Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 6: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Đề số 1
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\). Phép đối xứng trục \(Ox\) biến đường tròn \(\left( C \right)\) thành đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có phương trình là:
-
A.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)
-
B.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\)
-
C.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)
-
D.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\)
Khẳng định nào sau đây sai ?
-
A.
Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó
-
B.
Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
-
C.
Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó
-
D.
Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác $ABC$ với $A\left( {1;3} \right),B\left( {2; - 4} \right),C\left( {3; - 2} \right)$ và điểm $G$ và trọng tâm tam giác $ABC$. Ảnh $G'$ của $G$ qua phép đối xứng trục $Ox$ có tọa độ là
-
A.
\(G'\left( { - 2;1} \right)\)
-
B.
\(G'\left( {2;1} \right)\)
-
C.
\(G'\left( {2; - 1} \right)\)
-
D.
\(G'\left( {1;2} \right)\)
Cho đường thẳng $d$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành chính nó?
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép
Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với \(d:2x\; - y = 0\) có tọa độ là:
-
A.
$A'\left( { - 2;7} \right)$
-
B.
\(A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
C.
\(A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
D.
\(A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)\)
Số phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
(1) Phép tịnh tiến và phép đối xứng trục đều biến đường thẳng thành đường thẳng song song, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đương tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
(2) Tứ giác $ABCD$ là hình thang cân đáy \(AD//BC\). Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên $AB$ và $CD$. Khi đó, đường thẳng $MN$ là trục đối xứng của $ABCD$.
(3) Cho đường thẳng $d$ có phương trình \(y = - x\). Ảnh của đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 7\) qua phép đối xứng trục $d$ là \(\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 7\)
(4) Ảnh của đường phân giác ứng với góc phần tư thứ $(I)$ qua phép đối xứng trục $Oy$ là đường thẳng $d$ có phương trình \(y = - x\)
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $d'$?
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép
Hình gồm $2$ đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng?
-
A.
Không có
-
B.
Một
-
C.
Hai
-
D.
Vô số.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai đường thẳng song song $a$ và $a'$ lần lượt có phương trình \(3x - 4y + 5 = 0\) và \(3x - 4y = 0\). Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow u \) biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $a'$. Khi đó độ dài bé nhất của vectơ \(\overrightarrow u \) bằng bao nhiêu?
-
A.
\(5\)
-
B.
\(4\)
-
C.
\(\sqrt 2 \)
-
D.
\(1\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y = {x^2} - x + 1$. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ $\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {2;3} \right)$, parabol $\left( P \right)$ biến thành parabol $\left( Q \right)$ có phương trình là:
-
A.
\(y = {x^2} - 7x + 14\)
-
B.
\(y = {x^2} + 3x + 2\)
-
C.
\(y = {x^2} + 5x + 6\)
-
D.
\(y = {x^2} - 9x + 5\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình $2x - y + 3 = 0$. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên trái hai đơn vị, đường thẳng $\Delta $ biến thành đường thẳng $\Delta '$ có phương trình là:
-
A.
\(2x - y + 7 = 0\)
-
B.
\(2x - y - 1 = 0\)
-
C.
\(2x - y + 8 = 0\)
-
D.
\(2x - y - 6 = 0\)
Cho hàm số \(\left( C \right):\,\,y = \left| x \right|\). Giả sử \(\left( {C'} \right)\) đối xứng với \(\left( C \right)\) qua đường thẳng \(x = 1\). Khi đó, hàm số có đồ thị \(\left( {C'} \right)\) có dạng :
-
A.
\(y = \left| {x + 1} \right|\)
-
B.
\(y = \left| {x - 1} \right|\)
-
C.
\(y = \left| {x + 2} \right|\)
-
D.
\(y = \left| {x - 2} \right|\)
Lời giải và đáp án
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\). Phép đối xứng trục \(Ox\) biến đường tròn \(\left( C \right)\) thành đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có phương trình là:
-
A.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)
-
B.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\)
-
C.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)
-
D.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4.\)
Đáp án : C
- Tìm tâm và bán kính đường tròn đã cho.
- Xác định ảnh của tâm đường tròn qua phép đối xứng.
- Viết phương trình đường tròn ảnh và kết luận.
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 2.\)
Ta có \(I\left( {1; - 2} \right) \Rightarrow I'\left( {1;2} \right)\) đối xứng với \(I\) qua \(Ox\) và \(R = 2 \Rightarrow R' = R = 2.\)
Do đó \(\left( {C'} \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4.\)
Khẳng định nào sau đây sai ?
-
A.
Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó
-
B.
Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
-
C.
Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó
-
D.
Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.
Đáp án : A
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Phép đối xứng trục không bảo toàn hướng của vector.
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác $ABC$ với $A\left( {1;3} \right),B\left( {2; - 4} \right),C\left( {3; - 2} \right)$ và điểm $G$ và trọng tâm tam giác $ABC$. Ảnh $G'$ của $G$ qua phép đối xứng trục $Ox$ có tọa độ là
-
A.
\(G'\left( { - 2;1} \right)\)
-
B.
\(G'\left( {2;1} \right)\)
-
C.
\(G'\left( {2; - 1} \right)\)
-
D.
\(G'\left( {1;2} \right)\)
Đáp án : B
Áp dụng công thức tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác \(ABC:\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)
Tìm ảnh của $G$ qua phép đối xứng trục $Ox$ , nếu $G\left( {a;b} \right)$ thì $G'\left( {a; - b} \right)$ .
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \dfrac{{3 - 4 - 2}}{3} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2; - 1} \right) \Rightarrow G'\left( {2;1} \right)\)
Cho đường thẳng $d$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành chính nó?
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép
Đáp án : D
Sử dụng tính chất phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Mọi phép tịnh tiến theo véc tơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng \(d\) đều biến \(d\) thành chính nó
Vậy có vô số phép tịnh tiến như trên.
Ảnh $A'$ của $A\left( {4; - 3} \right)$ qua phép đối xứng trục $d$ với \(d:2x\; - y = 0\) có tọa độ là:
-
A.
$A'\left( { - 2;7} \right)$
-
B.
\(A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
C.
\(A'\left( {\dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
-
D.
\(A'\left( {12;\dfrac{7}{5}} \right)\)
Đáp án : B
- Viết phương trình đường thẳng $d’$ qua $A$ và vuông góc với $d.$
- Tìm giao điểm $H$ của $d$ và $d’.$ Khi đó $H$ là trung điểm của $AA’.$
Áp dụng công thức tìm tọa độ trung điểm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\end{array} \right.\)
Gọi \(A'\) là ảnh của $A$ qua phép đối xứng trục $d.$ Gọi $d’$ là đường thẳng đi qua $A $ và vuông góc với $d,$ khi đó phương trình $d’$ có dạng: $x + 2y + c = 0.$
Vì \(A \in d'\) nên \(4 + 2\left( { - 3} \right) + c = 0 \Rightarrow c = 2\). Khi đó \(\left( {d'} \right):x + 2y + 2 = 0\)
Gọi \(H = d \cap d' \Rightarrow H\left( { - \dfrac{2}{5}; - \dfrac{4}{5}} \right) \Rightarrow \) $H $ là trung điểm của $AA’.$ Khi đó
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - \dfrac{2}{5}} \right) - 4 = - \dfrac{{24}}{5}\\{y_{A'}} = 2\left( { - \dfrac{4}{5}} \right) + 3 = \dfrac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - \dfrac{{24}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)\)
Số phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
(1) Phép tịnh tiến và phép đối xứng trục đều biến đường thẳng thành đường thẳng song song, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đương tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
(2) Tứ giác $ABCD$ là hình thang cân đáy \(AD//BC\). Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên $AB$ và $CD$. Khi đó, đường thẳng $MN$ là trục đối xứng của $ABCD$.
(3) Cho đường thẳng $d$ có phương trình \(y = - x\). Ảnh của đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 7\) qua phép đối xứng trục $d$ là \(\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 7\)
(4) Ảnh của đường phân giác ứng với góc phần tư thứ $(I)$ qua phép đối xứng trục $Oy$ là đường thẳng $d$ có phương trình \(y = - x\)
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$4$
Đáp án : A
Xét tính đúng sai của từng đáp án.
Dựa vào hình vẽ trên ta thấy $2$ đường thẳng đối xứng qua đường thẳng $d$ không song song \( \Rightarrow \) (1) sai.
Xét (2): \(M,N\) là trung điểm của hai cạnh bên \(AB,CD\) nên \(MN\) là đường trung bình của hình thang chứ không phải trục đối xứng. Trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy nên (2) sai.
Xét (3): Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {5;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 7 \), đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(I'\left( {5; - 3} \right)\), bán kính \(R' = \sqrt 7 \)
Gọi $H$ là trung điểm của \(II' \Rightarrow H\left( {5;0} \right) \notin \left( {y = - x} \right) \Rightarrow \left( 3 \right)\) sai.
Xét (4): Đường phân giác ứng với góc phần tư thứ $(I) $ có phương trình \(y = x\) có ảnh qua phép đối xứng trục $Oy$ là đường phân giác của góc phần tư thứ $(II)$ có phương trình \(y = - x \Rightarrow \left( 4 \right)\) đúng.
Vậy chỉ có $1$ phát biểu đúng.
Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $d'$?
-
A.
Không có phép nào
-
B.
Có một phép duy nhất
-
C.
Chỉ có hai phép
-
D.
Có vô số phép
Đáp án : A
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Do đó không xảy ra trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.
Hình gồm $2$ đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng?
-
A.
Không có
-
B.
Một
-
C.
Hai
-
D.
Vô số.
Đáp án : B
Sử dụng tính chất trục đối xứng của đường tròn: Đường tròn có trục đối xứng là đường thẳng đi qua tâm.
Hình gồm $2$ đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có trục đối xứng duy nhất là đường thẳng nối tâm của $2$ đường tròn đó.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai đường thẳng song song $a$ và $a'$ lần lượt có phương trình \(3x - 4y + 5 = 0\) và \(3x - 4y = 0\). Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow u \) biến đường thẳng $a$ thành đường thẳng $a'$. Khi đó độ dài bé nhất của vectơ \(\overrightarrow u \) bằng bao nhiêu?
-
A.
\(5\)
-
B.
\(4\)
-
C.
\(\sqrt 2 \)
-
D.
\(1\)
Đáp án : D
- Độ dài bé nhất của vectơ \(\overrightarrow u \) bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng $a$ và $a'$.
Lấy điểm $M\left( {0;0} \right)$ thuộc $a'$. Ta có: $d\left( {a;a'} \right) = d\left( {M;a} \right)$
\(d(M;a) = \dfrac{{\left| {3.0 - 4.0 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 1\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y = {x^2} - x + 1$. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ $\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {2;3} \right)$, parabol $\left( P \right)$ biến thành parabol $\left( Q \right)$ có phương trình là:
-
A.
\(y = {x^2} - 7x + 14\)
-
B.
\(y = {x^2} + 3x + 2\)
-
C.
\(y = {x^2} + 5x + 6\)
-
D.
\(y = {x^2} - 9x + 5\)
Đáp án : A
- Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến: Hợp hai phép tịnh tiến thì được phép tịnh tiến.
- Xác định véc tơ tịnh tiến \(\overrightarrow a = \overrightarrow u + \overrightarrow v \).
- Sử dụng công thức biến đổi tọa độ của phép tịnh tiến để viết phương trình parabol \(\left( Q \right)\).
Từ giả thiết ta suy ra, $\left( Q \right)$ là ảnh của $\left( P \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow a = \overrightarrow u + \overrightarrow v $.
Ta có: $\overrightarrow a = \overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {3;1} \right)$.
Do đó phương trình của $\left( Q \right)$ là: $y - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} - \left( {x - 3} \right) + 1 \Leftrightarrow y = {x^2} - 7x + 14$.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình $2x - y + 3 = 0$. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên trái hai đơn vị, đường thẳng $\Delta $ biến thành đường thẳng $\Delta '$ có phương trình là:
-
A.
\(2x - y + 7 = 0\)
-
B.
\(2x - y - 1 = 0\)
-
C.
\(2x - y + 8 = 0\)
-
D.
\(2x - y - 6 = 0\)
Đáp án : A
- Xác định véc tơ tịnh tiến \(\overrightarrow u = \left( { - 2;0} \right)\).
- Sử dụng biến đổi tọa độ của phép tịnh tiến để viết phương trình đường thẳng \(\Delta '\).
Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về bên trái $2$ đơn vị, tức là thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u = \left( { - 2;0} \right)$.
Do đó đường thẳng $\Delta $ biến thành đường thẳng $\Delta '$ có phương trình: $2\left( {x + 2} \right) - y + 3 = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 7 = 0$.
Cho hàm số \(\left( C \right):\,\,y = \left| x \right|\). Giả sử \(\left( {C'} \right)\) đối xứng với \(\left( C \right)\) qua đường thẳng \(x = 1\). Khi đó, hàm số có đồ thị \(\left( {C'} \right)\) có dạng :
-
A.
\(y = \left| {x + 1} \right|\)
-
B.
\(y = \left| {x - 1} \right|\)
-
C.
\(y = \left| {x + 2} \right|\)
-
D.
\(y = \left| {x - 2} \right|\)
Đáp án : D
\(\left( C \right):\,\,y = \left| x \right| = \left[ \begin{array}{l}x\,\,khi\,\,x \ge 0\,\,\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\ - x\,\,khi\,\,x < 0\,\,\,\left( {{d_2}} \right)\end{array} \right.\)
Tìm ảnh của \({d_1}\) và \({d_2}\) qua phép đối xứng qua trục là đường thẳng $x = 1$.
\(\left( C \right):\,\,y = \left| x \right| = \left[ \begin{array}{l}x\,\,khi\,\,x \ge 0\,\,\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\ - x\,\,khi\,\,x < 0\,\,\,\left( {{d_2}} \right)\end{array} \right.\)
\({d_1} \cap \left( {x = 1} \right) = A\left( {1;1} \right)\)
Lấy \(B\left( {2;2} \right) \in {d_1} \Rightarrow \) đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với đường thẳng \(x = 1\) có phương trình $y = 2$.
Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $x = 1$ và \(y = 2 \Rightarrow H\left( {1;2} \right)\)
Gọi $B'$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng \(x = 1 \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BB' \Rightarrow B'\left( {0;2} \right)\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng $AB'$ là \(\dfrac{{x - 1}}{{0 - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow - x + 1 = y - 1 \Leftrightarrow x + y = 2\)
\( \Rightarrow x + y = 2\) là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $y = x$ qua đường thẳng $x = 1$.
\({d_2} \cap \left( {x = 1} \right) = C\left( {1; - 1} \right)\)
Lấy \(D\left( {0;0} \right) \in {d_2} \Rightarrow \) Đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với đường thẳng $x = 1$ có phương trình $y = 0$.
Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $x = 1$ và \(y = 0 \Rightarrow K\left( {1;0} \right)\)
Gọi $D'$ là điểm đối xứng với $D$ qua đường thẳng \(x = 1 \Rightarrow K\) là trung điểm của \(DD' \Rightarrow D'\left( {2;0} \right)\)
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(CD'\) là : \(\dfrac{{x - 1}}{{2 - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{{0 + 1}} \Leftrightarrow x - 1 = y + 1 \Leftrightarrow x - y = 2\)
\( \Rightarrow x - y = 2\) là đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(y = - x\) qua đường thẳng \(x = 1\)
\( \Rightarrow \left( {C'} \right):\,\,\left[ \begin{array}{l}x + y = 2\\x - y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - x + 2\\y = x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow y = \left| {x - 2} \right|\)
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2