Đề thi học kì 1 Toán 11 - Đề số 1
Đề bài
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có cạnh đáy $AB$ và $CD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IJG} \right)$
-
A.
Là đường thẳng song song với $AB$
-
B.
Là đường thẳng song song với $CD$
-
C.
Là đường song song với đường trung bình của hình thang $ABCD$
-
D.
Cả A, B, C đều đúng
Cho các mệnh đề sau:
a. Nếu $a // (P)$ thì $a$ song song với mọi đường thẳng nằm trong $(P).$
b. Nếu $a // (P)$ thì $a$ song song với một đường thẳng nào đó nằm trong $(P).$
c. Nếu $a // (P)$ thì có vô số đường thẳng nằm trong $(P)$ và song song với $a$
d. Nếu $a // (P)$ thì có một đường thẳng $d$ nào đó nằm trong $(P)$ sao cho $a$ và $d$ đồng phẳng.
Số mệnh đề đúng là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left( {x{y^2} - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^8}.$
-
A.
$70{y^4}.$
-
B.
$60{y^4}.$
-
C.
$50{y^4}.$
-
D.
$40{y^4}.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\tan ^2}x - 4\tan x + 1\):
-
A.
\(\min y = - 2\)
-
B.
\(\min y = - 3\)
-
C.
\(\min y = - 4\)
-
D.
\(\min y = - 1\)
Cho 3 đường thẳng \({d_1},\;{d_2},\;{d_3}\) không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
3 đường thẳng trên đồng quy$.$
-
B.
3 đường thẳng trên trùng nhau$.$
-
C.
3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác$.$
-
D.
Các khẳng định ở A, B, C đều sai$.$
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
A.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì song song
-
B.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau
-
C.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
-
D.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song
Cho \(k,\,\,n\)\(\,(k < n)\) là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây SAI?
-
A.
\(C_n^k = C_n^{n - k}\).
-
B.
\(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!.(n - k)!}}\).
-
C.
\(A_n^k = k!.C_n^k\).
-
D.
\(A_n^k = n!.C_n^k\).
Phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau
-
B.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau
-
C.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau
-
D.
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó trùng nhau.
Xếp ngẫu nhiên $3$ nam và $5$ nữ ngồi vào $8$ ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất để $3$ nam ngồi cạnh nhau.
-
A.
\(\dfrac{3}{{28}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{20}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{10}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{5}\)
Xếp ngẫu nhiên $3$ nam và $3$ nữ ngồi vào $6$ ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất để nam nữ ngồi xen kẽ nhau là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{15}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{20}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{10}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{5}\)
Cho hai đường thẳng song song $d,d'$. Có bao nhiêu phép vị tự tỉ số $k = 5$ biến $d$ thành $d'$ .
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
vô số
Một hình không gian có hình chiếu đứng (nhìn từ trước vào (có thể nhìn từ sau) để từ hình 3D chuyển sang hình 2D) hình chiếu bằng (nhìn từ trên xuống) có thể nhìn từ dưới lên)), hình chiếu cạnh (từ trái sang (có thể nhìn từ phải sang)) lần lượt được thể hiện như sau:
Hãy vẽ hình biểu diễn của hình đó?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Nghiệm của phương trình ${\cos ^2}x = \dfrac{1}{2}$ là:
-
A.
$x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $, \(k \in \mathbb{Z} \).
-
B.
$x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}$, \(k \in \mathbb{Z} \).
-
C.
$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $, \(k \in \mathbb{Z} \).
-
D.
$x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k2\pi $, \(k \in \mathbb{Z} \).
Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $Bx, Cy, Dz$ là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua $B, C, D$ và nằm về một phía của mặt phẳng $(ABCD),$ đồng thời không nằm trong mặt phẳng $(ABCD).$ Một mặt phẳng đi qua $A$ và cắt $Bx, Cy, Dz$ lần lượt tại các điểm $B’, C’, D’ $ với $BB’ = 2, DD’ = 4.$ Khi đó $CC’$ bằng:
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$6$
Cho hình chóp $S.ABC$. $M,N$ lần lượt nằm trên 2 cạnh $SA,SB$ sao cho $MN$ không song song với $AB$. Khi đó giao điểm của $MN$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là:
-
A.
Giao của $MN$ và $AC$
-
B.
Giao của $MN$ và $BC$
-
C.
Giao của $MN$ và $AB$
-
D.
Đáp án khác
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:
-
A.
\({P_n} = n!\)
-
B.
\({P_n} = n\)
-
C.
\({P_n} = \left( {n - 1} \right)!\)
-
D.
\({P_n} = {n^2}\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đồ thị của hàm số \(y = \sin x\). Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đồ thị đó thành chính nó
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép
Tập xác định của hàm số \(y = 2\sin x\) là
-
A.
\(\left[ {0;\,2} \right]\).
-
B.
\(\left[ { - 2;\,2} \right]\).
-
C.
\(\mathbb{R}\).
-
D.
\(\left[ { - 1;\,1} \right]\).
Nếu đường thẳng \(d//\left( \alpha \right)\) và \(d' \subset \left( \alpha \right)\) thì \(d\) và \(d'\) có thể:
-
A.
song song
-
B.
chéo nhau
-
C.
cắt nhau
-
D.
song song hoặc chéo nhau
Muốn đi từ $A$ đến $B$ thì bắt buộc phải đi qua $C.$ Có \(3\) con đường đi từ $A$ tới $C$ và \(2\) con đường từ $C$ đến $B.$ Số con đường đi từ $A$ đến $B$ là:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(7\)
Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $d'$?
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép quay tâm $O$ biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\). Khi đó nó biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm:
-
A.
\(M'\left( { - 1; - 1} \right)\)
-
B.
\(M'\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\(M'\left( { - 1;1} \right)\)
-
D.
\(M'\left( {1;0} \right)\)
Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) nhận đường thẳng nào sau đây là tiệm cận?
-
A.
\(y = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(y = \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)\)
Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ . Một mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $d$ và cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến là đường thẳng $d'$ . Giao điểm của $d$ và $d'$ là $A$ . Khẳng định nào sau đây là sai?
-
A.
Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
-
B.
Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left( \beta \right)$
-
C.
Điểm $A$ là giao điểm của $d$ và $\left( \alpha \right)$
-
D.
Điểm $A$ là giao điểm của $d'$ và $\left( \beta \right)$
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
-
A.
Ba điểm phân biệt$.$
-
B.
Một điểm và một đường thẳng$.$
-
C.
Hai đường thẳng cắt nhau$.$
-
D.
Bốn điểm phân biệt$.$
Số phần tử của tập hợp các điểm chung của một đường thẳng và một mặt phẳng không thể là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số
Nghiệm của phương trình \(2\cos x - 1 = 0\) là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Một hộp đựng $11$ thẻ được đánh số \(1,2,3, \ldots ,11\). Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ và tính tổng các số ghi trên ba thẻ đó. Tính xác suất để tổng nhận được bằng $12$.
-
A.
\(\dfrac{1}{{15}}\)
-
B.
\(\dfrac{7}{{165}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{3}{{55}}\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \)
-
A.
\(\max y = 1,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
-
B.
\(\max y = 3,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
-
C.
\(\max y = 2,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
-
D.
\(\max y = 0,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x.\cot x = 1\) là:
-
A.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
-
B.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
C.
\(R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
D.
\(R\)
Phương trình \(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6\) có nghiệm là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Tìm m để phương trình ${\rm{cos}}2x - \left( {2m - 1} \right)\cos x - m + 1 = 0$ có đúng 2 nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\).
-
A.
$ - 1 < m \le 0$.
-
B.
$0 \le m < 1$.
-
C.
$0 \le m \le 1.$
-
D.
$ - 1 < m < 1.$
Cho \(X = \left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7} \right\}\). Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau đôi một từ X sao cho một trong $3$ chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số $1$.
-
A.
$2280$ số
-
B.
$840$ số
-
C.
$1440$ số
-
D.
$2520$ số
Từ các số \(0,\,1,\,2,\,7,\,8,\,9\) tạo được bao nhiêu số lẻ có \(5\) chữ số khác nhau?
-
A.
\(288\).
-
B.
\(360\).
-
C.
\(312\).
-
D.
\(600\).
Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:
-
A.
$1695.$
-
B.
$1485.$
-
C.
$405.$
-
D.
$360.$
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố $A$:”ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
-
A.
$P(A) = \dfrac{1}{2}$.
-
B.
$P(A) = \dfrac{3}{8}$.
-
C.
$P(A) = \dfrac{7}{8}$.
-
D.
$P(A) = \dfrac{1}{4}$.
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một hình vuông thành chính nó?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số.
Phép vị tự nào sau đây biến đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) thành đường tròn \(\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\) ?
-
A.
\({V_{\left( {I; - 1} \right)}}\) với \(I\left( {4;2} \right)\)
-
B.
\(V\left( {I;1} \right)\) với \(I\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\({V_{\left( {I; - 1} \right)}}\) với \(I\left( {1;1} \right)\)
-
D.
\({V_{\left( {I;1} \right)}}\) với \(I\left( {4;2} \right)\)
Cho \(\Delta ABC\) có đường cao \(AH,H\) nằm giữa \(BC.\) Biết \(AH = 4,HB = 2,HC = 8.\) Phép đồng dạng \(F\) biến \(\Delta HBA\) thành \(\Delta HAC\). \(F\) được hình thành bởi hai phép biến hình nào?
-
A.
Phép đối xứng tâm \(H\) và phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\).
-
B.
Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {BA} \) và phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \(k = 2\).
-
C.
Phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \(k = 2\) và phép quay tâm \(H\) góc quay là góc \(\left( {HB,HA} \right)\).
-
D.
Phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \(k = 2\) và phép đối xứng trục
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,{\rm{ }}CD.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {ABN} \right)\) là:
-
A.
đường thẳng \(MN.\)
-
B.
đường thẳng \(AM.\)
-
C.
đường thẳng \(BG{\rm{ }}(G\) là trọng tâm tam giác \(ACD).\)
-
D.
đường thẳng \(AH{\rm{ }}(H\) là trực tâm tam giác \(ACD).\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD{\rm{ }}\left( {AD\parallel BC} \right).\) Gọi \(M\) là trung điểm \(CD.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MSB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là:
-
A.
\(SI{\rm{ }}(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM).\)
-
B.
\(SJ{\rm{ }}(J\) là giao điểm của \(AM\) và \(BD).\)
-
C.
\(SO{\rm{ }}(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD).\)
-
D.
\(SP{\rm{ }}(P\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD).\)
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD,\) \(M\) là trung điểm \(CD,\) \(I\) là điểm ở trên đoạn thẳng \(AG,\) \(BI\) cắt mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) tại \(J.\) Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(AM = \left( {ACD} \right) \cap \left( {ABG} \right).\)
-
B.
\(A,{\rm{ }}J,{\rm{ }}M\) thẳng hàng
-
C.
\(J\) là trung điểm của \(AM.\)
-
D.
\(DJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BDJ} \right).\)
Cho hình bình hành $ABCD$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và một điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng $(P).$ Gọi $M$ là điểm nằm giữa $S$ và $A; N$ là điểm nằm giữa $S$ và $B;$ giao điểm của hai đường thẳng $AC$ và $BD$ là $O;$ giao điểm của hai đường thẳng $CM$ và $SO$ là $I;$ giao điểm của hai đường thẳng $NI$ và $SD$ là $J.$ Tìm giao điểm của $mp(CMN)$ với đường thẳng $SO$ là:
-
A.
$A$
-
B.
$J$
-
C.
$I$
-
D.
$B$
Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P).$ Khi đó, số đường thẳng phân biệt nằm trong $(P)$ và song song với $a $ có thể là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số
Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$ học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:
-
A.
\(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
-
B.
\(T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)\)
-
C.
\(T = n{2^{n - 1}}\)
-
D.
\(T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) không phải là hình thang. Trên cạnh \(SC\) lấy điểm \(M\). Gọi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đôi một song song
-
B.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đôi một cắt nhau
-
C.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đồng quy.
-
D.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ cùng thuộc một mặt phẳng.
Cho phương trình: $4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 8\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right) - 4{\sin ^2}4x = m$ trong đó $m$ là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
-
A.
$ - 1 \le m \le 0$.
-
B.
$ - \dfrac{3}{2} \le m \le - 1$.
-
C.
$ - 4 \le m \le - \dfrac{3}{2}$.
-
D.
$m < - \dfrac{{25}}{4}$ hoặc $m > 0$
Cho hình vuông $ABCD$ trong đó \(A\left( {1;1} \right),B\left( { - 1;1} \right),C\left( { - 1; - 1} \right),D\left( {1; - 1} \right)\). Xét phép quay \(Q\left( {O;\dfrac{\pi }{4}} \right)\). Giả sử hình vuông $A'B'C'D'$ là ảnh của $ABCD$ qua phép quay đó. Gọi $S$ là diện tích hình vuông $A'B'C'D'$ nằm ngoài hình vuông $ABCD$ . Tính $S$.
-
A.
\(S = 6 - 4\sqrt 2 \)
-
B.
\(S = 12 - 8\sqrt 2 \)
-
C.
\(S = 1\)
-
D.
\(S = \sqrt 2 \)
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = a,BC = AD = b,AC = BD = c$. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với $AB$ và $CD$ cắt các cạnh của tứ diện theo một thiết diện là hình thoi. Diện tích thiết diện là:
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\left( {{a^2} - {b^2} + {c^2}} \right)\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\sqrt {\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)} \)
-
D.
\(\dfrac{1}{4}\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)} \)
Lời giải và đáp án
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có cạnh đáy $AB$ và $CD$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {IJG} \right)$
-
A.
Là đường thẳng song song với $AB$
-
B.
Là đường thẳng song song với $CD$
-
C.
Là đường song song với đường trung bình của hình thang $ABCD$
-
D.
Cả A, B, C đều đúng
Đáp án : D
- Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có điểm chung $M$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $d$ và $d'$ thì giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$ và $d'$.
Ta có: $ABCD$ là hình thang và $I,J$ là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$.
\( \Rightarrow IJ//AB//CD\) .
\(\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {{\rm{IJ}}G} \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\{\rm{IJ}} \subset \left( {{\rm{IJ}}G} \right)\\AB//{\rm{IJ}}\end{array} \right. \Rightarrow \) Trong $\left( {SAB} \right)$ qua $G$ kẻ \(MN//AB\left( {M \in SA;N \in SB} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {{\rm{IJ}}G} \right) = MN\) và $MN//IJ//AB//CD$ .
Cho các mệnh đề sau:
a. Nếu $a // (P)$ thì $a$ song song với mọi đường thẳng nằm trong $(P).$
b. Nếu $a // (P)$ thì $a$ song song với một đường thẳng nào đó nằm trong $(P).$
c. Nếu $a // (P)$ thì có vô số đường thẳng nằm trong $(P)$ và song song với $a$
d. Nếu $a // (P)$ thì có một đường thẳng $d$ nào đó nằm trong $(P)$ sao cho $a$ và $d$ đồng phẳng.
Số mệnh đề đúng là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Đáp án : C
Vận dụng các kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng.
Các mệnh đề b, c, d đúng nên có $3$ mệnh đề đúng.
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left( {x{y^2} - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^8}.$
-
A.
$70{y^4}.$
-
B.
$60{y^4}.$
-
C.
$50{y^4}.$
-
D.
$40{y^4}.$
Đáp án : A
Sử dụng công thức tổng quát ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k\,=\,0}^{n}{C_{n}^{k}}.{{a}^{n\,-\,k}}.{{b}^{k}}\,\,\xrightarrow{{}}$ Tìm hệ số của số hạng cần tìm.
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có
${\left( {x{y^2} - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^8} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} .{\left( {x{y^2}} \right)^{8 - k}}.{\left( { - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^k} $ $= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{8 - k}}.{y^{16 - 2k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {xy} \right)^{ - k}} $ $= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{8 - 2k}}.{y^{16 - 3k}}.$
Số hạng không chứa $x$ ứng với $8-2k=0\Leftrightarrow k=4\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Số hạng cần tìm là $C_8^4.{\left( { - \,1} \right)^4}.{y^4} = 70{y^4}.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\tan ^2}x - 4\tan x + 1\):
-
A.
\(\min y = - 2\)
-
B.
\(\min y = - 3\)
-
C.
\(\min y = - 4\)
-
D.
\(\min y = - 1\)
Đáp án : B
- Đặt \(t = \tan x\) đưa hàm số về hàm bậc hai ẩn \(t\).
- Sử dụng kiến thức về hàm số bậc hai đánh giá \(y\).
Đặt \(t = \tan x \)
Tập giá trị của hàm $\tan x$ là R nên tập xác định của t lúc này cũng là R.
\(\Rightarrow y = f(t)={t^2} - 4t + 1\) , \(t \in \mathbb{R}\).
Hàm số bậc hai \(f(t)=a{t^2} + bt + c\) với \(a > 0\) luôn đạt GTNN trên \(\mathbb{R}\) tại đỉnh parabol có hoành độ \(t = - \dfrac{b}{{2a}} = 2 \)\(\Rightarrow \min y = f\left( 2 \right) =2^2-4.2+1= - 3\).
Cho 3 đường thẳng \({d_1},\;{d_2},\;{d_3}\) không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
3 đường thẳng trên đồng quy$.$
-
B.
3 đường thẳng trên trùng nhau$.$
-
C.
3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác$.$
-
D.
Các khẳng định ở A, B, C đều sai$.$
Đáp án : A
B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau thì chúng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng.
C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo được 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành 1 mặt phẳng xác định, 3 đường thẳng sẽ cùng thuộc 1 mặt phẳng
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
A.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì song song
-
B.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau
-
C.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
-
D.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song
Đáp án : D
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung (không cắt nhau) thì có thể song song hoặc chéo nhau nên A, B, C sai, D đúng.
Cho \(k,\,\,n\)\(\,(k < n)\) là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây SAI?
-
A.
\(C_n^k = C_n^{n - k}\).
-
B.
\(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!.(n - k)!}}\).
-
C.
\(A_n^k = k!.C_n^k\).
-
D.
\(A_n^k = n!.C_n^k\).
Đáp án : D
Sử dụng các công thức liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị.
Ta có:
\(C_n^k = C_n^{n - k},\,\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}};\,\,A_n^k = k!C_n^k\) là các công thức đúng.
Phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án : D
- Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).
- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng:
\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
- Bước 3: Đặt \(\sin \alpha = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\cos \alpha = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\sin \left( {x + \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
- Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x.\cos \dfrac{\pi }{6} - \cos 2x.\sin \dfrac{\pi }{6} = - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{6} = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\2x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau
-
B.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau
-
C.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau
-
D.
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó trùng nhau.
Đáp án : C
Sử dụng các kiến thức về đường thẳng song song với đường thẳng và đường thẳng song song với mặt phẳng.
A và D sai vì hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau hoặc trùng nhau.
B sai vì hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
Xếp ngẫu nhiên $3$ nam và $5$ nữ ngồi vào $8$ ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất để $3$ nam ngồi cạnh nhau.
-
A.
\(\dfrac{3}{{28}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{20}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{10}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{5}\)
Đáp án : A
- Tính số phần tử của không gian mẫu \(\left| \Omega \right|\)
- Tính số kết quả có lợi cho biến cố \(\left| A \right|\)
- Sử dụng công thức tính xác suất \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)
Không gian mẫu \(\Omega \) là tập các hoán vị của $8$ phần tử, ta có: \(\left| \Omega \right| = 8! = 40320\)
Gọi $A$ là biến cố $3$ nam ngồi cạnh nhau.
Coi \(3\) nam là một người và thêm \(5\) nữ là \(6\) người nên sẽ có \(6!\) cách, hoán đổi vị trí của \(3\) nam ta có \(3!\) cách nên \(\left| A \right| = 3!.6! = 4320\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{4320}}{{40320}} = \dfrac{3}{{28}}\)
Xếp ngẫu nhiên $3$ nam và $3$ nữ ngồi vào $6$ ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất để nam nữ ngồi xen kẽ nhau là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{15}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{20}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{10}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{5}\)
Đáp án : C
- Tính số phần tử của không gian mẫu \(\left| \Omega \right|\)
- Tính số kết quả có lợi cho biến cố \(\left| A \right|\)
- Sử dụng công thức tính xác suất \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)
Không gian mẫu \(\Omega \) là tập các hoán vị của 6 phần tử, ta có: \(\left| \Omega \right| = 6! = 720\)
Gọi A là biến cố nam và nữ ngồi xen kẽ nhau.
Đánh số ghế từ \(1\) đến \(6\).
TH1: Xếp nam vào các ghế \(1,3,5\) có \(3!\) cách, xếp nữ vào các ghế \(2,4,6\) có \(3!\) cách nên có \(3!.3!\) cách.
TH2: Xếp nam vào các ghế \(2,4,6\) và xếp nữ vào các ghế \(1,3,5\) cũng có \(3!.3!\) cách.
Khi đó \(\left| A \right| = 2.3!.3! = 72\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{72}}{{720}} = \dfrac{1}{{10}}\)
Cho hai đường thẳng song song $d,d'$. Có bao nhiêu phép vị tự tỉ số $k = 5$ biến $d$ thành $d'$ .
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
vô số
Đáp án : D
Có vô số phép vị tự tâm không thuộc $d$ với tỉ số $k = 5$ biến đường thẳng $d$ thành $d’$
Một hình không gian có hình chiếu đứng (nhìn từ trước vào (có thể nhìn từ sau) để từ hình 3D chuyển sang hình 2D) hình chiếu bằng (nhìn từ trên xuống) có thể nhìn từ dưới lên)), hình chiếu cạnh (từ trái sang (có thể nhìn từ phải sang)) lần lượt được thể hiện như sau:
Hãy vẽ hình biểu diễn của hình đó?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : C
Quan sát và nhận xét tính đúng sai khi vẽ hình không gian: sử dụng quy tắc vẽ hình không gian
Đáp án A, B, D: Sai vì đoạn thẳng trong hình phải vẽ nét đứt vì không nhìn thấy.
Nghiệm của phương trình ${\cos ^2}x = \dfrac{1}{2}$ là:
-
A.
$x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $, \(k \in \mathbb{Z} \).
-
B.
$x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}$, \(k \in \mathbb{Z} \).
-
C.
$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $, \(k \in \mathbb{Z} \).
-
D.
$x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k2\pi $, \(k \in \mathbb{Z} \).
Đáp án : B
Bước 1: Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}x = \dfrac{{\cos 2x + 1}}{2}\) đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Bước 2: Giải phương trình lượng giác
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)
Bước 1:
${\cos ^2}x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = \dfrac{1}{2}$
Bước 2:
$ \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $$ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$
Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $Bx, Cy, Dz$ là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua $B, C, D$ và nằm về một phía của mặt phẳng $(ABCD),$ đồng thời không nằm trong mặt phẳng $(ABCD).$ Một mặt phẳng đi qua $A$ và cắt $Bx, Cy, Dz$ lần lượt tại các điểm $B’, C’, D’ $ với $BB’ = 2, DD’ = 4.$ Khi đó $CC’$ bằng:
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$6$
Đáp án : D
- Đưa về cùng mặt phẳng;
- Sử dụng các tính chất của đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang.
Trên $Bx$ và $Dz$ lấy điểm $B’$ và $D’$ sao cho $BB’ = 2, DD’ = 4.$
Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD, I $ là trung điểm của $B’D’$
Ta có $BDD’B’$ là hình thang, $OI$ là đường trung bình của hình thang nên $OI // BB’ // DD’ // Cy$ và \(OI = \dfrac{{BB' + {\rm{DD}}'}}{2} = \dfrac{{2 + 4}}{2} = 3\).
Xét mặt phẳng tạo bởi $OI$ và $CC’$ có: \(AI \cap Cy = C'\).
Ta có $OI // CC’, AO = OC$ suy ra $AI = IC’$
Suy ra $OI$ là đường trung bình của tam giác $ACC’$ \( \Rightarrow CC' = 2OI = 6\)
Cho hình chóp $S.ABC$. $M,N$ lần lượt nằm trên 2 cạnh $SA,SB$ sao cho $MN$ không song song với $AB$. Khi đó giao điểm của $MN$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là:
-
A.
Giao của $MN$ và $AC$
-
B.
Giao của $MN$ và $BC$
-
C.
Giao của $MN$ và $AB$
-
D.
Đáp án khác
Đáp án : C
+ Tìm một mặt phẳng thích hợp chứa $MN$
+ Tìm giao tuyến của mặt phẳng đó với $\left( {ABC} \right)$
+ Tìm giao điểm của giao tuyến đó với $MN$
Ta có $MN \subset \left( {SAB} \right)$
$\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB$
Gọi $D$ là giao điểm của $MN$ và $AB$
$ \Rightarrow D$ là giao điểm của $MN$ và $\left( {ABC} \right)$
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:
-
A.
\({P_n} = n!\)
-
B.
\({P_n} = n\)
-
C.
\({P_n} = \left( {n - 1} \right)!\)
-
D.
\({P_n} = {n^2}\)
Đáp án : A
Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là \({P_n} = n!\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đồ thị của hàm số \(y = \sin x\). Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đồ thị đó thành chính nó
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép
Đáp án : D
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\).
$\sin a=0 \Leftrightarrow a=k\pi$
$\cos a =1\Leftrightarrow a=k2\pi$
Cách 1:
Ta có: \(y = \sin x = \sin \left( {x + k2\pi } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x + k2\pi \\y' = y\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {k2\pi ;0} \right)\)
Do \(k \in Z\) nên có vô số véc tơ \(\overrightarrow u \) như trên.
Cách 2: Gọi vectơ tịnh tiến là \(\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)\). Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x' = x + a\\
y' = y + b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x' - a\\
y = y' - b
\end{array} \right.\)
Do \(y = \sin x\) nên \(y' - b = \sin \left( {x' - a} \right)\) \( \Leftrightarrow y' = \sin \left( {x' - a} \right) + b\). Để \(\overrightarrow v \) biến đồ thị thành chính nó thì \(y' = \sin x'\) \(\forall x'\) \( \Leftrightarrow \sin x' = \sin \left( {x' - a} \right) + b\) \(\forall x'\).
Với \(x = 0 \Rightarrow 0 = - \sin a + b \Leftrightarrow \sin a = b\).
Với \(x = \pi \Rightarrow 0 = \sin a + b \Leftrightarrow \sin a = - b\).
Với \(x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow 1 = \cos a + b \Leftrightarrow \cos a = 1 - b\).
Từ đó, ta có: \( b = 0;a = k2\pi \)
Tập xác định của hàm số \(y = 2\sin x\) là
-
A.
\(\left[ {0;\,2} \right]\).
-
B.
\(\left[ { - 2;\,2} \right]\).
-
C.
\(\mathbb{R}\).
-
D.
\(\left[ { - 1;\,1} \right]\).
Đáp án : C
Hàm số \(y = \sin x\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = 2\sin x\) xác định trên \(\mathbb{R}\) nên tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Nếu đường thẳng \(d//\left( \alpha \right)\) và \(d' \subset \left( \alpha \right)\) thì \(d\) và \(d'\) có thể:
-
A.
song song
-
B.
chéo nhau
-
C.
cắt nhau
-
D.
song song hoặc chéo nhau
Đáp án : D
Nếu đường thẳng \(d//\left( \alpha \right)\) và \(d' \subset \left( \alpha \right)\) thì \(d\) và \(d'\) có thể song song hoặc chéo nhau.
Muốn đi từ $A$ đến $B$ thì bắt buộc phải đi qua $C.$ Có \(3\) con đường đi từ $A$ tới $C$ và \(2\) con đường từ $C$ đến $B.$ Số con đường đi từ $A$ đến $B$ là:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(7\)
Đáp án : A
Có \(2\) công đoạn đi từ \(A\) đến \(B\) là: đi từ \(A\) đến \(C\) và đi từ \(C\) đến \(B\).
- Có \(3\) con đường từ \(A\) đến \(C\).
- Có \(2\) con đường từ \(C\) đến \(B\).
Vậy có \(3.2 = 6\) con đường đi từ \(A\) đến \(B\).
Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $d'$?
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép
Đáp án : A
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Do đó không xảy ra trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép quay tâm $O$ biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\). Khi đó nó biến điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thành điểm:
-
A.
\(M'\left( { - 1; - 1} \right)\)
-
B.
\(M'\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\(M'\left( { - 1;1} \right)\)
-
D.
\(M'\left( {1;0} \right)\)
Đáp án : B
Xác định góc quay.
Áp dụng công thức tính tọa độ ảnh của điểm \(M\left( {x;y} \right)\) qua phép quay tâm $O$ góc \(\alpha :\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.\)
Phép quay tâm $O$ biến điểm \(A\left( {1;0} \right)\) thành điểm \(A'\left( {0;1} \right)\) là phép quay tâm $O$ góc \({90^0}\)
Gọi \(M'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) qua phép quay tâm $O$ góc \({90^0}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos {90^0} + 1.\sin {90^0}\\y' = 1.\sin {90^0} - 1.\cos {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' = 1\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {1;1} \right)\)
Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) nhận đường thẳng nào sau đây là tiệm cận?
-
A.
\(y = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(y = \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : C
Sử dụng tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \tan x\).
Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) nhận các đường thẳng \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\) làm tiệm cận đứng.
Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ . Một mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $d$ và cắt $\left( \alpha \right)$ theo giao tuyến là đường thẳng $d'$ . Giao điểm của $d$ và $d'$ là $A$ . Khẳng định nào sau đây là sai?
-
A.
Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
-
B.
Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left( \beta \right)$
-
C.
Điểm $A$ là giao điểm của $d$ và $\left( \alpha \right)$
-
D.
Điểm $A$ là giao điểm của $d'$ và $\left( \beta \right)$
Đáp án : D
Ta tìm giao tuyến của đường thẳng $b$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ :
+ Tìm một mặt phẳng chứa $b$ thích hợp
+ Tìm giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
+ Tìm giao điểm của giao tuyến đó với đường thẳng $b$
Vì $A \in d'$ mà $d' \subset \left( \alpha \right)$ và $d' \subset \left( \beta \right)$ nên $A \in \left( \alpha \right)$ và \(A \in \left( \beta \right)\)
Vì $A$ là giao điểm của $d$ và $d'$ nên $A \in d$
Mà $A \in \left( \alpha \right)$ nên $A$ là giao điểm của $d$ và $\left( \alpha \right)$
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
-
A.
Ba điểm phân biệt$.$
-
B.
Một điểm và một đường thẳng$.$
-
C.
Hai đường thẳng cắt nhau$.$
-
D.
Bốn điểm phân biệt$.$
Đáp án : C
Sử dụng các cách xác định mặt phẳng nhận xét tính đúng sai cho từng đáp án và kết luận.
A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.
B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.
D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.
Số phần tử của tập hợp các điểm chung của một đường thẳng và một mặt phẳng không thể là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số
Đáp án : C
Dựa vào các vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng có thể cắt mặt phẳng, song song hoặc nằm trong mặt phẳng.
Chỉ có $3$ vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì số điểm chung là giữa chúng là $0$
Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng tại $1$ điểm duy nhất thì số điểm chúng là $1$
Nếu đường thẳng nằm trong mặt phẳng thì giữa chúng có vô số điểm chung.
Nghiệm của phương trình \(2\cos x - 1 = 0\) là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : D
Ta có: \(2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Một hộp đựng $11$ thẻ được đánh số \(1,2,3, \ldots ,11\). Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ và tính tổng các số ghi trên ba thẻ đó. Tính xác suất để tổng nhận được bằng $12$.
-
A.
\(\dfrac{1}{{15}}\)
-
B.
\(\dfrac{7}{{165}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{3}{{55}}\)
Đáp án : B
Tính số phần tử của không gian mẫu \(\left| \Omega \right|\)
Tính số kết quả có lợi cho biến cố \(\left| A \right|\)
Sử dụng công thức tính xác suất \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)
Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ trong một hộp đựng $11$ thẻ ta có \(\left| \Omega \right| = C_{11}^3 = 165\)
Gọi $A$ là biến cố rút được $3$ thẻ và tổng các số ghi trên $3$ thẻ bằng $12$.
Vì \(12 = 1 + 2 + 9 = 1 + 3 + 8 = 1 + 4 + 7\) \( = 1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5\)
Nên \(\left| A \right| = 7\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{7}{{165}}\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \)
-
A.
\(\max y = 1,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
-
B.
\(\max y = 3,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
-
C.
\(\max y = 2,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
-
D.
\(\max y = 0,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
Đáp án : D
Sử dụng \( 0 \le \cos ^2 x \le 1\) để đánh giá biểu thức \(y = 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \), từ đó tìm được GTNN, GTLN của hàm số.
Ta có: \(0 \le {\cos ^2}x \le 1\)\(\Rightarrow 2.0 \le 2.{\cos ^2}x \le 2.1\)
\( \Rightarrow 0 \le 2{\cos ^2}x \le 2\)\( \Rightarrow 0 + 1 \le 2{\cos ^2}x + 1 \le 2 + 1\) \( \Rightarrow 1 \le 2{\cos ^2}x + 1 \le 3\)
\( \Rightarrow 1 \le \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \le \sqrt 3 \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 1 \ge - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \ge - \sqrt 3 \\ \Rightarrow - 1+1 \ge - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} +1 \ge1 - \sqrt 3 +1\end{array}\)
\( \Rightarrow 0 \ge 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \ge 1 - \sqrt 3 \)
\( \Rightarrow 1 - \sqrt 3 \le y \le 0\)
Do đó \(\min y = 1 - \sqrt 3 \) khi \({\cos ^2}x = 1\) và \(\max y = 0\) khi \(\cos x = 0\).
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x.\cot x = 1\) là:
-
A.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
-
B.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
C.
\(R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
D.
\(R\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức \(\tan x.\cot x = 1\) nên ta chỉ cần tìm điều kiện xác định của phương trình.
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2} \Rightarrow D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
Do \(\tan x.\cot x = 1,\forall x \in D\) nên tập nghiệm của phương trình là \(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
Phương trình \(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6\) có nghiệm là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : A
- Xét \(\cos x = 0\) có thỏa mãn phương trình hay không.
- Xét \(\cos x \ne 0\) thì chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\), trở thành phương trình bậc hai với ẩn là \(\tan x\)
- Giải phương trình trên tìm \(\tan x\) suy ra nghiệm \(x\).
\(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6 \Leftrightarrow 6{\sin ^2}x + 14\sqrt 3 \sin x\cos x - 8{\cos ^2}x = 6\,\left( * \right)\)
Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}x = 1\)
Thay vào phương trình (*) ta có: \(6.1 + 14.0 - 8.0 = 6 \Leftrightarrow 6 = 6\) (luôn đúng)
\( \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình (*) cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\begin{array}{l}6\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 14\sqrt 3 \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - 8 = \dfrac{6}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 6{\tan ^2}x + 14\sqrt 3 \tan x - 8 = 6\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 14\sqrt 3 \tan x - 14 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 {\mathop{\rm tanx}\nolimits} - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Kết hợp 2 trường hợp ta có nghiệm của phương trình là: \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Tìm m để phương trình ${\rm{cos}}2x - \left( {2m - 1} \right)\cos x - m + 1 = 0$ có đúng 2 nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\).
-
A.
$ - 1 < m \le 0$.
-
B.
$0 \le m < 1$.
-
C.
$0 \le m \le 1.$
-
D.
$ - 1 < m < 1.$
Đáp án : B
Bước 1: Giải phương trình đã cho tìm \(\cos x\).
Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\).
Bước 1:
${\rm{cos}}2x - \left( {2m - 1} \right)\cos x - m + 1 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right) $
$\Leftrightarrow 2\cos^2 x - \left( {2m - 1} \right)\cos x - m = 0 $
Đặt $\cos x=t$
Phương trình trên trở thành:
$2t^2-(2m-1)t-m=0$
$(2t^2-2mt)+(t-m)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t= - \dfrac{1}{2}\\t = m\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - \dfrac{1}{2}\\\cos x = m\end{array} \right..$
Bước 2:
Vì \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) nên $0 \le \cos x \le 1$.
Do đó $\cos x = - \dfrac{1}{2}$ (loại).
Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) khi và chỉ khi \(0 \le \cos x < 1 \)
\(\Leftrightarrow 0 \le m < 1\).
(Nếu $\cos x=1$ thì có đúng 1 nghiệm $x=0$ $=>\cos x < 1 $)
Cho \(X = \left\{ {0,1,2,3,4,5,6,7} \right\}\). Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau đôi một từ X sao cho một trong $3$ chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số $1$.
-
A.
$2280$ số
-
B.
$840$ số
-
C.
$1440$ số
-
D.
$2520$ số
Đáp án : A
- Xét các trường hợp:
+ Chữ số đầu tiên bằng \(1\).
+ Chữ số đầu tiên khác \(1\).
- Sử dụng quy tắc nhân để đếm số cách chọn trong mỗi trường hợp.
- Sử dụng quy tắc cộng để đếm số cách chọn cho bài toán.
Gọi số tự nhiên cần tìm là \(\overline {abcde} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\)
TH1: Nếu $a = 1$ khi đó:
Có $1$ cách chọn $a$.
Có $7$ cách chọn $b$.
Có $6$ cách chọn $c$.
Có $5$ cách chọn $d.$
Có $4$ cách chọn $e$.
Áp dụng quy tắc nhân ta có: $1.7.6.5.4 = 840$ số.
TH2: Nếu \(a \ne 1\) khi đó:
Có 6 cách chọn a.
Có 2 cách xếp vị trí cho chữ số 1 là b hoặc c.
Cách xếp các chữ số còn lại có 6.5.4 = 120 cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có: 6.2.120 = 1440 số.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: 840 + 1440 = 2280 số.
Từ các số \(0,\,1,\,2,\,7,\,8,\,9\) tạo được bao nhiêu số lẻ có \(5\) chữ số khác nhau?
-
A.
\(288\).
-
B.
\(360\).
-
C.
\(312\).
-
D.
\(600\).
Đáp án : A
Đếm số cách chọn mỗi chữ số trong số thỏa mãn bài toán rồi sử dụng quy tắc nhân suy ra đáp số.
Gọi \(\overline {abcde} \) là số cần tìm.
Chọn \(e\) có \(3\) cách.
Chọn \(a \ne 0\) và \(a \ne e\) có \(4\) cách.
Chọn \(3\) trong \(4\) số còn lại sắp vào \(b,\,c,\,d\) có \(A_4^3\) cách.
Vậy có \(3.4.A_4^3 = 288\) số.
Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:
-
A.
$1695.$
-
B.
$1485.$
-
C.
$405.$
-
D.
$360.$
Đáp án : A
Tìm số hạng tổng quát của tổng, từ đó suy ra hệ số.
Với $0 \le q \le p \le 10$ thì số hạng tổng quát của khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:
${T_p} = C_{10}^p.C_p^q.{(3{x^2})^{10 - p}}.{(x)^{p - q}}{.1^q} = C_{10}^p.C_p^q{.3^{10 - p}}.{(x)^{p - q + 20 - 2p}}$
Theo đề bài thì $p - q + 20 - 2p = 4 \Leftrightarrow p + q = 16$
Do $0 \le q \le p \le 10$ nên $(p;q) \in \left\{ {(8;8);(9;7);(10;6)} \right\}$.
Vậy hệ số của ${x^4}$ trong khai triển $P(x) = {\left( {3{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ là:
$C_{10}^8.C_8^8{.3^{10 - 8}} + C_{10}^9.C_9^7{.3^{10 - 9}} + C_{10}^{10}.C_{10}^6{.3^{10 - 10}} = 1695$.
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố $A$:”ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
-
A.
$P(A) = \dfrac{1}{2}$.
-
B.
$P(A) = \dfrac{3}{8}$.
-
C.
$P(A) = \dfrac{7}{8}$.
-
D.
$P(A) = \dfrac{1}{4}$.
Đáp án : C
Sử dụng phương pháp tính xác suất của biến cố đối:
- Tính xác suất để không có lần nào ra mặt sấp.
- Từ đó suy ra kết quả của bài toán
Ta có: $\overline A $:”không có lần nào xuất hiện mặt sấp” hay cả 3 lần đều mặt ngửa.
Theo quy tắc nhân xác suất: $P(\overline A ) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$.
Vậy: $P(A) = 1 - P(\overline A ) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$
Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một hình vuông thành chính nó?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số.
Đáp án : B
Chỉ ra tất cả các phép tịnh tiến thỏa mãn bài toán, từ đó kết luận đáp án đúng
Có đúng một phép tịnh tiến. Tịnh tiến theo vectơ–không.
Phép vị tự nào sau đây biến đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) thành đường tròn \(\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\) ?
-
A.
\({V_{\left( {I; - 1} \right)}}\) với \(I\left( {4;2} \right)\)
-
B.
\(V\left( {I;1} \right)\) với \(I\left( {1;1} \right)\)
-
C.
\({V_{\left( {I; - 1} \right)}}\) với \(I\left( {1;1} \right)\)
-
D.
\({V_{\left( {I;1} \right)}}\) với \(I\left( {4;2} \right)\)
Đáp án : A
Gọi phép vị tự cần tìm là \({V_{\left( {I;k} \right)}}\), có \(\left| k \right| = \dfrac{{R'}}{R}\)
Gọi $K$ và $K'$ lần lượt là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) và đường tròn \(\left( {C'} \right)\) ta có \(\overrightarrow {IK'} = k\overrightarrow {IK} \)
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(K\left( {3;1} \right)\) và bán kính \(R = 2\), đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(K'\left( {5;3} \right)\) và bán kính \(R' = 2\).
\( \Rightarrow \left| k \right| = \dfrac{{R'}}{R} = 1 \Rightarrow k = \pm 1\), mà \(I' \ne I \Rightarrow k \ne 1 \Rightarrow k = - 1\)
Giả sử phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến $K$ thành $K'$ ta có: \(\overrightarrow {IK'} = - \overrightarrow {IK} \Rightarrow I\) là trung điểm của \(KK' \Rightarrow I\left( {4;2} \right)\)
Cho \(\Delta ABC\) có đường cao \(AH,H\) nằm giữa \(BC.\) Biết \(AH = 4,HB = 2,HC = 8.\) Phép đồng dạng \(F\) biến \(\Delta HBA\) thành \(\Delta HAC\). \(F\) được hình thành bởi hai phép biến hình nào?
-
A.
Phép đối xứng tâm \(H\) và phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\).
-
B.
Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {BA} \) và phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \(k = 2\).
-
C.
Phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \(k = 2\) và phép quay tâm \(H\) góc quay là góc \(\left( {HB,HA} \right)\).
-
D.
Phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \(k = 2\) và phép đối xứng trục
Đáp án : C
Sử dụng tính chất: Phép đồng dạng là hợp thành của một phép vị tự và phép biến hình.
Lần lượt quan sát các đáp án và kiểm tra.
Ta có:
$\begin{array}{l}{Q_{\left( {H, - {{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = E;{V_{\left( {H;2} \right)}}\left( E \right) = A\\{Q_{\left( {H, - {{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = F;{V_{\left( {H;2} \right)}}\left( F \right) = C\end{array}$
Do đó, nếu ta thực hiện liên tiếp hai phép biến hình là phép quay tâm \(H\) góc quay \( - {90^0}\) và phép vị tự tâm \(H\) tỉ số \(k = 2\) ta sẽ được phép đồng dạng tỉ số \(k = 2\) biến tam giác \(\Delta HBA\) thành tam giác \(\Delta HAC\).
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,{\rm{ }}CD.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {ABN} \right)\) là:
-
A.
đường thẳng \(MN.\)
-
B.
đường thẳng \(AM.\)
-
C.
đường thẳng \(BG{\rm{ }}(G\) là trọng tâm tam giác \(ACD).\)
-
D.
đường thẳng \(AH{\rm{ }}(H\) là trực tâm tam giác \(ACD).\)
Đáp án : C
- Tìm một điểm chung dễ thấy của hai mặt phẳng.
- Tìm điểm chung thứ hai bằng cách tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà chúng cắt nhau.
\( \bullet \) \(B\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {ABN} \right).\)
\( \bullet \) Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,{\rm{ }}CD\) nên suy ra \(AN,{\rm{ }}DM\) là hai trung tuyến của tam giác \(ACD.\) Gọi \(G = AN \cap DM\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in AN \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow G \in \left( {ABN} \right)\\G \in DM \subset \left( {MBD} \right) \Rightarrow G \in \left( {MBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow G\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \(\left( {MBD} \right)\) và \(\left( {ABN} \right).\)
Vậy \(\left( {ABN} \right) \cap \left( {MBD} \right) = BG.\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD{\rm{ }}\left( {AD\parallel BC} \right).\) Gọi \(M\) là trung điểm \(CD.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MSB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là:
-
A.
\(SI{\rm{ }}(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM).\)
-
B.
\(SJ{\rm{ }}(J\) là giao điểm của \(AM\) và \(BD).\)
-
C.
\(SO{\rm{ }}(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD).\)
-
D.
\(SP{\rm{ }}(P\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD).\)
Đáp án : A
- Tìm điểm chung dễ thấy của hai mặt phẳng.
- Tìm điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng bằng cách tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và chúng cắt nhau.
Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ với $BM$
\( \bullet \) \(S\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \(\left( {MSB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right).\)
\( \bullet \) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in BM \subset \left( {SBM} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBM} \right)\\I \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \) \(\Rightarrow I\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \(\left( {MSB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right).\)
Vậy \(\left( {MSB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SI.\)
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD,\) \(M\) là trung điểm \(CD,\) \(I\) là điểm ở trên đoạn thẳng \(AG,\) \(BI\) cắt mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) tại \(J.\) Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(AM = \left( {ACD} \right) \cap \left( {ABG} \right).\)
-
B.
\(A,{\rm{ }}J,{\rm{ }}M\) thẳng hàng
-
C.
\(J\) là trung điểm của \(AM.\)
-
D.
\(DJ = \left( {ACD} \right) \cap \left( {BDJ} \right).\)
Đáp án : C
- Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right)\)
- Chứng minh \(J\) thuộc cả hai mặt phẳng \( \Rightarrow J \in AM\).
- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {BDJ} \right)\).
Ta có \(A\) là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right).\)
Do \(BG \cap CD = M \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow M \in \left( {ABG} \right)\\M \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow M \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {GAB} \right).\)$\Rightarrow \left( ABG \right)\cap \left( ACD \right)=AM\xrightarrow{{}}$A đúng.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BI \subset \left( {ABG} \right)\\AM \subset \left( {ABM} \right)\\\left( {ABG} \right) \equiv \left( {ABM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AM,BI\) đồng phẳng.
\( \Rightarrow J = BI \cap AM \Rightarrow A,J,M\) thẳng hàng$\xrightarrow{{}}$ B đúng.
Ta có $\left\{ \begin{align} & DJ\subset \left( ACD \right) \\ & DJ\subset \left( BDJ \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow DJ=\left( ACD \right)\cap \left( BDJ \right)\xrightarrow{{}}$ D đúng.
Điểm \(I\) di động trên \(AG\) nên \(J\) có thể không phải là trung điểm của \(AM\)
$\xrightarrow{{}}$ C sai
Cho hình bình hành $ABCD$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và một điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng $(P).$ Gọi $M$ là điểm nằm giữa $S$ và $A; N$ là điểm nằm giữa $S$ và $B;$ giao điểm của hai đường thẳng $AC$ và $BD$ là $O;$ giao điểm của hai đường thẳng $CM$ và $SO$ là $I;$ giao điểm của hai đường thẳng $NI$ và $SD$ là $J.$ Tìm giao điểm của $mp(CMN)$ với đường thẳng $SO$ là:
-
A.
$A$
-
B.
$J$
-
C.
$I$
-
D.
$B$
Đáp án : C
Tìm trong mặt phẳng $(CMN)$ một đường thẳng cắt $SO.$ Giao điểm của đường thẳng đó và $SO$ chính là giao điểm của $(CMN)$ và $SO.$
Dễ thấy trong $(SAC)$ có $SO \cap CM = I.$Mà \(CM \subset \left( {CMN} \right) \Rightarrow SO \cap \left( {CMN} \right) = I.\)
Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P).$ Khi đó, số đường thẳng phân biệt nằm trong $(P)$ và song song với $a $ có thể là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số
Đáp án : D
- Sử dụng định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng.
Đường thẳng $a//(P)$ thì có vô số đường thẳng nằm trong $(P)$ và song song với $a$
Một lớp học có $n$ học sinh $\left( {n > 3} \right)$. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra $1$ học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn $1$ và nhỏ hơn $n$. Gọi $T$ là số cách chọn. Lúc này:
-
A.
\(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
-
B.
\(T = n\left( {{2^{n - 1}} - 1} \right)\)
-
C.
\(T = n{2^{n - 1}}\)
-
D.
\(T = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \)
Đáp án : A
Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm mà chưa biết nhóm này có bao nhiêu học sinh nên sẽ có các phương án:
PA 1: Nhóm có $2$ học sinh
PA 2: Nhóm có $3$ học sinh.
PA 3: Nhóm có $4$ học sinh.
….
PA (n-2): Nhóm có $n-1$ học sinh.
Tính số cách thực hiện của mỗi phương án sau đó áp dụng quy tắc cộng.
Gọi \({A_k}\) là phương án: Chọn nhóm có $k$ học sinh và chỉ định $1$ bạn trong k học sinh đó làm nhóm trưởng.
Thầy chủ nhiệm có các phương án: \({A_2},{A_3},{A_4},...,{A_{n - 1}}\)
Ta tính xem \({A_k}\) có bao nhiêu cách thực hiện.
Phương án \({A_k}\) có hai công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn $k$ học sinh trong $n$ học sinh có \(C_n^k\) cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn $1$ học sinh trong $k$ học sinh làm nhóm trưởng có \(C_k^1 = k\) cách.
Theo quy tắc nhân thì phương án \({A_k}\) có \(kC_n^k\) cách thực hiện.
Các phương án \({A_k}\) là độc lập với nhau.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: \(T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} \)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) không phải là hình thang. Trên cạnh \(SC\) lấy điểm \(M\). Gọi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đôi một song song
-
B.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đôi một cắt nhau
-
C.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đồng quy.
-
D.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ cùng thuộc một mặt phẳng.
Đáp án : C
- Tìm giao điểm \(O\) của \(AB,CD\).
- Chứng minh \(MN\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
- Chứng minh \(O\) nằm trên \(MN\) bằng cách chứng minh \(O\) nằm trên hai mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Gọi \(I = AD \cap BC.\) Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), gọi \(K = BM \cap SI\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), gọi \(N = AK \cap SD\).
Khi đó \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\).
Gọi \(O = AB \cap CD\). Ta có:
● \(O \in AB\) mà \(AB \subset \left( {AMB} \right)\) suy ra \(O \in \left( {AMB} \right)\).
● \(O \in CD\) mà \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) suy ra ${\rm{IJ}},MN,SE$.
Do đó \(O \in \left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\). \(\left( 1 \right)\)
Mà \(\left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(O \in MN\). Vậy ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đồng quy.
Cho phương trình: $4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 8\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right) - 4{\sin ^2}4x = m$ trong đó $m$ là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
-
A.
$ - 1 \le m \le 0$.
-
B.
$ - \dfrac{3}{2} \le m \le - 1$.
-
C.
$ - 4 \le m \le - \dfrac{3}{2}$.
-
D.
$m < - \dfrac{{25}}{4}$ hoặc $m > 0$
Đáp án : D
- Biến đổi phương trình về phương trình trùng phương ẩn \(\sin 2x\).
- Đặt \(t = {\sin ^2}2x\), tìm điều kiện của \(t\).
- Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình ẩn \(t\) không có nghiệm thỏa mãn điều kiện trên.
Ta có:
${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$$ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$$ = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x$\( = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\cos 4x\)
${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$$ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3}$$ - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$$ = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x$\( = \dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4x\)
Phương trình đã cho trở thành
$4\left( {\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\cos 4x} \right) - 8\left( {\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4x} \right) - 4{\sin ^2}4x = m$
\( \Leftrightarrow 3 + \cos 4x - 5 - 3\cos 4x - 4\left( {1 - {{\cos }^2}4x} \right) = m\)
\( \Leftrightarrow 4{\cos ^2}4x - 2\cos 4x = m + 6\)
Đặt \(t = \cos 4x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), phương trình trở thành \(4{t^2} - 2t = m + 6\,\,\left( * \right)\)
Phương trình đã cho vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) không có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\).
Xét hàm \(f\left( t \right) = 4{t^2} - 2t\) trong đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) có:
Đồ thị của \(f\left( t \right)\) là parabol có hoành độ đỉnh \(t = \dfrac{1}{4} \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Bảng biến thiên:
Phương trình \(\left( * \right)\) không có nghiệm thuộc \(\left[ { - 1;1} \right]\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}m + 6 < - \dfrac{1}{4}\\m + 6 > 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - \dfrac{{25}}{4}\\m > 0\end{array} \right.\).
Vậy \(m < - \dfrac{{25}}{4}\) hoặc \(m > 0\).
Cho hình vuông $ABCD$ trong đó \(A\left( {1;1} \right),B\left( { - 1;1} \right),C\left( { - 1; - 1} \right),D\left( {1; - 1} \right)\). Xét phép quay \(Q\left( {O;\dfrac{\pi }{4}} \right)\). Giả sử hình vuông $A'B'C'D'$ là ảnh của $ABCD$ qua phép quay đó. Gọi $S$ là diện tích hình vuông $A'B'C'D'$ nằm ngoài hình vuông $ABCD$ . Tính $S$.
-
A.
\(S = 6 - 4\sqrt 2 \)
-
B.
\(S = 12 - 8\sqrt 2 \)
-
C.
\(S = 1\)
-
D.
\(S = \sqrt 2 \)
Đáp án : B
Vẽ hình, xác định hình vuông $A'B'C'D'$ .
Xác định phần diện tích hình vuông $A'B'C'D'$ nằm ngoài hình vuông $ABCD$ và tính diện tích đó.
\({Q_{\left( {O;\dfrac{\pi }{4}} \right)}}\left( A \right) = A',{Q_{\left( {O;\dfrac{\pi }{4}} \right)}}\left( B \right) = B',{Q_{\left( {O;\dfrac{\pi }{4}} \right)}}\left( C \right) = C',{Q_{\left( {O;\dfrac{\pi }{4}} \right)}}\left( D \right) = D'\) như hình vẽ.
Ta có: \(OA' = OA = \sqrt 2 \Rightarrow A'H = \sqrt 2 - 1\)
Dễ thấy tam giác $A'EF$ là tam giác vuông cân tại $A'$ \( \Rightarrow EF = 2A'H = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta A'EF}} = \dfrac{1}{2}A'H.EF = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt 2 - 1} \right).2\left( {\sqrt 2 - 1} \right) = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2}\)
Vậy diện tích hình vuông $A'B'C'D'$ nằm ngoài hình vuông $ABCD$ là \(S = 4{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} = 4\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 12 - 8\sqrt 2 \)
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = a,BC = AD = b,AC = BD = c$. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với $AB$ và $CD$ cắt các cạnh của tứ diện theo một thiết diện là hình thoi. Diện tích thiết diện là:
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\left( {{a^2} - {b^2} + {c^2}} \right)\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\sqrt {\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)} \)
-
D.
\(\dfrac{1}{4}\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)} \)
Đáp án : D
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng các yếu tố song song để xác định hình dạng của thiết diện.
- Điều kiện để thiết diện trở thành hình thoi.
- Công thức tính diện tích hình thoi \(S = \dfrac{1}{2}{d_1}{d_2},\) trong đó \({d_1},{d_2}\) là độ dài hai đường chéo của hình thoi.
Giả sử \(\left( \alpha \right)\) cắt các cạnh $AD,AC,CB,BD$ theo thứ tự tại $M,N,P,Q$.
\(\left\{ \begin{array}{l}CD//\left( \alpha \right),CD \subset \left( {ACD} \right)\\M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN//CD\,\,\left( {N \in AC} \right)\)
Tương tự \(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ//CD\,\,\left( {Q \in BD} \right).\)
Khi đó: \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ//AB,\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = NP//AB.\)
Hình bình hành $MNPQ$ là thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\).
Theo định lí Ta-let ta có:
\(\dfrac{{NP}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{CA}} \Rightarrow NP = \dfrac{a}{c}CN,\,\,\dfrac{{MN}}{{CD}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow MN = \dfrac{a}{b}AN.\)
Để MNPQ là hình thoi thì \(MN = NP \Rightarrow CN = AN\) hay $N$ là trung điểm của $AC$ . Từ đó suy ra $M,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC,BD$ .
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}D{N^2} = \dfrac{{A{D^2} + D{C^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4} = \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}\\B{N^2} = \dfrac{{A{B^2} + B{C^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{4} = \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}\end{array} \right.\\ \Rightarrow DN = BN\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta NBD\) cân tại $N$ . Lại có $Q$ là trung điểm của $BD$ nên \(NQ \bot BD.\)
Do đó ta có: \(N{Q^2} = N{B^2} - B{Q^2} = \dfrac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4} - \dfrac{{{c^2}}}{4} = \dfrac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{2}\)
Tương tự ta tính được \(M{P^2} = \dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{2}.\)
Vậy \({S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}MP.NQ = \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{2}.\dfrac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{2}} = \dfrac{1}{4}\sqrt {\left( {{b^2} + {a^2} - {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)} \) .
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2