-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề thi học kì 1 Toán 11 - Đề số 2
Đề bài
Trong các hình sau:
Các hình có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện là:
-
A.
$\left( I \right)$
-
B.
$\left( I \right),\left( {II} \right),\left( {III} \right)$
-
C.
$\left( I \right),\left( {II} \right),\left( {IV} \right)$
-
D.
$\left( I \right),\left( {II} \right),\left( {III} \right),\left( {IV} \right)$.
Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên $n$ thỏa \(n \ge 3\) thì:
-
A.
\({2^n} < n\)
-
B.
\({2^n} < 2n\)
-
C.
\({2^n} < n + 1\)
-
D.
\({2^n} > 2n + 1\)
Cho tứ diện $ABCD.$ $E, F$ lần lượt là các điểm nằm trong các tam giác $BCD$ và $ACD.$ $M, N, P, Q$ lần lượt là giao của $DE$ và $BC, DF$ và $AC, CE$ và $BD, CF$ và $AD.$ Khi đó giao điểm của $EF$ và $(ABC)$ là:
-
A.
Giao của $EF $ và $MQ$
-
B.
Giao của $EF$ và $MP$
-
C.
Giao của $EF$ và $NQ$
-
D.
Giao của $EF$ và $MN$
Trong một lớp có $17$ bạn nam và $11$ bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn làm lớp trưởng?
-
A.
\(17\)
-
B.
\(11\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(28\)
Tìm hệ số của ${x^{12}}$ trong khai triển ${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}}.$
-
A.
$C_{10}^8.$
-
B.
$C_{10}^2{.2^8}.$
-
C.
$C_{10}^2.$
-
D.
$ - \,C_{10}^2{.2^8}.$
Cho cấp số cộng \({u_1};\,{\rm{ }}{u_2};{\rm{ }}{u_3};{\rm{ }} \cdots ;{\rm{ }}{u_n}\) có công sai \(d,\) các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác \(0.\) Với giá trị nào của \(d\) thì dãy số \(\dfrac{1}{{{u_1}}};\,{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_2}}};{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_3}}};{\rm{ }} \cdots ;{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_n}}}\) là một cấp số cộng?
-
A.
\(d = - 1.\)
-
B.
\(d = 0.\)
-
C.
\(d = 1.\)
-
D.
\(d = 2.\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm \(M\left( {4;6} \right)\,\)và \(M'\left( { - 3;5} \right)\). Phép vị tự tâm \(I\), tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) biến điểm \(M\) thành \(M'\). Tìm tọa độ tâm vị tự \(I.\)
-
A.
\(I\left( { - 4;10} \right).\)
-
B.
\(I\left( {11;1} \right).\)
-
C.
\(I\left( {1;11} \right).\)
-
D.
\(I\left( { - 10;4} \right).\)
Hàm số \(y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}\) xác định trên:
-
A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
C.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
D.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Nghiệm của phương trình \(2\cos x - 1 = 0\) là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $d'$?
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép
Có bao nhiêu số có \(3\) chữ số được lập thành từ các chữ số \(3,2,1\)?
-
A.
\(6\)
-
B.
\(27\)
-
C.
\(9\)
-
D.
\(3\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) đồng thời song song với AC và SB lần lượt cắt các đoạn thẳng SA, AB, BC, SC, SD và BD tại M, N, E, F, I, J. Xét các khẳng định sau:
(1) MN // (SCD) (2) EF // (SAD)
(3) NE // (SAC) (3) IJ // (SAB)
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 9 viên bi được đánh số \(1,{\rm{ }}2,{\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}9\) . Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là \(\dfrac{3}{{10}}\). Xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là:
-
A.
\(\dfrac{2}{{15}}.\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{15}}.\)
-
C.
\(\dfrac{4}{{15}}.\)
-
D.
\(\dfrac{7}{{15}}.\)
Cho phương trình \(A_x^3 + 2C_{x + 1}^{x - 1} - 3C_{x - 1}^{x - 3} = 3{x^2} + {P_6} + 159\). Giả sử \(x = {x_0}\) là nghiệm của phương trình trên, lúc này ta có:
-
A.
\({x_0} \in \left( {10;13} \right)\)
-
B.
\({x_0} \in \left( {12;14} \right)\)
-
C.
\({x_0} \in \left( {10;12} \right)\)
-
D.
\({x_0} \in \left( {14;16} \right)\)
Hai bạn Công và Thành cùng viết ngẫu nhiên ra một số tự nhiên gồm 2 chữ số phân biệt. Xác suất để hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung bằng:
-
A.
\(\dfrac{{145}}{{729}}\)
-
B.
\(\dfrac{{448}}{{729}}\)
-
C.
\(\dfrac{{281}}{{729}}\)
-
D.
\(\dfrac{{154}}{{729}}\)
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(k \ne p.\)
-
B.
\(k \ge p.\)
-
C.
\(k = p.\)
-
D.
\(k < p.\)
Giả sử $Q$ là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho
a) \(k \in Q\)
b) \(n \in Q \Rightarrow n + 1 \in Q\,\,\forall n \ge k.\)
-
A.
Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.
-
B.
Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q.
-
C.
Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q.
-
D.
Mọi số nguyên đều thuộc Q.
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Hàm số \(y = \sin x\) có chu kỳ \(T = \pi \)
-
B.
Hàm số \(y = \cos x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
-
C.
Hàm số \(y = \cot x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
-
D.
Hàm số \(y = \cot x\) có chu kỳ \(T = 2\pi \)
Khẳng định nào sau đây sai ?
-
A.
Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó
-
B.
Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
-
C.
Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó
-
D.
Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.
Cho điểm $A$ không nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa tam giác $BCD.$ Lấy $E,\,\,F$ là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh $AB,\,\,AC.$ Khi $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $I,$ chọn kết luận không đúng:
-
A.
\(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DBC} \right) = BI\)
-
B.
\(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EF\)
-
C.
\(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EI\)
-
D.
\(\left( {DBC} \right)\) không có điểm chung với \(\left( {DEF} \right)\),
Cho hình chóp $S.ABCD.$ Gọi $M, N $ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $ABC.$ Khi đó $MN$ song song với
-
A.
$mp(SAD) $
-
B.
$AD$
-
C.
$mp(SCD)$
-
D.
$mp(SBD)$
Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?
-
A.
\(y = {x^2} - \sin x\)
-
B.
\(y = {x^2} + \sin x\)
-
C.
\(y = {x^3} - \sin x\)
-
D.
\(y = \cos x - {x^2}\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nếu phép đối xứng trục biến điểm $M\left( {2;3} \right)$ thành $M'\left( {3;2} \right)$ thì nó biến điểm $C\left( {1; - 6} \right)$ thành điểm:
-
A.
\(C'\left( {4;16} \right).\)
-
B.
\(C'\left( {1;6} \right).\)
-
C.
\(C'\left( { - 6; - 1} \right).\)
-
D.
\(C'\left( { - 6;1} \right).\)
Cho các mệnh đề sau:
a. Nếu $a // (P)$ thì $a$ song song với mọi đường thẳng nằm trong $(P).$
b. Nếu $a // (P)$ thì $a$ song song với một đường thẳng nào đó nằm trong $(P).$
c. Nếu $a // (P)$ thì có vô số đường thẳng nằm trong $(P)$ và song song với $a$
d. Nếu $a // (P)$ thì có một đường thẳng $d$ nào đó nằm trong $(P)$ sao cho $a$ và $d$ đồng phẳng.
Số mệnh đề đúng là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với \(d:2x\; - y = 0\) có tọa độ là:
-
A.
$A'\left( { - 2;7} \right)$
-
B.
\(A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
C.
\(A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
D.
\(A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)\)
Phương trình \(\tan \dfrac{x}{2} = \tan x\) có nghiệm:
-
A.
\(k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
Cả 3 đáp án đúng
Với giá trị nào của \(m\) dưới đây thì phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm?
-
A.
\(m = - 3\)
-
B.
\(m = - 2\)
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
\(m = 3\)
Gieo một con xúc sắc hai lần. Biến cố \(A\) là biến cố để hai lần gieo có ít nhất một mặt \(6\) chấm. Các phần tử của \({\Omega _A}\) là:
-
A.
\({\Omega _A} = \left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right);\left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right)} \right\}\)
-
B.
\({\Omega _A} = \) \(\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right); \left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right);\left( {6,6} \right)} \}\)
-
C.
${\Omega _A} =$ $ \left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right);\left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right);} \right.\left. {\left( {6,1} \right);\left( {6,2} \right);\left( {6,3} \right);\left( {6,4} \right);\left( {6,5} \right)} \right\}$
-
D.
${\Omega _A} = $ $\left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right);\left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right);} \right.\left. {\left( {6,6} \right);\left( {6,1} \right);\left( {6,2} \right);\left( {6,3} \right);\left( {6,4} \right);\left( {6,5} \right)} \right\}$
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 3 - 2{\cos ^2}3x\):
-
A.
\(\min y = 1;\max y = 2\)
-
B.
\(\min y = 1;\max y = 3\)
-
C.
\(\min y = 2;\max y = 3\)
-
D.
\(\min y = - 1;\max y = 3\)
Phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x.\cot x = 1\) là:
-
A.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
-
B.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
C.
\(R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
D.
\(R\)
Số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình \(\sin x + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)\cos x = 1\) trên đường tròn lượng giác là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(3\)
Phương trình \(2\sqrt 3 {\cos ^2}x + 6\sin x\cos x = 3 + \sqrt 3 \) có mấy họ nghiệm?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Có bao nhiêu cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẻ:
-
A.
$6$.
-
B.
$72$.
-
C.
$720$.
-
D.
$144$.
Cho $8$ bạn học sinh $A,B,C,D,E,F,G,H$. Hỏi có bao nhiêu cách xếp $8$ bạn đó ngồi xung quanh một bàn tròn có $8$ ghế.
-
A.
$40320$ cách
-
B.
$5040$ cách
-
C.
$720$ cách
-
D.
$40319$ cách
Giá trị của biểu thức \(A_{n + k}^{n + 1} + A_{n + k}^{n + 2}\) bằng biểu thức nào sau đây?
-
A.
\({k^2}A_{n + k}^n\)
-
B.
\(kA_{n + k + 1}^{n + 2}\)
-
C.
\(A_{n + k + 1}^{n + 1}\)
-
D.
\(A_n^k\)
Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = 243\) là:
-
A.
\(n = 5\)
-
B.
\(n = 4\)
-
C.
\(n = 3\)
-
D.
\(n = 6\)
Gieo đồng xu cân đối và đồng chất \(5\) lần liên tiếp. Xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:
-
A.
\(\dfrac{{31}}{{32}}\)
-
B.
\(\dfrac{{21}}{{32}}\)
-
C.
\(\dfrac{{15}}{{16}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{32}}\)
Gieo hai con súc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để hiệu số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc xắc bằng 2 là:
-
A.
$\dfrac{1}{{12}}$.
-
B.
$\dfrac{1}{9}$.
-
C.
$\dfrac{2}{9}$.
-
D.
$\dfrac{5}{{36}}$.
Độ dài $3$ cạnh của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Nếu trung bình cộng ba cạnh bằng $6$ thì công sai của cấp số cộng này là:
-
A.
$7,5$
-
B.
$4,5$
-
C.
$0,5$
-
D.
Đáp án khác.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho vectơ $\vec v = \left( { - 3; - 2} \right)$. Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v $ biến đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1$ thành đường tròn $\left( {C'} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
$\left( {C'} \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$
-
B.
$\left( {C'} \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$
-
C.
$\left( {C'} \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4.$
-
D.
$\left( {C'} \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4.$
Phép vị tự nào sau đây biến đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) thành đường tròn \(\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\) ?
-
A.
\({V_{\left( {I; - 1} \right)}}\) với \(I\left( {4;2} \right)\)
-
B.
\(V\left( {I;1} \right)\) với \(I\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\({V_{\left( {I; - 1} \right)}}\) với \(I\left( {1;1} \right)\)
-
D.
\({V_{\left( {I;1} \right)}}\) với \(I\left( {4;2} \right)\)
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,{\rm{ }}CD.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {ABN} \right)\) là:
-
A.
đường thẳng \(MN.\)
-
B.
đường thẳng \(AM.\)
-
C.
đường thẳng \(BG{\rm{ }}(G\) là trọng tâm tam giác \(ACD).\)
-
D.
đường thẳng \(AH{\rm{ }}(H\) là trực tâm tam giác \(ACD).\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(H\), \(K\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\), \(BC\). Trên đường thẳng \(CD\) lấy điểm \(M\) nằm ngoài đoạn \(CD\). Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng \(\left( {HKM} \right)\) là:
-
A.
Tứ giác \(HKMN\) với \(N \in AD.\)
-
B.
Hình thang \(HKMN\) với \(N \in AD\) và \(HK\parallel MN.\)
-
C.
Tam giác \(HKL\) với \(L = KM \cap BD.\)
-
D.
Tam giác \(HKL\) với \(L = HM \cap AD.\)
Cho tứ diện đều $SABC.$ Gọi $I$ là trung điểm của $AB, M $ là một điểm di động trên đoạn $AI.$ Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $SI, IC,$ biết $AM = x.$ Thiết diện tạo bởi $mp(P)$ và tứ diện $SABC $ có chu vi là:
-
A.
\(3x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
-
B.
\(2x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
-
C.
\(x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
-
D.
Không xác định
Biểu thức \(2C_n^k + 5C_n^{k + 1} + 4C_n^{k + 2}+C_n^{k+3}\) bằng biểu thức nào sau đây?
-
A.
\(C_{n + 2}^{k + 2} + C_{n + 3}^{k + 3}\)
-
B.
\(C_{n + 2}^k + C_{n + 3}^k\)
-
C.
\(C_{n + 2}^{k + 1} + C_{n + 3}^{k + 2}\)
-
D.
\(2C_{n + 2}^{k + 2}\)
Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau
\(y = 3{\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2} + 4\left( {3\sin x + 4\cos x} \right) + 1\)
-
A.
\(\min y = \dfrac{1}{3};\max y = 96\)
-
B.
\(\min y = \dfrac{1}{3};\max y = 6\)
-
C.
\(\min y = - \dfrac{1}{3};\max y = 96\)
-
D.
\(\min y = 2;\max y = 6\)
Gieo ba con xúc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc đó bằng nhau là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{216}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{18}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{36}}\)
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm $A$ cố định. Một điểm $M$ thay đổi trên \(\left( {O;R} \right)\), gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$ . Khi $M$ thay đổi trên \(\left( {O;R} \right)\), tập hợp các điểm $N$ là:
-
A.
Đường tròn tâm $A$ bán kính $R$
-
B.
Đường tròn tâm $O$ bán kính $2R$
-
C.
Đường tròn tâm $I$ bán kính \(\dfrac{R}{2}\) với $I$ là trung điểm của $AO$
-
D.
Đường tròn đường kính $AO$ .
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng : \({x^3} - 3m{x^2} + 2m\left( {m - 4} \right)x + 9{m^2} - m = 0\) ?
-
A.
$m = 0$
-
B.
\(m = \dfrac{{17 + \sqrt {265} }}{{12}}\)
-
C.
\(m = \dfrac{{17 - \sqrt {265} }}{{12}}\)
-
D.
$m = 1$
Lời giải và đáp án
Trong các hình sau:
Các hình có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện là:
-
A.
$\left( I \right)$
-
B.
$\left( I \right),\left( {II} \right),\left( {III} \right)$
-
C.
$\left( I \right),\left( {II} \right),\left( {IV} \right)$
-
D.
$\left( I \right),\left( {II} \right),\left( {III} \right),\left( {IV} \right)$.
Đáp án : D
Hình (III) có thể là hình tứ diện. Vì nếu ta nhìn từ điểm C hướng xuống BD thì B, C, D thẳng hàng.
Hình (IV) có thể là hình tứ diện. Vì nếu điểm C nằm phía trước mặt phẳng (ABD) thì ta có thể nhìn thấy các đường CA,CB,CD, do đó các đường này là nét liền
Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên $n$ thỏa \(n \ge 3\) thì:
-
A.
\({2^n} < n\)
-
B.
\({2^n} < 2n\)
-
C.
\({2^n} < n + 1\)
-
D.
\({2^n} > 2n + 1\)
Đáp án : D
Thử một giá trị bất kì của $n$ thỏa mãn \(n \ge 3\) và dự đoán kết quả.
Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với $n = 3$ ta loại được đáp án A, B và C.
Ta chứng minh đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bất đẳng thức \({2^n} > 2n + 1\) đúng với $n = 3$ vì $8 > 7$.
Giả sử bất đẳng thức đúng đến \(n = k \ge 3\), tức là \({2^k} > 2k + 1\), ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh \({2^{k + 1}} > 2\left( {k + 1} \right) + 1 = 2k + 3.\)
Ta có: \({2^{k + 1}} = {2.2^k} > 2\left( {2k + 1} \right) = 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1.\) Vì \(k \ge 4 \Rightarrow 2k - 1 \ge 7 > 0 \Rightarrow {2^{k + 1}} > 2k + 3\)
Do đó bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$.
Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3.\)
Cho tứ diện $ABCD.$ $E, F$ lần lượt là các điểm nằm trong các tam giác $BCD$ và $ACD.$ $M, N, P, Q$ lần lượt là giao của $DE$ và $BC, DF$ và $AC, CE$ và $BD, CF$ và $AD.$ Khi đó giao điểm của $EF$ và $(ABC)$ là:
-
A.
Giao của $EF $ và $MQ$
-
B.
Giao của $EF$ và $MP$
-
C.
Giao của $EF$ và $NQ$
-
D.
Giao của $EF$ và $MN$
Đáp án : D
+ Tìm một mặt phẳng thích hợp chứa $EF$
+ Tìm giao tuyến của mặt phẳng đó với $(ABC)$
+ Tìm giao điểm của giao tuyến đó với $EF$
Ta có $EF \subset \left( {DEF} \right) \Rightarrow EF \subset \left( {DMN} \right)$
$\left( {DMN} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN$
Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ và $MN$
$⇒ I$ là giao của $EF$ và $(ABC)$
Trong một lớp có $17$ bạn nam và $11$ bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn làm lớp trưởng?
-
A.
\(17\)
-
B.
\(11\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(28\)
Đáp án : D
Sử dụng quy tắc cộng \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\).
Có \(2\) phương án chọn lớp trưởng là nam hoặc nữ.
- Có \(17\) cách chọn lớp trưởng là nam.
- Có \(11\) cách chọn lớp trưởng là nữ.
Vậy có tất cả \(17 + 11 = 28\) cách chọn lớp trưởng.
Tìm hệ số của ${x^{12}}$ trong khai triển ${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}}.$
-
A.
$C_{10}^8.$
-
B.
$C_{10}^2{.2^8}.$
-
C.
$C_{10}^2.$
-
D.
$ - \,C_{10}^2{.2^8}.$
Đáp án : B
Sử dụng công thức tổng quát ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k\,=\,0}^{n}{C_{n}^{k}}.{{a}^{n\,-\,k}}.{{b}^{k}}\,\,\xrightarrow{{}}$ Tìm hệ số của số hạng cần tìm.
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có
${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {2x} \right)^{10\, - \,k}}.{\left( { - \,{x^2}} \right)^k} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.2^{10\, - \,k}}.{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{10\, + \,k}}.$
Hệ số của ${x^{12}}$ ứng với $10+k=12\Leftrightarrow k=2\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Hệ số cần tìm là $C_{10}^2{.2^8}.{\left( { - \,1} \right)^2} = C_{10}^2{.2^8}.$
Cho cấp số cộng \({u_1};\,{\rm{ }}{u_2};{\rm{ }}{u_3};{\rm{ }} \cdots ;{\rm{ }}{u_n}\) có công sai \(d,\) các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác \(0.\) Với giá trị nào của \(d\) thì dãy số \(\dfrac{1}{{{u_1}}};\,{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_2}}};{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_3}}};{\rm{ }} \cdots ;{\rm{ }}\dfrac{1}{{{u_n}}}\) là một cấp số cộng?
-
A.
\(d = - 1.\)
-
B.
\(d = 0.\)
-
C.
\(d = 1.\)
-
D.
\(d = 2.\)
Đáp án : B
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là CSC \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d,\forall n \ge 1\).
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_1} = d\\{u_3} - {u_2} = d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{{u_2}}} - \dfrac{1}{{{u_1}}} = - \dfrac{d}{{{u_1}{u_2}}}\\\dfrac{1}{{{u_3}}} - \dfrac{1}{{{u_2}}} = - \dfrac{d}{{{u_2}{u_3}}}\end{array} \right..$
Theo yêu cầu bài toán thì ta phải có $\dfrac{1}{{{u_2}}} - \dfrac{1}{{{u_1}}} = \dfrac{1}{{{u_3}}} - \dfrac{1}{{{u_2}}}$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm \(M\left( {4;6} \right)\,\)và \(M'\left( { - 3;5} \right)\). Phép vị tự tâm \(I\), tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) biến điểm \(M\) thành \(M'\). Tìm tọa độ tâm vị tự \(I.\)
-
A.
\(I\left( { - 4;10} \right).\)
-
B.
\(I\left( {11;1} \right).\)
-
C.
\(I\left( {1;11} \right).\)
-
D.
\(I\left( { - 10;4} \right).\)
Đáp án : D
Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k = \dfrac{1}{2}$ biến điểm $M$ thành điểm \(M' \Rightarrow \overrightarrow {IM'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {IM} \)
Gọi \(I\left( {x;y} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {IM} = \left( {4 - x;6 - y} \right),\,\,\overrightarrow {IM'} = \left( { - 3 - x;5 - y} \right).\)
Ta có ${V_{\left( {I,\dfrac{1}{2}} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {IM} $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = \dfrac{1}{2}\left( {4 - x} \right)\\5 - y = \dfrac{1}{2}\left( {6 - y} \right)\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 10\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 10;4} \right)$
Hàm số \(y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}}\) xác định trên:
-
A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
C.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
D.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án : A
Hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định nếu \(f\left( x \right) \ne 0\).
Sử dụng công thức $\cos a \ne 1 \Leftrightarrow a \ne k2\pi$
Điều kiện: \(\cos 3x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne 1 \Leftrightarrow 3x \ne k2\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k2\pi }}{3}\)
Nghiệm của phương trình \(2\cos x - 1 = 0\) là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : D
Ta có: \(2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $d'$?
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép
Đáp án : A
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Do đó không xảy ra trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.
Có bao nhiêu số có \(3\) chữ số được lập thành từ các chữ số \(3,2,1\)?
-
A.
\(6\)
-
B.
\(27\)
-
C.
\(9\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : B
Gọi số thỏa mãn bài toán là \(\overline {abc} \).
- Có \(3\) cách chọn chữ số \(a\).
- Có \(3\) cách chọn chữ số \(b\).
- Có \(3\) cách chọn chữ số \(c\).
Vậy có \(3.3.3 = 27\) số tạo thành từ các chữ số \(3,2,1\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) đồng thời song song với AC và SB lần lượt cắt các đoạn thẳng SA, AB, BC, SC, SD và BD tại M, N, E, F, I, J. Xét các khẳng định sau:
(1) MN // (SCD) (2) EF // (SAD)
(3) NE // (SAC) (3) IJ // (SAB)
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Đáp án : B
- Đưa về cùng mặt phẳng
- Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng a // b \( \subset \left( P \right) \Rightarrow \)a // (P).
Trước hết ta lấy điểm \(M \in \left( P \right)\) sao cho \(M \in SA\).
Trong mp(SAB) kẻ MN // SA \(\left( {N \in AB} \right)\), trong mp(ABCD) kẻ NE // AC \(\left( {E \in BC} \right)\).
\(NE \cap BD = \left\{ J \right\}\)
Trong mp(SBC) kẻ EF // SB \(\left( {F \in SC} \right)\), trong mp(SBD) kẻ JI // SD \(\left( {I \in SD} \right)\).
Giả sử MN // (SCD)
Lại có: MN // SB\( \Rightarrow SB \subset \left( {SCD} \right)\) (vô lý) nên (1) sai.
Tương tự ta chứng minh được (2) sai.
NE // AC\( \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow \) NE // (SAC). Do đó (3) đúng.
IJ // SB\( \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow \)IJ // (SAB). Do đó (4) đúng.
Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 9 viên bi được đánh số \(1,{\rm{ }}2,{\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}9\) . Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là \(\dfrac{3}{{10}}\). Xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là:
-
A.
\(\dfrac{2}{{15}}.\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{15}}.\)
-
C.
\(\dfrac{4}{{15}}.\)
-
D.
\(\dfrac{7}{{15}}.\)
Đáp án : A
- Tính xác suất để lấy được bi chẵn ở hộp I.
- Tính xác suất lấy được cả hai bi chẵn thoe quy tắc nhân
Gọi X là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. “
Gọi A là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “
=>\(P\left( A \right) = \dfrac{{C_4^1}}{{C_9^1}} = \dfrac{4}{9}.\)
Gọi B là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II “\(P\left( B \right) = \dfrac{3}{{10}}.\)
Ta thấy biến cố A, B là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
\(P\left( X \right) = P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \dfrac{4}{9}.\dfrac{3}{{10}} = \dfrac{2}{{15}}.\)
Cho phương trình \(A_x^3 + 2C_{x + 1}^{x - 1} - 3C_{x - 1}^{x - 3} = 3{x^2} + {P_6} + 159\). Giả sử \(x = {x_0}\) là nghiệm của phương trình trên, lúc này ta có:
-
A.
\({x_0} \in \left( {10;13} \right)\)
-
B.
\({x_0} \in \left( {12;14} \right)\)
-
C.
\({x_0} \in \left( {10;12} \right)\)
-
D.
\({x_0} \in \left( {14;16} \right)\)
Đáp án : A
Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp và hoán vị \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\,\,;\,\,{P_n} = n!\)
ĐK: \(x \ge 3,x \in N\).
Phương trình đã cho có dạng
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x!}}{{\left( {x - 3} \right)!}} + \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)!}}{{2!\left( {x - 1} \right)!}} - \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)!}}{{2!\left( {x - 3} \right)!}} = 3{x^2} + 6! + 159\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + x\left( {x + 1} \right) - \dfrac{3}{2}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 3{x^2} + 879\\ \Leftrightarrow x = 12\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
(Dùng lệnh SHIFT SLOVE trên máy tính)
Hai bạn Công và Thành cùng viết ngẫu nhiên ra một số tự nhiên gồm 2 chữ số phân biệt. Xác suất để hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung bằng:
-
A.
\(\dfrac{{145}}{{729}}\)
-
B.
\(\dfrac{{448}}{{729}}\)
-
C.
\(\dfrac{{281}}{{729}}\)
-
D.
\(\dfrac{{154}}{{729}}\)
Đáp án : C
- Liệt kê các trường hợp có lợi cho biến cố và đếm số khả năng xảy ra.
- Tính xác suất và kết luận.
Số các số tự nhiên có 2 chữ số phân biệt là \(9.9 = 81 \Rightarrow n\left( \Omega \right) = {81^2}\).
Gọi A là biến cố: “ Hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung”
TH1: Hai bạn cùng viết hai số giống nhau \( \Rightarrow \) Có 81 cách.
TH2: Bạn Công viết số có dạng \(\overline {ab} \) và bạn Thành viết số có dạng \(\overline {ba} \).
\( \Rightarrow a \ne b \ne 0 \Rightarrow \) Có \(9.8 = 72\) cách.
TH3: Hai bạn chọn số chỉ có 1 chữ số trùng nhau.
+) Trùng số 0: Số cần viết có dạng \(\overline {a0} \), Công có 9 cách viết, Thành có 8 cách viết (Khác số Công viết)
\( \Rightarrow \) Có \(9.8 = 72\) cách.
+) Trùng số 1: Số cần viết có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\), hoặc \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).
Nếu Công viết số 10 , khi đó Thành có 8 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Có 16 cách.
Nếu Công viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 0,\,\,b \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).
\( \Rightarrow \) Có \(8\left( {7 + 8} \right) = 120\) cách.
Nếu Công viết có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).
\( \Rightarrow \) Có \(8\left( {7 + 8} \right) = 120\) cách.
\( \Rightarrow \) Có 256 cách viết trùng số 1.
Tương tự cho các trường hợp trùng số 2,3,4,5,6,7,8,9.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 81 + 72 + 72 + 256.9 = 2529\).
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{2529}}{{{{81}^2}}} = \dfrac{{281}}{{729}}\).
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(k \ne p.\)
-
B.
\(k \ge p.\)
-
C.
\(k = p.\)
-
D.
\(k < p.\)
Đáp án : B
Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) với \(k \ge p\).
Giả sử $Q$ là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho
a) \(k \in Q\)
b) \(n \in Q \Rightarrow n + 1 \in Q\,\,\forall n \ge k.\)
-
A.
Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.
-
B.
Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q.
-
C.
Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q.
-
D.
Mọi số nguyên đều thuộc Q.
Đáp án : B
Dựa vào lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học và loại trừ các đáp án.
Đáp án A: sai vì \(Q \subset {N^*}\) chứ không phải \({N^*} \subset Q\), nên mọi số nguyên dương không thể thuộc \(Q\) hết được.
Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.
Đáp án C: sai vì theo giả thiết \(b)\) thì phải là số tự nhiên lớn hơn \(k\) thuộc \(Q\).
Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc \(Q\).
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Hàm số \(y = \sin x\) có chu kỳ \(T = \pi \)
-
B.
Hàm số \(y = \cos x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
-
C.
Hàm số \(y = \cot x\) và hàm số \(y = \tan x\) có cùng chu kỳ.
-
D.
Hàm số \(y = \cot x\) có chu kỳ \(T = 2\pi \)
Đáp án : C
Hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) có chu kì \(T = 2\pi \).
Hàm số \(y = \cot x\) và hàm số \(y = \tan x\) có chu kì \(T = \pi \).
Vậy chỉ có đáp án C đúng.
Khẳng định nào sau đây sai ?
-
A.
Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó
-
B.
Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
-
C.
Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó
-
D.
Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.
Đáp án : A
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Phép đối xứng trục không bảo toàn hướng của vector.
Cho điểm $A$ không nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa tam giác $BCD.$ Lấy $E,\,\,F$ là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh $AB,\,\,AC.$ Khi $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $I,$ chọn kết luận không đúng:
-
A.
\(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DBC} \right) = BI\)
-
B.
\(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EF\)
-
C.
\(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EI\)
-
D.
\(\left( {DBC} \right)\) không có điểm chung với \(\left( {DEF} \right)\),
Đáp án : D
Vẽ hình, tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng ở mỗi đáp án và kết luận.
+) Ta có: \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DBC} \right) = BC\), mà \(I \in BC\) nên \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DBC} \right) = BI\) hay A đúng.
+) \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EF\) nên B đúng.
+) \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EF\), mà \(I \in EF\) nên \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = EI\) nên C đúng.
+) Dễ thấy \(D\) là điểm chung của \(\left( {DBC} \right)\) và \(\left( {DEF} \right)\), ngoài ra \(I = BC \cap EF\) nên \(\left( {DBC} \right) \cap \left( {DEF} \right) = DI\) nên D sai.
Cho hình chóp $S.ABCD.$ Gọi $M, N $ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $ABC.$ Khi đó $MN$ song song với
-
A.
$mp(SAD) $
-
B.
$AD$
-
C.
$mp(SCD)$
-
D.
$mp(SBD)$
Đáp án : C
- Đưa về cùng một mặt phẳng.
- Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác.
- Áp dụng định lí Ta – let đảo để chứng minh hai đường thẳng song song.
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ ta có:
\(\begin{array}{l}M \in SE\,;\,\dfrac{{EM}}{{ES}} = \dfrac{1}{3}\\N \in EC\,;\,\dfrac{{EN}}{{EC}} = \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Xét tam giác $ESC$ ta có \(\dfrac{{EM}}{{ES}} = \dfrac{{EN}}{{EC}} = \dfrac{1}{3} \)
\(\Rightarrow \) $MN // SC$ (Định lí Ta – let đảo).
Mà \(SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow MN // (SCD)\)
Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?
-
A.
\(y = {x^2} - \sin x\)
-
B.
\(y = {x^2} + \sin x\)
-
C.
\(y = {x^3} - \sin x\)
-
D.
\(y = \cos x - {x^2}\)
Đáp án : D
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn nếu \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\), là hàm số lẻ nếu \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\).
$\sin(-x)=-\sin x$; $\cos (-x)=\cos x$
$(-x)^2=x^2$;
$(-x)^3=-x^3$
Đáp án A: \(y(x) = {x^2} - \sin x\)
\( \Rightarrow y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} - \sin \left( { - x} \right) = {x^2} + \sin x\)
Ta có:
\({x^2} + \sin x \ne{x^2} - \sin x \)$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne y(x)$
\({x^2} + \sin x \ne-{x^2}+ \sin x \)$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne -y(x)$
=>Hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Đáp án B: \(y = {x^2} + \sin x \Rightarrow y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + \sin \left( { - x} \right) = {x^2} - \sin x\)
Ta có:
\({x^2} - \sin x \ne{x^2} + \sin x \)$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne y(x)$
\({x^2} - \sin x \ne-{x^2}- \sin x \)$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne -y(x)$
=>Hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Đáp án C: \(y = {x^3} - \sin x \Rightarrow y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} - \sin \left( { - x} \right) = - {x^3} + \sin x = - y\left( x \right)\)
=>$y(-x)=-y(x)$
=> Hàm số là lẻ.
Đáp án D: $y = \cos x - {x^2} \Rightarrow y\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) - {\left( { - x} \right)^2} = \cos x - {x^2} = y\left( x \right)$
=>$y(-x)=y(x)$
=> Hàm số là chẵn.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nếu phép đối xứng trục biến điểm $M\left( {2;3} \right)$ thành $M'\left( {3;2} \right)$ thì nó biến điểm $C\left( {1; - 6} \right)$ thành điểm:
-
A.
\(C'\left( {4;16} \right).\)
-
B.
\(C'\left( {1;6} \right).\)
-
C.
\(C'\left( { - 6; - 1} \right).\)
-
D.
\(C'\left( { - 6;1} \right).\)
Đáp án : D
- Tìm phương trình trục đối xứng \(a\) (trung trực của đoạn thẳng \(MM'\)).
- Tìm ảnh của \(C\) qua đường thẳng vừa tìm.
Gọi ${D_a}\left( M \right) = M'$ $ \Rightarrow a$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MM'.$
Gọi $I$ là trung điểm đoạn thẳng $MM' \Rightarrow I\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2}} \right).$
Đường thẳng $a$ qua điểm $I$ và có một vtpt $\vec n = \overrightarrow {MM'} = \left( {1; - 1} \right)$ nên có phương trình $a:x - y = 0$ hay $a:y = x$ (đường phân giác góc phần tư thứ nhất).
Suy ra \(C'\left( { - 6;1} \right).\)
Cho các mệnh đề sau:
a. Nếu $a // (P)$ thì $a$ song song với mọi đường thẳng nằm trong $(P).$
b. Nếu $a // (P)$ thì $a$ song song với một đường thẳng nào đó nằm trong $(P).$
c. Nếu $a // (P)$ thì có vô số đường thẳng nằm trong $(P)$ và song song với $a$
d. Nếu $a // (P)$ thì có một đường thẳng $d$ nào đó nằm trong $(P)$ sao cho $a$ và $d$ đồng phẳng.
Số mệnh đề đúng là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Đáp án : C
Vận dụng các kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng.
Các mệnh đề b, c, d đúng nên có $3$ mệnh đề đúng.
Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với \(d:2x\; - y = 0\) có tọa độ là:
-
A.
$A'\left( { - 2;7} \right)$
-
B.
\(A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
C.
\(A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
D.
\(A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)\)
Đáp án : B
- Viết phương trình đường thẳng $d’$ qua $A$ và vuông góc với $d.$
- Tìm giao điểm $H$ của $d$ và $d’.$ Khi đó $H$ là trung điểm của $AA’.$
Áp dụng công thức tìm tọa độ trung điểm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\end{array} \right.\)
Gọi \(A'\) là ảnh của $A$ qua phép đối xứng trục $d.$ Gọi $d’$ là đường thẳng đi qua $A $ và vuông góc với $d,$ khi đó phương trình $d’$ có dạng: $x + 2y + c = 0.$
Vì \(A \in d'\) nên \(4 + 2\left( { - 3} \right) + c = 0 \Rightarrow c = 2\). Khi đó \(\left( {d'} \right):x + 2y + 2 = 0\)
Gọi \(H = d \cap d' \Rightarrow H\left( { - \dfrac{2}{5}; - \dfrac{4}{5}} \right) \Rightarrow \) $H $ là trung điểm của $AA’.$ Khi đó
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - \dfrac{2}{5}} \right) - 4 = - \dfrac{{24}}{5}\\{y_{A'}} = 2\left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + 3 = \dfrac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
Phương trình \(\tan \dfrac{x}{2} = \tan x\) có nghiệm:
-
A.
\(k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
Cả 3 đáp án đúng
Đáp án : A
Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Sử dụng công thức $\tan x =\dfrac{\sin x}{\cos x}$ và \(\tan \dfrac{x}{2} = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{\cos \dfrac{x}{2}}}\)
$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi$
Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) và kết hợp với điều kiện xác định để loại nghiệm.
Bước 1:
Điều kiện:\(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \pi + k2\pi \end{array} \right.\)
Bước 2:
Ta có: \(\tan \dfrac{x}{2} = \tan x \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = x + k\pi \) \(\Leftrightarrow - \dfrac{x}{2} = k\pi \Leftrightarrow - x = 2k\pi \) \(\Leftrightarrow x = - k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) (*)
Đặt \(k = - l\) nên:
(*)\(\Leftrightarrow x = l2\pi \left( {l \in Z} \right)\) (TMĐK)
Với giá trị nào của \(m\) dưới đây thì phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm?
-
A.
\(m = - 3\)
-
B.
\(m = - 2\)
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
\(m = 3\)
Đáp án : C
Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm nếu \(\left| m \right| \le 1\) và vô nghiệm nếu \(\left| m \right| > 1\)
Đáp án A: $|m|=|-3|=3>1$=> Loại
Đáp án B: $|m|=|-2|=2>1$=> Loại
Đáp án C: $|m|=|0|=0\le 1$ => Nhận
Đáp án D: $|m|=|3|=3>1$=> Loại
Gieo một con xúc sắc hai lần. Biến cố \(A\) là biến cố để hai lần gieo có ít nhất một mặt \(6\) chấm. Các phần tử của \({\Omega _A}\) là:
-
A.
\({\Omega _A} = \left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right);\left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right)} \right\}\)
-
B.
\({\Omega _A} = \) \(\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right); \left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right);\left( {6,6} \right)} \}\)
-
C.
${\Omega _A} =$ $ \left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right);\left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right);} \right.\left. {\left( {6,1} \right);\left( {6,2} \right);\left( {6,3} \right);\left( {6,4} \right);\left( {6,5} \right)} \right\}$
-
D.
${\Omega _A} = $ $\left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right);\left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right);} \right.\left. {\left( {6,6} \right);\left( {6,1} \right);\left( {6,2} \right);\left( {6,3} \right);\left( {6,4} \right);\left( {6,5} \right)} \right\}$
Đáp án : D
Liệt lê các phần tử.
Ta có:
\({\Omega _A} = \{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right);\left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right);\left( {6,6} \right);\left( {6,1} \right);\left( {6,2} \right);\left( {6,3} \right);\left( {6,4} \right);\left( {6,5} \right)} \}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 3 - 2{\cos ^2}3x\):
-
A.
\(\min y = 1;\max y = 2\)
-
B.
\(\min y = 1;\max y = 3\)
-
C.
\(\min y = 2;\max y = 3\)
-
D.
\(\min y = - 1;\max y = 3\)
Đáp án : B
+) Sử dụng đánh giá \( - 1 \le \cos u \le 1\) đánh giá biểu thức vế phải của \(y\) với $u=3x$.
+) Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều từ $\ge$ thành $\le$ hoặc đổi chiều từ $\le$ thành $\ge$.
+) Khi cộng hai vế của một bất đẳng thức với một số bất kì thì không bao giờ làm thay đổi chiều của bất đẳng thức.
+ Tìm GTLN:
Ta có:
\({\cos ^2}3x={\left( {\cos 3x} \right)^2} \ge 0\)
Lấy $-2$ nhân vào hai vế của bất đẳng thức ta được:
\( - 2{\cos ^2}3x \le 0\)
Sau đó cộng 3 vào hai vế của bất đẳng thức thì được:
\( - 2{\cos ^2}3x +3 \le 0+3 = 3\) \( \Rightarrow y \le 3\).
Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {\cos 3x} \right)^2} = 0\Leftrightarrow \cos 3x = 0\).
+ Tìm GTNN:
Ta luôn có:
\( - 1 \le \cos 3x \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ge - 1\\\cos 3x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 3x + 1 \ge 0\\1 - \cos 3x \ge 0\end{array} \right.\)
Lấy vế nhân với vế ta được:
\(\begin{array}{l}\left( {\cos 3x + 1} \right).\left( {1 - \cos 3x} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - {\left( {\cos 3x} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}3x \ge 0\left( {do{{\left( {\cos 3x} \right)}^2} = {{\cos }^2}3x} \right)\\ \Leftrightarrow 1 \ge {\cos ^2}3x \\\Leftrightarrow {\cos ^2}3x \le 1\end{array}\)
Lấy $-2$ nhân vào 2 vế của bất đẳng thức ta được:
\(- 2{\cos ^2}3x \ge - 2.1=-2\)\( \Rightarrow 3 - 2{\cos ^2}3x \ge 3 - 2 = 1\)\( \Rightarrow y \ge 1\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left[ \begin{array}{l}\cos 3x = - 1\\\cos 3x = 1\end{array} \right.\)
Phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án : D
- Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).
- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng:
\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
- Bước 3: Đặt \(\sin \alpha = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\cos \alpha = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\sin \left( {x + \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
- Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x.\cos \dfrac{\pi }{6} - \cos 2x.\sin \dfrac{\pi }{6} = - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{6} = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\2x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x.\cot x = 1\) là:
-
A.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
-
B.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
C.
\(R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
D.
\(R\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức \(\tan x.\cot x = 1\) nên ta chỉ cần tìm điều kiện xác định của phương trình.
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2} \Rightarrow D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
Do \(\tan x.\cot x = 1,\forall x \in D\) nên tập nghiệm của phương trình là \(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
Số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình \(\sin x + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)\cos x = 1\) trên đường tròn lượng giác là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : C
Bước 1: Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\):\(a.\sin x + b.\cos x = c\).
+) Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+) Đặt \(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \); \(\dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \)
Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản
+) Sử dụng công thức
\(\sin x.\cos \alpha + \cos x.\sin \alpha = \sin \left( {x + \alpha } \right)\)
\(\cos \alpha = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)\)
\(\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + k2\pi \\x = \pi - y + k2\pi \end{array} \right.\)
Bước 1:
Với \(a = 1;b = \sqrt 3 - 2;c = 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\sin x + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)\cos x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 - 2}}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }}\cos x \\= \dfrac{1}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }}\end{array}\)
Đặt \(\dfrac{1}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }} = \cos \alpha \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 3 - 2}}{{\sqrt {8 - 4\sqrt 3 } }} = \sin \alpha \). Khi đó phương trình tương đương:
$\sin x\cos \alpha + \cos x\sin \alpha = \cos \alpha$
Bước 2:
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \alpha = \dfrac{\pi }{2} - \alpha + k2\pi \\x + \alpha = \dfrac{\pi }{2} + \alpha + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} - 2\alpha + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vì \(\alpha \ne 0 \Rightarrow \) có 2 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình.
Phương trình \(2\sqrt 3 {\cos ^2}x + 6\sin x\cos x = 3 + \sqrt 3 \) có mấy họ nghiệm?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Đáp án : C
- Xét \(\cos x = 0\) có là nghiệm của phương trình hay không.
- Chia cả hai vế cho \({\cos ^2}x \ne 0\).
Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}x = 1\)
Thay vào phương trình ta có: \(2\sqrt 3 .0 + 6.0 = 3 + \sqrt 3 \)(Vô lý)
$ \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ không là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
$\begin{array}{l}2\sqrt 3 + 6\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 3 + 6\tan x = \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {3 + \sqrt 3 } \right){\tan ^2}x - 6\tan x + 3 - \sqrt 3 = 0\end{array}$
Đặt \(\tan x = t\) khi đó phương trình có dạng
\(\left( {3 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 6t + 3 - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( {2 - \sqrt 3 } \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Có bao nhiêu cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẻ:
-
A.
$6$.
-
B.
$72$.
-
C.
$720$.
-
D.
$144$.
Đáp án : B
- Đếm số trường hợp có thể xếp nam và nữ.
- Đếm số cách xếp vị trí của \(3\) nam, \(3\) nữ theo quy tắc nhân.
Chọn vị trí cho hai nhóm $3$ nam và $3$ nữ có \(2\) cách chọn (1 nhóm ở vị trí chẵn và nhóm còn lại ở vị trí lẻ)
Xếp 3 nam có: \(3.2.1\) cách xếp.
Xếp 3 nữ có: \(3.2.1\) cách xếp.
Vậy có \(2.{\left( {3.2.1} \right)^2} = 72\) cách xếp.
Cho $8$ bạn học sinh $A,B,C,D,E,F,G,H$. Hỏi có bao nhiêu cách xếp $8$ bạn đó ngồi xung quanh một bàn tròn có $8$ ghế.
-
A.
$40320$ cách
-
B.
$5040$ cách
-
C.
$720$ cách
-
D.
$40319$ cách
Đáp án : B
- Cố định một bạn và xếp chỗ cho \(7\) bạn còn lại.
- Sử dụng quy tắc nhân để tính số cách xếp.
Ta thấy xếp các vị trí theo một hình tròn nên ta phải cố định vị trí của một bạn.
Ta chọn cố định vị trí của $A$ , sau đó xếp vị trí cho $7$ bạn còn lại.
Bạn thứ nhất có $7$ cách xếp.
Bạn thứ hai có $6$ cách xếp.
…
Bạn thứ 7 có $1$ cách xếp.
Vậy có $7.6.5.4.3.2.1 = 5040$ cách.
Giá trị của biểu thức \(A_{n + k}^{n + 1} + A_{n + k}^{n + 2}\) bằng biểu thức nào sau đây?
-
A.
\({k^2}A_{n + k}^n\)
-
B.
\(kA_{n + k + 1}^{n + 2}\)
-
C.
\(A_{n + k + 1}^{n + 1}\)
-
D.
\(A_n^k\)
Đáp án : A
Áp dụng công thức chỉnh hợp \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\) để biến đổi biểu thức.
\(A_{n + k}^{n + 1} + A_{n + k}^{n + 2} = \dfrac{{\left( {n + k} \right)!}}{{\left( {k - 1} \right)!}} + \dfrac{{\left( {n + k} \right)!}}{{\left( {k - 2} \right)!}} \) \(= \dfrac{{\left( {n + k} \right)!\left( {1 + k - 1} \right)}}{{\left( {k - 1} \right)!}} \) \(= k.\dfrac{{\left( {n + k} \right)!}}{{\left( {k - 1} \right)!}} \) \(= {k^2}\dfrac{{\left( {n + k} \right)!}}{{k!}} = {k^2}A_{n + k}^n\)
Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = 243\) là:
-
A.
\(n = 5\)
-
B.
\(n = 4\)
-
C.
\(n = 3\)
-
D.
\(n = 6\)
Đáp án : A
+) Xuất phát từ khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
+) Thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp.
+) Giải phương trình để tìm \(n\)
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Thay \(a = 1,b = 2\) ta có:
\({3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n\)
Kết hợp với giả thiết ta có: \({3^n} = 243 \Leftrightarrow {3^n} = {3^5} \Leftrightarrow n = 5\)
Gieo đồng xu cân đối và đồng chất \(5\) lần liên tiếp. Xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:
-
A.
\(\dfrac{{31}}{{32}}\)
-
B.
\(\dfrac{{21}}{{32}}\)
-
C.
\(\dfrac{{15}}{{16}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{32}}\)
Đáp án : A
Sử dụng phương pháp biến cố đối: Tính xác suất để không xuất hiện mặt sấp.
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = {2^5} = 32\).
Biến cố \(A\):”Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.
Khi đó: \(\overline A \):”Tất cả đều là mặt ngửa”.
Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{1}{{32}} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \dfrac{1}{{32}} = \dfrac{{31}}{{32}}\).
Gieo hai con súc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để hiệu số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc xắc bằng 2 là:
-
A.
$\dfrac{1}{{12}}$.
-
B.
$\dfrac{1}{9}$.
-
C.
$\dfrac{2}{9}$.
-
D.
$\dfrac{5}{{36}}$.
Đáp án : C
- Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Tính số khả năng có lợi cho biến cố.
- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
$n(\Omega ) = 6.6 = 36$. Gọi $A$:”hiệu số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc xắc bằng 2”.
Các hiệu có thể bằng 2 là:
$3 - 1 = 2$, $4 - 2 = 2$, $5 - 3 = 2$, $6 - 4 = 2$.
A={(1;3),(2;4),(3;5);(4;6);(3;1);(4;2);(5;3);(6;4)}
Do đó $n(A) = 8$. Vậy $P(A) = \dfrac{8}{{36}} = \dfrac{2}{9}$.
Độ dài $3$ cạnh của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Nếu trung bình cộng ba cạnh bằng $6$ thì công sai của cấp số cộng này là:
-
A.
$7,5$
-
B.
$4,5$
-
C.
$0,5$
-
D.
Đáp án khác.
Đáp án : D
Sử dụng tính chất của cấp số cộng \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\).
Sử dụng tính chất ba cạnh của tam giác vuông (định lí Py – ta – go).
Gọi 3 cạnh của tam giác vuông là \(a,b,c\left( {a < b < c} \right)\). Khi đó ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2}\\a + c = 2b\\\dfrac{{a + b + c}}{3} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2}\\a + c = 2b\\a + b + c = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = {c^2}\\a + c = 2b\\3b = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\{a^2} + 36 = {c^2}\\a = 12 - c\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\a = 12 - c\\144 - 24c + {c^2} + 36 = {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\c = \dfrac{{15}}{2}\\a = \dfrac{9}{2}\end{array} \right. \\ \Rightarrow d = b - a = 6 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5\end{array}\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho vectơ $\vec v = \left( { - 3; - 2} \right)$. Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v $ biến đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1$ thành đường tròn $\left( {C'} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
$\left( {C'} \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$
-
B.
$\left( {C'} \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$
-
C.
$\left( {C'} \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4.$
-
D.
$\left( {C'} \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4.$
Đáp án : A
- Tìm tọa độ ảnh của tâm đường tròn qua phép tính tiến.
- Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;1} \right),\) bán kính \(R = 1.\)
Gọi \(I'\left( {x;y} \right)\) là ảnh của $I\left( {0;1} \right)$ qua phép tịnh tiến vectơ \(\vec v = \left( { - 3; - 2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {II'} = \vec v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 0 = - 3\\y - 1 = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( { - 3; - 1} \right)\)
Vì phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách nên \(R' = R = 1.\)
Vậy ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) là đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(I'\left( { - 3; - 1} \right),\) bán kính \(T\) nên có phương trình $\left( {C'} \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$
Phép vị tự nào sau đây biến đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) thành đường tròn \(\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\) ?
-
A.
\({V_{\left( {I; - 1} \right)}}\) với \(I\left( {4;2} \right)\)
-
B.
\(V\left( {I;1} \right)\) với \(I\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\({V_{\left( {I; - 1} \right)}}\) với \(I\left( {1;1} \right)\)
-
D.
\({V_{\left( {I;1} \right)}}\) với \(I\left( {4;2} \right)\)
Đáp án : A
Gọi phép vị tự cần tìm là \({V_{\left( {I;k} \right)}}\), có \(\left| k \right| = \dfrac{{R'}}{R}\)
Gọi $K$ và $K'$ lần lượt là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) và đường tròn \(\left( {C'} \right)\) ta có \(\overrightarrow {IK'} = k\overrightarrow {IK} \)
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(K\left( {3;1} \right)\) và bán kính \(R = 2\), đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(K'\left( {5;3} \right)\) và bán kính \(R' = 2\).
\( \Rightarrow \left| k \right| = \dfrac{{R'}}{R} = 1 \Rightarrow k = \pm 1\), mà \(I' \ne I \Rightarrow k \ne 1 \Rightarrow k = - 1\)
Giả sử phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến $K$ thành $K'$ ta có: \(\overrightarrow {IK'} = - \overrightarrow {IK} \Rightarrow I\) là trung điểm của \(KK' \Rightarrow I\left( {4;2} \right)\)
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,{\rm{ }}CD.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {ABN} \right)\) là:
-
A.
đường thẳng \(MN.\)
-
B.
đường thẳng \(AM.\)
-
C.
đường thẳng \(BG{\rm{ }}(G\) là trọng tâm tam giác \(ACD).\)
-
D.
đường thẳng \(AH{\rm{ }}(H\) là trực tâm tam giác \(ACD).\)
Đáp án : C
- Tìm một điểm chung dễ thấy của hai mặt phẳng.
- Tìm điểm chung thứ hai bằng cách tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà chúng cắt nhau.
\( \bullet \) \(B\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {ABN} \right).\)
\( \bullet \) Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,{\rm{ }}CD\) nên suy ra \(AN,{\rm{ }}DM\) là hai trung tuyến của tam giác \(ACD.\) Gọi \(G = AN \cap DM\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in AN \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow G \in \left( {ABN} \right)\\G \in DM \subset \left( {MBD} \right) \Rightarrow G \in \left( {MBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow G\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {ABN} \right).\)
Vậy \(\left( {ABN} \right) \cap \left( {MBD} \right) = BG.\)
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(H\), \(K\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\), \(BC\). Trên đường thẳng \(CD\) lấy điểm \(M\) nằm ngoài đoạn \(CD\). Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng \(\left( {HKM} \right)\) là:
-
A.
Tứ giác \(HKMN\) với \(N \in AD.\)
-
B.
Hình thang \(HKMN\) với \(N \in AD\) và \(HK\parallel MN.\)
-
C.
Tam giác \(HKL\) với \(L = KM \cap BD.\)
-
D.
Tam giác \(HKL\) với \(L = HM \cap AD.\)
Đáp án : C
- Tìm các giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {HKM} \right)\) với các mặt của tứ diện.
- Từ đó suy ra thiết diện.
Ta có \(HK\), \(KM\) là đoạn giao tuyến của \(\left( {HKM} \right)\) với \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), do \(KM\) không song song với \(BD\) nên gọi \(L = KM \cap BD\).
Vậy thiết diện là tam giác \(HKL\).
Cho tứ diện đều $SABC.$ Gọi $I$ là trung điểm của $AB, M $ là một điểm di động trên đoạn $AI.$ Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $SI, IC,$ biết $AM = x.$ Thiết diện tạo bởi $mp(P)$ và tứ diện $SABC $ có chu vi là:
-
A.
\(3x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
-
B.
\(2x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
-
C.
\(x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
-
D.
Không xác định
Đáp án : B
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng.
- Áp dụng định lí Ta-let đảo để chỉ ra các tỉ lệ bằng nhau.
- Công thức tính chu vi tam giác.
Trong $mp(ABC)$ kẻ $MF // IC$ \(\left( {F \in AC} \right)\), trong $mp(SAB)$ kẻ $ME // SI$ \(\left( {E \in SA} \right)\).
Do đó $mp(P)$ chính là $(MEF)$ và thiết diện tạo bởi $mp(P)$ và tứ diện đều $SABC$ là tam giác $MEF.$
Gọi $a$ là cạnh của tứ diện đều $SABC.$
Xét tam giác đều $ABC$ và tam giác $SAB$ là những tam giác đều cạnh $a$ nên \(CI = SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Trong $(ABC)$ ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AI}} = \dfrac{{ME}}{{SI}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{{ME}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow ME = x\sqrt 3 .\)
Trong $(SAB)$ ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AI}} = \dfrac{{MF}}{{CI}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{{MF}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} \Leftrightarrow MF = x\sqrt 3 .\)
Ta lại có: \(\dfrac{{AM}}{{AI}} = \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AS}} \) \(\Rightarrow EF\) $// SC $ (Định lí Ta-let đảo)
\( \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{SC}} = \dfrac{{AF}}{{AC}} = \dfrac{{AM}}{{AI}} \Leftrightarrow \dfrac{{EF}}{a} = \dfrac{x}{{\dfrac{a}{2}}} \Leftrightarrow EF = 2x\)
Vậy chu vi tam giác $MEF $ bằng $ME + MF + EF =$ \(x\sqrt 3 + x\sqrt 3 + 2x = 2x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\)
Biểu thức \(2C_n^k + 5C_n^{k + 1} + 4C_n^{k + 2}+C_n^{k+3}\) bằng biểu thức nào sau đây?
-
A.
\(C_{n + 2}^{k + 2} + C_{n + 3}^{k + 3}\)
-
B.
\(C_{n + 2}^k + C_{n + 3}^k\)
-
C.
\(C_{n + 2}^{k + 1} + C_{n + 3}^{k + 2}\)
-
D.
\(2C_{n + 2}^{k + 2}\)
Đáp án : A
Phân tích để xuất hiện sau đó áp dụng công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)
Trước hết ta chứng minh \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)
\(\begin{array}{l}VT = C_n^k + C_n^{k + 1}\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}}\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {\dfrac{1}{{n - k}} + \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\dfrac{{k + 1 + n - k}}{{\left( {n - k} \right)\left( {k + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{n!\left( {n + 1} \right)}}{{k!\left( {k + 1} \right)\left( {n - k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} = C_{n + 1}^{k + 1} = VP\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,C_n^k + 2C_n^{k + 1} + C_n^{k + 2}\\ = C_n^k + C_n^{k + 1} + C_n^{k + 1} + C_n^{k + 2}\\ = C_{n + 1}^{k + 1} + C_{n + 1}^{k + 2}\\ = C_{n + 2}^{k + 2}\\\,\,\,\,C_n^k + 3C_n^{k + 1} + 3C_n^{k + 2} + C_n^{k + 3}\\ = C_n^k + C_n^{k + 1} + 2\left( {C_n^{k + 1} + C_n^{k + 2}} \right) + C_n^{k + 2} + C_n^{k + 3}\\ = C_{n + 1}^{k + 1} + 2C_{n + 1}^{k + 2} + C_{n + 1}^{k + 3}\\ = C_{n + 1}^{k + 1} + C_{n + 1}^{k + 2} + C_{n + 1}^{k + 2} + C_{n + 1}^{k + 3}\\ = C_{n + 2}^{k + 2} + C_{n + 2}^{k + 3}\\ = C_{n + 3}^{k + 3}\\ \Rightarrow 2C_n^k + 5C_n^{k + 1} + 4C_n^{k + 2} + C_n^{k + 3}= C_{n + 2}^{k + 2} + C_{n + 3}^{k + 3}\end{array}\)
Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau
\(y = 3{\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2} + 4\left( {3\sin x + 4\cos x} \right) + 1\)
-
A.
\(\min y = \dfrac{1}{3};\max y = 96\)
-
B.
\(\min y = \dfrac{1}{3};\max y = 6\)
-
C.
\(\min y = - \dfrac{1}{3};\max y = 96\)
-
D.
\(\min y = 2;\max y = 6\)
Đáp án : C
- Đặt \(t = 3.\sin x + 4.\cos x\) và tìm điều kiện của \(t\).
- Tìm GTNN của hàm số theo \(t\) và kết luận.
Đặt \(t = 3.\sin x + 4.\cos x\), theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$\begin{array}{l}
{t^2} = {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2}\\
\le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\
= 25.1 = 25\\
\Rightarrow {t^2} \le 25 \Rightarrow - 5 \le t \le 5
\end{array}$
Xét hàm số \(y = 3{t^2} + 4t + 1 \) trên \([-5;5]\).
Hàm số \(y = 3{t^2} + 4t + 1 \) là hàm bậc hai có:
$\begin{array}{l}
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{3} \in \left[ { - 5;5} \right]\\
y\left( { - \frac{2}{3}} \right) = - \frac{1}{3}\\
y\left( { - 5} \right) = 56\\
y\left( 5 \right) = 96
\end{array}$
Ta có bảng biến thiên:
\( \Rightarrow \min y = - \dfrac{1}{3}\) khi \(t=- \dfrac{1}{3}\)
\(\max y = 96\) khi \(t=5\).
Gieo ba con xúc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc đó bằng nhau là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{216}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{18}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{36}}\)
Đáp án : D
- Tính số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right)\).
- Liệt kê và tính số khả năng xảy ra của biến cố \(A\)
- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = {6^3}\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Số chấm trên ba con xúc sắc bằng nhau”.
Khi đó các trường hợp có thể có của $A$ là: \({\left( {1;1;1} \right),\left( {2;2;2} \right),\left( {3;3;3} \right),\left( {4;4;4} \right),\left( {5;5;5} \right),\left( {6;6;6} \right)}\)
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{6}{{216}} = \dfrac{1}{{36}}\).
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm $A$ cố định. Một điểm $M$ thay đổi trên \(\left( {O;R} \right)\), gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$ . Khi $M$ thay đổi trên \(\left( {O;R} \right)\), tập hợp các điểm $N$ là:
-
A.
Đường tròn tâm $A$ bán kính $R$
-
B.
Đường tròn tâm $O$ bán kính $2R$
-
C.
Đường tròn tâm $I$ bán kính \(\dfrac{R}{2}\) với $I$ là trung điểm của $AO$
-
D.
Đường tròn đường kính $AO$ .
Đáp án : C
Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow {AN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AM} \)
\( \Rightarrow \) Phép vị tự \({V_{\left( {A;\frac{1}{2}} \right)}}\left( M \right) = N\)
Vậy khi $M$ thay đổi trên \(\left( {O;R} \right)\) thì điểm $N$ thay đổi trên đường tròn \(\left( T \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) qua phép vị tự \({V_{\left( {A;\frac{1}{2}} \right)}}\).
Gọi $I$ là ảnh của $O$ qua \({V_{\left( {A;\frac{1}{2}} \right)}}\) ta có \(\overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AO} \Rightarrow I\) là trung điểm của $OA$ .Vậy \(\left( T \right)\) là đường tròn tâm $I$ bán kính \(\dfrac{R}{2}\) với $I$ là trung điểm của $AO$ .
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng : \({x^3} - 3m{x^2} + 2m\left( {m - 4} \right)x + 9{m^2} - m = 0\) ?
-
A.
$m = 0$
-
B.
\(m = \dfrac{{17 + \sqrt {265} }}{{12}}\)
-
C.
\(m = \dfrac{{17 - \sqrt {265} }}{{12}}\)
-
D.
$m = 1$
Đáp án : D
Giá sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt, sử dụng định lí Vi-et và tính chất của cấp số cộng để tìm ra một trong ba nghiệm đó.
Thử lại và kết luận.
Cách 1: Giải bài toán bằng cách tự luận:
Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng. Theo định lí Vi-et ta có \({x_1} + {x_2} + {x_3} = - \dfrac{b}{a} = 3m\)
Vì \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng nên \({x_1} + {x_3} = 2{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 3{x_2} = 3m \Leftrightarrow {x_2} = m\).
Thay ${x_2} = m$ vào phương trình ban đầu ta được \({m^3} - 3{m^3} + 2{m^2}\left( {m - 4} \right) + 9{m^2} - m = {m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)
Thử lại:
Khi $m = 0$ , phương trình trở thành \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\), phương trình có nghiệm duy nhất (loại)
Khi $m = 1$ , phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\). Dễ thấy $ - 2,1,4$ lập thành 1 cấp số cộng có công sai $d = 3$.
Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Giải bài toán bằng cách trắc nghiệm.
Thử lần lượt từng đáp án. Trước hết ta thử đáp án A và D vì $m$ nguyên.
Khi $m = 0$ ta có phương trình \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\), phương trình có nghiệm duy nhất (loại)
Khi $m = 1$ phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\). Dễ thấy $ - 2,1,4$ lập thành 1 cấp số cộng có công sai $d = 3$ .
Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
