Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 5: Khối đa diện và thể tích - Đề số 2
Đề bài
Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện?
-
A.
Hình a
-
B.
Hình c
-
C.
Hình d
-
D.
Hình b
Khối đa diện lồi có \(8\) đỉnh và \(6\) mặt thì có số cạnh là:
-
A.
\(12\)
-
B.
\(14\)
-
C.
\(8\)
-
D.
\(10\)
Trong một hình đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của tất cả bao nhiêu mặt?
-
A.
\(4\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(3\)
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác cân tại $A$. \(AB = AC = 2a,\widehat {CAB} = {120^0}.\) Mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) tạo với đáy một góc \({60^0}\). Thể tích khối lăng trụ là:
-
A.
\(2{a^3}\)
-
B.
\(\dfrac{{3{a^3}}}{8}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)
-
D.
\(3{a^3}\)
Đáy của hình chóp $S.ABCD$ là một hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy và có độ dài là \(a\). Thể tích khối tứ diện \(S.BCD\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là tứ giác đều cạnh $a$, biết rằng \(BD' = a\sqrt 6 \) . Tính thể tích của khối lăng trụ?
-
A.
\({a^3}\sqrt 2 \)
-
B.
\({a^3}\sqrt 3 \)
-
C.
\(3{a^3}\)
-
D.
\(2{a^3}\)
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có diện tích đáy là \(16c{m^2}\), diện tích một mặt bên là \(8\sqrt 3 c{m^2}\). Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
-
A.
\(\dfrac{{32\sqrt 2 }}{3}c{m^3}\)
-
B.
\(\dfrac{{32\sqrt {13} }}{3}c{m^3}\)
-
C.
\(\dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}c{m^3}\)
-
D.
\(4c{m^3}\)
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) đôi một vuông góc và \(AB = 2a,\,\,\,AC = 3a,\,\,AD = 4a.\) Thể tích của khối tứ diện đó là:
-
A.
\(12{a^3}\)
-
B.
\(6{a^3}\)
-
C.
\(8{a^3}\)
-
D.
\(4{a^3}\)
Cho bốn hình sau đây. Mệnh đề nào sau đây sai:
-
A.
Khối đa diện A là khối chóp tứ giác.
-
B.
Cả 4 khối đa diện A, B, C, D đều là khối đa diện lồi.
-
C.
Khối đa diện C là khối đa diện lồi
-
D.
Khối đa diện B là khối đa diện lồi
Có bao nhiêu cách chọn ra ba đỉnh từ các đỉnh của một hình lập phương để thu được một tam giác đều ?
-
A.
\(12.\)
-
B.
\(10.\)
-
C.
\(4.\)
-
D.
\(8.\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(SB\) vuông góc với đáy. Biết \(SB = a,SC\) hợp với \(\left( {SAB} \right)\) một góc \({30^0}\) và \(\left( {SAC} \right)\) hợp với đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({60^0}\). Thể tích khối chóp là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}}}{{27}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{9}\)
Cho đa diện \(ABCDEF\) có \(AD,BE,CF\) đôi một song song. \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AD + BE + CF = 5\), diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(10\). Thể tích đa diện \(ABCDEF\) bằng
-
A.
\(50\)
-
B.
\(\dfrac{{15}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{50}}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{15}}{4}\)
Lời giải và đáp án
Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện?
-
A.
Hình a
-
B.
Hình c
-
C.
Hình d
-
D.
Hình b
Đáp án : A
Sử dụng tính chất khối đa diện: mối cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt.
Trong các hình đã cho chỉ có hình a) là khối đa diện.
Hình b) có 3 cạnh ở trên không phải cạnh chung của 2 mặt, hình c) và d) có 1 cạnh là không là cạnh chung của 2 mặt.
Khối đa diện lồi có \(8\) đỉnh và \(6\) mặt thì có số cạnh là:
-
A.
\(12\)
-
B.
\(14\)
-
C.
\(8\)
-
D.
\(10\)
Đáp án : A
Sử dụng định lý Ơ le cho khối đa diện lồi \(D - C + M = 2\)
Ta có: \(D = 8,M = 6\) thì \(D - C + M = 2 \Leftrightarrow 8 - C + 6 = 2 \Leftrightarrow C = 12\)
Vậy số cạnh là \(12\).
Trong một hình đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của tất cả bao nhiêu mặt?
-
A.
\(4\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : C
Hình đa diện lồi cũng là hình đa diện nên mỗi cạnh của nó là cạnh chung của đúng \(2\) mặt.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác cân tại $A$. \(AB = AC = 2a,\widehat {CAB} = {120^0}.\) Mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) tạo với đáy một góc \({60^0}\). Thể tích khối lăng trụ là:
-
A.
\(2{a^3}\)
-
B.
\(\dfrac{{3{a^3}}}{8}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)
-
D.
\(3{a^3}\)
Đáp án : D
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\): góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính độ dài đường cao \(h = AA'\).
- Tính diện tích đáy \({S_{A'B'C'}}\).
- Tính thể tích khối lăng trụ \(V = Sh\).
Gọi $D$ là trung điểm của $B'C'$. Vì tam giác \(A'B'C'\) cân tại $A'$ nên \(A'D \bot B'C'\) (trung tuyến đồng thời là đường cao).
Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ đứng nên $AA' \bot (A'B'C')$.
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}A'D \bot B'C'\\AA' \bot B'C'\end{array} \right\} \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'D} \right) \Rightarrow B'C' \bot AD\)
\(\left. \begin{array}{l}\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\\left( {AB'C'} \right) \supset AD \bot B'C'\\\left( {A'B'C'} \right) \supset A'D \bot B'C'\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD;A'D} \right)} = \widehat {ADA'} = {60^0}\)
Vì tam giác \(A'B'C'\) cân tại $A'$ nên \(\widehat {DA'C'} = \dfrac{1}{2}\widehat {B'A'C'} = {60^0}\) (trung tuyến đồng thời là phân giác)
Xét tam giác vuông \(A'D'C'\) có: \(A'D = A'C'.cos60 = 2a.\dfrac{1}{2} = a\)
Xét tam giác vuông \(AA'D\) có: \(AA' = A'D.\tan 60 = a.\sqrt 3 \)
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}.2a.2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^2}\sqrt 3 \)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .{a^2}\sqrt 3 = 3{a^3}\)
Đáy của hình chóp $S.ABCD$ là một hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy và có độ dài là \(a\). Thể tích khối tứ diện \(S.BCD\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)
Đáp án : A
- Bước 1: Tính diện tích đáy \({S_{\Delta BCD}}\)
- Bước 2: Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Ta có: \({S_{\Delta BCD}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}{a^2}\)
\({V_{S.BCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{6}\)
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là tứ giác đều cạnh $a$, biết rằng \(BD' = a\sqrt 6 \) . Tính thể tích của khối lăng trụ?
-
A.
\({a^3}\sqrt 2 \)
-
B.
\({a^3}\sqrt 3 \)
-
C.
\(3{a^3}\)
-
D.
\(2{a^3}\)
Đáp án : D
- Tính diện tích đáy \({S_{A'B'C'D'}}\) và độ dài đường cao \(BB'\).
- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức \(V = Sh\).
Vì $A'B'C'D'$ là hình vuông cạnh $a$ nên \(B'D' = a\sqrt 2 \)
\(BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot B'D' \Rightarrow \Delta BB'D'\) vuông tại \(B' \Rightarrow BB' = \sqrt {BD{'^2} - B'D{'^2}} = \sqrt {6{a^2} - 2{a^2}} = 2a\)
Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = BB'.{S_{ABCD}} = 2a.{a^2} = 2{a^3}\)
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có diện tích đáy là \(16c{m^2}\), diện tích một mặt bên là \(8\sqrt 3 c{m^2}\). Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
-
A.
\(\dfrac{{32\sqrt 2 }}{3}c{m^3}\)
-
B.
\(\dfrac{{32\sqrt {13} }}{3}c{m^3}\)
-
C.
\(\dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}c{m^3}\)
-
D.
\(4c{m^3}\)
Đáp án : C
- Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), tính \(OE,SE \Rightarrow SO\).
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì chóp $S.ABCD$ đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Vì chóp $S.ABCD$ đều nên $ABCD$ là hình vuông \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = A{B^2} = 16 \Rightarrow AB = 4\left( {cm} \right) = AD\)
Gọi $E$ là trung điểm của AB\( \Rightarrow OE\) là đường trung bình của tam giác ABD\( \Rightarrow OE//AD \Rightarrow OE \bot AB\) và \(OE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}.4 = 2\left( {cm} \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}OE \bot AB\\SO \bot AB\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow AB \bot SE\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SE.AB = 8\sqrt 3 \Rightarrow SE = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{{AB}} = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OE \Rightarrow \Delta SOE\) vuông tại O\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{E^2} - O{E^2}} = \sqrt {48 - 4} = \sqrt {44} = 2\sqrt {11} \left( {cm} \right)\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2\sqrt {11} .16 = \dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\)
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) đôi một vuông góc và \(AB = 2a,\,\,\,AC = 3a,\,\,AD = 4a.\) Thể tích của khối tứ diện đó là:
-
A.
\(12{a^3}\)
-
B.
\(6{a^3}\)
-
C.
\(8{a^3}\)
-
D.
\(4{a^3}\)
Đáp án : D
Thể tích của tứ diện \(OABC\) có \(OA = a,\,\,OB = b,\,\,OC = c\) đôi một vuông góc là: \(V = \frac{1}{6}abc.\)
Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đã cho là: \(V = \frac{1}{6}AB.AC.AD = \frac{1}{6}.2a.3a.4a = 4{a^3}.\)
Cho bốn hình sau đây. Mệnh đề nào sau đây sai:
-
A.
Khối đa diện A là khối chóp tứ giác.
-
B.
Cả 4 khối đa diện A, B, C, D đều là khối đa diện lồi.
-
C.
Khối đa diện C là khối đa diện lồi
-
D.
Khối đa diện B là khối đa diện lồi
Đáp án : B
Khối đa diện A là khối chóp tứ giác.
Khối đa diện D không phải là khối đa diện lồi
Khối đa diện B, C là khối đa diện lồi
Có bao nhiêu cách chọn ra ba đỉnh từ các đỉnh của một hình lập phương để thu được một tam giác đều ?
-
A.
\(12.\)
-
B.
\(10.\)
-
C.
\(4.\)
-
D.
\(8.\)
Đáp án : D
- Nối các đường chéo của các mặt của hình lập phương.
- Đếm số tam giác đều.
Nối các đường chéo của các mặt ta được 2 tứ diện đều không có đỉnh nào chung.
Mỗi tứ diện đều có 4 tmặt là 4 tam giác đều. Nên tổng cộng có 8 tam giác đều.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(SB\) vuông góc với đáy. Biết \(SB = a,SC\) hợp với \(\left( {SAB} \right)\) một góc \({30^0}\) và \(\left( {SAC} \right)\) hợp với đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({60^0}\). Thể tích khối chóp là:
-
A.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3}}}{{27}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3}}}{9}\)
Đáp án : A
- Xác định góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính diện tích đáy \({S_{\Delta ABC}}\) và chiều cao \(h = SB\).
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AC \bot AB\\AC \bot SB\,\,\left( {SB \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AC \bot SA\)
\( \Rightarrow SA\) là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên $\left( {SAB} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SA} \right)} = \widehat {CSA} = {30^0}$
\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SA \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset AB \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AB} \right)} = \widehat {SAB} = {60^0}\)
\(SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SB \bot AB \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại $B$
\( \Rightarrow AB = SB.\cot {60^0} = a.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\( \Rightarrow SA = \sqrt {S{B^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)
Xét tam giác vuông $SAC$ ta có: \(AC = SA.\tan {30^0} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}\)
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}\)
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SB.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)
Cho đa diện \(ABCDEF\) có \(AD,BE,CF\) đôi một song song. \(AD \bot \left( {ABC} \right)\), \(AD + BE + CF = 5\), diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(10\). Thể tích đa diện \(ABCDEF\) bằng
-
A.
\(50\)
-
B.
\(\dfrac{{15}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{50}}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{15}}{4}\)
Đáp án : C
Chọn điểm rơi: chọn \(AD = BE = CF = \dfrac{5}{3}\) và tính thể tích khối lăng trụ tam giác theo công thức \(V = Bh\) với \(B\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.
Chọn \(AD = BE = CF = \dfrac{5}{3}\) thì đa diện là hình lăng trụ đứng \(ABC.DEF\) có diện tích đáy \({S_{ABC}} = 10\) và chiều cao \(AD = \dfrac{5}{3}\).
Thể tích \(V = {S_{ABC}}.AD = 10.\dfrac{5}{3} = \dfrac{{50}}{3}\).