Đề thi toán 12, đề kiểm tra toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 7: Phương pháp tọa độ trong không gian - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm

$A\left( {1;2; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;1;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;1;2} \right)$. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Giá trị của $a + b + c$ bằng:

A.

$4$
B.

$5$
C.

$7$
D.

$6$

Câu 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm A đối xứng với $B\left( {3; - 1;4} \right)$ qua mặt phẳng $\left( {xOz} \right)$ là:

A.
$A\left( { - 3; - 1; - 4} \right)$
B.

$A\left( {3; - 1; - 4} \right)$
C.
$A\left( {3;1;4} \right)$
D.
$A\left( { - 3; - 1;4} \right)$

Câu 3 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của $A\left( 3;2;-1 \right)$ trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là điểm:

A.
$H\left( 3;2;0 \right)$
B.

$H\left( 0;0;-1 \right)$
C.

$H\left( 3;2;-1 \right)$
D.

$H\left( 0;2;0 \right)$

Câu 4 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec c = - 9\vec k$. Tọa độ của vectơ $\vec c$ là:

A.

$\vec c = \left( { - 9;0;0} \right)$
B.

$\vec c = \left( {0;0; - 9} \right)$
C.

$\vec c = \left( {0;0;9} \right)$
D.

$\vec c = \left( {0; - 9;0} \right)$

Câu 5 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2{\rm{x}} - y + z - 1 = 0$ . Điểm nào dưới đây thuộc $\left( P \right)$

A.
$M\left( {2; - 1;1} \right)$
B.
$N\left( {0;1; - 2} \right)$
C.
$P\left( {1; - 2;0} \right)$
D.
$Q\left( {1; - 3; - 4} \right)$

Câu 6 :

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0$ và điểm $M\left( {0;1;1} \right)$. Chọn kết luận đúng:

A.

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
B.

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) > d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
C.

$M \in \left( P \right)$
D.

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$

Câu 7 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):2x-z+1=0$. Tọa độ một vectơ pháp tuyến của (P) là

A.

$\overrightarrow{n}=(2;-1;1)$.
B.

$\overrightarrow{n}=(2;0;-1)$.
C.

$\overrightarrow{n}=(2;-1;0)$.
D.
$\overrightarrow{n}=(2;0;1)$.

Câu 8 :

Cho hai véc tơ $\overrightarrow u = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;0;c} \right)$. Biết $\overrightarrow u = \overrightarrow v $, khi đó:

A.

$a = 0$
B.

$c = 1$
C.

$a = - 1$
D.

$a = c$

Câu 9 :

Biết tích có hướng của hai véc tơ $\overrightarrow u = \left( {1;m;n} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( { - \dfrac{1}{2};2;3} \right)$ bằng $\overrightarrow 0 $. Giá trị của $T = m + n$ là:

A.

$5$
B.

$ - \dfrac{5}{2}$
C.

$10$
D.

$ - 10$

Câu 10 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left[ {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right),\overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow 0 $ là:

A.

Đường thẳng qua $C$ và song song với cạnh $AB$.
B.

Đường thẳng qua trung điểm $I$ của $AB$ và song song với cạnh $AC$.
C.

Đường thẳng qua trung điểm $I$ của $AB$ và vuông góc với cạnh $AC$.
D.

Đường thẳng qua $B$ và song song với cạnh $AC$.

Câu 11 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;2; - 1)$ , $B(2;0;1)$. Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ sao cho :$M{A^2} + M{B^2}$ đạt giá trị bé nhất.

A.

$M(0;1;0)$
B.

$M(1;0;0)$
C.

$M(0;1;2)$
D.

$M( - 1;0;0)$

Câu 12 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A\left( { - 1; - 2;4} \right)$, $B\left( { - 4; - 2;0} \right)$, $C\left( {3; - 2;1} \right)$ và $D\left( {1;1;1} \right)$. Độ dài đường cao của tứ diện $ABCD$ kẻ từ đỉnh $D$ bằng:

A.

$3$
B.

$1$
C.

$2$
D.

$\dfrac{1}{2}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm

A.

$4$
B.

$5$
C.

$7$
D.

$6$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Điều kiện để $H$ là trực tâm của tam giác là $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {a - 1;b - 2;c + 1} \right)\\\overrightarrow {BH} = \left( {a - 2;b - 1;c - 1} \right)\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;0;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 5; - 2} \right)$.

Do $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {a - 1} \right) + \left( {c + 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 2} \right) - 1\left( {b - 1} \right) + 3\left( {c - 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 1} \right) - 5\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c + 1} \right) = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + c = - 3\\ - a - b + 3c = 0\\ - a - 5b - 2c = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.$.

Do đó $a + b + c = 4$.

Câu 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm A đối xứng với $B\left( {3; - 1;4} \right)$ qua mặt phẳng $\left( {xOz} \right)$ là:

A.
$A\left( { - 3; - 1; - 4} \right)$
B.

$A\left( {3; - 1; - 4} \right)$
C.
$A\left( {3;1;4} \right)$
D.
$A\left( { - 3; - 1;4} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ có điểm đối xứng qua mặt phẳng $\left( {xOz} \right)$ là $M'\left( {x; - y;z} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Lấy đối xứng điểm $B\left( {3; - 1;4} \right)$ qua $\left( {Oxz} \right)$ ta được $A\left( {3;1;4} \right)$.

Câu 3 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của $A\left( 3;2;-1 \right)$ trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là điểm:

A.
$H\left( 3;2;0 \right)$
B.

$H\left( 0;0;-1 \right)$
C.

$H\left( 3;2;-1 \right)$
D.

$H\left( 0;2;0 \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( x;y;z \right)$ trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là $M'\left( x;y;0 \right)$

Lời giải chi tiết :

Hình chiếu vuông góc của $A\left( 3;2;-1 \right)$ trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là điểm $H\left( 3;2;0 \right)$.

Câu 4 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec c = - 9\vec k$. Tọa độ của vectơ $\vec c$ là:

A.

$\vec c = \left( { - 9;0;0} \right)$
B.

$\vec c = \left( {0;0; - 9} \right)$
C.

$\vec c = \left( {0;0;9} \right)$
D.

$\vec c = \left( {0; - 9;0} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $k\overrightarrow u = \left( {kx;ky;kz} \right)$ với véc tơ $\overrightarrow u = \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\vec k = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \vec c = - 9\vec k = \left( {0;0; - 9} \right)$

Câu 5 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2{\rm{x}} - y + z - 1 = 0$ . Điểm nào dưới đây thuộc $\left( P \right)$

A.
$M\left( {2; - 1;1} \right)$
B.
$N\left( {0;1; - 2} \right)$
C.
$P\left( {1; - 2;0} \right)$
D.
$Q\left( {1; - 3; - 4} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0$ nếu và chỉ nếu $a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d = 0$.

Lời giải chi tiết :

Dễ thấy $2.1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) - 1 = 0$$ \Rightarrow $ điểm $Q$ thuộc $\left( P \right)$

Câu 6 :

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0$ và điểm $M\left( {0;1;1} \right)$. Chọn kết luận đúng:

A.

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
B.

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) > d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
C.

$M \in \left( P \right)$
D.

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính khoảng cách từ $M$ đến hai mặt phẳng trên, từ đó suy ra kết quả.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 - 1 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$ và $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 1 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0$ nên A sai, D sai, B đúng.

Do đó $M \in \left( Q \right),M \notin \left( P \right)$ nên C sai.

Câu 7 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):2x-z+1=0$. Tọa độ một vectơ pháp tuyến của (P) là

A.

$\overrightarrow{n}=(2;-1;1)$.
B.

$\overrightarrow{n}=(2;0;-1)$.
C.

$\overrightarrow{n}=(2;-1;0)$.
D.
$\overrightarrow{n}=(2;0;1)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mặt phẳng (P) có phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$ là 1 VTPT.

Lời giải chi tiết :

$(P):2x-z+1=0$ có 1 VTPT $\overrightarrow{n}=(2;0;-1)$

Câu 8 :

Cho hai véc tơ $\overrightarrow u = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;0;c} \right)$. Biết $\overrightarrow u = \overrightarrow v $, khi đó:

A.

$a = 0$
B.

$c = 1$
C.

$a = - 1$
D.

$a = c$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất hai véc tơ bằng nhau $\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

$\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\0 = 0\\1 = c\end{array} \right.$

Câu 9 :

A.

$5$
B.

$ - \dfrac{5}{2}$
C.

$10$
D.

$ - 10$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm $m,n$ và suy ra đáp án đúng, chú ý tính chất của các véc tơ.

Lời giải chi tiết :

Do tích có hướng của hai véc tơ bằng $\overrightarrow 0 $ nên $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ cùng phương.

Do đó $\dfrac{1}{{ - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{m}{2} = \dfrac{n}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\n = - 6\end{array} \right. \Rightarrow T = m + n = \left( { - 4} \right) + \left( { - 6} \right) = - 10$

Câu 10 :

A.

Đường thẳng qua $C$ và song song với cạnh $AB$.
B.

Đường thẳng qua trung điểm $I$ của $AB$ và song song với cạnh $AC$.
C.

Đường thẳng qua trung điểm $I$ của $AB$ và vuông góc với cạnh $AC$.
D.

Đường thẳng qua $B$ và song song với cạnh $AC$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, sử dụng tính chất trung điểm và tích có hướng để suy ra tập hợp điểm thỏa mãn.

Lời giải chi tiết :

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} $.

Khi đó $\left[ {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right),\overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow 0 $$ \Leftrightarrow \left[ {2\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow 0 $.

Suy ra $\overrightarrow {MI} $ cùng phương với $\overrightarrow {AC} $.

Câu 11 :

A.

$M(0;1;0)$
B.

$M(1;0;0)$
C.

$M(0;1;2)$
D.

$M( - 1;0;0)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

Cho hai điểm $A({a_1};{a_2};{a_3})$ và $B({b_1};{b_2};{b_3})$ta có:$AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}} $

Lời giải chi tiết :

$M$ nằm trên trục $Ox$, giả sử $M(m;0;0)$.

Ta có

$\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(m - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + 5} \\MB = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1} \end{array}$

Suy ra

$M{A^2} + M{B^2} = {m^2} + 5 + {(m - 2)^2} + 1 = 2{m^2} - 4m + 10 $

$= 2({m^2} - 2m + 1) + 8 = 2{(m - 1)^2} + 8 \ge 8$

$\min (M{A^2} + M{B^2}) = 8 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

Vậy $M(1;0;0)$

Câu 12 :

A.

$3$
B.

$1$
C.

$2$
D.

$\dfrac{1}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tính thể tích tứ diện và diện tích tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;0; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4;0; - 3} \right),$ $\overrightarrow {AD} = \left( {2;3; - 3} \right)$ nên $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 25;0} \right)$

Diện tích tam giác ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{{25}}{2}$

Thể tích tứ diện ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{{25}}{2}$.

Suy ra độ dài đường cao $h = d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 3$.

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục

Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 7: Phương pháp tọa độ trong không gian - Đề số 1

Bài giải mới nhất

Báo lỗi góp ý