Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 6: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Đề số 3
Đề bài
Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
A.
Không tồn tại phép tịnh tiến nào biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
-
B.
Có duy nhất một phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
-
C.
Có đúng hai phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
-
D.
Có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
Khẳng định nào sau đây sai ?
-
A.
Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó
-
B.
Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
-
C.
Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó
-
D.
Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho $T$ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ với biểu thức tọa độ là: $x = x' + 3;\,\,y = y' - 5$. Tọa độ của vectơ tịnh tiến $\overrightarrow u $ là:
-
A.
$\left( {5; - 3} \right)$
-
B.
$\left( {3;5} \right)$
-
C.
$\left( { - 3;5} \right)$
-
D.
\(\left( {3; - 5} \right)\)
Nếu ảnh của hình $H$ qua phép biến hình $F$ là $H'$ thì ta kí hiệu là:
-
A.
$F\left( {H'} \right) = H$
-
B.
$F\left( {HH'} \right) = 0$
-
C.
$F\left( {H'H} \right) = 0$
-
D.
$F\left( H \right) = H'$
Điền cụm từ thích hợp vào chỗ chấm: “Phép đồng nhất là phép biến hình biến điểm \(M\) thành …”.
-
A.
điểm $M'$ sao cho $MM' = 1$
-
B.
điểm $M'$ sao cho $MM' = 2$
-
C.
điểm $M'$ sao cho $MM' < 1$
-
D.
chính nó
Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với \(d:2x\; - y = 0\) có tọa độ là:
-
A.
$A'\left( { - 2;7} \right)$
-
B.
\(A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
C.
\(A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
D.
\(A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)\)
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác $ABC$ với $A\left( {1;3} \right),B\left( {2; - 4} \right),C\left( {3; - 2} \right)$ và điểm $G$ và trọng tâm tam giác $ABC$. Ảnh $G'$ của $G$ qua phép đối xứng trục $Ox$ có tọa độ là
-
A.
\(G'\left( { - 2;1} \right)\)
-
B.
\(G'\left( {2;1} \right)\)
-
C.
\(G'\left( {2; - 1} \right)\)
-
D.
\(G'\left( {1;2} \right)\)
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
-
A.
Hợp của phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ và phép tịnh tiến theo vectơ $ - \overrightarrow u $ là một phép đồng nhất.
-
B.
Hợp của hai phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u + \overrightarrow v $.
-
C.
Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 $ là một phép dời hình không có điểm bất động
-
D.
Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 $ luôn biến đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình $5x - y + 1 = 0$. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về phía trái $2$ đơn vị, sau đó tiếp tục thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên $3$ đơn vị, đường thẳng $\Delta $ biến thành đường thẳng $\Delta '$ có phương trình là:
-
A.
\(5x - y + 14 = 0\)
-
B.
\(5x - y - 7 = 0\)
-
C.
\(5x - y + 5 = 0\)
-
D.
\(5x - y - 12 = 0\)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , nếu phép tịnh tiến biến điểm \(A\left( {3;2} \right)\) thành điểm \(A'\left( {2;5} \right)\) thì nó biến điểm \(B\left( {2;5} \right)\) thành:
-
A.
điểm \(B'\left( {5;2} \right)\)
-
B.
điểm \(B'\left( {1;8} \right)\)
-
C.
điểm \(B'\left( {3;2} \right)\)
-
D.
điểm \(B'\left( {1;1} \right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:x + y - 2 = 0.\) Ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng trục \(Ox\) có phương trình là:
-
A.
\(x - y - 2 = 0.\)
-
B.
\(x + y + 2 = 0.\)
-
C.
\( - x + y - 2 = 0.\)
-
D.
\(x - y + 2 = 0.\)
Cho hàm số \(\left( C \right):\,\,y = \left| x \right|\). Giả sử \(\left( {C'} \right)\) đối xứng với \(\left( C \right)\) qua đường thẳng \(x = 1\). Khi đó, hàm số có đồ thị \(\left( {C'} \right)\) có dạng :
-
A.
\(y = \left| {x + 1} \right|\)
-
B.
\(y = \left| {x - 1} \right|\)
-
C.
\(y = \left| {x + 2} \right|\)
-
D.
\(y = \left| {x - 2} \right|\)
Lời giải và đáp án
Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
A.
Không tồn tại phép tịnh tiến nào biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
-
B.
Có duy nhất một phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
-
C.
Có đúng hai phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
-
D.
Có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $b$.
Đáp án : D
Sử dụng tính chất phép tịnh tiến: biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Lấy điểm \(A,B\) bất kì thuộc hai đường thẳng \(a,b\) thì phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) biến đường thẳng \(a\) thành đường thẳng \(b\).
Vì các điểm \(A,B\) là lấy bất kì nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn bài toán.
Khẳng định nào sau đây sai ?
-
A.
Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó
-
B.
Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
-
C.
Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó
-
D.
Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.
Đáp án : A
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Phép đối xứng trục không bảo toàn hướng của vector.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho $T$ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ với biểu thức tọa độ là: $x = x' + 3;\,\,y = y' - 5$. Tọa độ của vectơ tịnh tiến $\overrightarrow u $ là:
-
A.
$\left( {5; - 3} \right)$
-
B.
$\left( {3;5} \right)$
-
C.
$\left( { - 3;5} \right)$
-
D.
\(\left( {3; - 5} \right)\)
Đáp án : C
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = x' + 3\\y = y' - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 3\\y' = y + 5\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)\)
Nếu ảnh của hình $H$ qua phép biến hình $F$ là $H'$ thì ta kí hiệu là:
-
A.
$F\left( {H'} \right) = H$
-
B.
$F\left( {HH'} \right) = 0$
-
C.
$F\left( {H'H} \right) = 0$
-
D.
$F\left( H \right) = H'$
Đáp án : D
Với mỗi hình \(H\), ảnh của \(H\) qua phép biến hình \(F\) là hình \(H'\) gồm các điểm \(M' = F\left( M \right)\).
Ký hiệu: \(H' = F\left( H \right)\).
Điền cụm từ thích hợp vào chỗ chấm: “Phép đồng nhất là phép biến hình biến điểm \(M\) thành …”.
-
A.
điểm $M'$ sao cho $MM' = 1$
-
B.
điểm $M'$ sao cho $MM' = 2$
-
C.
điểm $M'$ sao cho $MM' < 1$
-
D.
chính nó
Đáp án : D
Với mỗi điểm \(M\) xác định điểm \(M' \equiv M\). Phép biến hình này là phép đồng nhất.
Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với \(d:2x\; - y = 0\) có tọa độ là:
-
A.
$A'\left( { - 2;7} \right)$
-
B.
\(A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
C.
\(A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
D.
\(A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)\)
Đáp án : B
- Viết phương trình đường thẳng $d’$ qua $A$ và vuông góc với $d.$
- Tìm giao điểm $H$ của $d$ và $d’.$ Khi đó $H$ là trung điểm của $AA’.$
Áp dụng công thức tìm tọa độ trung điểm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\end{array} \right.\)
Gọi \(A'\) là ảnh của $A$ qua phép đối xứng trục $d.$ Gọi $d’$ là đường thẳng đi qua $A $ và vuông góc với $d,$ khi đó phương trình $d’$ có dạng: $x + 2y + c = 0.$
Vì \(A \in d'\) nên \(4 + 2\left( { - 3} \right) + c = 0 \Rightarrow c = 2\). Khi đó \(\left( {d'} \right):x + 2y + 2 = 0\)
Gọi \(H = d \cap d' \Rightarrow H\left( { - \dfrac{2}{5}; - \dfrac{4}{5}} \right) \Rightarrow \) $H $ là trung điểm của $AA’.$ Khi đó
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - \dfrac{2}{5}} \right) - 4 = - \dfrac{{24}}{5}\\{y_{A'}} = 2\left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + 3 = \dfrac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác $ABC$ với $A\left( {1;3} \right),B\left( {2; - 4} \right),C\left( {3; - 2} \right)$ và điểm $G$ và trọng tâm tam giác $ABC$. Ảnh $G'$ của $G$ qua phép đối xứng trục $Ox$ có tọa độ là
-
A.
\(G'\left( { - 2;1} \right)\)
-
B.
\(G'\left( {2;1} \right)\)
-
C.
\(G'\left( {2; - 1} \right)\)
-
D.
\(G'\left( {1;2} \right)\)
Đáp án : B
Áp dụng công thức tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác \(ABC:\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)
Tìm ảnh của $G$ qua phép đối xứng trục $Ox$ , nếu $G\left( {a;b} \right)$ thì $G'\left( {a; - b} \right)$ .
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \dfrac{{3 - 4 - 2}}{3} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2; - 1} \right) \Rightarrow G'\left( {2;1} \right)\)
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
-
A.
Hợp của phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ và phép tịnh tiến theo vectơ $ - \overrightarrow u $ là một phép đồng nhất.
-
B.
Hợp của hai phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u + \overrightarrow v $.
-
C.
Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 $ là một phép dời hình không có điểm bất động
-
D.
Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 $ luôn biến đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó
Đáp án : D
Giả sử ta có phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M$ thành điểm ${M_1}$ và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v $ biến điểm ${M_1}$ thành điểm ${M_2}$. Ta có: $\overrightarrow {M{M_1}} = \overrightarrow u $ và $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \overrightarrow v $.
Do đó $\overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \overrightarrow u + \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {M{M_2}} = \overrightarrow u + \overrightarrow v $
Như thế phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u + \overrightarrow v $ biến $M$ thành ${M_2}$.
Vậy: Hợp của hai phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u + \overrightarrow v $
+ Hợp của phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ và phép tịnh tiến theo vectơ $ - \overrightarrow u $ theo kết quả trên là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u + \left( { - \overrightarrow u } \right) = \overrightarrow 0 $, đó là một phép đồng nhất.
+ Câu D sai vì: Nếu $\Delta $ là đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow u $ thì ảnh của $\Delta $ là chính nó.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình $5x - y + 1 = 0$. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về phía trái $2$ đơn vị, sau đó tiếp tục thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên $3$ đơn vị, đường thẳng $\Delta $ biến thành đường thẳng $\Delta '$ có phương trình là:
-
A.
\(5x - y + 14 = 0\)
-
B.
\(5x - y - 7 = 0\)
-
C.
\(5x - y + 5 = 0\)
-
D.
\(5x - y - 12 = 0\)
Đáp án : A
- Xác định véc tơ tịnh tiến \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3} \right)\).
- Sử dụng công thức biến đổi tọa độ của phép tịnh tiến để viết phương trình đường thẳng \(\Delta '\).
Từ giả thiết suy ra $\Delta '$ là ảnh của $\Delta $ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u = \left( { - 2;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 2\\y' = y + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 2\\y = y' - 3\end{array} \right.$.
Do đó đường thẳng $\Delta '$ có phương trình là: $5\left( {x' + 2} \right) - \left( {y' - 3} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow 5x' - y' + 14 = 0 \Rightarrow 5x - y + 14 = 0$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , nếu phép tịnh tiến biến điểm \(A\left( {3;2} \right)\) thành điểm \(A'\left( {2;5} \right)\) thì nó biến điểm \(B\left( {2;5} \right)\) thành:
-
A.
điểm \(B'\left( {5;2} \right)\)
-
B.
điểm \(B'\left( {1;8} \right)\)
-
C.
điểm \(B'\left( {3;2} \right)\)
-
D.
điểm \(B'\left( {1;1} \right)\)
Đáp án : B
- Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến $\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} $
Gọi $B'(x;y)$ ta có:
\(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 2 - 3\\y - 5 = 5 - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\end{array} \right.\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:x + y - 2 = 0.\) Ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng trục \(Ox\) có phương trình là:
-
A.
\(x - y - 2 = 0.\)
-
B.
\(x + y + 2 = 0.\)
-
C.
\( - x + y - 2 = 0.\)
-
D.
\(x - y + 2 = 0.\)
Đáp án : A
- Tìm tọa độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \(Ox\).
- Lấy một điểm \(B \in d\) và tìm ảnh \(B'\) của \(B\) qua \(Ox\).
- Viết phương trình \(AB'\) và kết luận.
Trục \(Ox\) có phương trình \(y = 0.\)
Tọa độ giao điểm \(A\) của \(d\) và \(Ox\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;0} \right).\)
Vì \(A \in Ox\) nên qua phép đối xứng trục \(Ox\) biến thành chính nó, tức \(A' \equiv A\left( {2;0} \right).\)
Chọn điểm \(B\left( {1;1} \right) \in d \Rightarrow B'\left( {1; - 1} \right)\) là ảnh của \(B\) qua phép đối xứng trục \(Ox\).
Vậy đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng trục \(Ox\) đi qua hai điểm \(A'\left( {2;0} \right)\) và \(B'\left( {1; - 1} \right)\) nên có phương trình \(x - y - 2 = 0.\)
Cho hàm số \(\left( C \right):\,\,y = \left| x \right|\). Giả sử \(\left( {C'} \right)\) đối xứng với \(\left( C \right)\) qua đường thẳng \(x = 1\). Khi đó, hàm số có đồ thị \(\left( {C'} \right)\) có dạng :
-
A.
\(y = \left| {x + 1} \right|\)
-
B.
\(y = \left| {x - 1} \right|\)
-
C.
\(y = \left| {x + 2} \right|\)
-
D.
\(y = \left| {x - 2} \right|\)
Đáp án : D
\(\left( C \right):\,\,y = \left| x \right| = \left[ \begin{array}{l}x\,\,khi\,\,x \ge 0\,\,\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\ - x\,\,khi\,\,x < 0\,\,\,\left( {{d_2}} \right)\end{array} \right.\)
Tìm ảnh của \({d_1}\) và \({d_2}\) qua phép đối xứng qua trục là đường thẳng $x = 1$.
\(\left( C \right):\,\,y = \left| x \right| = \left[ \begin{array}{l}x\,\,khi\,\,x \ge 0\,\,\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\ - x\,\,khi\,\,x < 0\,\,\,\left( {{d_2}} \right)\end{array} \right.\)
\({d_1} \cap \left( {x = 1} \right) = A\left( {1;1} \right)\)
Lấy \(B\left( {2;2} \right) \in {d_1} \Rightarrow \) đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với đường thẳng \(x = 1\) có phương trình $y = 2$.
Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $x = 1$ và \(y = 2 \Rightarrow H\left( {1;2} \right)\)
Gọi $B'$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng \(x = 1 \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BB' \Rightarrow B'\left( {0;2} \right)\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng $AB'$ là \(\dfrac{{x - 1}}{{0 - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow - x + 1 = y - 1 \Leftrightarrow x + y = 2\)
\( \Rightarrow x + y = 2\) là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $y = x$ qua đường thẳng $x = 1$.
\({d_2} \cap \left( {x = 1} \right) = C\left( {1; - 1} \right)\)
Lấy \(D\left( {0;0} \right) \in {d_2} \Rightarrow \) Đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với đường thẳng $x = 1$ có phương trình $y = 0$.
Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $x = 1$ và \(y = 0 \Rightarrow K\left( {1;0} \right)\)
Gọi $D'$ là điểm đối xứng với $D$ qua đường thẳng \(x = 1 \Rightarrow K\) là trung điểm của \(DD' \Rightarrow D'\left( {2;0} \right)\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(CD'\) là : \(\dfrac{{x - 1}}{{2 - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{{0 + 1}} \Leftrightarrow x - 1 = y + 1 \Leftrightarrow x - y = 2\)
\( \Rightarrow x - y = 2\) là đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(y = - x\) qua đường thẳng \(x = 1\)
\( \Rightarrow \left( {C'} \right):\,\,\left[ \begin{array}{l}x + y = 2\\x - y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - x + 2\\y = x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow y = \left| {x - 2} \right|\)
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2