Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 6: Mặt nón, trụ, cầu - Đề số 2
Đề bài
Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy \(R\) và chiều cao \(h\) bằng:
-
A.
\({S_{xq}} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\)
-
B.
\({S_{xq}} = \pi R\sqrt {{R^2} + {h^2}} \)
-
C.
\({S_{xq}} = \pi R\sqrt {{R^2} - {h^2}} \)
-
D.
\({S_{xq}} = \pi Rh\)
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính 10 cm và mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách tâm mặt cầu một khoảng 4 cm. Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) có vô số điểm chung.
-
B.
\(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) theo một đường tròn bán kính 3 cm.
-
C.
\(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\).
-
D.
\(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\).
Khối trụ tròn xoay có thể tích bằng \(144\pi \) và bán kính đáy bằng 6. Đường sinh của khối trụ bằng:
-
A.
\(4\)
-
B.
\(6\)
-
C.
\(12\)
-
D.
\(10\)
Gọi \(r,l,h\) lần lượt là bán kính đáy, độ dài đường sinh và chiều cao của hình nón. Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
$r=h$
-
B.
\(h = l\)
-
C.
\({r^2} = {h^2} - {l^2}\)
-
D.
\({l^2} = {r^2} + {h^2}\)
Hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và có $SA = a,AB = b,AC = c$. Mặt cầu đi qua các đỉnh $A,B,C,S$ có bán kính $r$ bằng :
-
A.
$\dfrac{{2(a + b + c)}}{3}$
-
B.
$2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
-
C.
$\dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
-
D.
$\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
Một khối trụ có bán kính đáy bằng \(2\), chiều cao bằng \(3\). Tính thể tích \(V\) của khối trụ.
-
A.
\(V = 12\pi \)
-
B.
\(V = 18\pi \)
-
C.
\(V = 6\pi \)
-
D.
\(V = 4\pi \)
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(2a\) và bán kính đáy bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Điểm thuộc mặt cầu thì thuộc khối cầu.
-
B.
Điểm thuộc khối cầu thì thuộc mặt cầu
-
C.
Điểm nằm ngoài mặt cầu thì thuộc khối cầu
-
D.
Điểm nằm ngoài khối cầu thì thuộc mặt cầu
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) nếu:
-
A.
\(OM = R\)
-
B.
\(OM \le R\)
-
C.
\(OM < R\)
-
D.
\(OM > R\)
Cho hình nón có các kích thước \(r = 1;h = 2\) với \(r,h\) lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao hình nón. Diện tích toàn phần hình nón là:
-
A.
\(3\pi \)
-
B.
\(1 + \sqrt 5 \pi \)
-
C.
\(\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\pi \)
-
D.
\(\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\pi \)
Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là \(12\,{\rm{cm}}\). Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là
-
A.
\(32\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
-
B.
\(64\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
-
C.
\(8\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
-
D.
\(16\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; \(\angle BAC = {120^0}\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.
-
A.
\(\dfrac{{64\sqrt 2 \pi }}{3}\)
-
B.
\(16\pi \)
-
C.
\(32\pi \)
-
D.
\(\dfrac{{32\sqrt 2 \pi }}{3}\)
Lời giải và đáp án
Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy \(R\) và chiều cao \(h\) bằng:
-
A.
\({S_{xq}} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\)
-
B.
\({S_{xq}} = \pi R\sqrt {{R^2} + {h^2}} \)
-
C.
\({S_{xq}} = \pi R\sqrt {{R^2} - {h^2}} \)
-
D.
\({S_{xq}} = \pi Rh\)
Đáp án : B
- Tính đường sinh của hình nón \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \).
- Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy \(R\), đường sinh \(l\)là \({S_{xr}} = \pi Rl\).
Hình nón có bán kính đáy R và chiều cao h thì đường sinh \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \).
Khi đó diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{R^2} + {h^2}} \).
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính 10 cm và mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách tâm mặt cầu một khoảng 4 cm. Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) có vô số điểm chung.
-
B.
\(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) theo một đường tròn bán kính 3 cm.
-
C.
\(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\).
-
D.
\(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\).
Đáp án : C
- Tìm bán kính của mặt cầu.
- So sánh bán kính \(R\) của mặt cầu với khoảng cách \(d\) từ tâm đến mặt phẳng \(\left( P \right)\).
+ Nếu \(R > d\) thì \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} \).
+ Nếu \(R = d\) thì \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\).
+ Nếu \(R < d\) thì \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) không có điểm chung nào.
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính là 10cm bán kính \(R = 5cm\).
Mà khoảng cách từ tâm của mặt cầu và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(d = 4cm < R\).
Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = 3\,\,\left( {cm} \right)\).
Vậy trong 4 đáp án chỉ có đáp án C sai.
Khối trụ tròn xoay có thể tích bằng \(144\pi \) và bán kính đáy bằng 6. Đường sinh của khối trụ bằng:
-
A.
\(4\)
-
B.
\(6\)
-
C.
\(12\)
-
D.
\(10\)
Đáp án : A
- Khối trụ có đường sinh bằng chiều cao.
- Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là \(V = \pi {r^2}h\).
Ta có \(V = \pi {r^2}h \Leftrightarrow 144\pi = \pi {.6^2}.h \Leftrightarrow h = 4\).
Vậy đường sinh của khối trụ bằng 4.
Gọi \(r,l,h\) lần lượt là bán kính đáy, độ dài đường sinh và chiều cao của hình nón. Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
$r=h$
-
B.
\(h = l\)
-
C.
\({r^2} = {h^2} - {l^2}\)
-
D.
\({l^2} = {r^2} + {h^2}\)
Đáp án : D
Sử dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông.
Quan sát hình vẽ ta thấy: \(l = AB,r = OB,h = AO\).
Mà \(A{B^2} = A{O^2} + O{B^2}\) nên \({l^2} = {r^2} + {h^2}\)
Hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và có $SA = a,AB = b,AC = c$. Mặt cầu đi qua các đỉnh $A,B,C,S$ có bán kính $r$ bằng :
-
A.
$\dfrac{{2(a + b + c)}}{3}$
-
B.
$2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
-
C.
$\dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
-
D.
$\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
Đáp án : C
Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông \(R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} \)
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right.\).
Mà \(AB \bot AC\) nên hình chóp \(S.ABC\) là tứ diện vuông.
Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông ta được \(R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\)
Một khối trụ có bán kính đáy bằng \(2\), chiều cao bằng \(3\). Tính thể tích \(V\) của khối trụ.
-
A.
\(V = 12\pi \)
-
B.
\(V = 18\pi \)
-
C.
\(V = 6\pi \)
-
D.
\(V = 4\pi \)
Đáp án : A
Thể tích khối trụ \(V = \pi {R^2}h\).
Ta có: \(V = \pi {R^2}h = \pi {.2^2}.3 = 12\pi \).
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(2a\) và bán kính đáy bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\)
Đáp án : A
+) Sử dụng công thức: \(h = \sqrt {{l^2} - {R^2}} .\)
+) Thể tích hình nón có bán kính R và đường cao h là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(O\) có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 .\)
Khi đó ta có: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Điểm thuộc mặt cầu thì thuộc khối cầu.
-
B.
Điểm thuộc khối cầu thì thuộc mặt cầu
-
C.
Điểm nằm ngoài mặt cầu thì thuộc khối cầu
-
D.
Điểm nằm ngoài khối cầu thì thuộc mặt cầu
Đáp án : A
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) thì \(OM = R\).
Điểm \(M\) thuộc khối cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) thì \(OM \le R\).
Do đó điểm thuộc mặt cầu sẽ thuộc khối cầu.
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) nếu:
-
A.
\(OM = R\)
-
B.
\(OM \le R\)
-
C.
\(OM < R\)
-
D.
\(OM > R\)
Đáp án : A
Điểm \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) nếu \(OM = R\).
Cho hình nón có các kích thước \(r = 1;h = 2\) với \(r,h\) lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao hình nón. Diện tích toàn phần hình nón là:
-
A.
\(3\pi \)
-
B.
\(1 + \sqrt 5 \pi \)
-
C.
\(\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\pi \)
-
D.
\(\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\pi \)
Đáp án : D
- Tính độ dài đường sinh hình nón sử dụng công thức \({l^2} = {r^2} + {h^2}\).
- Tính diện tích toàn phần sử dụng công thức \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\).
Ta có: \({l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \)
Do đó \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .1.\sqrt 5 + \pi {.1^2} = \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\pi \)
Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi là \(12\,{\rm{cm}}\). Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là
-
A.
\(32\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
-
B.
\(64\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
-
C.
\(8\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
-
D.
\(16\pi \)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).
Đáp án : C
+ Sử dụng công thức tính chu vi hình chữ nhật = (chiều dài+chiều rộng).2
+ Sử dụng công thức tính thể tích hình trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là \(V = \pi {r^2}h\)
+ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) để tìm giá trị lớn nhất của thể tích.
Chú ý dấu = xảy ra khi \(a = b = c.\)
(Hoặc sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất của thể tích.)
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là \(r\) và \(h\left( {r,h > 0} \right)\)
Thiết diện là hình chữ nhật \(ABCD\) có chu vi \(2\left( {AB + BC} \right) = 2.\left( {h + 2r} \right)\)
Theo giả thiết ta có \(2\left( {h + 2r} \right) = 12 \Leftrightarrow h + 2r = 6 \Rightarrow h = 6 - 2r\,\,\left( {r < 3} \right)\)
Thể tích khối trụ \(V = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.\left( {6 - 2r} \right) = \pi r.r.\left( {6 - 2r} \right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số \(r;r;6 - 2r\) ta được
\(r + r + 6 - 2r \ge 3\sqrt[3]{{r.r\left( {6 - 2r} \right)}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{r.r\left( {6 - 2r} \right)}} \le 2 \Leftrightarrow {r^2}\left( {6 - 2r} \right) \le 8 \Leftrightarrow \pi {r^2}\left( {6 - 2r} \right) \le 8\pi \)
Hay \(V \le 8\pi \) . Dấu = xảy ra khi \(r = 6 - 2r \Leftrightarrow r = 2\left( {TM} \right)\)
Vậy giá trị lớn nhất của khối trụ là \(V = 8\pi .\)
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; \(\angle BAC = {120^0}\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.
-
A.
\(\dfrac{{64\sqrt 2 \pi }}{3}\)
-
B.
\(16\pi \)
-
C.
\(32\pi \)
-
D.
\(\dfrac{{32\sqrt 2 \pi }}{3}\)
Đáp án : C
- Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng với A qua M. Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- Gọi H’ là hình chiếu của A lên (A’B’C’), gọi I là trung điểm của HH’, chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng.
- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính mặt cầu.
- Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là \({S_{mc}} = 4\pi {R^2}\).
Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng với A qua M.
Xét tứ giác ABHC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và \(AM \bot BC \Rightarrow AH \bot BC\) (do tam giác ABC cân tại A) nên ABHC là hình thoi \( \Rightarrow HB = HC\).
Xét tam giác ABH có AB = BH, \(\angle BAH = \dfrac{1}{2}\angle BAC = {60^0}\) nên là tam giác đều, do đó HA = HB.
Suy ra HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi H’ là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì H’ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’, khi đó HH’ là trục của khối lăng trụ đứng.
Gọi I là trung điểm của HH’, ta có IA = IB = IC, IA’ = IB’ = IC’.
Xét tam giác vuông AHI và tam giác vuông A’H’I có: HI = H’I (theo cách dựng), AH = A’H’.
\( \Rightarrow \Delta AHI = \Delta A'H'I\) (2 cạnh góc vuông) \( \Rightarrow IA = IA'\). Do đó A = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.
Ta có AH = AB = 2 (do ABHC là hình thoi) và HH’ = AA’ = 4 nên IH = 2.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHI có: \(AI = \sqrt {A{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \).
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là \(R = 2\sqrt 2 \).
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: \({S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 32\pi \).