Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 3
Đề bài
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,{\rm{ }}OB,{\rm{ }}OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
\(OA \bot BC.\)
-
B.
\(OH \bot AB\)
-
C.
$H$ là trực tâm \(\Delta ABC.\)
-
D.
\(AH \bot \left( {OBC} \right)\)
Cho hình hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ với $M = C{D_1} \cap {C_1}D$. Khi đó:
-
A.
$\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
-
B.
$\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
-
C.
$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
-
D.
$\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} $
Cho $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
-
A.
$\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
-
B.
$\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {A{A_1}} $
-
C.
$\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} $
-
D.
$\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
Cho tứ diện \(ABCD\), \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng?
-
A.
\(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AD} .\)
-
B.
\(\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {MN} .\)
-
C.
$\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {MN} .$
-
D.
\(\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {MA} .\)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại.
-
B.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau
-
C.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau
-
D.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân ở \(C\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(SB\). Biết \(HK \bot \left( {ABC} \right)\), khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(CH \bot HK\).
-
B.
\(AB \bot \left( {CHK} \right)\).
-
C.
\(CH \bot AK\).
-
D.
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Góc giữa $AO$ và $CD$ bằng bao nhiêu?
-
A.
${0^0}.$
-
B.
${30^0}.$
-
C.
${90^0}.$
-
D.
${60^0}.$
Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
A.
Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy đó
-
B.
Tất cả các cạnh của hình chóp đều thì bằng nhau.
-
C.
Đáy của hình chóp đều là các đa giác đều.
-
D.
Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân
Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $\;a$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $BC$. Số đo của góc $\left( {IJ,\;CD} \right)$ bằng:
-
A.
$90^\circ .$
-
B.
$45^\circ .$
-
C.
$30^\circ .$
-
D.
$60^\circ .$
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a,IJ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (\(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\)). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là
-
A.
\(30^\circ \).
-
B.
\(45^\circ \).
-
C.
\(60^\circ \).
-
D.
\(90^\circ \).
Cho hình chóp $S.ABC$ có \(SA \bot (ABC)\) và tam giác $ABC$ không vuông, gọi $H,{\rm{ }}K$ lần lượt là trực tâm các tam giác$ABC$ và $SBC$. Các đường thẳng $AH,{\rm{ }}SK,{\rm{ }}BC$ thỏa mãn:
-
A.
Đồng quy.
-
B.
Đôi một song song
-
C.
Đôi một chéo nhau
-
D.
Đáp án khác
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB \bot CD\) và \(AC \bot BD\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(mp(BCD)\). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
A.
\(H\) là trực tâm tam giác \(BCD\).
-
B.
\(CD \bot (ABH)\).
-
C.
\(AD \bot BC\).
-
D.
Các khẳng định trên đều sai.
Lời giải và đáp án
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,{\rm{ }}OB,{\rm{ }}OC\) đôi một vuông góc với nhau. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
\(OA \bot BC.\)
-
B.
\(OH \bot AB\)
-
C.
$H$ là trực tâm \(\Delta ABC.\)
-
D.
\(AH \bot \left( {OBC} \right)\)
Đáp án : D
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng và ngược lại.
+) \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC.\) Do đó A đúng.
+) Do \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(OH \bot AB\) nên B đúng.
Gọi \(I = AH \cap BC.\)
Theo giả thiết ta có $OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC.$ Suy ra \(BC \bot \left( {AOI} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot OI,BC \bot AI\)
Gọi \(J = BH \cap AC.\) Chứng minh tương tự ta có \(AC \bot BJ\).
Suy ra $H$ là trực tâm \(\Delta ABC.\) Do đó C đúng.
Vậy D là đáp án sai vì \(AO \bot \left( {OBC} \right)\) và \(AO \ne AH\).
Cho hình hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ với $M = C{D_1} \cap {C_1}D$. Khi đó:
-
A.
$\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
-
B.
$\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
-
C.
$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
-
D.
$\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} $
Đáp án : B
Xen các điểm thích hợp, biểu diễn véc tơ \(\overrightarrow {AM} \) qua các véc tơ không cùng phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {A{A_1}} \)
Ta có: $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {D{C_1}} $ $ = AD + \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {D{D_1}} } \right)$ $ = \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
Cho $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
-
A.
$\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
-
B.
$\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {A{A_1}} $
-
C.
$\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} $
-
D.
$\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
Đáp án : A
Xen điểm thích hợp, biểu diễn véc tơ \(\overrightarrow {AK} \) qua các véc tơ không cùng phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {A{A_1}} \)
Có $\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CK} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{A_1}} $
Cho tứ diện \(ABCD\), \(M\) và \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng?
-
A.
\(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AD} .\)
-
B.
\(\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {MN} .\)
-
C.
$\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {MN} .$
-
D.
\(\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {DC} ;\overrightarrow {MA} .\)
Đáp án : C
Ba véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \exists m,n\) sao cho \(\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b \) (.$m,n$. là duy nhất).
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \\\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {MN} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} \end{array}\)
Vậy ba vecto $\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {MN} $ đồng phẳng.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại.
-
B.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau
-
C.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau
-
D.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia
Đáp án : D
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân ở \(C\). Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(SB\). Biết \(HK \bot \left( {ABC} \right)\), khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(CH \bot HK\).
-
B.
\(AB \bot \left( {CHK} \right)\).
-
C.
\(CH \bot AK\).
-
D.
\(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Đáp án : D
Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh \(CH \bot \left( {SAB} \right)\).
Ta có: \(HK \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow HK \bot CH\) hay A đúng.
Do \(\Delta ABC\) cân tại \(C\) nên \(CH \bot AB\).
Mà \(HK \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH\).
Do đó \(CH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CH \bot AK\) hay C đúng.
Ngoài ra \(HK \bot AB\), mà \(AB \bot CH\) \( \Rightarrow AB \bot \left( {CHK} \right)\) hay B đúng.
D sai vì \(BC\) không vuông góc với \(AC\) nên không có \(BC \bot \left( {SAC} \right)\).
Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Góc giữa $AO$ và $CD$ bằng bao nhiêu?
-
A.
${0^0}.$
-
B.
${30^0}.$
-
C.
${90^0}.$
-
D.
${60^0}.$
Đáp án : C
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\).
- Tính tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {CD} \) rồi kết luận.
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\).
Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên \(AM \bot CD,\,\,OM \bot CD.\)
Ta có \(\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MO} } \right) = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {MO} = 0.\)
Suy ra \(\overrightarrow {AO} \bot \overrightarrow {CD} \) nên số đo góc giữa hai đường thẳng $AO$ và $CD$ bằng \({90^0}.\)
Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
-
A.
Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đa giác đáy đó
-
B.
Tất cả các cạnh của hình chóp đều thì bằng nhau.
-
C.
Đáy của hình chóp đều là các đa giác đều.
-
D.
Các mặt bên của hình chóp đều là những tam giác cân
Đáp án : B
Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình chóp đều.
Hình chóp đều có thể có cạnh bên và cạnh đáy KHÔNG bằng nhau nên đáp án B sai.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $\;a$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $BC$. Số đo của góc $\left( {IJ,\;CD} \right)$ bằng:
-
A.
$90^\circ .$
-
B.
$45^\circ .$
-
C.
$30^\circ .$
-
D.
$60^\circ .$
Đáp án : D
Dựa vào mối quan hệ song song và các kiến thức hình học đã biết để tính góc giữa \(IJ\) và \(CD\).
Gọi \(O\) là tâm của hình thoi \(ABCD \Rightarrow \)\(OJ\) là đường trung bình của \(\Delta BCD.\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}OJ\,\parallel \,CD\\OJ = \dfrac{1}{2}CD\end{array} \right.\).
Vì \(CD\,\parallel \,OJ \Rightarrow \left( {IJ,CD} \right) = \left( {IJ,OJ} \right)\).
Xét tam giác $IOJ$, có \(\left\{ \begin{array}{l}IJ = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{a}{2}\\OJ = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2}\\IO = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.\) $ \Rightarrow \Delta IOJ$ đều.
Vậy \(\left( {IJ,CD} \right) = \left( {IJ,OJ} \right) = \widehat {IJO} = 60^\circ \).
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a,IJ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (\(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\)). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là
-
A.
\(30^\circ \).
-
B.
\(45^\circ \).
-
C.
\(60^\circ \).
-
D.
\(90^\circ \).
Đáp án : C
Sử dụng tính chất: \(\left\{ \begin{array}{l}a//a'\\b//b'\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = \widehat {\left( {a',b'} \right)}\)
Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm \(AC\), \(BD.\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}MI = NI = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2}\\MI{\text{ // }}AB{\text{ // }}NJ,MJ//CD//IN\end{array} \right. \Rightarrow MINJ\) là hình thoi.
Gọi \(O\) là giao điểm của \(MN\) và \(IJ\).
Ta có: \(\widehat {MIN} = 2\widehat {MIO}\).
Xét \(\Delta MIO\) vuông tại \(O\), ta có: \(\cos \widehat {MIO} = \dfrac{{IO}}{{MI}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {MIO} = 30^\circ \Rightarrow \widehat {MIN} = 60^\circ \)
Mà: \(\left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = \widehat {MIN} = 60^\circ \)
Cho hình chóp $S.ABC$ có \(SA \bot (ABC)\) và tam giác $ABC$ không vuông, gọi $H,{\rm{ }}K$ lần lượt là trực tâm các tam giác$ABC$ và $SBC$. Các đường thẳng $AH,{\rm{ }}SK,{\rm{ }}BC$ thỏa mãn:
-
A.
Đồng quy.
-
B.
Đôi một song song
-
C.
Đôi một chéo nhau
-
D.
Đáp án khác
Đáp án : A
Sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot b\)
Gọi $AA'$ là đường cao của tam giác $ABC$ \( \Rightarrow AA' \bot BC\) mà
\(BC \bot SA\) nên \(BC \bot SA' \Rightarrow A' \in SK\) (vì \(K\) là trực tâm của tam giác)
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB \bot CD\) và \(AC \bot BD\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(mp(BCD)\). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
A.
\(H\) là trực tâm tam giác \(BCD\).
-
B.
\(CD \bot (ABH)\).
-
C.
\(AD \bot BC\).
-
D.
Các khẳng định trên đều sai.
Đáp án : D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AB\\CD \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (ABH) \Rightarrow CD \bot BH\). Tương tự \(BD \bot CH\)
Suy ra \(H\) là trực tâm \(\Delta BCD\). Suy ra đáp án A, B đúng.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AD\), suy ra C đúng.
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2