-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 2
Đề bài
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 1.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
-
B.
Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
-
C.
Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng \(y = 1;\,y = - 1.\)
-
D.
Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng \(x = 1;\,x = - 1.\)
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 6 \). Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)
-
B.
\({a^3}\sqrt {6.} \)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{ - 3x + 2}}\) là?
-
A.
\(x = \dfrac{2}{3}\)
-
B.
\(y = \dfrac{2}{3}\)
-
C.
\(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(y = - \dfrac{1}{3}\)
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là $\left( {0;0} \right)$.
-
B.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
-
C.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
-
D.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ có tâm đối xứng là $\left( {0;0} \right)$
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty $. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) không có tiệm cận ngang.
-
B.
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một tiệm cận đứng là đường thẳng $y = 0$.
-
C.
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một tiệm cận ngang là trục hoành.
-
D.
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nằm phía trên trục hoành.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\) . Phát biểu nào sau đây là đúng ?
-
A.
Hàm số không có điểm cực trị.
-
B.
Hàm số có hai điểm cực trị .
-
C.
Hàm số có 1 điểm cực đại
-
D.
Hàm số có đúng một điểm cực trị .
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$ bằng:
-
A.
$2.$
-
B.
\(3.\)
-
C.
$4.$
-
D.
\(5.\)
Hai hình chóp tam giác đều có chung đáy là tam giác đều và đỉnh thuộc hai phía khác nhau so với mặt đáy. Hai hình này bằng nhau khi:
-
A.
chung đỉnh
-
B.
không bằng nhau
-
C.
hai đỉnh nằm trên trục đường tròn đáy
-
D.
hai đỉnh đối xứng nhau qua mặt đáy
Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:
-
A.
\(5\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(7\)
-
D.
\(9\)
Cho hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{x-2}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x=2\).
-
B.
Hàm số có cực trị.
-
C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(1;3)\).
-
D.
Hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên. Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là:
-
A.
\(0\).
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\).
-
D.
\(1\).
Hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
$a > 0$
-
B.
$a < 0$
-
C.
$a = 0$
-
D.
$a \leqslant 0$
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + x - 1$ có cực đại và cực tiểu.
-
A.
$0 < m \leqslant 1.$
-
B.
$\left[ \begin{gathered}m < 0 \hfill \\m > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
-
C.
$0 < m < 1.$
-
D.
$m < 0.$
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
A.
Lắp ghép 2 khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
-
B.
Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
-
C.
Khối hộp là khối đa diện lồi.
-
D.
Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Với các giá trị thực của tham số \(m\), phương trình \(f\left( x \right)=m\) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
-
A.
\(2\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x - \dfrac{1}{x}$ trên $\left( { - \infty ; - 1} \right]$ là:
-
A.
$\;1.$
-
B.
$0.$
-
C.
$2.$
-
D.
$ - 1.$
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 3;7} \right)\) và xác định tại hai điểm \(x = - 3;x = 7\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;7} \right]\) là \(f\left( { - 3} \right)\).
-
B.
GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;7} \right]\) là \(f\left( 3 \right)\).
-
C.
GTLN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;7} \right]\) là \(f\left( { - 3} \right)\).
-
D.
GTLN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;7} \right]\) là \(f\left( { - 7} \right)\).
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?
-
A.
$y = - {x^3} + x + 2$
-
B.
$y = {x^3} - 3{x^2} + 2$
-
C.
$y = {x^4} - {x^2} + 1$
-
D.
$y = {x^3} - 3x + 2$
Cho điểm $A \in \left( P \right),B \notin \left( P \right)$, gọi \(B'\) là ảnh của \(B\) qua phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( P \right),A \notin BB'\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(\Delta ABB'\) đều
-
B.
\(\Delta ABB'\) vuông
-
C.
\(\Delta ABB'\) cân
-
D.
\(\Delta ABB'\) vuông cân
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
-
A.
Hình 1
-
B.
Hình 2
-
C.
Hình 3
-
D.
Hình 4
Số cực trị của hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(3\)
Cho hai đồ thị hàm số $y = {x^3} + 2{x^2} - x + 1$ và đồ thị hàm số $y = {x^2} - x + 3$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
A.
$0$
-
B.
$3$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
Khối đa diện lồi có \(8\) đỉnh và \(6\) mặt thì có số cạnh là:
-
A.
\(12\)
-
B.
\(14\)
-
C.
\(8\)
-
D.
\(10\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Nếu khối chóp có chiều cao bằng \(a\sqrt 3 \) và thể tích là \(3{a^3}\sqrt 3 \) thì cạnh đáy có độ dài là:
-
A.
\(a.\)
-
B.
\(2a.\)
-
C.
\(3a.\)
-
D.
\(4a.\)
Khối đa diện đều loại \(\left\{ {n;p} \right\}\) thì \(n\) là:
-
A.
số đỉnh mỗi mặt
-
B.
số đỉnh
-
C.
số mặt
-
D.
số cạnh đi qua một đỉnh
Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\), cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích khối lăng trụ đó.
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
-
C.
\(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$
-
A.
\(y = \sin x - 3x\)
-
B.
\(y = \cos x + 2x\)
-
C.
\(y = {x^3}\)
-
D.
\(y = {x^5}\)
Cho khối chóp tam giác \(S.ABC\), trên các cạnh \(SA,SB,SC\) lần lượt lấy các điểm \(A',B',C'\). Khi đó:
-
A.
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} + \dfrac{{SB'}}{{SB}} + \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
-
A.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
-
B.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
-
C.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-
D.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
A.
Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 2$
-
B.
Giá trị cực đại của hàm số là $y = 2$.
-
C.
Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = - \infty $
-
D.
Hàm số không có cực trị.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây SAI?
-
A.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.
-
B.
Nếu \(\left| m \right| > 2\) thì phương trình \(f\left( x \right) = m\) có nghiệm duy nhất
-
C.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có cực tiểu bằng \( - 1\).
-
D.
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\,2} \right]\) bằng \(2\).
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh \(AB = a\), góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^0\). Thể tích khối chóp \(S.\,ABCD\) là
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\).
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}}}{6}\).
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Hàm số $y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty {\rm{\;}}} \right)$ khi giá trị của $m$ là:
-
A.
$m \ge 12$
-
B.
$m \le 12$
-
C.
$m \ge 0$
-
D.
$m \le 0$
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right)\) là:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(5\)
-
D.
\(4\)
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + m\). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
-
A.
\(y = - 8x + m\).
-
B.
\(y = - 8x + m - 3\).
-
C.
\(y = - 8x + m + 3\).
-
D.
\(y = - 8x - m + 3\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình \(\left| {f\left( x \right) + m} \right| < 2m\) đúng với mọi x thuộc đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\)?
-
A.
\(6\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(7\)
-
D.
\(8\)
Cho điểm $I\left( {0;4} \right)$ và đường cong $\left( C \right):y = - {x^2} + 3x$. Phương trình $\left( C \right)$ đối với hệ tọa độ $\left( {IXY} \right)$ là:
-
A.
$Y = - {X^2} + 3X + 4$
-
B.
$Y = - {X^2} + 3X - 4$
-
C.
$Y = {X^2} - 3X + 4$
-
D.
$Y = {X^2} - 3X - 4$
Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 16}}$ là:
-
A.
$x = 4$
-
B.
$x = - 4$
-
C.
$x = 4$ hoặc $x = - 4$
-
D.
$x = - 1$
Đồ thị trong hình dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số cho trong các phương án sau đây, đó là hàm số nào?
-
A.
$y = - {x^3} + 3{x^2} + 2$
-
B.
$y = {x^3} - 3{x^2} + 2$
-
C.
$y = {x^3} - 3x + 2$
-
D.
$y = {x^3} - 3{x^2} - 2$
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}\) như hình vẽ bên:
Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(b + c + d = 1\)
-
B.
\(b + c + d = 3\)
-
C.
\(b + c + d = 5\)
-
D.
\(b + c + d = 10\)
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}$ như hình vẽ bên
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$b + c + d = 1$
-
B.
$b + c + d = 3$
-
C.
$b + c + d = 5$
-
D.
$b + c + d = 10$
Cho hàm số \(y=\frac{x-1}{2x-3}\). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng
-
A.
\(d=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
-
B.
\(d=1\)
-
C.
\(d=\sqrt{2}\)
-
D.
\(d=\sqrt{5}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Biết \(f\left( {x + 1} \right) = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 2\). Hãy xác định biểu thức \(f\left( x \right)\).
-
A.
\(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\).
-
B.
\(f\left( x \right) = {x^3} + 1\).
-
C.
\(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2}\).
-
D.
\(f\left( x \right) = {x^3} + 3x + 2\).
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A{A_1}\). Thể tích khối chóp \(M.BC{A_1}\) là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông tại B với \(AB = a,AA' = 2a,\)\(A'C = 3a\) . Gọi M là trung điểm của \(A'C'\), I là giao điểm của đường thẳng AM và A’C. Tính theo a thể tích khối IABC .
-
A.
\(V = \dfrac{2}{3}{a^3}\)
-
B.
\(V = \dfrac{2}{9}{a^3}\)
-
C.
\(V = \dfrac{4}{9}{a^3}\)
-
D.
\(V = \dfrac{4}{3}{a^3}\)
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AD = 14,BC = 6\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC,BD\) và \(MN = 8\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(MN\). Tính \(\sin \alpha \).
-
A.
\(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Cho hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat {BAD} = {60^0}$, $AB’$ hợp với đáy $(ABCD)$ một góc ${30^0}$. Thể tích của khối hộp là
-
A.
$\dfrac{{{a^3}}}{2}$.
-
B.
$\dfrac{{{a^3}}}{6}$.
-
C.
$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$.
-
D.
$\dfrac{{3{a^3}}}{2}$.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ
Đặt \(g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m\), với \(m\) là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình \(g\left( x \right) \ge 0\) đúng với \(\forall x \in \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\) là:
-
A.
\(m \le 3f\left( {\sqrt 3 } \right)\).
-
B.
\(m \le 3f\left( 0 \right)\).
-
C.
\(m \ge 3f\left( 1 \right)\).
-
D.
\(m \ge 3f\left( { - \sqrt 3 } \right)\).
Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32.$ Giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $A = {x^3} + {y^3} + 3\left( {xy - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right)$ là:
-
A.
$m = 16$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4}$
-
D.
$m = 398$
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) biết \(a > 0\), \(c > 2017\) và \(a + b + c < 2017\). Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - 2017} \right|\) là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(7\)
-
C.
\(5\)
-
D.
\(3\)
Lời giải và đáp án
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 1.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
-
B.
Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
-
C.
Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng \(y = 1;\,y = - 1.\)
-
D.
Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng \(x = 1;\,x = - 1.\)
Đáp án : C
Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1 \Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 1 \Rightarrow y = - 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 6 \). Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)
-
B.
\({a^3}\sqrt {6.} \)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Đáp án : C
Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao.
${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3} \cdot a\sqrt 6 \cdot {a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}$.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{ - 3x + 2}}\) là?
-
A.
\(x = \dfrac{2}{3}\)
-
B.
\(y = \dfrac{2}{3}\)
-
C.
\(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(y = - \dfrac{1}{3}\)
Đáp án : D
Hàm bậc nhất trên bậc nhất \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ac \ne bd} \right)\) có TCN là \(y = \dfrac{a}{c}\).
Đồ thị hàm số có TCN là \(y = - \dfrac{1}{3}\).
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là $\left( {0;0} \right)$.
-
B.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
-
C.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
-
D.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ có tâm đối xứng là $\left( {0;0} \right)$
Đáp án : A
Sử dụng tính chất hàm số lẻ: Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận điểm $\left( {0;0} \right)$ là tâm đối xứng.
Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm $\left( {0;0} \right)$ làm tâm đối xứng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty $. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) không có tiệm cận ngang.
-
B.
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một tiệm cận đứng là đường thẳng $y = 0$.
-
C.
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một tiệm cận ngang là trục hoành.
-
D.
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nằm phía trên trục hoành.
Đáp án : C
Sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang:
Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}\)
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty $ nên đồ thị hàm số chỉ một tiệm cận ngang là trục hoành.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\) . Phát biểu nào sau đây là đúng ?
-
A.
Hàm số không có điểm cực trị.
-
B.
Hàm số có hai điểm cực trị .
-
C.
Hàm số có 1 điểm cực đại
-
D.
Hàm số có đúng một điểm cực trị .
Đáp án : D
- Tìm nghiệm của \(f'\left( x \right) = 0\).
- Xét dấu của \(f'\left( x \right)\) suy ra số điểm cực trị.
\(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có \(1\) điểm cực trị duy nhất.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$ bằng:
-
A.
$2.$
-
B.
\(3.\)
-
C.
$4.$
-
D.
\(5.\)
Đáp án : C
Tìm điểm cao nhất thuộc đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) và kết luận GTLN của hàm số trên đoạn đó.
Nhận thấy trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$ đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ $\left( {3;4} \right).$
\( \Rightarrow \) giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$ bằng \(4.\)
Hai hình chóp tam giác đều có chung đáy là tam giác đều và đỉnh thuộc hai phía khác nhau so với mặt đáy. Hai hình này bằng nhau khi:
-
A.
chung đỉnh
-
B.
không bằng nhau
-
C.
hai đỉnh nằm trên trục đường tròn đáy
-
D.
hai đỉnh đối xứng nhau qua mặt đáy
Đáp án : D
Sử dụng dấu hiệu: Hai tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau.
Hai hình chóp đều có chung đáy là các tam giác đều nên muốn bằng nhau chỉ cần các cạnh bên bằng nhau. Do đó khoảng cách từ hai đỉnh đến mặt đáy cũng bằng nhau.
Vậy hai đỉnh đối xứng nhau qua mặt đáy.
Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:
-
A.
\(5\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(7\)
-
D.
\(9\)
Đáp án : D
Hình bát diện đều có \(9\) mặt phẳng đối xứng.
Cho hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{x-2}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
A.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x=2\).
-
B.
Hàm số có cực trị.
-
C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(1;3)\).
-
D.
Hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\).
Đáp án : A
- Tìm các tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.
- Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số.
- Tìm các cực trị và xét tính đi qua một điểm của đồ thị hàm số.
Xét hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{x-2}\):
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}} = - \infty \)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x=2\). Phương án A: đúng.
+) \(y'=-\dfrac{5}{{{(x-2)}^{2}}}<0,\,\,\forall x\ne 2\) \(\Rightarrow \) Hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{x-2}\) không có cực trị và hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;2 \right);\,\,\left( 2;+\infty \right)\). Phương án B và D: sai.
+) Ta có: \(3=\dfrac{2.1+1}{1-2}\) vô lí \(\Rightarrow \) Đồ thị hàm số không đi qua điểm\(A(1;3)\). Phương án C: sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên. Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là:
-
A.
\(0\).
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\).
-
D.
\(1\).
Đáp án : B
Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).
Theo định nghĩa tiệm cận ngang thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là \(y = \pm 1\).
Hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
$a > 0$
-
B.
$a < 0$
-
C.
$a = 0$
-
D.
$a \leqslant 0$
Đáp án : A
Quan sát đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty $ nên $a > 0$.
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + x - 1$ có cực đại và cực tiểu.
-
A.
$0 < m \leqslant 1.$
-
B.
$\left[ \begin{gathered}m < 0 \hfill \\m > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
-
C.
$0 < m < 1.$
-
D.
$m < 0.$
Đáp án : B
- Bước 1: Tính $y'$.
- Bước 2: Hàm số có cực đại và cực tiểu $ \Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta > 0$.
- Bước 3: Kết luận.
TXĐ: $D = R$
TH1: $m = 0 \to y = x - 1.$
Hàm số không có cực trị.
TH2: $m \ne 0$.
Ta có: $y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + x - 1$ $ \Rightarrow y' = m{x^2} - 2mx + 1.$
Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình $y' = 0$ phải có $2$ nghiệm phân biệt
$ \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m > 1 \hfill \\\end{gathered} \right..$
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
A.
Lắp ghép 2 khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
-
B.
Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
-
C.
Khối hộp là khối đa diện lồi.
-
D.
Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.
Đáp án : A
Các khối tứ diện, khối hộp, khối lăng trụ tam giác đều là khối đa diện lồi.
Lắp ghép 2 khối hộp chưa chắc được một khối đa diện lồi.
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Với các giá trị thực của tham số \(m\), phương trình \(f\left( x \right)=m\) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
-
A.
\(2\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : D
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng \(y = m\) với đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:
+) Với \(m < 3\) thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt.
+) Với \(m = 3\) thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(2\) điểm phân biệt.
+) Với \(m > 3\) thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại duy nhất \(1\) điểm.
Vậy đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại nhiều nhất \(3\) điểm.
Do đó phương trình đã cho có nhiều nhất \(3\) nghiệm.
Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x - \dfrac{1}{x}$ trên $\left( { - \infty ; - 1} \right]$ là:
-
A.
$\;1.$
-
B.
$0.$
-
C.
$2.$
-
D.
$ - 1.$
Đáp án : B
- Tính \(y'\), xét dấu \(y'\) suy ra tính đơn điệu của hàm số.
- Tìm GTLN của hàm số trên khoảng đề bài cho.
Ta có : $y' = 1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} > 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right]$.
Suy ra hàm số $y = x - \dfrac{1}{x}$ đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right]$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $y( - 1) = 0$.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 3;7} \right)\) và xác định tại hai điểm \(x = - 3;x = 7\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;7} \right]\) là \(f\left( { - 3} \right)\).
-
B.
GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;7} \right]\) là \(f\left( 3 \right)\).
-
C.
GTLN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;7} \right]\) là \(f\left( { - 3} \right)\).
-
D.
GTLN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;7} \right]\) là \(f\left( { - 7} \right)\).
Đáp án : A
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và xác định tại hai đầu mút thì đạt GTNN trên \(\left[ {a;b} \right]\) là \(f\left( a \right)\), đạt GTLN trên \(\left[ {a;b} \right]\) là \(f\left( b \right)\).
Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 3;7} \right)\) và tồn tại \(f\left( { - 3} \right),f\left( 7 \right)\) nên \(f\left( { - 3} \right) < f\left( x \right) < f\left( 7 \right),\forall x \in \left[ { - 3;7} \right]\).
Vậy \(f\left( { - 3} \right)\) là GTNN của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 3;7} \right]\).
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?
-
A.
$y = - {x^3} + x + 2$
-
B.
$y = {x^3} - 3{x^2} + 2$
-
C.
$y = {x^4} - {x^2} + 1$
-
D.
$y = {x^3} - 3x + 2$
Đáp án : B
Quan sát đồ thị hàm số, nhận dạng đồ thị suy ra hệ số $a$, tìm điểm đi qua và đối chiếu đáp án.
Nhận xét: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số $a > 0$ nên loại đáp án A, C
Xét 2 đáp án B và D
Thay $x = 0;\,y = 2$ thì cả 2 đáp án B, D đều thỏa mãn
Thay $x = 2;\,y = - 2$ chỉ có đáp án B thỏa mãn
Cho điểm $A \in \left( P \right),B \notin \left( P \right)$, gọi \(B'\) là ảnh của \(B\) qua phép đối xứng qua mặt phẳng \(\left( P \right),A \notin BB'\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(\Delta ABB'\) đều
-
B.
\(\Delta ABB'\) vuông
-
C.
\(\Delta ABB'\) cân
-
D.
\(\Delta ABB'\) vuông cân
Đáp án : C
Vì \(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(BB'\) nên mọi điểm thuộc \(\left( P \right)\) sẽ cách đều \(B,B' \Rightarrow AB = AB'\).
Do đó \(\Delta ABB'\) cân tại \(A\).
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
-
A.
Hình 1
-
B.
Hình 2
-
C.
Hình 3
-
D.
Hình 4
Đáp án : C
Khái niệm khối đa diện: Khối đa diện là hình được tạo bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:
+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Quan sát bốn hình, có hình C có cạnh là cạnh chung của 4 đa giác, vậy hình này không phải khối đa diện.
Số cực trị của hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : A
Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị.
Cho hai đồ thị hàm số $y = {x^3} + 2{x^2} - x + 1$ và đồ thị hàm số $y = {x^2} - x + 3$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
A.
$0$
-
B.
$3$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
Đáp án : D
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.
- Nêu mối quan hệ giữa số nghiệm của phương trình và số giao điểm.
- Giải phương trình tìm nghiệm và suy ra đáp số.
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình:
$\begin{gathered}{x^3} + 2{x^2} - x + 1 = {x^2} - x + 3 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \hfill \\ \end{gathered} $
Như vậy hai đồ thị có $1 $ điểm chung.
Khối đa diện lồi có \(8\) đỉnh và \(6\) mặt thì có số cạnh là:
-
A.
\(12\)
-
B.
\(14\)
-
C.
\(8\)
-
D.
\(10\)
Đáp án : A
Sử dụng định lý Ơ le cho khối đa diện lồi \(D - C + M = 2\)
Ta có: \(D = 8,M = 6\) thì \(D - C + M = 2 \Leftrightarrow 8 - C + 6 = 2 \Leftrightarrow C = 12\)
Vậy số cạnh là \(12\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Nếu khối chóp có chiều cao bằng \(a\sqrt 3 \) và thể tích là \(3{a^3}\sqrt 3 \) thì cạnh đáy có độ dài là:
-
A.
\(a.\)
-
B.
\(2a.\)
-
C.
\(3a.\)
-
D.
\(4a.\)
Đáp án : C
Tính diện tích đáy hình chóp rồi suy ra độ dài cạnh hình vuông.
Gọi độ dài cạnh đáy là \(x\).
Có \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{x^2}.a\sqrt 3 \Leftrightarrow 3{a^3}\sqrt 3 = \dfrac{1}{3}{x^2}.a\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow {x^2} = 9{a^2} \Leftrightarrow x = 3a.\)
Khối đa diện đều loại \(\left\{ {n;p} \right\}\) thì \(n\) là:
-
A.
số đỉnh mỗi mặt
-
B.
số đỉnh
-
C.
số mặt
-
D.
số cạnh đi qua một đỉnh
Đáp án : A
- Khối đa diện đều loại \(\left\{ {n;p} \right\}\):
+ \(n\) là số cạnh của mỗi mặt.
+ \(p\) là số cạnh cùng đi qua một đỉnh.
Vì số đỉnh mỗi mặt bằng số cạnh mỗi mặt nên \(n\) cũng số đỉnh mỗi mặt.
Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\), cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích khối lăng trụ đó.
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
-
C.
\(\dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
Đáp án : C
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), chứng minh \(\angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle A'MA\).
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao \(AA'\).
- Tính thể tích khối lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}}\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Ta có:
\(AM \bot BC\) (do \(\Delta ABC\) đều)
\(BC \bot AA'\,\,\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow BC \bot \left( {AA'M} \right) \Rightarrow BC \bot A'M\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\\A'M \subset \left( {A'BC} \right),\,\,A'M \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'M;AM} \right) = \angle A'MA = {60^0}\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Xét tam giác vuông \(A'AM\) có: \(AA' = AM.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{3a}}{2}\).
Vậy thể tích khối lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$
-
A.
\(y = \sin x - 3x\)
-
B.
\(y = \cos x + 2x\)
-
C.
\(y = {x^3}\)
-
D.
\(y = {x^5}\)
Đáp án : A
+) Xét các hàm số theo từng đáp án.
+) Hàm số nào có $y' \ge 0$ với mọi $x \in R$ thì hàm số đó đồng biến trên R.
+) Xét đáp án A:$y = \sin x - 3x$ có: $y' = \cos x - 3.$
Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{cosx\;}} - 3 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \in R \Rightarrow $ hàm số nghịch biến trên $R.$
Vậy hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.
+) Xét đáp án B: $y = \cos x + 2x$ có: $y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2.$
Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \in R$
Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
+) Xét đáp án C: $y'=3x^2\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.
+) Xét đáp án D: $y'=5x^4\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.
Vậy chỉ có hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.
Cho khối chóp tam giác \(S.ABC\), trên các cạnh \(SA,SB,SC\) lần lượt lấy các điểm \(A',B',C'\). Khi đó:
-
A.
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} + \dfrac{{SB'}}{{SB}} + \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
Đáp án : D
Nếu \(A',B',C'\) là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh \(SA,SB,SC\) của hình chóp tam giác \(S.ABC\). Khi đó:
\(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
-
A.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
-
B.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
-
C.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-
D.
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Đáp án : C
- Tính diện tích đáy $ABC$
- Tính thể tích theo công thức $V=\dfrac{1}{3}S.h$
Ta có \(SA = a,{\rm{ }}{{\rm{S}}_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). Suy ra thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
A.
Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 2$
-
B.
Giá trị cực đại của hàm số là $y = 2$.
-
C.
Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = - \infty $
-
D.
Hàm số không có cực trị.
Đáp án : D
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét dấu của đạo hàm.
Từ bảng biến thiên ta thấy, đạo hàm không đổi dấu trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ nên hàm số không có cực trị.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây SAI?
-
A.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.
-
B.
Nếu \(\left| m \right| > 2\) thì phương trình \(f\left( x \right) = m\) có nghiệm duy nhất
-
C.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có cực tiểu bằng \( - 1\).
-
D.
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\,2} \right]\) bằng \(2\).
Đáp án : C
Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án dựa vào đồ thị hàm số.
Đáp án A: đúng.
Đáp án B: Với \(m > 2\) hoặc \(m < - 2\) thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất nên B đúng.
Đáp án C: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\) chứ không phải đạt cực tiểu bằng \( - 1\) nên C sai.
Đáp án D: Giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) đạt được bằng \(2\) tại \(x = - 2\) nên D đúng.
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh \(AB = a\), góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^0\). Thể tích khối chóp \(S.\,ABCD\) là
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\).
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}}}{6}\).
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).
Đáp án : B
+) Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
+) Xác định góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), từ đó tính \(SO\).
+) Sử dụng công thức tính thể tích \(V = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\).
Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SAO = {45^0} \Rightarrow SO = OA = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
Hàm số $y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty {\rm{\;}}} \right)$ khi giá trị của $m$ là:
-
A.
$m \ge 12$
-
B.
$m \le 12$
-
C.
$m \ge 0$
-
D.
$m \le 0$
Đáp án : A
Hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,{\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)$ đồng biến trên $\left( {p;q} \right)$ khi và chỉ khi $y' \ge 0,{\mkern 1mu} \forall x \in \left( {p;q} \right)$.
Ta có $y' = 3{x^2} - 12x + m$. Để hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty {\rm{\;}}} \right)$ thì $y' \ge 0{\mkern 1mu} ,\forall x > 0$
$ \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + m \ge 0,{\mkern 1mu} \forall x > 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 12x \le m,\forall x > 0$. (*)
Xét $y = g\left( x \right) = - 3{x^2} + 12x$ với $x > 0$.
Ta có $g'\left( x \right) = - 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2$(TM).
BBT $y = g\left( x \right)$ với $x > 0$.
Từ BBT ta có $\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty {\rm{\;}}} \right)} {\mkern 1mu} g\left( x \right) = 12$, từ (*) suy ra $m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty {\rm{\;}}} \right)} {\mkern 1mu} g\left( x \right) = 12 \Leftrightarrow m \ge 12$.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right)\) là:
-
A.
\(6\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(5\)
-
D.
\(4\)
Đáp án : C
- Tính \(g'\left( x \right)\) và giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).
- Vẽ phác thảo đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) và suy ra số điểm cực tiểu.
Ta có:
\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 3{f^2}\left( x \right).f'\left( x \right) - 3f'\left( x \right)\\g'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3{f^2}\left( x \right).f'\left( x \right) - 3f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3f'\left( x \right).\left[ {{f^2}\left( x \right) - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 1\\f\left( x \right) = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Dựa vào BBT ta thấy:
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 0\\x = 1\end{array} \right.\), qua các nghiệm này \(f'\left( x \right)\) đều đổi dấu.
\(f\left( x \right) = 1\) có 4 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}x = {x_1} \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\x = {x_2} \in \left( { - 2;0} \right)\\x = {x_3} \in \left( {0;1} \right)\\x = {x_4} \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\).
\(f\left( x \right) = - 1\) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = {x_5} \in \left( { - \infty ; - 2} \right),\,\,{x_5} > {x_1}\\x = {x_6} \in \left( { - 2;0} \right),\,\,{x_6} < {x_2}\\x = 1\end{array} \right.\), trong đó
\(x = 1\) là nghiệm kép.
Suy hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 + 4 + 2 = 9 điểm cực trị.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) = + \infty \) nên số cực tiểu nhiều hơn số cực đại 1 điểm.
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực tiểu.
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + m\). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
-
A.
\(y = - 8x + m\).
-
B.
\(y = - 8x + m - 3\).
-
C.
\(y = - 8x + m + 3\).
-
D.
\(y = - 8x - m + 3\).
Đáp án : B
- Tính \(y'\) và tìm nghiệm của \(y' = 0\), từ đó suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm trên.
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9;{\rm{ }}y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = 5 + m\\x = 3 \Rightarrow y = - 27 + m\end{array} \right..\)
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là \(A\left( { - 1;5 + m} \right)\) và \(B\left( {3; - 27 + m} \right)\).
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm \(A,{\rm{ }}B\) có phương trình \(y = - 8x + m - 3\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình \(\left| {f\left( x \right) + m} \right| < 2m\) đúng với mọi x thuộc đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\)?
-
A.
\(6\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(7\)
-
D.
\(8\)
Đáp án : C
Biến đổi BPT:
\(\left| {f\left( x \right) + m} \right| < 2m\)
\(\Leftrightarrow - 2m < f\left( x \right) + m < 2m\)
\(\Leftrightarrow - 3m < f\left( x \right) < m\)
Ta có: \(\left| {f\left( x \right) + m} \right| < 2m\)
\(\Leftrightarrow - 2m < f\left( x \right) + m < 2m\)
\(\Leftrightarrow - 3m < f\left( x \right) < m\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3m < \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right)\\\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} f\left( x \right) < m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3m < - 2\\3 < m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{2}{3}\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3\).
Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left( {3;10} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}\).
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho điểm $I\left( {0;4} \right)$ và đường cong $\left( C \right):y = - {x^2} + 3x$. Phương trình $\left( C \right)$ đối với hệ tọa độ $\left( {IXY} \right)$ là:
-
A.
$Y = - {X^2} + 3X + 4$
-
B.
$Y = - {X^2} + 3X - 4$
-
C.
$Y = {X^2} - 3X + 4$
-
D.
$Y = {X^2} - 3X - 4$
Đáp án : B
- Bước 1: Viết công thức chuyển hệ tọa độ $\left\{ \begin{gathered}x = X + {x_0} \hfill \\y = Y + {y_0} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
- Bước 2: Viết phương trình đường cong đối với hệ tọa độ mới: $Y = f\left( {X + {x_0}} \right) - {y_0}$.
Áp dụng công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow {OI} $: $\left\{ \begin{gathered}x = X + 0 \hfill \\y = Y + 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Ta có phương trình của $\left( C \right)$ trong hệ tọa độ $\left( {IXY} \right)$ là:$Y + 4 = - {\left( {X + 0} \right)^2} + 3\left( {X + 0} \right) \Leftrightarrow Y = - {X^2} + 3X - 4$.
Vậy $Y = - {X^2} + 3X - 4$.
Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 16}}$ là:
-
A.
$x = 4$
-
B.
$x = - 4$
-
C.
$x = 4$ hoặc $x = - 4$
-
D.
$x = - 1$
Đáp án : B
- Bước 1: Tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định.
- Bước 2: Tính cả 2 giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y$.
- Bước 3: Kết luận:
Nếu xảy ra một trong 4 trường hợp $\left[ \begin{gathered}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = - \infty \hfill \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty \hfill \\ \end{gathered} \right.$ thì $x = {x_0}$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có: $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 16}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}}$
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}} = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}} = + \infty \)
Ngoài ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \frac{5}{8} \ne \infty \) nên x=4 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số chỉ có $1$ tiệm cận đứng $x = - 4$
Đồ thị trong hình dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số cho trong các phương án sau đây, đó là hàm số nào?
-
A.
$y = - {x^3} + 3{x^2} + 2$
-
B.
$y = {x^3} - 3{x^2} + 2$
-
C.
$y = {x^3} - 3x + 2$
-
D.
$y = {x^3} - 3{x^2} - 2$
Đáp án : B
Dựa vào dạng của đồ thị hàm số, các điểm đi qua và các điểm cực trị của đồ thị hàm số để kết luận hàm số đó.
Ta sử dụng theo cách trắc nghiệm để giải bài toán
Hàm số có nét cuối đi lên nên ta có: $a > 0$. Nên ta loại đáp án A.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1;0) $ ta thay tọa độ điểm A vào 3 đáp án B, C, D thì đáp án D loại.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $B(0;2)$ nên ta thay tọa độ điểm B vào đáp án B và C thì ta loại được đáp án C.
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}\) như hình vẽ bên:
Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(b + c + d = 1\)
-
B.
\(b + c + d = 3\)
-
C.
\(b + c + d = 5\)
-
D.
\(b + c + d = 10\)
Đáp án : B
- Tìm các tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số \( \Rightarrow c,d\).
- Tìm điểm đi qua của đồ thị hàm số \( \Rightarrow b\).
- Thay các giá trị tìm được vào kiểm tra các đáp án.
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}\) có \(\left\{ \begin{align}& \xrightarrow{TCN}y=\dfrac{2}{c}=2\Rightarrow c=1 \\ & \xrightarrow{TCD}x=-\dfrac{d}{c}=-\dfrac{d}{1}=-1\Rightarrow d=1 \\ \end{align} \right.\)
Hàm số có dạng \(y = \dfrac{{2x + b}}{{x + 1}}\left( C \right)\).
Ta có điểm \(\left( {0;1} \right) \in \left( C \right)\).
Thay \(x = 0\) và \(y = 1\) vào hàm số ta được \(1 = \dfrac{{2.0 + b}}{{0 + 1}} \Rightarrow b = 1\) \( \Rightarrow b + c + d = 3\).
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}$ như hình vẽ bên
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$b + c + d = 1$
-
B.
$b + c + d = 3$
-
C.
$b + c + d = 5$
-
D.
$b + c + d = 10$
Đáp án : B
- Tìm các tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số $ \Rightarrow c,d$.
- Tìm điểm đi qua của đồ thị hàm số $ \Rightarrow b$.
- Thay các giá trị tìm được vào kiểm tra các đáp án.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x + b}}{{cx + d}}$ có $\left\{ \begin{align}& \xrightarrow{TCN}y=\dfrac{2}{c}=2\Rightarrow c=1 \\ & \xrightarrow{TCD}x=-\dfrac{d}{c}=-\dfrac{d}{1}=-1\Rightarrow d=1 \\ \end{align} \right.$
Hàm số có dạng $y = \dfrac{{2x + b}}{{x + 1}}\left( C \right)$
Ta có điểm $\left( {0;1} \right) \in \left( C \right)$
Thay $x = 0$ và $y = 1$ vào hàm số ta được $1 = \dfrac{{2.0 + b}}{{0 + 1}} \Rightarrow b = 1$ $ \Rightarrow b + c + d = 3$
Cho hàm số \(y=\frac{x-1}{2x-3}\). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng
-
A.
\(d=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
-
B.
\(d=1\)
-
C.
\(d=\sqrt{2}\)
-
D.
\(d=\sqrt{5}\)
Đáp án : A
- Xét đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\,\,(C)\)có tâm đối xứng \(I\left( -\frac{d}{c};\frac{a}{c} \right)\).
Lấy \(M\in (C)\).
Tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M cắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó, dễ dàng chứng minh được:
\({{S}_{ABI}}=const\) và M là trung điểm của AB.
Gọi độ dài đoạn thẳng IA, IB lần lượt là a, b.
Kẻ \(IH\bot AB,\,H\in AB\).
Tam giác IAB vuông tại I, \(IH\bot AB\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{I{A^2}}} + \frac{1}{{I{B^2}}} \Leftrightarrow I{H^2} = \frac{{I{A^2}.I{B^2}}}{{I{A^2} + I{B^2}}}\\\mathop \le \limits^{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} i} \frac{{I{A^2}.I{B^2}}}{{2IA.IB}} = \frac{{IA.IB}}{2} = {S_{IAB}} = const\end{array}\)
\(\Rightarrow I{{H}_{\max }}=\sqrt{{{S}_{IAB}}}\) khi và chỉ khi \(IA=IB\).
Khi đó, tam giác IAB vuông cân tại I, M trùng H.
\(\Rightarrow \)Ta tìm M bằng cách tìm giao điểm của đường thẳng IM với đồ thị (C).
*) Viết phương trình đường thẳng IM:
Ta có: \(y=\frac{x-1}{2x-3}\Rightarrow y'=\frac{-1}{{{(2x-3)}^{2}}}<0,\,\,\forall x\ne \frac{3}{2}\): Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;\frac{3}{2} \right),\,\,\left( \frac{3}{2};+\infty \right)\).
( Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ bên).
Đường thẳng IM là đường thẳng đi qua điểm \(I\left( \frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\) song song với phân giác của góc phần tư thứ nhất : \(y=x\), có phương trình là: \(y=x-1\).
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\y = \frac{{x - 1}}{{2x - 3}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\x - 1 = \frac{{x - 1}}{{2x - 3}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\(x - 1)(2x - 3 - 1) = 0,\,\,x \ne \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy \(M\left( 1;0 \right)\) hoặc \(M\left( 2;1 \right)\).
*) Khoảng cách từ I đến đường tiếp tuyến của (C) tại M :
\(IH=IM=\sqrt{{{\left( 1-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 0-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( 1-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Biết \(f\left( {x + 1} \right) = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 2\). Hãy xác định biểu thức \(f\left( x \right)\).
-
A.
\(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\).
-
B.
\(f\left( x \right) = {x^3} + 1\).
-
C.
\(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2}\).
-
D.
\(f\left( x \right) = {x^3} + 3x + 2\).
Đáp án : B
- Đặt \(t = x + 1 \Leftrightarrow x = t - 1\) .
- Thay \(x = t - 1\) vào phương trình của \(f\left( {x + 1} \right)\) ta được phương trình ẩn \(t\), suy ra hàm số cần tìm.
Đặt \(t = x + 1 \Leftrightarrow x = t - 1\) . Khi đó
\(f\left( t \right) = {\left( {t - 1} \right)^3} + 3{\left( {t - 1} \right)^2} + 3\left( {t - 1} \right) + 2 = {t^3} + 1\) hay \(f\left( x \right) = {x^3} + 1\).
Cho khối lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A{A_1}\). Thể tích khối chóp \(M.BC{A_1}\) là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
Đáp án : B
- Chứng minh thể tích hai khối tứ diện $MABC$ và $M{A_1}BC$ có thể tích bằng nhau.
- Tính thể tích khối tứ diện $MABC$ và suy ra đáp án.
$\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên có diện tích ${S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$
Ta có $AM = \dfrac{{A{A_1}}}{2} = \dfrac{a}{2}$
Hai tứ diện $MABC$ và $M{A_1}BC$ có chung đỉnh $C$, diện tích hai đáy $MAB$ và $M{A_1}B$ bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, suy ra
${V_{M.BC{A_1}}} = {V_{M.ABC}} = \dfrac{1}{3}AM.{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông tại B với \(AB = a,AA' = 2a,\)\(A'C = 3a\) . Gọi M là trung điểm của \(A'C'\), I là giao điểm của đường thẳng AM và A’C. Tính theo a thể tích khối IABC .
-
A.
\(V = \dfrac{2}{3}{a^3}\)
-
B.
\(V = \dfrac{2}{9}{a^3}\)
-
C.
\(V = \dfrac{4}{9}{a^3}\)
-
D.
\(V = \dfrac{4}{3}{a^3}\)
Đáp án : C
+) So sánh thể tích của khối tứ diện I.ABC với thể tích của khối lăng trụ
+) Tính thể tích khối lăng trụ.
Ta có: \(A'M//AC \Rightarrow \dfrac{{A'M}}{{AC}} = \dfrac{{A'I}}{{IC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{IC}}{{A'C}} = \dfrac{2}{3}\)
\(IA' \cap \left( {ABC} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {A';\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{{IC}}{{A'C}} = \dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{{{V_{I.ABC}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}}}{{d\left( {A';\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9} \Rightarrow {V_{I.ABC}} = \dfrac{2}{9}{V_{ABC.A'B'C'}}\)
$AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AC \Rightarrow \Delta AA'C$ vuông tại A\( \Rightarrow AC = \sqrt {A'{C^2} - AA{'^2}} = \sqrt {9{a^2} - 4{a^2}} = a\sqrt 5 \)
Xét tam giác vuông ABC có: $BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {5{a^2} - {a^2}} = 2a$
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}a.2a = {a^2}\)
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 2a.{a^2} = 2{a^3}\)
\( \Rightarrow {V_{I.ABC}} = \dfrac{2}{9}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{2}{9}.2{a^3} = \dfrac{{4{a^3}}}{9}\)
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AD = 14,BC = 6\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC,BD\) và \(MN = 8\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(MN\). Tính \(\sin \alpha \).
-
A.
\(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)
Đáp án : B
- Dựng góc \(\alpha \) bằng cách tìm một đường thẳng song song với \(BC\) mà góc giữa đường thẳng ấy và \(MN\) là dễ nhận thấy.
- Tính góc \(\alpha \) bằng cách sử dụng định lý hàm số \(\cos \)
Gọi \(P\) là trung điểm của cạnh \(CD\), ta có \(\alpha = \widehat {\left( {MN,BC} \right)} = \widehat {\left( {MN,NP} \right)}\).
Trong tam giác \(MNP\), ta có \(\cos \widehat {MNP} = \dfrac{{M{N^2} + P{N^2} - M{P^2}}}{{2MN.NP}} = \dfrac{1}{2}\). Suy ra \(\widehat {MNP} = 60^\circ \).
Suy ra \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Cho hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat {BAD} = {60^0}$, $AB’$ hợp với đáy $(ABCD)$ một góc ${30^0}$. Thể tích của khối hộp là
-
A.
$\dfrac{{{a^3}}}{2}$.
-
B.
$\dfrac{{{a^3}}}{6}$.
-
C.
$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$.
-
D.
$\dfrac{{3{a^3}}}{2}$.
Đáp án : A
Thể tích khối hộp : ${V_{hop}} = {S_{day}}.h$
$ABCD.A’B’C’D’$ là hình hộp đứng
$ \Rightarrow BB' \bot (ABCD) \Rightarrow \left( {\widehat {AB',(ABCD)}} \right) = \left( {\widehat {AB';AB}} \right) = \widehat {BAB'} = {30^0}$
Tam giác $ABB’$ vuông tại $B$ $ \Rightarrow \tan \widehat {BAB'} = \dfrac{{BB'}}{{AB}}$
$ \Rightarrow BB' = AB.\tan {30^0} = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}$
Tam giác $ABD $ có: $AB = AD = a,$ $\widehat {BAD} = {60^0} \Rightarrow $ Tam giác $ABD$ đều, có cạnh đều bằng $a.$
$ \Rightarrow {S_{ABD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2\,{S_{ABD}} = 2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$
Thể tích khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$: $V = {S_{ABCD}}.BB' = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{{a^3}}}{2}$.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ
Đặt \(g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m\), với \(m\) là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình \(g\left( x \right) \ge 0\) đúng với \(\forall x \in \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\) là:
-
A.
\(m \le 3f\left( {\sqrt 3 } \right)\).
-
B.
\(m \le 3f\left( 0 \right)\).
-
C.
\(m \ge 3f\left( 1 \right)\).
-
D.
\(m \ge 3f\left( { - \sqrt 3 } \right)\).
Đáp án : A
- Cô lập \(m\) từ bất phương trình \(g\left( x \right) \ge 0\) đưa về dạng \(h\left( x \right) \ge m\)
- Dùng phương pháp hàm số, xét hàm \(y = h\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\)
- Bài toán thỏa \( \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]} h\left( x \right)\)
\(g\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m \ge 0 \Leftrightarrow 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x \ge m\)
Đặt \(h\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x\). Ta có \(h'\left( x \right) = 3f'\left( x \right) - 3{x^2} + 3\)
Suy ra
\(\,\,\left\{ \begin{array}{l}h'\left( { - \sqrt 3 } \right) = 3f'\left( { - \sqrt 3 } \right) - 6 = 0\\h'\left( {\sqrt 3 } \right) = 3f'\left( {\sqrt 3 } \right) - 6 = 0\\h'\left( 0 \right) = 3f'\left( 0 \right)+3 = 0\\h'\left( \pm 1 \right) = 3f'\left( \pm 1 \right) < 0\end{array} \right.\)
Từ đó ta có bảng biến thiên:
Vậy \(h\left( x \right) \ge m \Leftrightarrow m \le h\left( {\sqrt 3 } \right) = 3f\left( {\sqrt 3 } \right)\)
Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32.$ Giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $A = {x^3} + {y^3} + 3\left( {xy - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right)$ là:
-
A.
$m = 16$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4}$
-
D.
$m = 398$
Đáp án : C
Giải bất phương trình ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32$ với ẩn $x + y$ để tìm điều kiện của $x + y$.
Biến đổi biểu thức $A$ thành đa thức bậc ba ẩn $x + y$, đặt ẩn phụ $t = x + y$ rồi xét hàm số, chú ý điều kiện $x + y$ tìm được ở trên.
${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32 $ $\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 8\left( {x + y} \right) \leqslant 0 $ $\Leftrightarrow 0 \leqslant x + y \leqslant 8$
$A = {\left( {x + y} \right)^3} - 3\left( {x + y} \right) - 6xy + 6 $ $\geqslant {\left( {x + y} \right)^3} - \dfrac{3}{2}{\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) + 6$
(do ${\left( {x + y} \right)^2} \geqslant 4xy $ $\Rightarrow xy \leqslant \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} $ $\Rightarrow - 6xy \geqslant - \dfrac{3}{2}{\left( {x + y} \right)^2}$ )
Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} - 3t + 6$ trên đoạn $\left[ {0,8} \right]$, ta có
$f'\left( t \right) = 3{t^2} - 3t - 3,f'\left( t \right) = 0 $ $\Leftrightarrow t = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$
(giá trị $\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \notin \left[ {0;8} \right]$ nên loại)
Thực hiện tính toán ta có: $f\left( 0 \right) = 6,f\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4},f\left( 8 \right) = 398 $
$\Rightarrow A \geqslant f\left( t \right) \geqslant \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4} \Rightarrow A \geqslant \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $\dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4}$ xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered} x + y = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ x = y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}$
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) biết \(a > 0\), \(c > 2017\) và \(a + b + c < 2017\). Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - 2017} \right|\) là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(7\)
-
C.
\(5\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : B
Hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) xác định và liên tục trên \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(f\left( 0 \right) = c > 2017 > 0\).
\(f\left( { - 1} \right) = f\left( 1 \right) = a + b + c < 2017\)
Do đó \(\left[ {f\left( { - 1} \right) - 2017} \right].\left[ {f\left( 0 \right) - 2017} \right] < 0\) và \(\left[ {f\left( 1 \right) - 2017} \right].\left[ {f\left( 0 \right) - 2017} \right] < 0\)
Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên \(\exists \alpha < 0\), \(\beta > 0\) sao cho \(f\left( \alpha \right) > 2017\), \(f\left( \beta \right) > 2017\)
\(\left[ {f\left( \alpha \right) - 2017} \right].\left[ {f\left( { - 1} \right) - 2017} \right] < 0\) và \(\left[ {f\left( \beta \right) - 2017} \right].\left[ {f\left( 1 \right) - 2017} \right] < 0\)
Suy ra đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) - 2017\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - 2017} \right|\) có dạng
Vậy số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - 2017} \right|\) là \(7\) .
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
