Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 3
Đề bài
Chọn kết luận đúng: Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương
-
A.
luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm
-
B.
luôn cắt trục tung tại 1 điểm cực trị của nó
-
C.
nhận trục hoành làm trục đối xứng
-
D.
nhận điểm $O\left( {0;0} \right)$ làm tâm đối xứng
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $R$, có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty $ , khi đó:
-
A.
Hàm số đạt GTNN tại $x = 0$.
-
B.
Hàm số đạt GTLN tại $x = 0$.
-
C.
Hàm số đạt GTNN tại $x = - \infty $.
-
D.
Hàm số không có GTLN và GTNN trên $R$.
Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}\left( {x - 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(\left( {1; + \infty } \right)\)
-
B.
\(\left[ {1; + \infty } \right)\)
-
C.
\(\left( {0; + \infty } \right)\)
-
D.
\(\mathbb{R}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên:
Hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng:
-
A.
\(\left( {1;\,2} \right)\)
-
B.
\(\left( {2;\,\,3} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 1;\,\,0} \right)\)
-
D.
\(\left( { - 1;\,\,1} \right)\)
Xét hàm số \(y = {x^\alpha }\) trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\) có đồ thị dưới đây, chọn kết luận đúng:
-
A.
\(\alpha = 0\)
-
B.
\(\alpha = 1\)
-
C.
\(\alpha > 1\)
-
D.
\(0 < \alpha < 1\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
${\log _2}16 = {\log _3}81$
-
B.
${\log _3}9 = 3$
-
C.
${\log _4}16 = {\log _2}8$
-
D.
${\log _2}4 = {\log _3}6$
Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) được gọi là:
-
A.
tâm đối xứng
-
B.
điểm cực đại
-
C.
điểm cực tiểu
-
D.
điểm cực trị
Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số mặt của hình đa diện ấy”
-
A.
nhỏ hơn
-
B.
nhỏ hơn hoặc bằng
-
C.
bằng
-
D.
lớn hơn
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\).
-
A.
\(P = 2\sqrt 6 - 5\).
-
B.
\(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}\).
-
C.
\(P = {\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2020}}\).
-
D.
\(P = 2\sqrt 6 + 5\).
Khối mười hai mặt đều là khối đa diện đều loại:
-
A.
$\left\{ {3;5} \right\}$
-
B.
$\left\{ {3;6} \right\}$
-
C.
$\left\{ {5;3} \right\}$
-
D.
$\left\{ {4;4} \right\}$
Tính giá trị \({\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^{ - \frac{4}{3}}},\)ta được kết quả là:
-
A.
24
-
B.
12
-
C.
16
-
D.
18
Biết đồ thị các hàm số $y = {x^3} + \dfrac{5}{4}x - 2$ và $y = {x^2} + x - 2$ tiếp xúc nhau tại điểm $M({x_0}\,;\,{y_0})$. Tìm ${x_0}.$
-
A.
${x_0} = \dfrac{3}{2}$.
-
B.
${x_0} = \dfrac{1}{2}$.
-
C.
${x_0} = - \dfrac{5}{2}.$
-
D.
${x_0} = \dfrac{3}{4}.$
Cho các đồ thị hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}\left( {0 < a,b,c \ne 1} \right)\), chọn khẳng định đúng:
-
A.
\(c > a > b\)
-
B.
\(c > b > a\)
-
C.
\(a > c > b\)
-
D.
\(b > a > c\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 2$
-
B.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 1$
-
C.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 2$
-
D.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $y = 1$
Chọn kết luận đúng:
-
A.
Hàm số bậc ba không có cực trị thì đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
-
B.
Hàm số bậc ba có 2 cực trị thì đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
-
C.
Hàm số bậc ba có 2 cực trị thì đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
-
D.
Hàm số bậc ba không có cực trị thì đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $R\backslash \left\{ { - 1;\,1} \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng $y = 2m + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại hai điểm phân biệt.
-
A.
$m \leqslant - 2$ hoặc $m \geqslant 1$
-
B.
$m \geqslant 1$
-
C.
$m < - 2$ hoặc $m > 1$
-
D.
$m \leqslant - 2$
Số mặt phẳng đối xứng của mặt cầu là:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(0\)
-
D.
Vô số
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên:
Bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của đồ thị hàm số nào?
-
A.
\(y = \dfrac{{3x - 2}}{{2x + 3}}\)
-
B.
\(y = \dfrac{{x + 2}}{{2x + 3}}\)
-
C.
\(y = \dfrac{{ - x + 1}}{{2x + 3}}\)
-
D.
\(y = \dfrac{{3x + 2}}{{2x - 1}}\)
Tính giá trị của biểu thức \({3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{25^{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\) có kết quả là:
-
A.
\(25\)
-
B.
\(15\)
-
C.
\(9\)
-
D.
\(5\)
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(4{a^3}\), đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng \({a^2}\). Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
-
A.
\(12a\)
-
B.
\(6a\)
-
C.
\(3a\)
-
D.
\(4a\)
Cho $n \in Z, n>0$, với điều kiện nào của $a$ thì đẳng thức sau xảy ra: ${a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}$?
-
A.
$a > 0$
-
B.
$a = 0$
-
C.
$a \ne 0$
-
D.
$a < 0$
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là tứ giác đều cạnh $a$, biết rằng \(BD' = a\sqrt 6 \) . Tính thể tích của khối lăng trụ?
-
A.
\({a^3}\sqrt 2 \)
-
B.
\({a^3}\sqrt 3 \)
-
C.
\(3{a^3}\)
-
D.
\(2{a^3}\)
Đáy của hình chóp $S.ABCD$ là một hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy và có độ dài là \(a\). Thể tích khối tứ diện \(S.BCD\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)
Hai hình tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì chúng:
-
A.
bằng nhau
-
B.
trùng nhau
-
C.
có các đỉnh trùng nhau
-
D.
có đáy trùng nhau
Cho hai đồ thị hàm số $y = {x^3} + 2{x^2} - x + 1$ và đồ thị hàm số $y = {x^2} - x + 3$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
A.
$0$
-
B.
$3$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
Công thức nào sau đây là công thức tăng trưởng mũ?
-
A.
\(T = A.{e^{Nr}}\)
-
B.
\(T = N.{e^{Ar}}\)
-
C.
\(T = r.{e^{NA}}\)
-
D.
\(T = A.{e^{N - r}}\)
Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện?
-
A.
Hình a
-
B.
Hình c
-
C.
Hình d
-
D.
Hình b
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây là sai?
-
A.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$
-
B.
Hàm số không có cực trị
-
C.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 2$
-
D.
Hàm số đồng biến trên $R$
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?
-
A.
$y = - {x^4} - 2{x^2} + 3$
-
B.
$y = {x^4} - 2{x^2} - 3$
-
C.
$y = - {x^4} - 2{x^2} - 3$
-
D.
$y = {x^4} + 2{x^2} - 3$
Với điều kiện các logarit đều có nghĩa, chọn mệnh đề đúng:
-
A.
${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _b}c$
-
B.
${\log _a}\dfrac{b}{c} = {\log _a}b + {\log _a}c$
-
C.
${\log _a}\dfrac{b}{c} = \dfrac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}$
-
D.
${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$
Cho hàm số: $f(x) = - 2{x^3} + 3{x^2} + 12x - 5.$ Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?
-
A.
Trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$ thì $f(x)$ đồng biến
-
B.
Trên khoảng $\left( { - 3; - 1} \right)$ thì $f(x)$ nghịch biến
-
C.
Trên khoảng $\left( {5;10} \right)$ thì $f(x)$ nghịch biến
-
D.
Trên khoảng $\left( { - 1;3} \right)$ thì $f(x)$ nghịch biến
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ có $2$ điểm cực trị $A,\;B.$ Diện tích tam giác $OAB\;$ với $O(0;0)$ là gốc tọa độ bằng:
-
A.
\(2\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(3\)
Cho hàm số $y = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx.$ Tìm $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A, B$ sao cho đường thẳng $AB$ vuông góc với $d:\,x - y - 9 = 0$
-
A.
$m = 0$
-
B.
$m = - 1$
-
C.
$m = 0;\,m = 2$
-
D.
$m = 1;\,m = 2$
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 3}}{{{x^2} + x - 2}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R}\), \(c \ne 0\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(3\). Giá trị của \(f\left( { - 2} \right)\) bằng:
-
A.
\( - 3\)
-
B.
\( - 5\)
-
C.
\( - 2\)
-
D.
\( - 1\)
Cho hàm số $y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}$ có bảng biến thiên:
Giá trị của ${c^2} - {d^2}$ bằng:
-
A.
$-3$
-
B.
$0$
-
C.
$2$
-
D.
$4$
Tìm $m$ để phương trình ${x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} + m = 0$ có nghiệm trên $\left( { - \infty ;1} \right]$.
-
A.
$m \geqslant - 2$
-
B.
$m > 2$
-
C.
$m \leqslant - 2$
-
D.
$m < 2$
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + x + 2$ song song với đường thẳng $y = - 2x + 5$ có phương trình là:
-
A.
$2x + y - \dfrac{{10}}{3} = 0$ và $2x + y - 2 = 0$
-
B.
$2x + y + \dfrac{4}{3} = 0$ và $2x + y + 2 = 0$
-
C.
$2x + y - 4 = 0$ và $2x + y - 1 = 0$
-
D.
$y = 2x + y - 3 = 0$ và $2x + y + 1 = 0$
Số \(9465779232\) có bao nhiêu ước số nguyên dương?
-
A.
\(240\)
-
B.
\(630\)
-
C.
\(7200\)
-
D.
\(2400\)
Nếu $\log_a b{\rm{ }} = {\rm{ }}p$ thì $\log_a{a^2}{b^4}$ bằng:
-
A.
${a^2}{p^4}$
-
B.
$4p{\rm{ }} + {\rm{ }}2$
-
C.
$4p{\rm{ }} + {\rm{ }}2a$
-
D.
${p^4} + 2a$
Cho các phát biểu sau:
(I). Nếu \(C = \sqrt {AB} \) thì \(2\ln C = \ln A + \ln B\) với $A, B$ là các biểu thức luôn nhận giá trị dương.
(II). \(\left( {a - 1} \right){\log _a}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) với \(a > 0,a \ne 1\)
(III). \({m^{{{\log }_a}m}} = {n^{{{\log }_a}n}},\) với \(m,n > 0\) và \(a > 0,a \ne 1\)
(IV).\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\log _{\frac{1}{2}}}x = - \infty \)
Số phát biểu đúng là
-
A.
$4$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$1$
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}}} \right)\).
-
A.
\(D = ( - \infty ;1)\)
-
B.
\(D = {\rm{[}}1; + \infty )\)
-
C.
\(D = ( - \infty ;1]\)
-
D.
\(D = (1; + \infty )\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, \(AB = 4,SA = SB = SC = 12\). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm AC, BC, AB. Trên cạnh SB lấy điểm F sao cho \(\dfrac{{BF}}{{BS}} = \dfrac{2}{3}\). Thể tích khối tứ diện \(MNEF\) bằng
-
A.
$\dfrac{{8\sqrt {34} }}{9}$
-
B.
\(\dfrac{{16\sqrt {34} }}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{{16\sqrt {34} }}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{4\sqrt {34} }}{3}\)
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với \(AB = \sqrt 3 ,AD = \sqrt 7 \). Hai mặt bên $\left( {ABB'A'} \right)$ và $\left( {ADD'A'} \right)$ lần lượt tạo với đáy những góc \({45^0}\) và \({60^0}\). Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng $1$.
-
A.
\(V = 3\)
-
B.
\(V = 2\)
-
C.
\(V = 4\)
-
D.
\(V = 8\)
Cho hình chóp \(S.ABC\), đáy là tam giác \(ABC\) có \(AB = BC\sqrt 5 \), \(AC = 2BC\sqrt 2 \), hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(O\) của cạnh \(AC\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng 2. Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) hợp với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc \(\alpha \) thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\dfrac{{\sqrt a }}{b}\), trong đó \(a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), \(a\) là số nguyên tố. Tổng \(a + b\) bằng:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(7\)
-
D.
\(4\)
Bà Hoa gửi $100$ triệu vào tài khoản định kì tính lãi suất là $8\% $ một năm. Sau 5 năm, bà rút toàn bộ số tiền và dùng một nửa để sửa nhà, còn một nửa tiền bà lại đem gửi ngân hàng trong 5 năm với cùng lãi suất. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.
-
A.
$81,412$ triệu
-
B.
$115,892$ triệu
-
C.
$119$ triệu
-
D.
$78$ triệu
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m} \right|\) có 5 điểm cực trị?
-
A.
\(26\).
-
B.
\(27\).
-
C.
\(16\).
-
D.
\(28\).
Cho hàm số \(y = \dfrac{x}{{1 - x}}\,\,\left( C \right)\) và điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\). Tìm \(m\) để đường thẳng \(d:\,\,y = mx - m - 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(M,\,\,N\) sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
\(m = - 1\)
-
B.
\(m = 0\)
-
C.
\(m = - 2\)
-
D.
\(m = - \dfrac{2}{3}\)
Cho \(f\left( x \right)\) mà đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên
Bất phương trình \(f\left( x \right) > \sin \dfrac{{\pi x}}{2} + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\) khi và chỉ khi:
-
A.
\(m < f\left( 0 \right)\)
-
B.
\(m < f\left( 1 \right) - 1\)
-
C.
\(m < f\left( { - 1} \right) + 1\)
-
D.
\(m < f\left( 2 \right)\)
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích \(V\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BB'\) sao cho \(MB = 2MB'\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(AC'\) cắt các cạnh \(DD'\), \(DC\), \(BC\) lần lượt tại \(N\), \(P\), \(Q\). Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối đa diện \(CPQMNC'\).Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\).
-
A.
\(\dfrac{{31}}{{162}}\)
-
B.
\(\dfrac{{35}}{{162}}\)
-
C.
\(\dfrac{{34}}{{162}}\)
-
D.
\(\dfrac{{13}}{{162}}\)
Lời giải và đáp án
Chọn kết luận đúng: Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương
-
A.
luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm
-
B.
luôn cắt trục tung tại 1 điểm cực trị của nó
-
C.
nhận trục hoành làm trục đối xứng
-
D.
nhận điểm $O\left( {0;0} \right)$ làm tâm đối xứng
Đáp án : B
Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương luôn cắt trục tung tại điểm $\left( {0;c} \right)$ chính là cực trị của đồ thị hàm số.
Ngoài ra, đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương cũng có thể không cắt $Ox$ nên A sai.
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng chứ không phải trục hoành nên C sai.
Đồ thị không có tâm đối xứng nên D sai.
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $R$, có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty $ , khi đó:
-
A.
Hàm số đạt GTNN tại $x = 0$.
-
B.
Hàm số đạt GTLN tại $x = 0$.
-
C.
Hàm số đạt GTNN tại $x = - \infty $.
-
D.
Hàm số không có GTLN và GTNN trên $R$.
Đáp án : D
Hàm số $y = f\left( x \right)$ có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = - \infty $ thì không có GTLN, GTNN.
Hàm số $y = f\left( x \right)$ có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty $ thì không có GTLN, GTNN trên $R$ vì không tồn tại số $M,m$ để $f\left( x \right) \leqslant M,f\left( x \right) \geqslant m,\forall x \in R$.
Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}\left( {x - 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(\left( {1; + \infty } \right)\)
-
B.
\(\left[ {1; + \infty } \right)\)
-
C.
\(\left( {0; + \infty } \right)\)
-
D.
\(\mathbb{R}\)
Đáp án : A
Hàm số \(y = {\log _a}f\left( x \right)\) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0.\)
Hàm số \(y = {\log _a}f\left( x \right)\) nghịch biến trên TXĐ \( \Leftrightarrow 0 < a < 1.\)
Xét hàm số \(y = {\log _{\frac{e }{3}}}\left( {x - 1} \right)\) có TXĐ: \(D = \left( {1; + \infty } \right)\) và \(a = \frac{e }{3} < 1\)
\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên:
Hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng:
-
A.
\(\left( {1;\,2} \right)\)
-
B.
\(\left( {2;\,\,3} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 1;\,\,0} \right)\)
-
D.
\(\left( { - 1;\,\,1} \right)\)
Đáp án : A
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y = f\left( x \right)\) từ đó suy ra tính đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y = - 2f\left( x \right).\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) và \(\left( {2;\, + \infty } \right).\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\,\,2} \right).\)
Xét hàm số: \(y = - 2f\left( x \right)\) ta có: \(y' = - 2f'\left( x \right).\)
Hàm số đồng biến \( \Leftrightarrow - 2f'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.\)
Vậy hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến \( \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\,2} \right].\)
Xét hàm số \(y = {x^\alpha }\) trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\) có đồ thị dưới đây, chọn kết luận đúng:
-
A.
\(\alpha = 0\)
-
B.
\(\alpha = 1\)
-
C.
\(\alpha > 1\)
-
D.
\(0 < \alpha < 1\)
Đáp án : D
Sử dụng các dáng đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) ứng với các điều kiện khác nhau của \(\alpha \):
Từ hình vẽ ta thấy \(1 < {2^\alpha } < 2 \Rightarrow 0 < \alpha < 1\)
.
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
${\log _2}16 = {\log _3}81$
-
B.
${\log _3}9 = 3$
-
C.
${\log _4}16 = {\log _2}8$
-
D.
${\log _2}4 = {\log _3}6$
Đáp án : A
Sử dụng công thức ${\log _a}{a^b} = b$ với $0<a\ne 1$.
Ta có: ${\log _2}16 = {\log _2}{2^4} = 4$; ${\log _3}81 = {\log _3}{3^4} = 4$ nên ${\log _2}16 = {\log _3}81$.
Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) được gọi là:
-
A.
tâm đối xứng
-
B.
điểm cực đại
-
C.
điểm cực tiểu
-
D.
điểm cực trị
Đáp án : A
Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) được gọi là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số mặt của hình đa diện ấy”
-
A.
nhỏ hơn
-
B.
nhỏ hơn hoặc bằng
-
C.
bằng
-
D.
lớn hơn
Đáp án : D
Sử dụng phương pháp chọn điểm rơi, lấy ví dụ cho hình tứ diện để chọn đáp án.
Hình tứ diện có \(6\) cạnh và \(4\) đỉnh nên số cạnh của tứ diện lớn hơn số mặt của nó.
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\).
-
A.
\(P = 2\sqrt 6 - 5\).
-
B.
\(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}\).
-
C.
\(P = {\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2020}}\).
-
D.
\(P = 2\sqrt 6 + 5\).
Đáp án : D
- Áp dụng công thức \({a^m}.{b^m} = {\left( {ab} \right)^m}.\)
- Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} - {b^2}\).
\(\begin{array}{l}P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\\\,\,\,\,\, = {\left[ {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)} \right]^{2020}}.\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)\\\,\,\,\, = {\left( {24 - 25} \right)^{2020}}.\left( {2\sqrt 6 + 5} \right) = 2\sqrt 6 + 5\end{array}\)
Khối mười hai mặt đều là khối đa diện đều loại:
-
A.
$\left\{ {3;5} \right\}$
-
B.
$\left\{ {3;6} \right\}$
-
C.
$\left\{ {5;3} \right\}$
-
D.
$\left\{ {4;4} \right\}$
Đáp án : C
Khối mười hai mặt đều thuộc loại \(\left\{ {5;3} \right\}\).
Tính giá trị \({\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^{ - \frac{4}{3}}},\)ta được kết quả là:
-
A.
24
-
B.
12
-
C.
16
-
D.
18
Đáp án : A
Sử dụng công thức \(\dfrac{1}{{{x^m}}} = {x^{ - m}},\,\,{\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{mn}}\).
\({\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} = {16^{0,75}} + {8^{\frac{4}{3}}} = {\left( {{2^4}} \right)^{\frac{3}{4}}} + {\left( {{2^3}} \right)^{\frac{4}{3}}} = {2^3} + {2^4} = 24\).
Biết đồ thị các hàm số $y = {x^3} + \dfrac{5}{4}x - 2$ và $y = {x^2} + x - 2$ tiếp xúc nhau tại điểm $M({x_0}\,;\,{y_0})$. Tìm ${x_0}.$
-
A.
${x_0} = \dfrac{3}{2}$.
-
B.
${x_0} = \dfrac{1}{2}$.
-
C.
${x_0} = - \dfrac{5}{2}.$
-
D.
${x_0} = \dfrac{3}{4}.$
Đáp án : B
- Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc là hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) = g\left( x \right) \hfill \\ f'\left( x \right) = g'\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có nghiệm.
- Giải hệ trên tìm $x$.
Hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + \dfrac{5}{4}x - 2 = {x^2} + x - 2\\3{x^2} + \dfrac{5}{4} = 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} + \dfrac{1}{4}x = 0\\3{x^2} - 2x + \dfrac{1}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{1}{6}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Vậy $x = \dfrac{1}{2}$ là hoành độ điểm tiếp xúc.
Cho các đồ thị hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}\left( {0 < a,b,c \ne 1} \right)\), chọn khẳng định đúng:
-
A.
\(c > a > b\)
-
B.
\(c > b > a\)
-
C.
\(a > c > b\)
-
D.
\(b > a > c\)
Đáp án : A
- Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.
+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn \(1\).
+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn \(0\) và nhỏ hơn \(1\).
- Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.
- Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.
Ta thấy:
- Hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến nên \(0 < b < 1\).
- Hàm số \(y = {a^x},y = {c^x}\) đồng biến nên \(a,c > 1 > b\), loại B và D.
- Xét phần đồ thị hai hàm số \(y = {a^x},y = {c^x}\) ta thấy phần đồ thị hàm số \(y = {c^x}\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nên \({c^x} > {a^x},\forall x > 0 \Leftrightarrow c > a\).
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 2$
-
B.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 1$
-
C.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 2$
-
D.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $y = 1$
Đáp án : C
Quan sát bảng biến thiên và tìm các tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 2$ nên $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty $ nên $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Chọn kết luận đúng:
-
A.
Hàm số bậc ba không có cực trị thì đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
-
B.
Hàm số bậc ba có 2 cực trị thì đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
-
C.
Hàm số bậc ba có 2 cực trị thì đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
-
D.
Hàm số bậc ba không có cực trị thì đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
Đáp án : A
Nhận xét giao điểm của các loại đồ thị hàm số bậc ba với trục hoành và kết luận.
- Hàm số bậc ba không có cực trị thì nó đơn điệu tăng hoặc giảm trên $R$ nên đồ thị luôn cắt trục hoành tại $1$ điểm duy nhất nên A đúng, D sai.
- Hàm số bậc ba có 2 cực trị thì đồ thị có thể cắt trục hoành tại $1,2$ hoặc $3$ điểm nên B, C sai.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $R\backslash \left\{ { - 1;\,1} \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng $y = 2m + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại hai điểm phân biệt.
-
A.
$m \leqslant - 2$ hoặc $m \geqslant 1$
-
B.
$m \geqslant 1$
-
C.
$m < - 2$ hoặc $m > 1$
-
D.
$m \leqslant - 2$
Đáp án : C
- Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào số giao điểm của đường thẳng và đường cong vừa vẽ được.
Quan sát BBT ta thấy đường thẳng $y = 2m + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}2m + 1 < - 3 \hfill \\ 2m + 1 > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - 2 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .
Số mặt phẳng đối xứng của mặt cầu là:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(0\)
-
D.
Vô số
Đáp án : D
Mọi mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu đều là mặt phẳng đối xứng của mặt cầu.
Vậy có vô số mặt phẳng đối xứng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên:
Bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của đồ thị hàm số nào?
-
A.
\(y = \dfrac{{3x - 2}}{{2x + 3}}\)
-
B.
\(y = \dfrac{{x + 2}}{{2x + 3}}\)
-
C.
\(y = \dfrac{{ - x + 1}}{{2x + 3}}\)
-
D.
\(y = \dfrac{{3x + 2}}{{2x - 1}}\)
Đáp án : B
- Tìm các tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số và đối chiếu với các đáp án bài cho.
Nhận xét: Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có $\left\{ \begin{align}& \xrightarrow{TCD}x=-\dfrac{3}{2} \\ & \xrightarrow{TCN}y=\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \right.$
Vậy hàm số đó là \(y = \dfrac{{x + 2}}{{2x + 3}}\).
Tính giá trị của biểu thức \({3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{25^{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\) có kết quả là:
-
A.
\(25\)
-
B.
\(15\)
-
C.
\(9\)
-
D.
\(5\)
Đáp án : C
Sử dụng các công thức \(\sqrt[m]{{{a^n}}} = {a^{\dfrac{m}{n}}},\,\,{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{25^{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\\ = {3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{5^{2 + 2\sqrt 2 }}\\ = {3^2}\\ = 9\end{array}\)
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(4{a^3}\), đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng \({a^2}\). Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
-
A.
\(12a\)
-
B.
\(6a\)
-
C.
\(3a\)
-
D.
\(4a\)
Đáp án : C
Sử dụng tỉ số thể tích để tính \({V_{SABM}}\).
Áp dụng công thức tính thể tích để suy ra \({d_{M;\left( {SAB} \right)}}\)
Vì M là trung điểm của SD nên \(\frac{{{V_{SABM}}}}{{{V_{SABD}}}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{1}{2}\)
Mà \(\frac{{{V_{SABD}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{SABD}} = \frac{1}{2}.4{a^3} = 2{a^3}\)
\( \Rightarrow {V_{SABM}} = {a^3} = \frac{1}{3}.d\left( {M;\left( {SAB} \right)} \right).{S_{SAB}} \Leftrightarrow d\left( {M;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{3{a^3}}}{{{a^2}}} = 3a\)
Cho $n \in Z, n>0$, với điều kiện nào của $a$ thì đẳng thức sau xảy ra: ${a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}$?
-
A.
$a > 0$
-
B.
$a = 0$
-
C.
$a \ne 0$
-
D.
$a < 0$
Đáp án : C
Với $a \ne 0, n\in Z, n>0$ thì ${a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}$.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là tứ giác đều cạnh $a$, biết rằng \(BD' = a\sqrt 6 \) . Tính thể tích của khối lăng trụ?
-
A.
\({a^3}\sqrt 2 \)
-
B.
\({a^3}\sqrt 3 \)
-
C.
\(3{a^3}\)
-
D.
\(2{a^3}\)
Đáp án : D
- Tính diện tích đáy \({S_{A'B'C'D'}}\) và độ dài đường cao \(BB'\).
- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức \(V = Sh\).
Vì $A'B'C'D'$ là hình vuông cạnh $a$ nên \(B'D' = a\sqrt 2 \)
\(BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot B'D' \Rightarrow \Delta BB'D'\) vuông tại \(B' \Rightarrow BB' = \sqrt {BD{'^2} - B'D{'^2}} = \sqrt {6{a^2} - 2{a^2}} = 2a\)
Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = BB'.{S_{ABCD}} = 2a.{a^2} = 2{a^3}\)
Đáy của hình chóp $S.ABCD$ là một hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy và có độ dài là \(a\). Thể tích khối tứ diện \(S.BCD\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)
Đáp án : A
- Bước 1: Tính diện tích đáy \({S_{\Delta BCD}}\)
- Bước 2: Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Ta có: \({S_{\Delta BCD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}{a^2}\)
\({V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\)
Hai hình tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì chúng:
-
A.
bằng nhau
-
B.
trùng nhau
-
C.
có các đỉnh trùng nhau
-
D.
có đáy trùng nhau
Đáp án : A
Hai tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau.
Cho hai đồ thị hàm số $y = {x^3} + 2{x^2} - x + 1$ và đồ thị hàm số $y = {x^2} - x + 3$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
A.
$0$
-
B.
$3$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
Đáp án : D
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.
- Nêu mối quan hệ giữa số nghiệm của phương trình và số giao điểm.
- Giải phương trình tìm nghiệm và suy ra đáp số.
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình:
$\begin{gathered}{x^3} + 2{x^2} - x + 1 = {x^2} - x + 3 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \hfill \\ \end{gathered} $
Như vậy hai đồ thị có $1 $ điểm chung.
Công thức nào sau đây là công thức tăng trưởng mũ?
-
A.
\(T = A.{e^{Nr}}\)
-
B.
\(T = N.{e^{Ar}}\)
-
C.
\(T = r.{e^{NA}}\)
-
D.
\(T = A.{e^{N - r}}\)
Đáp án : A
Công thức lãi kép (hoặc công thức tăng trưởng mũ):
\(T = A.{e^{Nr}}\), ở đó \(A\) là số tiền gửi ban đầu, \(r\) là lãi suất, \(N\) là số kì hạn.
Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện?
-
A.
Hình a
-
B.
Hình c
-
C.
Hình d
-
D.
Hình b
Đáp án : A
Sử dụng tính chất khối đa diện: mối cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt.
Trong các hình đã cho chỉ có hình a) là khối đa diện.
Hình b) có 3 cạnh ở trên không phải cạnh chung của 2 mặt, hình c) và d) có 1 cạnh là không là cạnh chung của 2 mặt.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây là sai?
-
A.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 1$
-
B.
Hàm số không có cực trị
-
C.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 2$
-
D.
Hàm số đồng biến trên $R$
Đáp án : D
Quan sát bảng biến thiên và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
A đúng vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = 1\)
B đúng vì hàm số luôn đồng biến nên không có cực trị
C đúng vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang \(y = 2\)
D sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) chứ không đồng biến trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\)
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?
-
A.
$y = - {x^4} - 2{x^2} + 3$
-
B.
$y = {x^4} - 2{x^2} - 3$
-
C.
$y = - {x^4} - 2{x^2} - 3$
-
D.
$y = {x^4} + 2{x^2} - 3$
Đáp án : D
Quan sát đồ thị hàm số và nhận xét dáng điệu đồ thị, điểm cực đại, cực tiểu, đối chiếu các đáp án đã cho.
Từ dáng đồ thị ta có $a > 0$ nên loại A, C
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $\left( {0; - 3} \right).$
Do hàm số chỉ có một điểm cực trị nên $y' = 0$ phải có duy nhất một nghiệm ${x_0}$ và $y\left( {{x_0}} \right) = - 3.$
Kiểm tra ta chỉ thấy đáp án D là phù hợp.
Ngoài ra, đáp án B bị loại vì phương trình $y'=0$ ở đáp án B có $3$ nghiệm phân biệt.
Với điều kiện các logarit đều có nghĩa, chọn mệnh đề đúng:
-
A.
${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _b}c$
-
B.
${\log _a}\dfrac{b}{c} = {\log _a}b + {\log _a}c$
-
C.
${\log _a}\dfrac{b}{c} = \dfrac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}c}}$
-
D.
${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$
Đáp án : D
Sử dụng các công thức logrit của tích, thương:
${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)$
${\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c\left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)$
Ta có: ${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)$
${\log _a}\left( {\dfrac{b}{c}} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c\left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)$
Cho hàm số: $f(x) = - 2{x^3} + 3{x^2} + 12x - 5.$ Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?
-
A.
Trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$ thì $f(x)$ đồng biến
-
B.
Trên khoảng $\left( { - 3; - 1} \right)$ thì $f(x)$ nghịch biến
-
C.
Trên khoảng $\left( {5;10} \right)$ thì $f(x)$ nghịch biến
-
D.
Trên khoảng $\left( { - 1;3} \right)$ thì $f(x)$ nghịch biến
Đáp án : D
Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.
- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$, tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.
- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+ Các khoảng mà $f'\left( x \right) > 0$ là các khoảng đồng biến của hàm số.
+ Các khoảng mà $f'\left( x \right) < 0$ là các khoảng nghịch biến của hàm số.
$f\left( x \right) = - 2{x^3} + 3{x^2} + 12x - 5 \Rightarrow f'\left( x \right) = - 6{x^2} + 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2;x = - 1$
Ta có: $y' < 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right);\left( {2; + \infty } \right)$ và $y' > 0,\forall x \in \left( { - 1 ; 2} \right)$ nên nó đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;2} \right)$.
Đối chiếu với các đáp án đã cho ta thấy các Đáp án A, B, C đều đúng vì các khoảng đó đều là khoảng nằm trong khoảng nghịch biến hoặc đồng biến của hàm số, chỉ có đáp án D sai.
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ có $2$ điểm cực trị $A,\;B.$ Diện tích tam giác $OAB\;$ với $O(0;0)$ là gốc tọa độ bằng:
-
A.
\(2\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : A
- Xác định tọa độ 2 điểm cực trị $A,\;B.$
- Tính diện tích tam giác $OAB$ theo công thức: $S = \dfrac{1}{2}a.h$ (với $a$ là độ dài đáy, $h$ là độ dài đường cao tương ứng với đáy đã chọn).
$\begin{array}{*{20}{l}}{y = {x^3} - 3x + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3}\\{y' = 0 \Leftrightarrow x = {\rm{\;}} \pm 1}\end{array}$
Tọa độ $2$ điểm cực trị : $A(1;{\mkern 1mu} 0),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B( - 1;4)$
Khi đó ${S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}.OA.{d(B,OA)} = \dfrac{1}{2}.\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = \dfrac{1}{2}.\left| 1 \right|.\left| 4 \right| = 2$
Cho hàm số $y = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx.$ Tìm $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A, B$ sao cho đường thẳng $AB$ vuông góc với $d:\,x - y - 9 = 0$
-
A.
$m = 0$
-
B.
$m = - 1$
-
C.
$m = 0;\,m = 2$
-
D.
$m = 1;\,m = 2$
Đáp án : C
- Bước 1: Tính $y'$.
- Bước 2: Lấy $y$ chia $y'$ ta được đa thức dư $g\left( x \right) = mx + n$ là đường thẳng đi qua hai cực trị.
- Bước 3: Đường thẳng $d$ vuông góc $d' \Leftrightarrow {k_d}.{k_{d'}} = - 1$.
$y' = 6{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 6m$
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A,B\) \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' = 9{\left( {m + 1} \right)^2} - 36m > 0\) \( \Leftrightarrow 9{m^2} - 18m + 9 > 0\) \( \Leftrightarrow 9{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\) \( \Leftrightarrow m \ne 1\)
Khi đó,
$y = y'.\left( \dfrac{1}{3}x -\dfrac{{m + 1}}{6} \right) + \left[ {4m - {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right]x + m\left( {m + 1} \right)$
Đường thẳng \(AB:\) \(y = \left[ {4m - {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right]x + m\left( {m + 1} \right)\) có hệ số góc $k={4m - {{\left( {m + 1} \right)}^2}}$
Đường thẳng \(d:\,y = x - 9\) có hệ số góc $k=1$
\(\begin{array}{l}AB \bot d\\ \Leftrightarrow \left[ {4m - {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right].1 = - 1\\ \Leftrightarrow 4m - {m^2} - 2m - 1 = - 1\\ \Leftrightarrow - {m^2} + 2m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 3}}{{{x^2} + x - 2}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Đáp án : C
Đường thẳng $x = {x_0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm phân thức $y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ nếu ${x_0}$ là nghiệm của đa thức $g\left( x \right)$ nhưng không phải nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$
Dễ thấy đa thức dưới mẫu có hai nghiệm $x = 1$ và $x = - 2$ và hai nghiệm này đều không phải nghiệm của tử thức.
$ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số đã cho có $2$ tiệm cận đứng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{R}\), \(c \ne 0\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(3\). Giá trị của \(f\left( { - 2} \right)\) bằng:
-
A.
\( - 3\)
-
B.
\( - 5\)
-
C.
\( - 2\)
-
D.
\( - 1\)
Đáp án : D
- Dựa vào dấu \(f'\left( x \right)\) xác định GTLN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;2} \right]\).
- Dựa vào TXĐ của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và điểm đi qua \(\left( {0; - 3} \right)\), biểu diễn 3 trong 4 ẩn \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) theo ẩn còn lại.
- Tính \(f\left( { - 2} \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\), do đó \(f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {1;2} \right)\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow \frac{{2a + b}}{{2c + d}} = 3\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\} \Rightarrow \) \( - c + d = 0 \Leftrightarrow c = d\).
Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {0; - 3} \right)\) \( \Rightarrow \frac{{ad - bc}}{{{d^2}}} = - 3\).
\( \Rightarrow \frac{{ad - bd}}{{{d^2}}} = - 3 \Leftrightarrow a - b = - 3d = - 3c\).
Lại có \(\frac{{2a + b}}{{2c + d}} = 3 \Leftrightarrow \frac{{2a + b}}{{2c + c}} = 3\) \( \Leftrightarrow 2a + b = 9c\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = - 3c\\2a + b = 9c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2c\\b = 5c\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y = \frac{{2cx + 5c}}{{cx + c}}\).
Vậy \(y\left( { - 2} \right) = \frac{{ - 4c + 5c}}{{ - 2c + c}} = - 1\).
Cho hàm số $y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}$ có bảng biến thiên:
Giá trị của ${c^2} - {d^2}$ bằng:
-
A.
$-3$
-
B.
$0$
-
C.
$2$
-
D.
$4$
Đáp án : B
- Quan sát bảng biến thiên, tìm các đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.
- Tìm $c,d \Rightarrow {c^2} - {d^2}$
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}$ có $\left\{ \begin{gathered} \xrightarrow{{TCD}}x = - \dfrac{d}{c} = - 1 \hfill \\ \xrightarrow{{TCN}}y = \dfrac{2}{c} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} c = 1 \hfill \\ d = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {c^2} - {d^2} = {1^2} - {1^2} = 0$
Tìm $m$ để phương trình ${x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} + m = 0$ có nghiệm trên $\left( { - \infty ;1} \right]$.
-
A.
$m \geqslant - 2$
-
B.
$m > 2$
-
C.
$m \leqslant - 2$
-
D.
$m < 2$
Đáp án : A
- Nêu mối quan hệ giữa số nghiệm của phương trình và số giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$.
- Khảo sát hàm số $y = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} $ trên $\left( { - \infty ;1} \right]$ và từ đó suy ra điều kiện của $m$.
Ta có số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị (C): $y = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} $ và đường thẳng d: $y = - m$.
Xét hàm số (C): $y = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} $ có: $y' = 5{x^4} + 3{x^2} + \dfrac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} > 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)$$ \Rightarrow $ hàm số luôn đồng biến trên $\left( { - \infty ;1} \right]$.
Lại có $y\left( 1 \right) = 2$.
Ta có BBT:
Theo BBT ta thấy pt có nghiệm $ \Leftrightarrow - m \leqslant 2 \Leftrightarrow m \geqslant - 2$.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + x + 2$ song song với đường thẳng $y = - 2x + 5$ có phương trình là:
-
A.
$2x + y - \dfrac{{10}}{3} = 0$ và $2x + y - 2 = 0$
-
B.
$2x + y + \dfrac{4}{3} = 0$ và $2x + y + 2 = 0$
-
C.
$2x + y - 4 = 0$ và $2x + y - 1 = 0$
-
D.
$y = 2x + y - 3 = 0$ và $2x + y + 1 = 0$
Đáp án : A
Tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = - 2x + 5$ thì có hệ số góc bằng với hệ số góc của đường thẳng nên $y' = - 2$.
Giải phương trình $y' = - 2$ tìm các nghiệm rồi suy ra tọa độ tiếp điểm, từ đó viết được phương trình tiếp tuyến.
Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình $y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$
Tiếp tuyến $(d)$ song song với đường thẳng $y = - 2x + 5$ nên có hệ số góc .
Suy ra $y' = - 2$ hay ${x^2} - 4x + 1 = - 2 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$ $ \Rightarrow \left[ \begin{gathered}x = 1,y = \dfrac{4}{3} \hfill \\x = 3,y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Với $x = 1;y = \dfrac{4}{3}$ thì ${d_1}:y = - 2\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$ hay ${d_1}:y = - 2x + \dfrac{{10}}{3}$
Với $x = 3;y = - 4$ thì ${d_2}:y = - 2\left( {x - 3} \right) - 4$ hay ${d_2}:y = - 2x + 2$
Số \(9465779232\) có bao nhiêu ước số nguyên dương?
-
A.
\(240\)
-
B.
\(630\)
-
C.
\(7200\)
-
D.
\(2400\)
Đáp án : B
Phân tích số đã cho ra thừa số nguyên tố: \(M = {x^m}.{y^n}.{z^t}\) thì \(M\) có \(\left( {m + 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {t + 1} \right)\) ước nguyên dương.
Ta có: \(9465779232 = {2^5}{.3^6}{.7^4}{.13^2}\)
Như vậy số đã cho có số ước nguyên dương là: \(\left( {5 + 1} \right)\left( {6 + 1} \right)\left( {4 + 1} \right)\left( {2 + 1} \right) = 630\) ước.
Nếu $\log_a b{\rm{ }} = {\rm{ }}p$ thì $\log_a{a^2}{b^4}$ bằng:
-
A.
${a^2}{p^4}$
-
B.
$4p{\rm{ }} + {\rm{ }}2$
-
C.
$4p{\rm{ }} + {\rm{ }}2a$
-
D.
${p^4} + 2a$
Đáp án : B
Lần lượt áp dụng các công thức:
${\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y$
${\log _a}{b^n} = n{\log _a}b$
${\log _a}a = 1$
Ta có: $\log_a{a^2}{b^4} = \log_a{a^2} + \log_a{b^4} $ $= 2\log_a a + 4\log_a b = 2 + 4p$
Cho các phát biểu sau:
(I). Nếu \(C = \sqrt {AB} \) thì \(2\ln C = \ln A + \ln B\) với $A, B$ là các biểu thức luôn nhận giá trị dương.
(II). \(\left( {a - 1} \right){\log _a}x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) với \(a > 0,a \ne 1\)
(III). \({m^{{{\log }_a}m}} = {n^{{{\log }_a}n}},\) với \(m,n > 0\) và \(a > 0,a \ne 1\)
(IV).\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\log _{\frac{1}{2}}}x = - \infty \)
Số phát biểu đúng là
-
A.
$4$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$1$
Đáp án : C
Ta có ${C^2} = AB \Rightarrow {{\mathop{\rm lnC}\nolimits} ^2} = {\mathop{\rm \ln (AB)}\nolimits} \Rightarrow 2\ln C = \ln A + \ln B$ nên I đúng
Ta có $\left( {a - 1} \right){\log _a}x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1 > 0}\\{{{\log }_a}x \ge 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1 < 0}\\{{{\log }_a}x \le 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. $ $\Leftrightarrow x\ge 1$ suy ra II đúng.
Logarit cơ số $m$ hai vế ta được ${\log _a}m.{\log _m}m \ne {\log _a}n.{\log _m}n$ suy ra III sai
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\log _{\frac{1}{2}}}x = - \infty $ đúng nên IV đúng.
Vậy có \(3\) phát biểu đúng.
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}}} \right)\).
-
A.
\(D = ( - \infty ;1)\)
-
B.
\(D = {\rm{[}}1; + \infty )\)
-
C.
\(D = ( - \infty ;1]\)
-
D.
\(D = (1; + \infty )\)
Đáp án : D
Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) xác định nếu \(x > 0\).
Điều kiện : \(\dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}} > 0 \Leftrightarrow 2 - 2x < 0 \Leftrightarrow x > 1.\)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, \(AB = 4,SA = SB = SC = 12\). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm AC, BC, AB. Trên cạnh SB lấy điểm F sao cho \(\dfrac{{BF}}{{BS}} = \dfrac{2}{3}\). Thể tích khối tứ diện \(MNEF\) bằng
-
A.
$\dfrac{{8\sqrt {34} }}{9}$
-
B.
\(\dfrac{{16\sqrt {34} }}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{{16\sqrt {34} }}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{4\sqrt {34} }}{3}\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác:
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
Công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.
Gọi D là giao điểm của MB và EN thì D là trung điểm của MB.
Ta có: \({V_{MNEF}} = {V_{M.NEF}} = \dfrac{1}{3}{S_{NEF}}.d\left( {M,\left( {NEF} \right)} \right)\)
Do D là trung điểm của MB và MB cắt (EFN) tại D nên \(d\left( {M,\left( {NEF} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {NEF} \right)} \right)\)
\( \Rightarrow {V_{MNEF}} = \dfrac{1}{3}{S_{NEF}}.d\left( {B,\left( {NEF} \right)} \right)\)\( = {V_{B.NEF}}\)
Mà \(\dfrac{{{V_{B.NEF}}}}{{{V_{B.CAS}}}} = \dfrac{{BN}}{{BC}}.\dfrac{{BE}}{{BA}}.\dfrac{{BF}}{{BS}}\)\( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}\)
\( \Rightarrow {V_{B.NEF}} = \dfrac{1}{6}{V_{B.CAS}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}}\)
Vì SA=SB=SC nên \(S\) nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà ABC vuông cân nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Do đó \(SM \bot \left( {ABC} \right)\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.4.4 = 8\)
Tam giác ABC vuông cân tại B nên
\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \\ = \sqrt {{4^2} + {4^2}} = 4\sqrt 2 \\ \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.4\sqrt 2 = 2\sqrt 2 \end{array}\)
Tam giác \(SMA\) vuông tại M nên theo Pitago ta có: \(SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}} \)\( = \sqrt {{{12}^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = 2\sqrt {34} \)
Thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SM\)\( = \dfrac{1}{3}.8.2\sqrt {34} \) $ = \dfrac{{16\sqrt {34} }}{3}$
Thể tích khối tứ diện MNEF là: \({V_{MNEF}} = \dfrac{1}{6}.{V_{S.ABC}}\)\( = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{16\sqrt {34} }}{3} = \dfrac{{8\sqrt {34} }}{9}\)
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với \(AB = \sqrt 3 ,AD = \sqrt 7 \). Hai mặt bên $\left( {ABB'A'} \right)$ và $\left( {ADD'A'} \right)$ lần lượt tạo với đáy những góc \({45^0}\) và \({60^0}\). Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng $1$.
-
A.
\(V = 3\)
-
B.
\(V = 2\)
-
C.
\(V = 4\)
-
D.
\(V = 8\)
Đáp án : A
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: là góc giữa hai đường thẳng nằm trong các mặt phẳng mà cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính độ dài đường cao và diện tích đáy lăng trụ.
- Tính thể tích lăng trụ theo công thức \(V = Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.
Kẻ \(A'H \bot \left( {ABCD} \right);HM \bot AB;HN \bot AD\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}A'H \bot AB\\HM \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {A'HM} \right) \Rightarrow AB \bot A'M\)
\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {ABB'A'} \right) \supset A'M \bot AB\\\left( {ABCD} \right) \supset HM \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {ABB'A'} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'M;HM} \right)} = \widehat {A'MH} = {45^o}\)
Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {A'NH} = {60^0}\)
Đặt \(A'H = x\) khi đó ta có:
\(A'N = \dfrac{x}{{\sin 60}} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt 3 }},AN = \sqrt {AA{'^2} - A'{N^2}} = \sqrt {1 - \dfrac{{4{x^2}}}{3}} = HM\)
Mà \(HM = x.\cot 45 = x\)
$ \Rightarrow x = \sqrt {1 - \dfrac{{4{x^2}}}{3}} \Leftrightarrow {x^2} = 1 - \dfrac{{4{x^2}}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{7{x^2}}}{3} = 1 \Rightarrow {x^2} = \dfrac{3}{7} \Rightarrow x = \sqrt {\dfrac{3}{7}} $
\({S_{ABCD}} = \sqrt 3 .\sqrt 7 = \sqrt {21} \)
Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}} = \sqrt {\dfrac{3}{7}} .\sqrt {21} = 3\)
Cho hình chóp \(S.ABC\), đáy là tam giác \(ABC\) có \(AB = BC\sqrt 5 \), \(AC = 2BC\sqrt 2 \), hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(O\) của cạnh \(AC\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng 2. Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) hợp với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) một góc \(\alpha \) thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng \(\dfrac{{\sqrt a }}{b}\), trong đó \(a,\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), \(a\) là số nguyên tố. Tổng \(a + b\) bằng:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(7\)
-
D.
\(4\)
Đáp án : B
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên \(SB\).
Ta có: \(OB = \sqrt {\dfrac{{2B{C^2} + 2B{A^2} - A{C^2}}}{4}} = BC\), \(OC = \dfrac{1}{2}AC = BC\sqrt 2 \). Suy ra \(OB \bot BC\).
Dễ thấy \(\angle SBO = \alpha \) và \(OH = d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 1\).
Suy ra \(SO = \dfrac{{OH}}{{\cos \alpha }} = \dfrac{1}{{\cos \alpha }}\), \(OB = \dfrac{{OH}}{{\sin \alpha }} = \dfrac{1}{{\sin \alpha }}\).
\( \Rightarrow BC = OB = \dfrac{1}{{\sin \alpha }}\).
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:
\(\begin{array}{l}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.2{S_{OBC}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{{\cos \alpha }}.{\left( {\dfrac{1}{{\sin \alpha }}} \right)^2} = \dfrac{1}{{3\cos \alpha .{{\sin }^2}\alpha }}\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(\begin{array}{l}1 = \dfrac{1}{2}{\sin ^2}\alpha + \dfrac{1}{2}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \ge 3.\sqrt[3]{{\dfrac{1}{4}{{\sin }^4}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{27}} \ge \dfrac{1}{4}.si{n^4}\alpha .co{s^2}\alpha \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }} \ge \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
Vậy \(\min {V_{S.ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \dfrac{1}{2}{\sin ^2}\alpha = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\( \Rightarrow a = 3,\,\,b = 2\).
Vậy \(a + b = 3 + 2 = 5\).
Bà Hoa gửi $100$ triệu vào tài khoản định kì tính lãi suất là $8\% $ một năm. Sau 5 năm, bà rút toàn bộ số tiền và dùng một nửa để sửa nhà, còn một nửa tiền bà lại đem gửi ngân hàng trong 5 năm với cùng lãi suất. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.
-
A.
$81,412$ triệu
-
B.
$115,892$ triệu
-
C.
$119$ triệu
-
D.
$78$ triệu
Đáp án : A
- Tính số tiền bà Hoa rút ra sau 5 năm theo công thức $T = A{\left( {1 + r} \right)^N}$.
- Tính số tiền lãi lần đầu.
- Tính số tiền bà đem gửi lần 2.
- Tính số tiền sau 5 năm lần 2 theo công thức: $T = A{\left( {1 + r} \right)^N}$
- Tính số tiền lãi lần 2 và suy ra đáp số.
Số tiền bà Hoa rút sau 5 năm đầu là: $100{\left( {1 + 8\% } \right)^5} = 146,932$ triệu.
Số tiền lãi lần 1 là: $146,932 - 100 = 46,932$ triệu.
Số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là: $146,932:2 = 73,466$ triệu
Số tiền và có sau 5 năm là: $73,466{\left( {1 + 8\% } \right)^5} = 107,946$ triệu.
Số tiền lãi lần 2 là: $107,946 - 73,466 = 34,480$ triệu.
Tổng số tiền lãi sau 2 lần là: $46,932 + 34,480 = 81,412$ triệu.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m} \right|\) có 5 điểm cực trị?
-
A.
\(26\).
-
B.
\(27\).
-
C.
\(16\).
-
D.
\(28\).
Đáp án : B
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2}\) ta có
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 12{x^3} - 12{x^2} - 24x\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12{x^3} - 12{x^2} - 24x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Ta có đồ thị \(y = f\left( x \right)\,\,\left( C \right)\) như sau:
Để \(y = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m} \right|\) có 5 điểm cực trị thì:
TH1: \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(y = - m\) tại 2 điểm phân biệt khác cực trị
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m > 0\\ - 32 < - m < - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\5 < m < 32\end{array} \right.\)
Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\, \Rightarrow m \in \left\{ {6;7;...;31} \right\}\) : 26 giá trị.
TH2: \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(y = - m\) tại 3 điểm phân biệt, trong đó có 1 cực trị
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m = 0\\ - m = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,(L)\\m = 5\,(TM)\end{array} \right.\)
Vậy, có tất cả 27 giá trị của m thỏa mãn.
Cho hàm số \(y = \dfrac{x}{{1 - x}}\,\,\left( C \right)\) và điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\). Tìm \(m\) để đường thẳng \(d:\,\,y = mx - m - 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(M,\,\,N\) sao cho \(A{M^2} + A{N^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
\(m = - 1\)
-
B.
\(m = 0\)
-
C.
\(m = - 2\)
-
D.
\(m = - \dfrac{2}{3}\)
Đáp án : A
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.
- Áp dụng định lí Vi-ét.
- Sử dụng công thức độ dài đường trung tuyến \(A{I^2} = \dfrac{{A{M^2} + A{N^2}}}{2} - \dfrac{{M{N^2}}}{4}\) (với \(I\) là trung điểm của \(MN\)), từ đó rút \(A{M^2} + A{N^2}\) theo \(m\).
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của hàm số.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{1 - x}} = mx - m - 1\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow x = \left( {mx - m - 1} \right)\left( {1 - x} \right)\\ \Leftrightarrow x = mx - m - 1 - m{x^2} + mx + x\\ \Leftrightarrow m{x^2} - 2mx + m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Để đường thẳng \(d:\,\,y = mx - m - 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(M,\,\,N\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - m\left( {m + 1} \right) > 0\\m - 2m + m + 1 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m > 0\\1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\).
Khi đó hoành độ của hai điểm \(M,\,\,N\) là nghiệm của phương trình (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 2\\{x_M}.{x_N} = \dfrac{{m + 1}}{m}\end{array} \right.\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y_M} = m{x_M} - m - 1\\{y_N} = m{x_N} - m - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {y_M} + {y_N} = \left( {{x_M} + {x_N}} \right) - 2m - 2 = - 2\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\), ta có \(I\left( {1; - 1} \right)\) \( \Rightarrow A{I^2} = {2^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 8\).
\(\begin{array}{l}M{N^2} = {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2} + {\left( {{y_M} - {y_N}} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2} + {\left( {m{x_M} - m - 1 - m{x_N} + m + 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2} + {m^2}{\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 + {m^2}} \right){\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 + {m^2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^2} - 4{x_M}{x_N}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 + {m^2}} \right)\left[ {4 - 4\dfrac{{m + 1}}{m}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 4\dfrac{{1 + {m^2}}}{m}\end{array}\)
Do \(M{N^2} > 0\) nên \(m < 0\).
Đặt \(T = A{M^2} + A{N^2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A{I^2} = \dfrac{{A{M^2} + A{N^2}}}{2} - \dfrac{{M{N^2}}}{4}\\ \Rightarrow 4A{I^2} = 2T - M{N^2}\\ \Leftrightarrow T = \dfrac{{4A{I^2} + M{N^2}}}{2} \Leftrightarrow T = \dfrac{{4.8 - 4\dfrac{{1 + {m^2}}}{m}}}{2}\\ \Leftrightarrow T = 16 - 2\dfrac{{1 + {m^2}}}{m} \Leftrightarrow T = \dfrac{{ - 2{m^2} + 16m - 2}}{m}\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}T' = \dfrac{{\left( { - 4m + 16} \right)m - \left( { - 2{m^2} + 16m - 2} \right)}}{{{m^2}}}\\T' = \dfrac{{ - 4{m^2} + 16m + 2{m^2} - 16m + 2}}{{{m^2}}}\\T' = \dfrac{{ - 2{m^2} + 2}}{{{m^2}}} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\end{array}\)
BBT:
Từ BBT ta thấy \(\min T = 20 \Leftrightarrow m = - 1\) .
Cho \(f\left( x \right)\) mà đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên
Bất phương trình \(f\left( x \right) > \sin \dfrac{{\pi x}}{2} + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\) khi và chỉ khi:
-
A.
\(m < f\left( 0 \right)\)
-
B.
\(m < f\left( 1 \right) - 1\)
-
C.
\(m < f\left( { - 1} \right) + 1\)
-
D.
\(m < f\left( 2 \right)\)
Đáp án : B
- Biến đổi bất phương trình về dạng \(g(x)>m\).
- Xét hàm \(y=g(x)\) và tìm GTNN của \(g(x)\).
- Bài toán thỏa khi \(m<\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} g\left( x \right)\)
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) > \sin \dfrac{{\pi x}}{2} + m\,\,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right] \Leftrightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) - \sin \dfrac{{\pi x}}{2} > m\,\,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\\ \Rightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} g\left( x \right)\end{array}\).
Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta suy ra BBT đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau:
Dựa vào BBT ta thấy \(f\left( x \right) \ge f\left( 1 \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\).
\(\begin{array}{l}x \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow \dfrac{{\pi x}}{2} \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow - 1 \le \sin \dfrac{{\pi x}}{2} \le 1\\ \Leftrightarrow - 1 \le - \sin \dfrac{{\pi x}}{2} \le 1\end{array}\)
\( \Rightarrow f\left( 1 \right) - 1 \le f\left( x \right) - \sin \dfrac{{\pi x}}{2} \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge f\left( 1 \right) - 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} g\left( x \right) = f\left( 1 \right) - 1\).
Vậy \(m < f\left( 1 \right) - 1\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích \(V\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BB'\) sao cho \(MB = 2MB'\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(AC'\) cắt các cạnh \(DD'\), \(DC\), \(BC\) lần lượt tại \(N\), \(P\), \(Q\). Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối đa diện \(CPQMNC'\).Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\).
-
A.
\(\dfrac{{31}}{{162}}\)
-
B.
\(\dfrac{{35}}{{162}}\)
-
C.
\(\dfrac{{34}}{{162}}\)
-
D.
\(\dfrac{{13}}{{162}}\)
Đáp án : B
Gọi cạnh của hình lập phương là \(a\).
Ta có:
\(\left( \alpha \right) \bot AC'\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel BD\). Trong \(\left( {BDD'B'} \right)\) kẻ \(MN\parallel BD\,\,\left( {N \in DD'} \right)\).
\(\left( \alpha \right) \bot AC' \Rightarrow \alpha \parallel B'C\). Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\) kẻ \(MQ\parallel B'C\,\,\left( {Q \in BC} \right)\).
\(\left( \alpha \right) \bot AC'\)\( \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel BD\). Trong \(\left( {BDD'B'} \right)\) kẻ \(MN\parallel BD\,\,\left( {N \in DD'} \right)\).
\(\left( \alpha \right) \bot AC' \Rightarrow \alpha \parallel B'C\). Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(PQ\parallel BD\,\,\left( {P \in DC} \right)\).
Khi đó \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right)\).
Theo cách dựng ta có \(BQ = 2QC,\,\,DP = 2PC,\,\,DN = 2ND'\).
Gọi \(H\) là điểm thuộc \(CC'\) sao cho \(CH = 2HC'\).
Khi đó ta có: \({V_{CPQMNC'}} = {V_{C.MHN}} + {V_{CQP.MHN}}\).
Xét hình chóp \(C'.MHN\) có \(C'H = \dfrac{a}{3}\), \({S_{\Delta MHN}} = \dfrac{1}{2}{a^2}\).
\( \Rightarrow {V_{C'.MHN}} = \dfrac{1}{3}C'H.{S_{\Delta MHN}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{{18}} = \dfrac{V}{{18}}\).
Xét hình chóp cụt \(CQP.MHN\) có
\(\begin{array}{l}{V_{CQP.MHN}} = {V_{I.MHN}} - {V_{I.CQP}} = \dfrac{1}{3}\left( {IH.{S_{\Delta MHN}} - IC.{S_{\Delta CQP}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}\left( {a.\dfrac{1}{2}{a^2} - \dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{a}{3}} \right) = \dfrac{{13{a^3}}}{8} = \dfrac{{13V}}{{81}}\end{array}\)
\( \Rightarrow {V_1} = {V_{CPQMNC'}} = {V_{C.MHN}} + {V_{CQP.MHN}} = \dfrac{V}{{18}} + \dfrac{{13V}}{{81}} = \dfrac{{35V}}{{162}}\).
Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{35}}{{162}}\)