Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 1 - Đề số 2 - Đại số 10

Đề bài

Câu 1. Cho mệnh đề chưa biến

P(n) : “\(5n + 3\)  chia hết cho 3”, với \(n \in N\) .

Q(n): “ n chia hết cho 3”, với \(n \in N\) .

a.Phát biểu và xét tính đúng sai của các mệnh đề P(4) và Q(9).

b.Phát biểu và chứng minh định lí “\(\forall n \in N,P\left( n \right) \Rightarrow Q\left( n \right)\)” .

c.Phát biểu mệnh đề đảo của định lí trên. Mệnh đề này đúng hay sai? Nếu đúng hãy phát biểu gộp cả định lí thuận và định lí đảo dưới dạng điều kiện cần và đủ.

Câu 2. Cho các tập hợp \(E = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\},\)\(\,A = \left\{ {1;2;3;4} \right\},B = \left\{ {2;4;6;8} \right\}\) .

a.Tìm tập hợp \(A \cap B,A \cup B,A\backslash B,B\backslash A\) .

b.Chứng minh \({C_E}\left( {A \cap B} \right) = {C_E}A \cup {C_E}B\) .

Câu 3. Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3} \right\}\) và \(B = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) . Tìm tất cả các tập hợp X sao cho \(A \cup X = B\) . Bài toán có bao nhiêu nghiệm?

Câu 4. Cho một tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là \(a = 3m \pm 0,01m,b = 4m \pm 0,02m\) và \(c = 5m \pm 0,03m\) . Tính chu vi của tam giác và tính sai số tuyệt đối của kết quả.

Lời giải chi tiết

Câu 1. Cho mệnh đề chưa biến

P(n) : “\(5n + 3\)  chia hết cho 3”, với \(n \in N\) .

Q(n): “ n chia hết cho 3”, với \(n \in N\) .

a.Phát biểu và xét tính đúng sai của các mệnh đề P(4) và Q(9).

P(4): “ 23 chia hết cho 3” là mệnh đề sai.

Q(9): “9 chia hết cho 3” là mệnh đề đúng.

b.Phát biểu và chứng minh định lí “\(\forall n \in N,P\left( n \right) \Rightarrow Q\left( n \right)\)”

Phát biểu: “Với mọi số tự nhiên n, nếu 5n+3 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3”.

Chứng minh: Giả sử số có tự nhiên n sao cho 5n + 3 chia hết cho 3 và n không chia hết cho 3.

Đặt \(n = 3k \pm 1\) , với \(k\in Z\).

Khi đó \(5n + 3 = 5\left( {3k \pm 1} \right) + 3 \)\(\,= 3\left( {5k + 1} \right) \pm 5\) không chia hết cho 3. Điều này trái với giả thiết.

Vậy với mọi số tự nhiên n , nếu 5n + 3 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3.

c.Phát biểu mệnh đề đảo của định lí trên. Mệnh đề này đúng hay sai? Nếu đúng hãy phát biểu gộp cả định lí thuận và định lí đảo dưới dạng điều kiện cần và đủ.

Mệnh đề đảo: “Với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 3 thì 5n + 3 chia hết cho 3”.

Mệnh đề này đúng vì:

Nếu n chia hết cho 3 thì n=3k, \(k\in Z\). Khi đó

5n+3=5.3k+3=3(5k+1) chia hết cho 3.

Vậy với mọi số tự nhiên n, điều kiện cần và đủ để 5n + 3 chia hết cho cho 3 là n chia hết cho 3.

Câu 2. Cho các tập hợp \(E = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\},\)\(\,A = \left\{ {1;2;3;4} \right\},B = \left\{ {2;4;6;8} \right\}\) .

a.Tìm tập hợp \(A \cap B,A \cup B,A\backslash B,B\backslash A\) .

Ta có

+\(A \cap B = \left\{ {2;4} \right\}\)

+\(A \cup B = \left\{ {1;2;3;4;6;8} \right\}\)

+\(A\backslash B = \left\{ {1;3} \right\}\)

+\(B\backslash A = \left\{ {6;8} \right\}\)

b.Chứng minh \({C_E}\left( {A \cap B} \right) = {C_E}A \cup {C_E}B\) .

Ta có

+\(A \cap B = \left\{ {2;4} \right\} \)

\(\Rightarrow {C_E}\left( {A \cap B} \right) = \left\{ {1;3;5;6;7;8;9} \right\}\)

+\({C_E}A = \left\{ {5;6;7;8;9} \right\},\)

\({C_E}B = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\} \)

\(\Rightarrow {C_E}A \cup {C_E}B = \left\{ {1;3;5;6;7;8;9} \right\}\)

Vậy \({C_E}\left( {A \cap B} \right) = {C_E}A \cup {C_E}B\) .

Câu 3. Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3} \right\}\) và \(B = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) . Tìm tất cả các tập hợp X sao cho \(A \cup X = B\) . Bài toán có bao nhiêu nghiệm?

Ta có \(B\backslash A = \left\{ {4;5} \right\}\) . Do đó để \(A \cup X = B\) thì \(4 \in X\) và \(5 \in X\) .

Ngoài ra X có thể chứa thêm các phần tử của A.

Vậy X là các tập sau: \(\left\{ {4;5} \right\}\left\{ {1;4;5} \right\},\left\{ {2;4;5} \right\},\left\{ {3;4;5} \right\},\)\(\left\{ {1;2;4;5} \right\},\left\{ {1;3;4;5} \right\},\left\{ {2;3;4;5} \right\},\)\(\left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) .

Bài toán có 8 nghiệm.

Câu 4. Cho một tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là \(a = 3m \pm 0,01m,b = 4m \pm 0,02m\) và \(c = 5m \pm 0,03m\) . Tính chu vi của tam giác và tính sai số tuyệt đối của kết quả.

Ta có

\(a = 3m \pm 0,01m\)\(\, \Rightarrow 3m - 0,01m \le a \le 3m + 0,01m\) ,

\(b = 4m \pm 0,02m\)\(\, \Rightarrow 4m - 0,02m \le b \le 4m + 0,02m\),

\(a = 5m \pm 0,03m \)\(\,\Rightarrow 5m - 0,03m \le c \le 5m + 0,03m\).

Suy ra \(12m - 0,06m \le a + b + c \le 12m + 0,06m\) .

Vậy chu vi tam giác là \(P = 12m \pm 0,06\) .

Sai số tuyệt đối \({\Delta _P} = 0,06m\) .

 Loigiaihay.com