Đề thi toán 11, đề kiểm tra toán 11 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 5: Đạo hàm - Đề số 3

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}$. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số$f\left( x \right)$?

A.

${\rm{d}}y = 2\left( {x - 1} \right){\rm{d}}x$.
B.

${\rm{d}}y = {\left( {x - 1} \right)^2}{\rm{d}}x$.
C.

${\rm{d}}y = 2\left( {x - 1} \right)$.
D.

${\rm{d}}y = 2x{\rm{d}}x$.

Câu 2 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1}&{{\rm{khi}}\;\;x \ge 0}\\{ - {x^2}}&{{\rm{khi}}\;\;x < 0}\end{array}} \right..$ Khẳng định nào sau đây sai?

A.

Hàm số không liên tục tại $x = 0$$.$
B.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 2$$.$
C.

Hàm số liên tục tại $x = 2$$.$
D.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 0$$.$

Câu 3 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3 - \sqrt {4 - x} \,\,\,khi\,\,x \ne 0\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$ . Khi đó $f'\left( 0 \right)$ là kết quả nào sau đây?

A.

$\dfrac{1}{4}$
B.

$\dfrac{1}{{16}}$
C.

$\dfrac{1}{2}$
D.

$2$

Câu 4 :

Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 0.$
B.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 1.$
C.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 2.$
D.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 3.$

Câu 5 :

Hàm số $y = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{1 - x}}$ có đạo hàm là:

A.

$y' = \dfrac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$.
B.

$y' = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$.
C.

$y' = - 2\left( {x - 2} \right)$.
D.

$y' = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$.

Câu 6 :

Cho hàm số $y = \dfrac{{3x - 2}}{{1 - x}}$. Giải bất phương trình $y'' > 0$.

A.

$x > 1.$
B.

$x < 1.$
C.

$x \ne 1.$
D.

Vô nghiệm$.$

Câu 7 :

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x - 5$. Phương trình $y' = 0$ có nghiệm là:

A.

$\left\{ { - 1;2} \right\}$.
B.

$\left\{ { - 1;3} \right\}$.
C.

$\left\{ {0;4} \right\}$.
D.

$\left\{ {1;2} \right\}$.

Câu 8 :

Hàm số $y = x\sqrt {{x^2} + 1} $ có đạo hàm cấp hai bằng:

A.

$y'' = - \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}$
B.

$y'' = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$
C.

$y'' = \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}$
D.

$y'' = - \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$

Câu 9 :

Với hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\sin \dfrac{\pi }{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.$ . Để tìm đạo hàm $f'\left( 0 \right)$ một học sinh lập luận qua các bước sau:

Bước 1: $\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| x \right|\left| {\sin \dfrac{\pi }{x}} \right| \le \left| x \right|$

Bước 2: Khi $x \to 0$ thì $\left| x \right| \to 0$ nên $\left| {f\left( x \right)} \right| \to 0 \Rightarrow f\left( x \right) \to 0$

Bước 3: Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0$ nên hàm số liên tục tại $x = 0.$

Bước 4: Từ $f(x)$ liên tục tại $x = 0 \Rightarrow f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $x = 0.$

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

A.

Bước 1
B.

Bước 2
C.

Bước 3
D.

Bước 4.

Câu 10 :

Hàm số $y = {\tan ^2}\dfrac{x}{2}$ có đạo hàm là:

A.

$y' = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}$
B.

$y' = {\tan ^3}\dfrac{x}{2}$
C.

$y' = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{co{s^3}\dfrac{x}{2}}}$
D.

$y' = \dfrac{{2\sin \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}$

Câu 11 :

Đạo hàm cấp 4 của hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}}$ là :

A.

${y^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{7.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} - \dfrac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}$
B.

${y^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} - \dfrac{{2.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}$
C.

${y^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}} - \dfrac{{7.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}}$
D.

${y^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^4}}} - \dfrac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}$

Câu 12 :

Cho hàm số $y = \sqrt {2x - {x^2}} $. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A.

${y^3}.y'' + 1 = 0$
B.

${y^2}.y'' - 1 = 0$
C.

$3{y^2}.y'' + 1 = 0$
D.

$2{y^3}.y'' + 3 = 0$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}$. Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số$f\left( x \right)$?

A.

${\rm{d}}y = 2\left( {x - 1} \right){\rm{d}}x$.
B.

${\rm{d}}y = {\left( {x - 1} \right)^2}{\rm{d}}x$.
C.

${\rm{d}}y = 2\left( {x - 1} \right)$.
D.

${\rm{d}}y = 2x{\rm{d}}x$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng lý thuyết $y = f\left( x \right) \Rightarrow dy = f'\left( x \right)dx$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\rm{d}}y = f'\left( x \right){\rm{d}}x = 2\left( {x - 1} \right){\rm{d}}x$.

Câu 2 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1}&{{\rm{khi}}\;\;x \ge 0}\\{ - {x^2}}&{{\rm{khi}}\;\;x < 0}\end{array}} \right..$ Khẳng định nào sau đây sai?

A.

Hàm số không liên tục tại $x = 0$$.$
B.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 2$$.$
C.

Hàm số liên tục tại $x = 2$$.$
D.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 0$$.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xét tính đúng sai của mỗi đáp án bằng cách xét tính liên tục và đạo hàm của hàm số tại các điểm $x = 0,x = 2$.

Lời giải chi tiết :

Dễ thấy $f\left( x \right) = {x^2} - 1$ khi $x \ge 0$ là hàm đa thức nên nó liên tục tại $x = 2$.

Ngoài ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( {{2^2} - 1} \right)}}{{x - 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4$

Do đó hàm số liên tục và có đạo hàm tại $x = 2$.

Xét các giới hạn $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = 0\end{array} \right..$

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)$ nên hàm số không liên tục tại $x = 0$.

Do đó, hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.

Câu 3 :

A.

$\dfrac{1}{4}$
B.

$\dfrac{1}{{16}}$
C.

$\dfrac{1}{2}$
D.

$2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm $x = {x_0}$ là $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ (nếu tồn tại).

Lời giải chi tiết :

$f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4 - 4 + x}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \dfrac{1}{4}$

Câu 4 :

Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 0.$
B.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 1.$
C.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 2.$
D.

Hàm số có đạo hàm tại $x = 3.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 1,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \Rightarrow $ Không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$, hàm số không liên tục tại $x = 1.$

Ngoài ra tại các điểm $x=0,x=2,x=3$ thì hàm số đều có đạo hàm.

Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x = 1.$

Câu 5 :

Hàm số $y = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{1 - x}}$ có đạo hàm là:

A.

$y' = \dfrac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$.
B.

$y' = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$.
C.

$y' = - 2\left( {x - 2} \right)$.
D.

$y' = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đạo hàm của một thương $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có : $y' = \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {1 - x} \right) - {{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$ $ = \dfrac{{ - {x^2} + 2x}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$.

Câu 6 :

Cho hàm số $y = \dfrac{{3x - 2}}{{1 - x}}$. Giải bất phương trình $y'' > 0$.

A.

$x > 1.$
B.

$x < 1.$
C.

$x \ne 1.$
D.

Vô nghiệm$.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính $y''$ rồi thay vào giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết :

Ta có $y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}.$

Bất phương trình $y'' > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} < 0 \Leftrightarrow x < 1$.

Câu 7 :

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x - 5$. Phương trình $y' = 0$ có nghiệm là:

A.

$\left\{ { - 1;2} \right\}$.
B.

$\left\{ { - 1;3} \right\}$.
C.

$\left\{ {0;4} \right\}$.
D.

$\left\{ {1;2} \right\}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đạo hàm hàm số đa thức $\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$.

Lời giải chi tiết :

Ta có : $y' = 3{x^2} - 6x - 9$

$y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0$ $ \Leftrightarrow x = - 1;x = 3$

Câu 8 :

Hàm số $y = x\sqrt {{x^2} + 1} $ có đạo hàm cấp hai bằng:

A.

$y'' = - \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}$
B.

$y'' = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$
C.

$y'' = \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}$
D.

$y'' = - \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của 1 tích, đạo hàm của 1 thương. Lưu ý các hàm số hợp.

Lời giải chi tiết :

$y' = \sqrt {{x^2} + 1} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}$ $ = \dfrac{{{x^2} + 1 + {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$

$y'' = \dfrac{{4x\sqrt {{x^2} + 1} - \left( {2{x^2} + 1} \right).\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}$ $ = \dfrac{{\dfrac{{4x\left( {{x^2} + 1} \right) - x\left( {2{x^2} + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}}$ $ = \dfrac{{4{x^3} + 4x - 2{x^3} - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}$ $ = \dfrac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}$

Câu 9 :

Bước 1: $\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| x \right|\left| {\sin \dfrac{\pi }{x}} \right| \le \left| x \right|$

Bước 2: Khi $x \to 0$ thì $\left| x \right| \to 0$ nên $\left| {f\left( x \right)} \right| \to 0 \Rightarrow f\left( x \right) \to 0$

Bước 3: Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0$ nên hàm số liên tục tại $x = 0.$

Bước 4: Từ $f(x)$ liên tục tại $x = 0 \Rightarrow f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $x = 0.$

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

A.

Bước 1
B.

Bước 2
C.

Bước 3
D.

Bước 4.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Để hàm số có đạo hàm tại $x_0$ thì hàm số liên tục tại $x_0,$ điều ngược lại chưa chắc đúng.

Lời giải chi tiết :

Một hàm số liên tục tại $x_0$ chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\sin \dfrac{\pi }{x} - 0}}{x} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin \dfrac{\pi }{x} = + \infty $ $\Rightarrow $ hàm số không có đạo hàm tại $x = 0.$

Lập luận trên sai từ bước 4.

Câu 10 :

Hàm số $y = {\tan ^2}\dfrac{x}{2}$ có đạo hàm là:

A.

$y' = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}$
B.

$y' = {\tan ^3}\dfrac{x}{2}$
C.

$y' = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{co{s^3}\dfrac{x}{2}}}$
D.

$y' = \dfrac{{2\sin \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cách 1:

Bước 1: Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp $(u^n)'=n.u'.u^n-1$.

Bước 2: Sử dụng công thức đạo hàm của hàm $(\tan u)'=\dfrac{u'}{\cos^2 u}$

Cách 2:

${\tan ^2}\dfrac{x}{2} = \dfrac{{{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}$, sử dụng các công thức hạ bậc, sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}$

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

$\begin{array}{l}
\left( {{{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)' = 2\tan \dfrac{x}{2}\left( {\tan \dfrac{x}{2}} \right)'\\
\end{array}$

Bước 2:

$= 2\tan \dfrac{x}{2}.\dfrac{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)'}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}$

$= 2\tan \dfrac{x}{2}.\dfrac{\dfrac{1}{2}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\\
= \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{\cos \dfrac{x}{2}}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\dfrac{x}{2}}}$

Câu 11 :

Đạo hàm cấp 4 của hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}}$ là :

A.

${y^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{7.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} - \dfrac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}$
B.

${y^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} - \dfrac{{2.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}$
C.

${y^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}} - \dfrac{{7.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}}$
D.

${y^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^4}}} - \dfrac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Với hàm phân thức bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì ta đưa mẫu số về dạng tích và phân tích phân số thành tổng, hiệu các phấn số dạng $\dfrac{A}{{ax + b}}$

+) Tính đạo hàm tổng quát ${\left( {\dfrac{A}{{ax + b}}} \right)^{\left( n \right)}}$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}y = \dfrac{{2x + 1}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \dfrac{{2x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{7}{{x - 3}} - \dfrac{5}{{x - 2}}\\ \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} = 7{\left( {\dfrac{1}{{x - 3}}} \right)^{\left( 4 \right)}} - 5{\left( {\dfrac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}}\end{array}$

Xét hàm số $\dfrac{1}{{ax + b}},\,a \ne 0$ ta có :

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{ - a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}\\y'' = \dfrac{{a.2\left( {ax + b} \right).a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^3}}}\\y''' = \dfrac{{ - 2{a^2}.3{{\left( {ax + b} \right)}^2}.a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^6}}} = \dfrac{{ - 2.3.{a^3}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}}\\....\\{y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{{x - 3}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}{{.1}^4}.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} = \dfrac{{4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\\\,\,\,\,\,{\left( {\dfrac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}{{.1}^4}.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}} = \dfrac{{4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\\ \Rightarrow {y^{\left( 4 \right)}} = 7{\left( {\dfrac{1}{{x - 3}}} \right)^{\left( 4 \right)}} - 5{\left( {\dfrac{1}{{x - 2}}} \right)^{\left( 4 \right)}} = \dfrac{{7.4!}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^5}}} - \dfrac{{5.4!}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^5}}}\end{array}\)

Câu 12 :

Cho hàm số $y = \sqrt {2x - {x^2}} $. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A.

${y^3}.y'' + 1 = 0$
B.

${y^2}.y'' - 1 = 0$
C.

$3{y^2}.y'' + 1 = 0$
D.

$2{y^3}.y'' + 3 = 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính $y’’$, thay vào từng đáp án để xét tính đúng sai của các đáp án.

Lời giải chi tiết :

Ta có :

$\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \dfrac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\\y'' = \dfrac{{ - \sqrt {2x - {x^2}} - \left( {1 - x} \right).\dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}}}{{2x - {x^2}}} \end{array}$

$= \dfrac{{ - \left( {2x - {x^2}} \right) - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\sqrt {2x - {x^2}} \left( {2x - {x^2}} \right)}} $ $= \dfrac{{ - 2x + {x^2} - 1 + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {2x - {x^2}} \left( {2x - {x^2}} \right)}} $ $= \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }}$

Thay vào ${y^3}.y'' + 1 $ $= {\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)^3}.\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^3}} }} + 1 $ $= - 1 + 1 = 0$

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 5: Đạo hàm - Đề số 3

Bài giải mới nhất

Báo lỗi góp ý