 0\). Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow u \) biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $a'$. Khi đó độ dài bé nhất của vectơ \(\overrightarrow u \) bằng bao nhiêu?
-
A.
\(5\)
-
B.
\(4\)
-
C.
\(\sqrt 2 \)
-
D.
\(1\)
Đáp án : D
- Độ dài bé nhất của vectơ \(\overrightarrow u \) bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng $a$ và $a'$.
Lấy điểm $M\left( {0;0} \right)$ thuộc $a'$. Ta có: $d\left( {a;a'} \right) = d\left( {M;a} \right)$
\(d(M;a) = \dfrac{{\left| {3.0 - 4.0 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 1\)
Cho hình thoi \(ABCD\) có góc \(\widehat {ABC} = {60^0}\) (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của cạnh \(CD\) qua phép quay \({Q_{\left( {A,{{60}^0}} \right)}}\) là:
-
A.
\(AB.\)
-
B.
\(BC.\)
-
C.
\(CD.\)
-
D.
\(DA.\)
Đáp án : B
Dựng hình, nhận xét ảnh của hai điểm mút qua phép quay và kết luận.
Xét phép quay tâm \(A\) góc quay \({60^0}:\)
\( \bullet \) Biến \(C\) thành \(B;\)
\( \bullet \) Biến \(D\) thành \(C.\)
Vậy ảnh của \(CD\) là \(BC.\)
Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho điểm \(M\left( {2;4} \right)\). Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) và phép quay tâm \(O\) góc quay \( - {90^0}\) sẽ biến điểm \(M\) thành điểm nào sau đây?
-
A.
\(\left( {2; - 1} \right)\).
-
B.
\(\left( { - 2;1} \right)\).
-
C.
\(\left( { - 1;2} \right)\).
-
D.
\(\left( {1;2} \right)\)
Đáp án : A
- Sử dụng định nghĩa phép vị tự \({V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \)
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.\)
Ta có \({V_{\left( {O;\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OM} \Rightarrow M'\left( {1;2} \right)\)
\({Q_{\left( {O; - 90^\circ } \right)}}\left( {M'} \right) = M''\left( {x'';y''} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = x'\cos \alpha - y'\sin \alpha \\y'' = x'\sin \alpha + y'\cos \alpha \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = y' = 2\\y'' = - x' = - 1\end{array} \right. \Rightarrow M''\left( {2; - 1} \right).\)
Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(M,N\) lần lượt là hai điểm thuộc các đoạn thẳng \(AB,AC\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {DBN} \right)\) và \(\left( {DCM} \right)\) là
-
A.
\(DG\) với \(G\) là trung điểm của \(BN\).
-
B.
\(DG\) với \(G\) là giao điểm của \(BN\) và \(CM\).
-
C.
\(DG\) với \(G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta ABC\).
-
D.
\(DG\) với \(G\) là trọng tâm tam giác \(\Delta ABC\).
Đáp án : B
- Dựng hình, xác định điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
- Tìm điểm chung thứ hai (tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà cắt nhau).
Dễ thấy \(D\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
Trong mp\(\left( {ABC} \right)\) gọi \(G = BN \cap CM\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in BN \subset \left( {BDN} \right)\\G \in CM \subset \left( {DCM} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G \in \left( {DBN} \right) \cap \left( {DCM} \right)\)
\( \Rightarrow DG = \left( {DBN} \right) \cap \left( {DCM} \right)\).
Do \(M,N\) là các điểm bát kì thuộc hai đoạn thẳng \(AB,AC\) nên ta chưa thể kết luận được vị trí của \(G\).
Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AC, BC, BD, AD.$ Tìm điều kiện của tứ diện $ABCD$ để $MNPQ$ là hình thoi?
-
A.
$AB = BC$
-
B.
$BC = AD$
-
C.
AC = BD
-
D.
$AB = CD$
Đáp án : D
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng các tính chất đường trung bình của tam giác
- Các dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi.
Vì $MN$ và $PQ$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABC$ và $ABD$ nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}MN//PQ//AB\\MN = PQ = \dfrac{1}{2}AB\end{array} \right. \Rightarrow \) MNPQ là hình bình hành.
Để $MNPQ $ trở thành hình thoi ta cần thêm yếu tố $MN = PN.$
Ta có: $PN$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên \(PN = \dfrac{1}{2}CD\).
$MN = PN $ \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD \Leftrightarrow AB = CD.\)
Vậy để $MNPQ $ là hình thoi cần thêm điều kiện $AB = CD.$
Cho tứ diện \(ABCD\,.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(AC,\) \(E\) là điểm trên cạnh \(CD\) với \(ED = 3EC.\) Thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\) và tứ diện \(ABCD\) là:
-
A.
Tam giác \(MNE.\)
-
B.
Tứ giác \(MNEF\) với \(F\) là điểm bất kì trên cạnh \(BD.\)
-
C.
Hình bình hành \(MNEF\) với \(F\) là điểm trên cạnh \(BD\) mà \(EF//BC.\)
-
D.
Hình thang \(MNEF\) với \(F\) là điểm trên cạnh \(BD\) mà \(EF//BC.\)
Đáp án : D
Sử dụng định lý ba giao tuyến song song: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến, nếu có hai đường thẳng song song thì đường thẳng thứ ba cũng song song với chúng.
Tam giác \(ABC\) có \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\,.\)
Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow \,\,MN\)//\(BC\,.\)
Từ \(E\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(BC\) và cắt \(BD\) tại \(F\,\, \Rightarrow \,\,EF\)//\(BC.\)
Do đó \(MN//EF\) suy ra bốn điểm \(M,\,\,N,\,\,E,\,\,F\) đồng phẳng và \(MNEF\) là hình thang.
Vậy hình thang \(MNEF\) là thiết diện cần tìm.
Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P).$ Khi đó, số đường thẳng phân biệt nằm trong $(P)$ và song song với $a $ có thể là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số
Đáp án : D
- Sử dụng định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng.
Đường thẳng $a//(P)$ thì có vô số đường thẳng nằm trong $(P)$ và song song với $a$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có đáy lớn $BC$ , đáy nhỏ $AD$. Mặt bên $\left( {SAD} \right)$ là tam giác đều, \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua $M$ trên cạnh $AB$ , song song với $SA,BC$ . Mp\(\left( \alpha \right)\)cắt các cạnh $CD,SC,SB$ lần lượt tại $N,P,Q.MNPQ$ là hình gì?
-
A.
Hình thoi
-
B.
Hình bình hành
-
C.
Tứ giác có các cạnh đối cắt nhau
-
D.
Hình thang cân
Đáp án : D
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng các yếu tố song song để xác định hình dạng của thiết diện.
- Dự đoán thiết diện là hình gì?
- Các cách chứng minh một số tứ giác đặc biệt (Hình bình hành, hình thang, hình thang cân, hình thoi,…)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC//\left( \alpha \right),BC \subset \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = PQ\end{array} \right. \Rightarrow MN//BC//PQ\,\,\,\left( 1 \right).\\\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = MQ\\\left( \alpha \right)//SA,SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA//MQ.\end{array}\)
Áp dụng định lí Ta-let ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{SQ}}{{SB}} = \dfrac{{SP}}{{SC}};\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{DN}}{{DC}} \Rightarrow \dfrac{{SP}}{{SC}} = \dfrac{{DN}}{{DC}} \Rightarrow NP//SD.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}MQ//SA\\MN//BC//AD\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {NMQ} = \widehat {SAD} = {60^0}.\) (vì tam giác $SAD$ đều)
Tương tự ta chứng ming được \(\widehat {MNP} = \widehat {SDA} = {60^0} \Rightarrow \widehat {NMQ} = \widehat {MNP}\,\,\left( 2 \right).\)
Từ (1) và (2) suy ra $MNPQ$ là hình thang cân.
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và hai điểm $A,B$ phân biệt. Một điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( O \right)$. Khi đó tập hợp các điểm $N$ sao cho $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} $ là tập nào sau đây?
-
A.
Tập \(\emptyset \)
-
B.
Đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AB\)
-
C.
Đường tròn tâm \(B\) bán kính \(R\)
-
D.
Đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) với \(\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {AB} \)
Đáp án : D
- Biến đổi $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} $.
- Sử dụng tính chất: Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.
Từ giả thiết ta có:
$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} $
Như thế phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} $ biến điểm $M$ thành điểm $N$.
Vậy khi $M$ thay đổi trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$ thì quỹ tích của $N$ là đường tròn $\left( {I;R} \right)$ với $\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {AB} $.
Cho tứ diện $ABCD,$ $M$ là trung điểm của cạnh $CD,$ $G$ là trọng tâm tứ diện. Khi đó 2 đường thẳng $AD$ và $GM $ là hai đường thẳng:
-
A.
Chéo nhau
-
B.
có hai điểm chung
-
C.
song song
-
D.
có một điểm chung
Đáp án : A
- Định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD, E$ và $F$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD$ và $ACD$ \( \Rightarrow E \in BM,F \in AM.\)
Trong $(AMB):$ \(G = AE \cap BF \Rightarrow \) $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD.$
Giả sử bốn điểm $A, D, G, M$ đồng phẳng.
$A, D, M$\( \in \left( {ACD} \right)\) \( \Rightarrow G \in \left( {ACD} \right) \) \(\Rightarrow AG \subset \left( {ACD} \right)\) \( \Rightarrow E \in \left( {ACD} \right)\)(Vô lí)
Do đó $A, D, M, G $ không đồng phẳng.
Vậy $AD $ và $GM$ là hai đường thẳng chéo nhau.
Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$ học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:
-
A.
\(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
-
B.
\(T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)\)
-
C.
\(T = n{2^{n - 1}}\)
-
D.
\(T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \)
Đáp án : A
Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm mà chưa biết nhóm này có bao nhiêu học sinh nên sẽ có các phương án:
PA 1: Nhóm có $2$ học sinh
PA 2: Nhóm có $3$ học sinh.
PA 3: Nhóm có $4$ học sinh.
….
PA (n-2): Nhóm có $n-1$ học sinh.
Tính số cách thực hiện của mỗi phương án sau đó áp dụng quy tắc cộng.
Gọi \({A_k}\) là phương án: Chọn nhóm có $k$ học sinh và chỉ định $1$ bạn trong k học sinh đó làm nhóm trưởng.
Thầy chủ nhiệm có các phương án: \({A_2},{A_3},{A_4},...,{A_{n - 1}}\)
Ta tính xem \({A_k}\) có bao nhiêu cách thực hiện.
Phương án \({A_k}\) có hai công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn $k$ học sinh trong $n$ học sinh có \(C_n^k\) cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn $1$ học sinh trong $k$ học sinh làm nhóm trưởng có \(C_k^1 = k\) cách.
Theo quy tắc nhân thì phương án \({A_k}\) có \(kC_n^k\) cách thực hiện.
Các phương án \({A_k}\) là độc lập với nhau.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: \(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
Phương trình $\tan x + \tan \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \tan \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = 3\sqrt 3 $ tương đương với phương trình.
-
A.
$\cot x = \sqrt 3 $.
-
B.
$\cot 3x = \sqrt 3 $.
-
C.
$\tan x = \sqrt 3 $.
-
D.
$\tan 3x = \sqrt 3 $.
Đáp án : D
- Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.
- Đối chiếu các đáp án và kết luận nghiệm.
Công thức sử dụng:
$\begin{array}{l}
\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\\\tan a + \tan b = \dfrac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos a\cos b}}\\\sin x\cos y + \sin y\cos x = \sin \left( {x + y} \right)\\\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right)\\
\cos a\sin b = \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {a + b} \right) - \sin \left( {a - b} \right)} \right)
\end{array}$
\(\sin \left( {x + \pi } \right) = - \sin x\)
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) \ne 0\\\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) \ne 0\end{array} \right.$
${\rm{pt}}$\( \Leftrightarrow \tan x + \tan \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \tan \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\)\( = 3\sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\)\( + \left[ {\dfrac{{\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}} + \dfrac{{\sin \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}} \right] = 3\sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\)\( + \dfrac{{\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\sin \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}\)\( = 3\sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\sin \left[ {\left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}} = 3\sqrt 3 {\rm{ }}\)
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\sin \left( {2x + \pi } \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}$$ = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{\sin 2x}}{{\dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3} + x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3} - x - \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right]}} $$= 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{2\sin 2x}}{{\cos \left( {2x + \pi } \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)}} = 3\sqrt 3 $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{2\sin 2x}}{{ - \cos 2x + \dfrac{1}{2}}} = 3\sqrt 3 \\
\Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{2.2\sin 2x}}{{ - 2\cos 2x + 2.\dfrac{1}{2}}} = 3\sqrt 3
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{4\sin 2x}}{{1 - 2\cos 2x}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x\left( {1 - 2\cos 2x} \right) - 4\sin 2x.\cos x}}{{\cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x - 2\sin x\cos 2x - 4\sin 2x\cos x}}{{\cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x - 2.\dfrac{1}{2}\left( {\sin 3x - \sin x} \right) - 4.\dfrac{1}{2}\left( {\sin 3x + \sin x} \right)}}{{\cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x - \sin 3x + \sin x - 2\sin 3x - 2\sin x}}{{\cos x - \cos x - \cos 3x}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3\sin 3x}}{{ - \cos 3x}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow 3\tan 3x = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow \tan 3x = \sqrt 3 $
\( \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).
Kiểm tra ta thấy nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k\pi }}{3}\) thỏa mãn các điều kiện của phương trình đầu.
Do đó phương trình \(\tan 3x = \sqrt 3 \) tương đương với phương trình ban đầu (có cùng tập nghiệm).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = \dfrac{1}{2};{u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{{2\left( {n + 1} \right){u_n} + 1}},\,\,n \ge 1\) . \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} < \dfrac{{2017}}{{2018}}\) khi $n$ có giá trị dương lớn nhất là:
-
A.
$2017$
-
B.
$2015$
-
C.
$2016$
-
D.
$2014$
Đáp án : C
Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Suy ra các số hạng từ \({u_1}\) đến \({u_n}\) và tính tổng
Dễ dàng chỉ ra được \({u_n} \ge 0\,\,\forall n \ge 1\)
Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \dfrac{{2\left( {n + 1} \right){u_n} + 1}}{{{u_n}}} = \dfrac{1}{{{u_n}}} + 2n + 2\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{u_n}}} = \dfrac{1}{{{u_{n - 1}}}} + 2\left( {n - 1} \right) + 2 = \dfrac{1}{{{u_{n - 2}}}} + 2\left( {n - 1} \right) + 2 + 2\left( {n - 2} \right) + 2 = ... = \dfrac{1}{{{u_1}}} + 2\left( {1 + 2 + ... + n - 1} \right) + 2\left( {n - 1} \right)\\ = 2 + 2\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 2n - 2 = {n^2} + n\\ \Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{{{n^2} + n}} = \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 1}} = 1 - \dfrac{1}{{n + 1}} = \dfrac{n}{{n + 1}} < \dfrac{{2017}}{{2018}}\\ \Rightarrow 2018n < 2017n + 2017 \Leftrightarrow n < 2017.\end{array}\)
Suy ra số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là $n = 2016$.
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
