-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 1
Đề bài
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y = {x^4} + 2\left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + 5m + 2$ có cực đại, cực tiểu
-
A.
$m \in \left( { - 3;3} \right)$
-
B.
$m \in \left[ { - 3;3} \right]$
-
C.
$m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
-
D.
$m \in \left( { - 9;9} \right)$
Điều kiện để biểu thức \({\log _2}\left( {3 - x} \right)\) xác định là:
-
A.
\(x \le 3\)
-
B.
\(x > 3\)
-
C.
\(x \ge 3\)
-
D.
\(x < 3\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\)
-
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 - x} \right)}}{x} = 1\)
-
C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln x}}{x} = 1\)
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{1 + x}} = 1\)
Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty $ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là:
-
A.
tiệm cận ngang
-
B.
tiệm cận đứng
-
C.
tiệm cận xiên
-
D.
trục đối xứng
Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu?
-
A.
hình chóp tam giác
-
B.
hình chóp tứ giác
-
C.
hình chóp ngũ giác
-
D.
hình chóp lục giác
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2018}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( H \right).\) Số đường tiệm cận của \(\left( H \right)\) là:
-
A.
\(2.\)
-
B.
\(0.\)
-
C.
\(3.\)
-
D.
\(1.\)
Công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\), độ dài đường sinh \(l\) và chiều cao \(h\) là:
-
A.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi rl\)
-
B.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}l\)
-
C.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)
-
D.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi rh\)
Số cực trị của hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(3\)
Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\)?
-
A.
\(\left( {1;0} \right)\)
-
B.
\(\left( {a,1} \right)\)
-
C.
\(\left( {{a^2};a} \right)\)
-
D.
\(\left( {{a^2};2} \right)\)
Cho \(m\) là số nguyên âm. Chọn kết luận đúng:
-
A.
\({\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m} > 1\)
-
B.
\({\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m} < {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m} < 1\)
-
C.
\({\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m} < 1 < {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m}\)
-
D.
\(1 < {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m} < {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m}\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Mặt phẳng cắt mặt cầu là mặt phẳng kính.
-
B.
Mặt phẳng chứa đường kính của mặt cầu là mặt phẳng kính.
-
C.
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu là mặt phẳng kính.
-
D.
Mặt phẳng không đi qua điểm nào thuộc mặt cầu là mặt phẳng kính.
Hàm số nào có thể có đồ thị dạng như hình vẽ?
-
A.
Hàm số đa thức bậc ba.
-
B.
Hàm số đa thức bậc hai.
-
C.
Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương.
-
D.
Cả B và C đều đúng.
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) nếu:
-
A.
\(OM = R\)
-
B.
\(OM \le R\)
-
C.
\(OM < R\)
-
D.
\(OM > R\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;3} \right)$
-
B.
Hàm số đồng biến trên $\left( {2;3} \right)$.
-
C.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;3} \right)$.
-
D.
Hàm số nghịch biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên các khoảng xác định?
-
A.
\(y = {x^{ - 4}}\).
-
B.
\(y = {x^4}\).
-
C.
$y = {x^{ - \dfrac{3}{4}}}$.
-
D.
$y = \sqrt[3]{x}$.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là
-
A.
$ - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
-
B.
$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1$
-
C.
$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 2$
-
D.
$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
Cho a là số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng
-
A.
\({\log _2}{a^3} = 3{\log _2}a\)
-
B.
\({\log _2}{a^3} = \dfrac{1}{3}{\log _2}a\)
-
C.
\({\log _2}{a^3} = \dfrac{3}{2}\log a\)
-
D.
\({\log _2}{a^3} = 3\log a\)
Hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
\(a > 0\)
-
B.
\(a < 0\)
-
C.
\(a = 0\)
-
D.
\(a \le 0\)
Cho \(a > 0,a \ne 1\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
A.
Tập xác định của hàmsố\(y = {a^x}\) là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
-
B.
Tập giá trị của hàmsố \(y = {\log _a}x\) là tập \(R\)
-
C.
Tập giá trị của hàmsố \(y = {a^x}\) là tập \(R\)
-
D.
Tập xác định của hàmsố \(y = {\log _a}x\) là tập \(R\)
Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$f\left( x \right) \geqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
-
B.
$f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = - 2$
-
C.
$f\left( x \right) < - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
-
D.
$f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(2a\) và bán kính đáy bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\)
Cho khối chóp có thể tích \(V\), diện tích đáy là \(S\) và chiều cao \(h\). Chọn công thức đúng:
-
A.
\(V = Sh\)
-
B.
\(V = \dfrac{1}{2}Sh\)
-
C.
\(V = \dfrac{1}{3}Sh\)
-
D.
\(V = \dfrac{1}{6}Sh\)
Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số mặt của hình đa diện ấy”
-
A.
nhỏ hơn
-
B.
nhỏ hơn hoặc bằng
-
C.
bằng
-
D.
lớn hơn
Chọn so sánh đúng:
-
A.
\({5^m} > {5^n} \Leftrightarrow m > n\)
-
B.
\({5^m} > {5^n} \Leftrightarrow m < n\)
-
C.
\({5^m} \ge {5^n} \Leftrightarrow m = n\)
-
D.
\({5^m} > {5^n} \Leftrightarrow m \le n\)
Hàm số \(y = - {x^3} + {x^2} + 1\,\) xác định khi:
-
A.
\(x \ne 0\)
-
B.
\(x \in \mathbb{Z}\)
-
C.
\(\forall x\)
-
D.
\(x > 0\)
Đường cong ở hình bên là đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax+2}{cx+b}\) với \(a,b,c\) là các số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\(a=2;b=2;c=-1\).
-
B.
\(a=1;b=-2;c=1\).
-
C.
\(a=1;b=2;c=1\).
-
D.
\(a=1;b=1;c=-1\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} + 2\) trên \(R\), chọn kết luận đúng:
-
A.
Hàm số không đổi trên \(R\).
-
B.
Hàm số đồng biến trên \(R\).
-
C.
Hàm số nghịch biến trên \(R\).
-
D.
Hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến trên \(R\).
Cho \(x > 0\) và \(n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 2\). Chọn công thức đúng:
-
A.
\(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{ - \dfrac{{n - 1}}{n}}}\)
-
B.
\(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{\dfrac{{n - 1}}{n}}}\)
-
C.
\(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = n{x^{ - \dfrac{{n - 1}}{n}}}\)
-
D.
\(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{ - \dfrac{{n + 1}}{n}}}\)
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(BC = 2a,\widehat {BAC} = {120^0}\), góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}}}{9}\)
-
C.
\({a^3}\sqrt 2 \)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)
Hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
-
A.
\(y = {x^2} - 2\)
-
B.
\(y = {x^4} + {x^2} - 2\)
-
C.
\(y = {x^4} - {x^2} - 2\)
-
D.
\(y = {x^2} + x - 2\)
Hàm số $y = - {x^4} - 2{x^2} + 3$ nghịch biến trên:
-
A.
$\left( { - \infty ;0} \right)$
-
B.
$\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$
-
C.
$R$
-
D.
$\left( {0; + \infty } \right)$
Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (2m - 4)x - 3.$ Tìm $m$ để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10$
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = \dfrac{1}{2}$
-
C.
$m = 1;m = \dfrac{1}{2}$
-
D.
$m = 3$
Cho hàm số $y = \dfrac{{2x + 2017}}{{\left| x \right| + 1}}.$ Mệnh đề nào là đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ và không có tiệm có đứng.
-
B.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1.$
-
C.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $x = - 1;\;\;x = 1.$
-
D.
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $y = - 2;\;\;y = 2$ và không có tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai giá trị cực đại, cực tiểu thỏa mãn \({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0\). Khi đó:
-
A.
Đồ thị hàm số có 3 điểm chung với \(Ox\).
-
B.
Đồ thị hàm số có 2 điểm chung với \(Ox\).
-
C.
Đồ thị hàm số có 1 điểm chung với \(Ox\).
-
D.
Đồ thị hàm số không có điểm chung với \(Ox\).
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
$\mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right) = 3$
-
B.
Hàm số đồng biến trên khoảng$\left( { - \infty ;3} \right)$
-
C.
Giá trị cực tiểu của hàm số bằng $2$
-
D.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = - 1$
Cho hàm số $y = {x^4} - 2(m + 1){x^2} + m + 2$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm thuộc $\left( C \right)$ có hoành độ bằng $1$. Với giá trị nào của tham số $m$ thì $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = - \dfrac{1}{4}x - 2016$
-
A.
$m = - 1$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = 1$
-
D.
$m = 2$
Biết rằng hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt x \ln x\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {1;e} \right]\) tại \(x = {x_0}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
\({x_0} \in \left[ {1;\dfrac{3}{e}} \right].\)
-
B.
\({x_0} \in \left( {\dfrac{3}{e};\sqrt e } \right).\)
-
C.
\({x_0} \in \left[ {\sqrt e ;2} \right].\)
-
D.
\({x_0} \in \left( {2;e} \right].\)
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \({4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\).
-
A.
\(T = 2\).
-
B.
\(T = 3\).
-
C.
\(T = \dfrac{{13}}{4}\).
-
D.
\(T = \dfrac{1}{4}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{\sqrt {2x} + 1}} - {3^{x + 1}} \le {x^2} - 2x\) là:
-
A.
\(\left( {0; + \infty } \right)\)
-
B.
\(\left[ {0;2} \right]\)
-
C.
\(\left[ {2; + \infty } \right)\)
-
D.
\(\left[ {2; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\}\)
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A{A_1}\). Thể tích khối chóp \(M.BC{A_1}\) là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
Thể tích khối bát diện đều cạnh \(a\) bằng:
-
A.
\({a^3}\sqrt 2 \)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là tâm các hình bình hành \(ABCD,\,\,A'B'C'D',\,\,ABB'A',\,\,BCC'B',\,\,CDD'C',\,\,DAA'D'\). Thể tích khối đa diện có các đỉnh \(M,\,\,P,\,\,Q,\,\,E,\,\,F,\,\,N\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{V}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{V}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{V}{6}\)
-
D.
\(\dfrac{V}{3}\)
Cho hình nón có bán kính đáy bằng $4a$ và chiều cao bằng $3a.$ Diện tích toàn phần của hình nón bằng:
-
A.
$18\pi {a^2}$
-
B.
$12\pi {a^2}$
-
C.
$36\pi {a^2}$
-
D.
$20\pi {a^2}$
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; - 3;4} \right)\), đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{z}{2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 20\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất. Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt \(\left( P \right)\) theo đường tròn có bán kính bằng :
-
A.
\(\sqrt 5 \)
-
B.
$1$
-
C.
$4$
-
D.
$2$
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC);AC = b,AB = c,\widehat {BAC} = \alpha $. Gọi $B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SC$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $A.{\rm{ }}BCC'B'$ theo $b,c,\alpha $
-
A.
\(R = 2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } \)
-
B.
\(R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin 2\alpha }}\)
-
C.
$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}$
-
D.
$R = \dfrac{{2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin \alpha }}$
Tìm giá trị $m$ để phương trình \({2^{\left| {x - 1} \right| + 1}} + {2^{\left| {x - 1} \right|}} + m = 0\) có nghiệm duy nhất
-
A.
$m=3$
-
B.
$m=\dfrac{1}{8}$
-
C.
$m=-3\,$
-
D.
$m=1$
Cho \(f\left( x \right)\) mà đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên
Bất phương trình \(f\left( x \right) > \sin \dfrac{{\pi x}}{2} + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\) khi và chỉ khi:
-
A.
\(m < f\left( 0 \right)\)
-
B.
\(m < f\left( 1 \right) - 1\)
-
C.
\(m < f\left( { - 1} \right) + 1\)
-
D.
\(m < f\left( 2 \right)\)
Cho khối đa diện có các mặt đều là tam giác, kí hiệu số mặt là \(M\), số cạnh là \(C\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(2C = 3M\)
-
B.
\(3C = 2M\)
-
C.
\(M = 2C\)
-
D.
\(C = 2M\)
Cho hình chóp đều $n$ cạnh $(n \ge 3)$. Cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là $R$ và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng ${60^0}$ , thể tích khối chóp bằng $\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}{R^3}$ . Tìm $n$?
-
A.
$n = 4$
-
B.
$n = 8$
-
C.
$n = 10$
-
D.
$n = 6$
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 5$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ mà tiếp tuyến với đồ thị tại chúng là hai đường thẳng song song?
-
A.
Không tồn tại cặp điểm nào
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số cặp điểm
Lời giải và đáp án
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y = {x^4} + 2\left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + 5m + 2$ có cực đại, cực tiểu
-
A.
$m \in \left( { - 3;3} \right)$
-
B.
$m \in \left[ { - 3;3} \right]$
-
C.
$m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$
-
D.
$m \in \left( { - 9;9} \right)$
Đáp án : A
Áp dụng lý thuyết về cực đại, cực tiểu của hàm trùng phương
Ta có: $y = {x^4} + 2\left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + 5m + 2 \Rightarrow y' = 4{x^3} + 4x\left( {{m^2} - 9} \right) = 4x\left( {{x^2} + {m^2} - 9} \right)$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} = 9 - {m^2}\left( 1 \right)}\end{array}} \right.$
Hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$có hai nghiệm phân biệt khác 0
$ \Leftrightarrow 9 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow {\rm{\;}} - 3 < m < 3$
Điều kiện để biểu thức \({\log _2}\left( {3 - x} \right)\) xác định là:
-
A.
\(x \le 3\)
-
B.
\(x > 3\)
-
C.
\(x \ge 3\)
-
D.
\(x < 3\)
Đáp án : D
Điều kiện để \({\log _a}b\) xác định là \(b > 0\).
Để biểu thức \({\log _2}\left( {3 - x} \right)\) xác định thì \(3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\)
-
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 - x} \right)}}{x} = 1\)
-
C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln x}}{x} = 1\)
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{1 + x}} = 1\)
Đáp án : A
Giới hạn cần nhớ: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\)
Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty $ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là:
-
A.
tiệm cận ngang
-
B.
tiệm cận đứng
-
C.
tiệm cận xiên
-
D.
trục đối xứng
Đáp án : B
Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty $ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu?
-
A.
hình chóp tam giác
-
B.
hình chóp tứ giác
-
C.
hình chóp ngũ giác
-
D.
hình chóp lục giác
Đáp án : A
Hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì sẽ nội tiếp được mặt cầu.
Trong các hình chóp tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác thì chỉ có tam giác luôn nội tiếp được đường tròn nên hình chóp tam giác luôn nội tiếp được mặt cầu.
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2018}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( H \right).\) Số đường tiệm cận của \(\left( H \right)\) là:
-
A.
\(2.\)
-
B.
\(0.\)
-
C.
\(3.\)
-
D.
\(1.\)
Đáp án : A
Dựa vào định nghĩa tính giới hạn tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = \infty {\rm{\;}} \Rightarrow x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} \infty } \dfrac{{2018}}{{x - 2}} = 0 \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} 2} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} 2} \dfrac{{2018}}{{x - 2}} = \infty {\rm{\;}} \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có \(2\) đường tiệm cận.
Công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\), độ dài đường sinh \(l\) và chiều cao \(h\) là:
-
A.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi rl\)
-
B.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}l\)
-
C.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)
-
D.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi rh\)
Đáp án : C
Công thức tính thể tích khối nón: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)
Số cực trị của hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : A
Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị.
Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\)?
-
A.
\(\left( {1;0} \right)\)
-
B.
\(\left( {a,1} \right)\)
-
C.
\(\left( {{a^2};a} \right)\)
-
D.
\(\left( {{a^2};2} \right)\)
Đáp án : C
Sử dụng điều kiện để điểm thuộc đồ thị hàm số là tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình của hàm số.
- Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm \(\left( {1;0} \right)\) và \(\left( {a;1} \right)\).
- Với \(x = {a^2}\) thì \(y = {\log _a}x = {\log _a}{a^2} = 2\) nên đồ thị hàm số đi qua \(\left( {{a^2};2} \right)\) nên C sai, D đúng.
Cho \(m\) là số nguyên âm. Chọn kết luận đúng:
-
A.
\({\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m} > 1\)
-
B.
\({\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m} < {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m} < 1\)
-
C.
\({\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m} < 1 < {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m}\)
-
D.
\(1 < {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m} < {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m}\)
Đáp án : B
Sử dụng hệ quả so sánh lũy thừa:
Với \(0 < a < b\) và \(m\) là số nguyên âm thì: \({a^m} > {b^m}\).
Vì \(1 < \dfrac{6}{5} < \dfrac{5}{4}\) và \(m\) nguyên âm nên \({1^m} > {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m} \Leftrightarrow 1 > {\left( {\dfrac{6}{5}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^m}\).
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Mặt phẳng cắt mặt cầu là mặt phẳng kính.
-
B.
Mặt phẳng chứa đường kính của mặt cầu là mặt phẳng kính.
-
C.
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu là mặt phẳng kính.
-
D.
Mặt phẳng không đi qua điểm nào thuộc mặt cầu là mặt phẳng kính.
Đáp án : B
Nếu \(\left( P \right)\) là mặt phẳng kính thì \(OH = 0\left( {H \equiv O} \right)\) hay \(\left( P \right)\) đi qua \(O\) là tâm mặt cầu, do đó \(\left( P \right)\) đi qua đường kính của mặt cầu.
Hàm số nào có thể có đồ thị dạng như hình vẽ?
-
A.
Hàm số đa thức bậc ba.
-
B.
Hàm số đa thức bậc hai.
-
C.
Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương.
-
D.
Cả B và C đều đúng.
Đáp án : D
Quan sát dạng đồ thị và đối chiếu với các đáp án bài cho.
Dạng đồ thị đã cho có thể là của hàm số bậc hai hoặc hàm bậc bốn trùng phương.
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) nếu:
-
A.
\(OM = R\)
-
B.
\(OM \le R\)
-
C.
\(OM < R\)
-
D.
\(OM > R\)
Đáp án : A
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) nếu \(OM = R\).
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;3} \right)$
-
B.
Hàm số đồng biến trên $\left( {2;3} \right)$.
-
C.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;3} \right)$.
-
D.
Hàm số nghịch biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$
Đáp án : B
Sử dụng định lý:
Định lý: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm trên $K$.
a) Nếu $f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $K$.
b) Nếu $f'\left( x \right) < 0,\forall x \in K$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$.
Từ bảng biến thiên ta thấy: $f'\left( x \right) > 0$ trên $\left( {2;3} \right)$ nên hàm số đồng biến trên $\left( {2;3} \right)$.
$f'\left( x \right) < 0$ trên $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên các khoảng xác định?
-
A.
\(y = {x^{ - 4}}\).
-
B.
\(y = {x^4}\).
-
C.
$y = {x^{ - \dfrac{3}{4}}}$.
-
D.
$y = \sqrt[3]{x}$.
Đáp án : D
Tính đạo hàm của mỗi hàm số rồi xét dấu đạo hàm trên khoảng xác định \(D\).
Nếu \(y' \ge 0\) và bằng \(0\) tại hữu hạn điểm thuộc \(D\) thì hàm số đồng biến trên \(D\).
Hàm số \(y = {x^{ - 4}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) và có \(y' = - 4{x^{ - 5}}\) nên không đồng biến trên các khoảng xác định (đồng biến trên \(\left( { - \infty ,0} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {0, + \infty } \right)\)), loại A.
Hàm số \(y = {x^{ - \dfrac{3}{4}}}\) có tập xác định là \(\left( {0, + \infty } \right)\) và có \(y' = - \dfrac{3}{4}{x^{ - \dfrac{7}{4}}} < 0,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)\) nên không đồng biến trên từng khoảng xác định, loại B.
Hàm số \(y = {x^4}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và có \(y' = 4{x^3}\) nên không đồng biến trên các khoảng xác định, loại C.
Hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và có \(y' = \dfrac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} > 0\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là
-
A.
$ - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
-
B.
$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1$
-
C.
$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 2$
-
D.
$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
Đáp án : B
+) Tính đạo hàm y' và giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_i}.$
+) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;\;b} \right],$ ta tính các giá trị $y\left( a \right);\;y\left( {{x_i}} \right);\;\;y\left( b \right)$ và đưa ra kết luận đúng.
Ta có $y' = \cos x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Do $x\in \left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ nên $k=-1$ hay $x=-\dfrac{\pi }{2}$
Suy ra $y\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1;\;\;y\left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{\mathop {\max}\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]}y = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{{\rm{ \;}}}&{\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y = - 1}\end{array}} \right.$
Cho a là số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng
-
A.
\({\log _2}{a^3} = 3{\log _2}a\)
-
B.
\({\log _2}{a^3} = \dfrac{1}{3}{\log _2}a\)
-
C.
\({\log _2}{a^3} = \dfrac{3}{2}\log a\)
-
D.
\({\log _2}{a^3} = 3\log a\)
Đáp án : A
Áp dụng công thức logarit: \({\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\left( {b > 0} \right)\)
Ta có: \({\log _2}{a^3} = 3{\log _2}a\)
Hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
\(a > 0\)
-
B.
\(a < 0\)
-
C.
\(a = 0\)
-
D.
\(a \le 0\)
Đáp án : B
Quan sát đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \) nên \(a < 0\).
Cho \(a > 0,a \ne 1\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
A.
Tập xác định của hàmsố\(y = {a^x}\) là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
-
B.
Tập giá trị của hàmsố \(y = {\log _a}x\) là tập \(R\)
-
C.
Tập giá trị của hàmsố \(y = {a^x}\) là tập \(R\)
-
D.
Tập xác định của hàmsố \(y = {\log _a}x\) là tập \(R\)
Đáp án : B
Sử dụng các tính chất của hàm số mũ, hàm số logarit.
Cho \(a > 0;a \ne 1\) khi đó hàm số \(y = {a^x}\) có tập xác định là \(R\) , tập giá trị là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\) , tập giá trị là \(R\)
Suy ra B đúng
Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$f\left( x \right) \geqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
-
B.
$f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = - 2$
-
C.
$f\left( x \right) < - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
-
D.
$f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
Đáp án : D
Nếu $M = - 2$ là GTLN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ thì $f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$.
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(2a\) và bán kính đáy bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\)
Đáp án : A
+) Sử dụng công thức: \(h = \sqrt {{l^2} - {R^2}} .\)
+) Thể tích hình nón có bán kính R và đường cao h là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(O\) có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 .\)
Khi đó ta có: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
Cho khối chóp có thể tích \(V\), diện tích đáy là \(S\) và chiều cao \(h\). Chọn công thức đúng:
-
A.
\(V = Sh\)
-
B.
\(V = \dfrac{1}{2}Sh\)
-
C.
\(V = \dfrac{1}{3}Sh\)
-
D.
\(V = \dfrac{1}{6}Sh\)
Đáp án : C
Công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số mặt của hình đa diện ấy”
-
A.
nhỏ hơn
-
B.
nhỏ hơn hoặc bằng
-
C.
bằng
-
D.
lớn hơn
Đáp án : D
Sử dụng phương pháp chọn điểm rơi, lấy ví dụ cho hình tứ diện để chọn đáp án.
Hình tứ diện có \(6\) cạnh và \(4\) đỉnh nên số cạnh của tứ diện lớn hơn số mặt của nó.
Chọn so sánh đúng:
-
A.
\({5^m} > {5^n} \Leftrightarrow m > n\)
-
B.
\({5^m} > {5^n} \Leftrightarrow m < n\)
-
C.
\({5^m} \ge {5^n} \Leftrightarrow m = n\)
-
D.
\({5^m} > {5^n} \Leftrightarrow m \le n\)
Đáp án : A
Sử dụng tính chất của lũy thừa: Với \(a > 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\)
Ta có: \(5 > 1\) nên \({5^m} > {5^n} \Leftrightarrow m > n\).
Hàm số \(y = - {x^3} + {x^2} + 1\,\) xác định khi:
-
A.
\(x \ne 0\)
-
B.
\(x \in \mathbb{Z}\)
-
C.
\(\forall x\)
-
D.
\(x > 0\)
Đáp án : C
Hàm đa thức bậc ba xác định trên tập số thực.
Hàm số \(y = - {x^3} + {x^2} + 1\,\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Đường cong ở hình bên là đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax+2}{cx+b}\) với \(a,b,c\) là các số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\(a=2;b=2;c=-1\).
-
B.
\(a=1;b=-2;c=1\).
-
C.
\(a=1;b=2;c=1\).
-
D.
\(a=1;b=1;c=-1\).
Đáp án : B
Sử dụng kiến thức về tiệm cận và giao của đồ thị hàm số với các trục tọa độ
Vì đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y=1;x=2\) làm đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng và đồ thị hàm số cắt \(Oy\) tại điểm có tung độ bằng \(-1\) nên ta có hệ :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \dfrac{b}{c} = 2}\\{\dfrac{a}{c} = 1}\\{\dfrac{2}{b} = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = - 2}\\{c = 1}\end{array}} \right.\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} + 2\) trên \(R\), chọn kết luận đúng:
-
A.
Hàm số không đổi trên \(R\).
-
B.
Hàm số đồng biến trên \(R\).
-
C.
Hàm số nghịch biến trên \(R\).
-
D.
Hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến trên \(R\).
Đáp án : B
Sử dụng định lý: “Nếu \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\)”.
Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2} + 2 > 0,\forall x \in R\) nên hàm số đồng biến trên \(R\).
Cho \(x > 0\) và \(n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 2\). Chọn công thức đúng:
-
A.
\(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{ - \dfrac{{n - 1}}{n}}}\)
-
B.
\(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{\dfrac{{n - 1}}{n}}}\)
-
C.
\(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = n{x^{ - \dfrac{{n - 1}}{n}}}\)
-
D.
\(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{ - \dfrac{{n + 1}}{n}}}\)
Đáp án : A
Sử dụng điều kiện để đẳng thức \(\sqrt[n]{x} = {x^{\dfrac{1}{n}}}\) xảy ra là \(x > 0\) và công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)
Ta có: \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \left( {{x^{\dfrac{1}{n}}}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{\dfrac{1}{n} - 1}} = \dfrac{1}{n}{x^{\dfrac{{1 - n}}{n}}} = \dfrac{1}{n}{x^{ - \dfrac{{n - 1}}{n}}}\)
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(BC = 2a,\widehat {BAC} = {120^0}\), góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}}}{9}\)
-
C.
\({a^3}\sqrt 2 \)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)
Đáp án : B
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot SE\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\SE \bot BC\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = BC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle SEA = {45^0}.\)
\( \Rightarrow \Delta SAE\) vuông cân tại \(A \Rightarrow SA = AE\).
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat A = {120^0},BC = 2a\),
\(AE\) là tia phân giác của \(\widehat A\) \( \Rightarrow \widehat {BAE} = {60^0}\).
Tam giác vuông \(AEB\) có \(\widehat {BAE} = {60^0},BE = \dfrac{1}{2}BC = a \Rightarrow AE = \dfrac{{BE}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{{BE}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = SA\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.SA.\dfrac{1}{2}AE.BC = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.2a = \dfrac{{{a^3}}}{9}\).
Hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
-
A.
\(y = {x^2} - 2\)
-
B.
\(y = {x^4} + {x^2} - 2\)
-
C.
\(y = {x^4} - {x^2} - 2\)
-
D.
\(y = {x^2} + x - 2\)
Đáp án : B
Dựa vào đồ thị hàm số, nhận biết các điểm thuộc đồ thị hàm số và các điểm cực trị của đồ thị từ đó chọn đáp án đúng.
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có dạng là 1 parabol có đỉnh là \(\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow \) loại đáp án A, D.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {1;\,\,0} \right)\) và \(\left( { - 1;\,\,0} \right),\) thay tọa độ các điểm này vào công thức hàm số ở đáp án B và C thấy chỉ có đáp án B thỏa mãn.
có 1 điểm cực trị có tọa là \(\left( {0; - 2} \right)\)
Hàm số $y = - {x^4} - 2{x^2} + 3$ nghịch biến trên:
-
A.
$\left( { - \infty ;0} \right)$
-
B.
$\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$
-
C.
$R$
-
D.
$\left( {0; + \infty } \right)$
Đáp án : D
- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$, tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.
- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+ Các khoảng mà $f'\left( x \right) > 0$ là các khoảng đồng biến của hàm số.
+ Các khoảng mà $f'\left( x \right) < 0$ là các khoảng nghịch biến của hàm số.
TXĐ: $R$.
Ta có:
\(y'=-4x^3-4x=-4x(x^2+1)\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (2m - 4)x - 3.$ Tìm $m$ để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10$
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = \dfrac{1}{2}$
-
C.
$m = 1;m = \dfrac{1}{2}$
-
D.
$m = 3$
Đáp án : C
- Bước 1: Tính $y'$.
- Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị $ \Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
- Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-et để thay $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = S \hfill \\{x_1}{x_2} = P \hfill \\\end{gathered} \right.$ và tìm $m$.
\(y' = {x^2} - 2mx + 2m - 4\)
Để hàm số có cực đại cực tiểu \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0,\forall m \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0,\forall m\)
Khi đó phương trình $y'=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2m\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2m - 4\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} - 10 = 0\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2} - 10 = 0\\ \Leftrightarrow {(2m)^2} - 3.(2m - 4) - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 6m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Cho hàm số $y = \dfrac{{2x + 2017}}{{\left| x \right| + 1}}.$ Mệnh đề nào là đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ và không có tiệm có đứng.
-
B.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1.$
-
C.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $x = - 1;\;\;x = 1.$
-
D.
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $y = - 2;\;\;y = 2$ và không có tiệm cận đứng.
Đáp án : D
Sử dụng định nghĩa tiệm cận:
+) Đường thẳng $y = a$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} y = a;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\mkern 1mu} y = a$.
+) Đường thẳng $x = b$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ khi một trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn$\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} {\mkern 1mu} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} {\mkern 1mu} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} {\mkern 1mu} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} {\mkern 1mu} y = - \infty $.
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} \dfrac{{2x + 2017}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} \dfrac{{2 + \dfrac{{2017}}{x}}}{{1 + \dfrac{1}{x}}} = 2 \Rightarrow y = 2$ là TCN
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\mkern 1mu} \dfrac{{2x + 2017}}{{ - x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} \dfrac{{2 + \dfrac{{2017}}{x}}}{{ - 1 + \dfrac{1}{x}}} = 2 \Rightarrow y = - 2$ là TCN.
Vậy đồ thị hàm số có $2$ tiệm cận ngang là các đường thẳng $y = - 2;y = 2$.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai giá trị cực đại, cực tiểu thỏa mãn \({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0\). Khi đó:
-
A.
Đồ thị hàm số có 3 điểm chung với \(Ox\).
-
B.
Đồ thị hàm số có 2 điểm chung với \(Ox\).
-
C.
Đồ thị hàm số có 1 điểm chung với \(Ox\).
-
D.
Đồ thị hàm số không có điểm chung với \(Ox\).
Đáp án : B
Vì \({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_{CD}} = 0\\{y_{CT}} = 0\end{array} \right.\) hay một trong hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên trục hoành.
Khi đó đồ thị hàm số chỉ có \(2\) giao điểm chung với \(Ox\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
$\mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} f\left( x \right) = 3$
-
B.
Hàm số đồng biến trên khoảng$\left( { - \infty ;3} \right)$
-
C.
Giá trị cực tiểu của hàm số bằng $2$
-
D.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = - 1$
Đáp án : D
Quan sát đồ thị hàm số và rút ra các nhận xét về cực đại, cực tiểu, GTLN, GTNN, khoảng đồng biến, nghịch biến.
A sai vì $y=3$ là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.
B sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right),\left( {2; + \infty } \right)$.
C sai vì $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.
D đúng vì trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng $ - 1$ đạt được tại $x = 2$.
Cho hàm số $y = {x^4} - 2(m + 1){x^2} + m + 2$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm thuộc $\left( C \right)$ có hoành độ bằng $1$. Với giá trị nào của tham số $m$ thì $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = - \dfrac{1}{4}x - 2016$
-
A.
$m = - 1$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = 1$
-
D.
$m = 2$
Đáp án : A
- Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng $1$.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ là $k = y'\left( {{x_0}} \right)$.
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d \Leftrightarrow k.k' = - 1$ với $k'$ là hệ số góc của $d$.
Ta có: $y' = 4{{\text{x}}^3} - 4\left( {m + 1} \right)x$$ \Rightarrow y'\left( 1 \right) = - 4m$
Vì tiếp tuyến $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d$ nên \(k.\left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow k = 4 = y'\left( 1 \right) =-4m\)
Vậy $m$ thỏa mãn đề bài là $m = - 1$
Biết rằng hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt x \ln x\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {1;e} \right]\) tại \(x = {x_0}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
\({x_0} \in \left[ {1;\dfrac{3}{e}} \right].\)
-
B.
\({x_0} \in \left( {\dfrac{3}{e};\sqrt e } \right).\)
-
C.
\({x_0} \in \left[ {\sqrt e ;2} \right].\)
-
D.
\({x_0} \in \left( {2;e} \right].\)
Đáp án : D
- Tính \(f'\left( x \right)\) và giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm \({x_i} \in \left[ {1;{e}} \right]\)
- Tính các giá trị \(f\left( 1 \right),f\left( {{e}} \right)\) và \(f\left( {{x_i}} \right)\).
- So sánh các kết quả tìm \(\max ,\min f\left( x \right)\) và kết luận.
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {1;e} \right]\).
Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {\sqrt x } \right)'.\ln x + \sqrt x .\left( {\ln x} \right)'\)\( = \dfrac{{\ln x}}{{2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x }} = \dfrac{{\ln x + 2}}{{2\sqrt x }}\)
Suy ra \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \ln x + 2 = 0 \Leftrightarrow \ln x = - 2\)\( \Leftrightarrow x = {e^{ - 2}} = \dfrac{1}{{{e^2}}} \notin \left[ {1;e} \right]\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( e \right) = \sqrt e \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;e} \right]} f\left( x \right) = f\left( e \right) = \sqrt e \).
Do đó \(x_0=e\).
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \({4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\).
-
A.
\(T = 2\).
-
B.
\(T = 3\).
-
C.
\(T = \dfrac{{13}}{4}\).
-
D.
\(T = \dfrac{1}{4}\).
Đáp án : A
- Chia cả hai vế cho $9^x$.
- Giải phương trình bậc hai ẩn ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x}$.
\(\begin{array}{l}{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0 \Leftrightarrow 4 - 13.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} + 9.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = 1\\{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = \dfrac{4}{9}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow T = 0 + 2 = 2\end{array}\)
Tập nghiệm của bất phương trình \({3^{\sqrt {2x} + 1}} - {3^{x + 1}} \le {x^2} - 2x\) là:
-
A.
\(\left( {0; + \infty } \right)\)
-
B.
\(\left[ {0;2} \right]\)
-
C.
\(\left[ {2; + \infty } \right)\)
-
D.
\(\left[ {2; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\}\)
Đáp án : D
Chuyển vế, xét hàm số đặc trưng và giải bất phương trình bằng phương pháp hàm số.
ĐK: \(x \ge 0\)
${3^{\sqrt {2x} + 1}} - {3^{x + 1}} \le {x^2} - 2x \Leftrightarrow {3^{\sqrt {2x} + 1}} + 2x \le {3^{x + 1}} + {x^2} \Leftrightarrow {3^{\sqrt {2x} + 1}} + {\left( {\sqrt {2x} } \right)^2} \le {3^{x + 1}} + {x^2}$
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^{t + 1}} + {t^2}\) có \(f'\left( t \right) = {3^{t + 1}}.\ln 3 + 2t > 0\,\,\forall t \ge 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)
Mà \(f\left( {\sqrt {2x} } \right) \le f\left( x \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x} \le x \Leftrightarrow 2x \le {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
Mà \(x \ge 0 \Rightarrow x \in \left[ {2; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\}\)
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A{A_1}\). Thể tích khối chóp \(M.BC{A_1}\) là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
Đáp án : B
- Chứng minh thể tích hai khối tứ diện $MABC$ và $M{A_1}BC$ có thể tích bằng nhau.
- Tính thể tích khối tứ diện $MABC$ và suy ra đáp án.
$\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên có diện tích ${S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$
Ta có $AM = \dfrac{{A{A_1}}}{2} = \dfrac{a}{2}$
Hai tứ diện $MABC$ và $M{A_1}BC$ có chung đỉnh $C$, diện tích hai đáy $MAB$ và $M{A_1}B$ bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, suy ra
${V_{M.BC{A_1}}} = {V_{M.ABC}} = \dfrac{1}{3}AM.{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$
Thể tích khối bát diện đều cạnh \(a\) bằng:
-
A.
\({a^3}\sqrt 2 \)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
Đáp án : D
- Tính thể tích mỗi khối chóp tự giác đều bởi công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
- Tính thể tích khối bát diện đều dựa vào thể tích khối chóp đã tính.
Thể tích khối bát diện đều \(V = 2{V_{S.ABCD}}\)
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Vì ABCD là hình vuông nên \(AC = BD = a\sqrt 2 \Rightarrow OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại O\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
\( \Rightarrow V = 2\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là tâm các hình bình hành \(ABCD,\,\,A'B'C'D',\,\,ABB'A',\,\,BCC'B',\,\,CDD'C',\,\,DAA'D'\). Thể tích khối đa diện có các đỉnh \(M,\,\,P,\,\,Q,\,\,E,\,\,F,\,\,N\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{V}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{V}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{V}{6}\)
-
D.
\(\dfrac{V}{3}\)
Đáp án : C
Đặc biệt hóa, coi \(ABCD.A'B'C'D'\) là khối lập phương cạnh bằng .
Sử dụng công thức tính nhanh thể tích khối bát diện đều cạnh \(a\) là \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Đặc biệt hóa, coi \(ABCD.A'B'C'D'\) là khối lập phương cạnh bằng 1 \( \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 1 = V\).
Dễ thấy \(MNPQEF\) là khối bát diện đều cạnh cạnh \(QE = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \({V_{MNPQEF}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^3}\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{1}{6} = \dfrac{V}{6}\).
Cho hình nón có bán kính đáy bằng $4a$ và chiều cao bằng $3a.$ Diện tích toàn phần của hình nón bằng:
-
A.
$18\pi {a^2}$
-
B.
$12\pi {a^2}$
-
C.
$36\pi {a^2}$
-
D.
$20\pi {a^2}$
Đáp án : C
Diện tích toàn phần của hình nón ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi rl + \pi {r^2}$
Độ dài đường sinh của hình nón $l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = 5a$
Diện tích xung quanh của hình nón ${S_{xq}} = \pi rl = \pi .4a.5a = 20\pi {a^2}$.
Diện tích đáy \({S_d} = \pi {r^2} = \pi {\left( {4a} \right)^2} = 16\pi {a^2}\).
Diện tích toàn phần \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 20\pi {a^2} + 16\pi {a^2} = 36\pi {a^2}\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; - 3;4} \right)\), đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{z}{2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 20\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất. Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt \(\left( P \right)\) theo đường tròn có bán kính bằng :
-
A.
\(\sqrt 5 \)
-
B.
$1$
-
C.
$4$
-
D.
$2$
Đáp án : D
- Nhận xét: $d\left( {A,\left( P \right)} \right) \le d\left( {A,d} \right)$ suy ra GTLN của \(d(A,(P))\) và viết phương trình \((P)\).
- Sử dụng công thức: ${R^2} = {r^2} + {d^2}$ tính bán kính đường tròn giao tuyến.
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right)\) và \(d\) ta có \(AH \le AK\), khi đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow {AK} \) là 1 VTPT.
Gọi \(K\left( {1 + 2t; - 2 + t;2t} \right) \in d \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {2t - 1;t + 1;2t - 4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_d}} \left( {2;1;2} \right)\) là 1 VTCP của \(d\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AK} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow 4t - 2 + t + 1 + 4t - 8 = 0 \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow K\left( {3; - 1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {1;2; - 2} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( P \right):\,\,x - 3 + 2\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2z + 3 = 0\).
Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 20\) có tâm \(I\left( {3;2; - 1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).
Ta có: \(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 2.2 - 2\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \dfrac{{12}}{3} = 4\).
Gọi \(r\) là đường kính đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) ta có:
\({R^2} = {d^2} + {r^2} \Leftrightarrow r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {20 - 16} = 2\).
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC);AC = b,AB = c,\widehat {BAC} = \alpha $. Gọi $B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SC$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $A.{\rm{ }}BCC'B'$ theo $b,c,\alpha $
-
A.
\(R = 2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } \)
-
B.
\(R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin 2\alpha }}\)
-
C.
$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}$
-
D.
$R = \dfrac{{2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin \alpha }}$
Đáp án : C
+ Chứng minh được tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp $ABCC'B'$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
Gọi $AA'$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
\(AC \bot A'C;\,AB \bot A'B\)
Ta chứng minh \(AC' \bot A'C'\)
\(SA \bot A'C;\,AC \bot A'C \Rightarrow A'C \bot AC'\)
Mà \(AC' \bot SC \Rightarrow AC' \bot A'C'\)
Tương tự \(AB' \bot A'B'\)
Như vậy $B,C,C',B'$ cùng nhìn $AA'$ bằng $1$ góc vuông nên $A,B,C,B',C'$ cùng thuộc $1$ mặt cầu có đường kính là $AA'$ và cũng đồng thời là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Tính \(BC = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2b\cos \alpha } \)
Trong tam giác \(ABC:\dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}\)
Tìm giá trị $m$ để phương trình \({2^{\left| {x - 1} \right| + 1}} + {2^{\left| {x - 1} \right|}} + m = 0\) có nghiệm duy nhất
-
A.
$m=3$
-
B.
$m=\dfrac{1}{8}$
-
C.
$m=-3\,$
-
D.
$m=1$
Đáp án : C
Chú ý đến giá trị \(a = \left| {x - 1} \right|\) .
Nếu $a > 0$ thì sẽ luôn có $2$ giá trị của $x$ nên $a$ bắt buộc phải bằng $0$.
Đặt \(\left| {x - 1} \right| = a\) khi đó phương trình trở thành \({2^{a + 1}} + {2^a} + m = 0\) (1)
Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì pt (1) bắt buộc phải có nghiệm duy nhất $a=0$ ( vì nếu $a>0$ thì sẽ tồn tại 2 giá trị của $x$)
Nên ${2^1} + {2^0} + m = 0$. Suy ra $m = - 3$
Cho \(f\left( x \right)\) mà đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên
Bất phương trình \(f\left( x \right) > \sin \dfrac{{\pi x}}{2} + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\) khi và chỉ khi:
-
A.
\(m < f\left( 0 \right)\)
-
B.
\(m < f\left( 1 \right) - 1\)
-
C.
\(m < f\left( { - 1} \right) + 1\)
-
D.
\(m < f\left( 2 \right)\)
Đáp án : B
- Biến đổi bất phương trình về dạng \(g(x)>m\).
- Xét hàm \(y=g(x)\) và tìm GTNN của \(g(x)\).
- Bài toán thỏa khi \(m<\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} g\left( x \right)\)
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) > \sin \dfrac{{\pi x}}{2} + m\,\,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right] \Leftrightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) - \sin \dfrac{{\pi x}}{2} > m\,\,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\\ \Rightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} g\left( x \right)\end{array}\).
Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta suy ra BBT đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau:
Dựa vào BBT ta thấy \(f\left( x \right) \ge f\left( 1 \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\).
\(\begin{array}{l}x \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow \dfrac{{\pi x}}{2} \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow - 1 \le \sin \dfrac{{\pi x}}{2} \le 1\\ \Leftrightarrow - 1 \le - \sin \dfrac{{\pi x}}{2} \le 1\end{array}\)
\( \Rightarrow f\left( 1 \right) - 1 \le f\left( x \right) - \sin \dfrac{{\pi x}}{2} \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge f\left( 1 \right) - 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} g\left( x \right) = f\left( 1 \right) - 1\).
Vậy \(m < f\left( 1 \right) - 1\).
Cho khối đa diện có các mặt đều là tam giác, kí hiệu số mặt là \(M\), số cạnh là \(C\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(2C = 3M\)
-
B.
\(3C = 2M\)
-
C.
\(M = 2C\)
-
D.
\(C = 2M\)
Đáp án : A
Vì mỗi mặt là tam giác nên mỗi mặt có \(3\) cạnh
Do đó M mặt sẽ có \(3M\) cạnh hay đa diện có 3M cạnh.
Tuy nhiên, mỗi cạnh lại là cạnh chung của \(2\) mặt nên mỗi cạnh trên đã được đếm 2 lần.
Số cạnh thực tế của đa diện chỉ là \(C = \frac{{3M}}{2}\) hay \(2C = 3M\).
Cho hình chóp đều $n$ cạnh $(n \ge 3)$. Cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là $R$ và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng ${60^0}$ , thể tích khối chóp bằng $\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}{R^3}$ . Tìm $n$?
-
A.
$n = 4$
-
B.
$n = 8$
-
C.
$n = 10$
-
D.
$n = 6$
Đáp án : D
- Gọi $I$ là trung điểm của ${A_1}{A_2}$.
- Tính \(SO \Rightarrow \) diện tích đa giác đáy.
- Viết công thức tính diện tích đa giác đáy theo \(n\) rồi thử đáp án.
Giả sử đáy là đa giác đều ${A_1}{A_2}...{A_n}$. $O$ là tâm đáy, chóp có chiều cao là $SH$ . Gọi $I$ là trung điểm của ${A_1}{A_2}$
Ta có : $I{A_1} = R.\sin \dfrac{\pi }{n};OI = R.\cos \dfrac{\pi }{n}$
$SO = OI.\tan {60^0} = R.\cos \dfrac{\pi }{n}.\sqrt 3 = R\sqrt 3 .\cos \dfrac{\pi }{n}$
Diện tích đáy : $S = \dfrac{{3V}}{{SO}} = \dfrac{{3.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}.{R^3}}}{{R\sqrt 3 .cos\dfrac{\pi }{n}}} = \dfrac{{9{R^2}}}{{4\cos \dfrac{\pi }{n}}}$
Mà $S = n.\dfrac{1}{2}{R^2}.\sin \dfrac{{2\pi }}{n} \Rightarrow \dfrac{{9{R^2}}}{{4\cos \dfrac{\pi }{n}}} = n.\dfrac{1}{2}.{R^2}.\sin \dfrac{{2\pi }}{n}$
$ \Leftrightarrow n\sin \dfrac{{2\pi }}{n}\cos \dfrac{\pi }{n} = \dfrac{9}{2}$
Thử các giá trị của $n$ ở các đáp án ta được \(n = 6\).
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 5$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ mà tiếp tuyến với đồ thị tại chúng là hai đường thẳng song song?
-
A.
Không tồn tại cặp điểm nào
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số cặp điểm
Đáp án : D
Gọi hệ số góc của hai tiếp tuyến song song là $m$, khi đó số cặp điểm thỏa mãn chính là số cặp nghiệm của phương trình $y' = m$ với $m$ bất kì.
Ta có: $y' = 3{{\text{x}}^2} - 6{\text{x}} + 2$
Số cặp điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ có tiếp tuyến song song nhau
$ \Leftrightarrow $ số cặp nghiệm phương trình $3{{\text{x}}^2} - 6{\text{x}} + 2 = m$ với $m \in R$ thỏa mãn phương trình $3{x^2} - 6x + 2 = m$ có hai nghiệm phân biệt.Có vô số giá trị của $m$ để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt nên có vô số cặp điểm.
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
