Đề thi toán 12, đề kiểm tra toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 5: Khối đa diện và thể tích - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho khối chóp $S.ABC$. Trên các cạnh $SA,SB,SC$ lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho $A'A = 2SA',B'B = 2SB',C'C = 2SC'$, khi đó tồn tại một phép vị tự biến khối chóp $S.ABC$ thành khối chóp $S.A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng là:

A.

$k = \dfrac{1}{2}$
B.

$k = 2$
C.

$k = \dfrac{1}{3}$
D.

$k = 3$

Câu 2 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot SB,SB \bot SC,SA \bot SC;SA = 2a,SB = b,SC = c$. Thể tích khối chóp là:

A.

$\dfrac{1}{3}abc$
B.

$\dfrac{1}{9}abc$
C.

$\dfrac{1}{6}abc$
D.

$\dfrac{2}{3}abc$

Câu 3 :

Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện?

A.

Hình a
B.

Hình c
C.

Hình d
D.

Hình b

Câu 4 :

Cho khối đa diện lồi có số đỉnh, số mặt và số cạnh lần lượt là $D,M,C$. Chọn mệnh đề đúng:

A.

$D - C + M = 2$
B.

$D + C - M = 2$
C.

$D + C + M = 2$
D.

$D - C + M = 0$

Câu 5 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi.
B.

Tứ diện đều là đa diện lồi.
C.

Hình lập phương là đa diện lồi
D.

Hình bát diện đều là đa diện lồi.

Câu 6 :

Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

A.

Hình 1
B.

Hình 2
C.

Hình 3
D.

Hình 4

Câu 7 :

Chọn khẳng định sai.

A.

Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng $2$ mặt của khối đa diện.
B.

Hai mặt bất kì của khối đa diện luôn có ít nhất một điểm chung.
C.

Mỗi đỉnh của khối đa diện là đỉnh chung của ít nhất $3$ mặt.
D.

Mỗi mặt của khối đa diện có ít nhất ba cạnh.

Câu 8 :

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh bên và cạnh đáy bằng $a$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là:

A.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$
B.

$\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$
C.

$\dfrac{{{a^3}}}{2}$
D.

${a^3}$

Câu 9 :

Cho bốn hình sau đây. Mệnh đề nào sau đây sai:

A.

Khối đa diện A là khối chóp tứ giác.
B.

Cả 4 khối đa diện A, B, C, D đều là khối đa diện lồi.
C.

Khối đa diện C là khối đa diện lồi
D.

Khối đa diện B là khối đa diện lồi

Câu 10 :

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau, $AB = 6a,AC = 7a,AD = 4a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$. Thể tích $V$ của tứ diện $AMNP$ là:

A.

$V = \dfrac{{7{a^3}}}{2}$
B.

$V = 14{a^3}$
C.

$V = \dfrac{{28{a^3}}}{3}$
D.

$V = 7{a^3}$

Câu 11 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Biết $AC = a\sqrt 2 $, cạnh $SC$ tạo với đáy một góc ${60^0}$ và diện tích tứ giác $ABCD$ là $\dfrac{{3{a^2}}}{2}$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên cạnh $SC$. Tính thể tích khối chóp $H.ABCD$.

A.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$
B.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$
C.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}$
D.

$\dfrac{{3{a^3}\sqrt 6 }}{8}$

Câu 12 :

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có chiều cao $h$, góc ở đỉnh của mặt bên bằng ${60^0}$. Thể tích hình chóp là:

A.

$\dfrac{{3{h^3}}}{2}$
B.

$\dfrac{{{h^3}}}{3}$
C.

$\dfrac{{2{h^3}}}{3}$
D.

$\dfrac{{{h^3}\sqrt 3 }}{3}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A.

$k = \dfrac{1}{2}$
B.

$k = 2$
C.

$k = \dfrac{1}{3}$
D.

$k = 3$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có: $A'A = 2SA',B'B = 2SB',C'C = 2SC' $

$\Rightarrow \overrightarrow {SA'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} $

Do đó phép vị tự tâm $S$ tỉ số $k = \dfrac{1}{3}$ biến các điểm $A,B,C$ thành $A',B',C'$.

Câu 2 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot SB,SB \bot SC,SA \bot SC;SA = 2a,SB = b,SC = c$. Thể tích khối chóp là:

A.

$\dfrac{1}{3}abc$
B.

$\dfrac{1}{9}abc$
C.

$\dfrac{1}{6}abc$
D.

$\dfrac{2}{3}abc$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức tính thể tích cho tứ diện vuông $V = \dfrac{1}{6}abc$ để suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left. \begin{array}{l}SA \bot SB\\SA \bot SC\\SB \bot SC\end{array} \right\} \Rightarrow S.ABC$ là tứ diện vuông.

$ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}SA.SB.SC = \dfrac{1}{6}.2a.b.c = \dfrac{1}{3}abc$.

Câu 3 :

Trong các hình dưới đây, hình nào là khối đa diện?

A.

Hình a
B.

Hình c
C.

Hình d
D.

Hình b

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất khối đa diện: mối cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt.

Lời giải chi tiết :

Trong các hình đã cho chỉ có hình a) là khối đa diện.

Hình b) có 3 cạnh ở trên không phải cạnh chung của 2 mặt, hình c) và d) có 1 cạnh là không là cạnh chung của 2 mặt.

Câu 4 :

Cho khối đa diện lồi có số đỉnh, số mặt và số cạnh lần lượt là $D,M,C$. Chọn mệnh đề đúng:

A.

$D - C + M = 2$
B.

$D + C - M = 2$
C.

$D + C + M = 2$
D.

$D - C + M = 0$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Khối đa diện lồi có $D$ đỉnh, $M$ mặt và $N$ cạnh thì $D - C + M = 2$.

Câu 5 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi.
B.

Tứ diện đều là đa diện lồi.
C.

Hình lập phương là đa diện lồi
D.

Hình bát diện đều là đa diện lồi.

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Các hình tứ diện đều, lập phương, bát diện đều là các khối đa diện đều nên chúng là đa diện lồi.

Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau có thể là đa diện lồi hoặc không phải là đa diện lồi

⇒ Mệnh đề “Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là đa diện lồi” là mệnh đề sai

Câu 6 :

Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

A.

Hình 1
B.

Hình 2
C.

Hình 3
D.

Hình 4

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Khái niệm khối đa diện: Khối đa diện là hình được tạo bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Lời giải chi tiết :

Quan sát bốn hình, có hình C có cạnh là cạnh chung của 4 đa giác, vậy hình này không phải khối đa diện.

Câu 7 :

Chọn khẳng định sai.

A.

Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng $2$ mặt của khối đa diện.
B.

Hai mặt bất kì của khối đa diện luôn có ít nhất một điểm chung.
C.

Mỗi đỉnh của khối đa diện là đỉnh chung của ít nhất $3$ mặt.
D.

Mỗi mặt của khối đa diện có ít nhất ba cạnh.

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Các khẳng định A, C, D đúng

Khẳng định B sai vì hai mặt của khối đa diện có thể có điểm chung hoặc không có điểm chung, chẳng hạn hai mặt đối nhau của hình hộp chữ nhật.

Câu 8 :

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh bên và cạnh đáy bằng $a$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là:

A.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$
B.

$\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}$
C.

$\dfrac{{{a^3}}}{2}$
D.

${a^3}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tính diện tích đáy ${S_{ABCD}}$

- Bước 2: Tính chiều cao $h = SO$.

- Bước 3: Tính thể tích $V = \dfrac{1}{3}Sh$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O = AC \cap BD$

Vì chóp $S.ABCD$ đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Ta có: $AC = BD = a\sqrt 2 \Rightarrow OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SOA$ vuông tại O $ \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$

Câu 9 :

Cho bốn hình sau đây. Mệnh đề nào sau đây sai:

A.

Khối đa diện A là khối chóp tứ giác.
B.

Cả 4 khối đa diện A, B, C, D đều là khối đa diện lồi.
C.

Khối đa diện C là khối đa diện lồi
D.

Khối đa diện B là khối đa diện lồi

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Khối đa diện A là khối chóp tứ giác.

Khối đa diện D không phải là khối đa diện lồi

Khối đa diện B, C là khối đa diện lồi

Câu 10 :

A.

$V = \dfrac{{7{a^3}}}{2}$
B.

$V = 14{a^3}$
C.

$V = \dfrac{{28{a^3}}}{3}$
D.

$V = 7{a^3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tính thể tích các khối chóp ${{V_{DAPN}}}$, ${{V_{BAPM}}}$, ${V_{CAMN}}$ và $ V_{ABCD}$ rồi tính ${V_{AMNP}} = {V_{ABCD}} - {V_{DAPN}} $ $- {V_{BAPM}} - {V_{CAMN}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$ABCD$ là tứ diện vuông tại $A$ nên ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD = \dfrac{1}{6}.6a.7a.4a = 28{a^3}$.

Áp dụng công thức tính tỉ lệ thể tích các khối tứ diện ta có:

$\dfrac{{{V_{DAPN}}}}{{{V_{DABC}}}} = \dfrac{{DA}}{{DA}}.\dfrac{{DP}}{{DB}}.\dfrac{{DN}}{{DC}} = \dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{DAPN}} = \dfrac{1}{4}{V_{DABC}} = \dfrac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}$

$\dfrac{{{V_{BAPM}}}}{{{V_{BADC}}}} = \dfrac{{BA}}{{BA}}.\dfrac{{BP}}{{BD}}.\dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{BAPM}} = \dfrac{1}{4}{V_{BADC}} = \dfrac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}$

$\dfrac{{{V_{CAMN}}}}{{{V_{CABD}}}} = \dfrac{{CA}}{{CA}}.\dfrac{{CM}}{{CB}}.\dfrac{{CN}}{{CD}} = \dfrac{1}{1}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{CAMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{CABD}} = \dfrac{1}{4}.28{a^3} = 7{a^3}$

Do đó ${V_{AMNP}} = {V_{ABCD}} - {V_{DAPN}} - {V_{BAPM}} - {V_{CAMN}} = 28{a^3} - 7{a^3} - 7{a^3} - 7{a^3} = 7{a^3}$

Câu 11 :

A.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}$
B.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$
C.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}$
D.

$\dfrac{{3{a^3}\sqrt 6 }}{8}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Dựng đường cao $HK$ của hình chóp $H.ABCD$ và tính độ dài $HK$ dựa vào định lý Ta-let.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC$là hình chiếu của $SC$ trên $\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = {60^0}$

$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $A$ và $\widehat {SCA} = {60^0}$

Xét tam giác vuông $SAC$ có: $SA = AC.\tan 60 = a\sqrt 2 .\sqrt 3 = a\sqrt 6 ;\,SC = \dfrac{{AC}}{{{\rm{cos60}}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\dfrac{1}{2}}} = 2a\sqrt 2 $

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAC$ có: $A{C^2} = HC.SC \Rightarrow \dfrac{{HC}}{{SC}} = \dfrac{{A{C^2}}}{{S{C^2}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{8{a^2}}} = \dfrac{1}{4}$

Trong $\left( {SAC} \right)$ kẻ $HK//SA \Rightarrow HK \bot \left( {ABCD} \right)$

Ta có: $\dfrac{{HK}}{{SA}} = \dfrac{{HC}}{{SC}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow HK = \dfrac{1}{4}SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}$

Vậy ${V_{H.ABCD}} = \dfrac{1}{3}HK.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}$

Câu 12 :

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có chiều cao $h$, góc ở đỉnh của mặt bên bằng ${60^0}$. Thể tích hình chóp là:

A.

$\dfrac{{3{h^3}}}{2}$
B.

$\dfrac{{{h^3}}}{3}$
C.

$\dfrac{{2{h^3}}}{3}$
D.

$\dfrac{{{h^3}\sqrt 3 }}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tính diện tích đáy $S$

- Bước 2: Tính chiều cao $h$.

- Bước 3: Tính thể tích $V = \dfrac{1}{3}Sh$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O = AC \cap BD$.

Vì chóp $S.ABCD$ đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Đặt $SA = SB = SC = SD = a$

Tam giác $SCD$ có:$SC = SD;\widehat {CSD} = {60^0} \Rightarrow \Delta SCD$ đều$ \Rightarrow CD = SC = SD = a$

$ \Rightarrow $ Hình vuông $ABCD$ cạnh $a \Rightarrow AC = BD = a\sqrt 2 \Rightarrow OC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OC \Rightarrow \Delta SOC$ vuông tại $O$

$ \Rightarrow SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}} \Rightarrow h = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow a = h\sqrt 2 $

$ \Rightarrow {S_{ABCD}} = {a^2} = {\left( {h\sqrt 2 } \right)^2} = 2{h^2}$

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}h.2{h^2} = \dfrac{{2{h^3}}}{3}$

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục

Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 5: Khối đa diện và thể tích - Đề số 1

Bài giải mới nhất

Báo lỗi góp ý