-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 4: Giới hạn - Đề số 3
Đề bài
Giá trị \(\lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\) bằng
-
A.
\( - 1.\)
-
B.
\(1.\)
-
C.
\( + \infty .\)
-
D.
\(0.\)
Cho \(n = 2k + 1,k \in N\). Khi đó:
-
A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n} = - \infty \)
-
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n} = + \infty \)
-
C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty \)
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = + \infty \)
Giá trị của \(A = \lim \dfrac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}\) bằng:
-
A.
\( + \infty \)
-
B.
\( - \infty \)
-
C.
\(\dfrac{2}{3}\)
-
D.
\(1\)
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x }}{{{x^2}}}$ là:
-
A.
$0$
-
B.
\( - \infty .\)
-
C.
$1$
-
D.
\( + \infty .\)
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}\) là:
-
A.
\( - \dfrac{3}{2}.\)
-
B.
\( - \dfrac{2}{3}.\)
-
C.
\(0.\)
-
D.
\( + \infty .\)
Cho các dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) có \(\lim {u_n} = \dfrac{5}{3},\lim {v_n} = - \dfrac{2}{3}\). Chọn đáp án đúng:
-
A.
\(\lim \left( {{u_n} - 2{v_n}} \right) = \dfrac{1}{3}\)
-
B.
\(\lim \left( {2{u_n} - {v_n}} \right) = 4\)
-
C.
\(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = 1\)
-
D.
\(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \dfrac{1}{3}\)
Cho ${u_n} = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^3}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
-
A.
$0.$
-
B.
$ - \dfrac{1}{4}.$
-
C.
$\dfrac{3}{4}.$
-
D.
$ - \dfrac{3}{4}.$
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right)$ bằng?
-
A.
$5$
-
B.
$7$
-
C.
$9$
-
D.
$6$
Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {1 - 3n} \right)}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
-
A.
$ - \infty .$
-
B.
$ - 1.$
-
C.
$ + \infty .$
-
D.
$\dfrac{{ - 2}}{5}.$
Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}$
Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{2}.$
-
B.
$\dfrac{1}{4}.$
-
C.
$1.$
-
D.
$2.$
Biết rằng \(a + b = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)\) hữu hạn. Tính giới hạn $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{b}{{1 - {x^3}}} - \dfrac{a}{{1 - x}}} \right)$.
-
A.
$-1$
-
B.
$2$
-
C.
$1$
-
D.
$-2$
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {\dfrac{{3x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} $ bằng?
-
A.
$ - \sqrt {\dfrac{3}{2}.} $
-
B.
$\sqrt {\dfrac{3}{2}} .$
-
C.
$\dfrac{3}{2}.$
-
D.
$ - \dfrac{3}{2}.$
Lời giải và đáp án
Giá trị \(\lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\) bằng
-
A.
\( - 1.\)
-
B.
\(1.\)
-
C.
\( + \infty .\)
-
D.
\(0.\)
Đáp án : D
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
Ta có \(\left| {\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right| = \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < \dfrac{1}{{n.n}} = \dfrac{1}{{{n^2}}}\) mà \(\lim \dfrac{1}{{{n^2}}} = 0\) nên suy ra \(\lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 0\)
Cho \(n = 2k + 1,k \in N\). Khi đó:
-
A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n} = - \infty \)
-
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n} = + \infty \)
-
C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty \)
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = + \infty \)
Đáp án : C
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty \) nếu \(k\) chẵn và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty \) nếu \(k\) lẻ.
Do đó, vì \(n = 2k + 1,k \in N\) là số nguyên dương lẻ nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty \)
Giá trị của \(A = \lim \dfrac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}\) bằng:
-
A.
\( + \infty \)
-
B.
\( - \infty \)
-
C.
\(\dfrac{2}{3}\)
-
D.
\(1\)
Đáp án : C
Khi tìm \(\lim \dfrac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
\(\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)
Ta có: \(A = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} = \dfrac{2}{3}\).
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x }}{{{x^2}}}$ là:
-
A.
$0$
-
B.
\( - \infty .\)
-
C.
$1$
-
D.
\( + \infty .\)
Đáp án : D
Nhân liên hợp khử dạng vô định \(\dfrac{0}{0}\) và tính giới hạn.
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt x }}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left( {{x^2} + x} \right) - x}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x }} = + \infty $
vì \(1 > 0\); $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x } \right) = 0$ và \(\sqrt {{x^2} + x} + \sqrt x > 0\) với mọi \(x > 0.\)
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}\) là:
-
A.
\( - \dfrac{3}{2}.\)
-
B.
\( - \dfrac{2}{3}.\)
-
C.
\(0.\)
-
D.
\( + \infty .\)
Đáp án : C
Thay trực tiếp giá trị \(x = 2\) vào hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{12 - 4}} - \sqrt {6 - 2} }}{3} = \dfrac{0}{3} = 0\)
Cho các dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) có \(\lim {u_n} = \dfrac{5}{3},\lim {v_n} = - \dfrac{2}{3}\). Chọn đáp án đúng:
-
A.
\(\lim \left( {{u_n} - 2{v_n}} \right) = \dfrac{1}{3}\)
-
B.
\(\lim \left( {2{u_n} - {v_n}} \right) = 4\)
-
C.
\(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = 1\)
-
D.
\(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \dfrac{1}{3}\)
Đáp án : B
Sử dụng các công thức \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\) và \(\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.L\)
Đáp án A: \(\lim \left( {{u_n} - 2{v_n}} \right) = \dfrac{5}{3} - 2.\left( { - \dfrac{2}{3}} \right) = 3 \ne \dfrac{1}{3}\) nên A sai.
Đáp án B: \(\lim \left( {2{u_n} - {v_n}} \right) = 2.\dfrac{5}{3} - \left( { - \dfrac{2}{3}} \right) = 4\) nên B đúng.
Đáp án C: \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \dfrac{5}{3} - \left( { - \dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{7}{3} \ne 1\) nên C sai.
Đáp án D: \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \dfrac{5}{3} + \left( { - \dfrac{2}{3}} \right) = 1 \ne \dfrac{1}{3}\) nên D sai.
Cho ${u_n} = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^3}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
-
A.
$0.$
-
B.
$ - \dfrac{1}{4}.$
-
C.
$\dfrac{3}{4}.$
-
D.
$ - \dfrac{3}{4}.$
Đáp án : A
Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${n^3}$.
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{n^2} - 3n}}{{1 - 4{n^3}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}}}}{{\dfrac{1}{{{n^3}}} - 4}} = \dfrac{0}{{ - 4}} = 0.$
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right)$ bằng?
-
A.
$5$
-
B.
$7$
-
C.
$9$
-
D.
$6$
Đáp án : C
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định tại \(x = {x_0}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right) = {( - 1)^2} - ( - 1) + 7 = 9.$
Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {1 - 3n} \right)}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}}$. Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
-
A.
$ - \infty .$
-
B.
$ - 1.$
-
C.
$ + \infty .$
-
D.
$\dfrac{{ - 2}}{5}.$
Đáp án : A
- Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${n^2}$.
- Giới hạn $\lim {u_n} = L,\lim {v_n} = 0 \Rightarrow \lim \dfrac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \infty $
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {1 - 3n} \right)}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}}$ $ = \lim \dfrac{{ - 6{n^2} - n + 1}}{{\sqrt[3]{{{n^3} + 5n - 1}}}} $ $= \lim \dfrac{{\dfrac{{ - 6{n^2} - n + 1}}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{\dfrac{{{n^3} + 5n - 1}}{{{n^6}}}}}}}$ $=\lim \dfrac{{ - 6 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{n^3}}} + \dfrac{5}{{{n^5}}} - \dfrac{1}{{{n^6}}}}}}} = - \infty .$
Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}$
Khi đó $\lim {u_n}$ bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{2}.$
-
B.
$\dfrac{1}{4}.$
-
C.
$1.$
-
D.
$2.$
Đáp án : A
- Rút gọn biểu thức, rồi tính giới hạn.
$\begin{array}{l}{u_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}}+ ... + \frac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}\\ = \frac{1}{2}. \left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5}+ ... + \frac{1}{{2n - 1}} - \frac{1}{{2n + 1}}} \right) \\ = \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right)\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{2n + 1}}} \right) = \frac{1}{2}.\end{array}$
Biết rằng \(a + b = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)\) hữu hạn. Tính giới hạn $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{b}{{1 - {x^3}}} - \dfrac{a}{{1 - x}}} \right)$.
-
A.
$-1$
-
B.
$2$
-
C.
$1$
-
D.
$-2$
Đáp án : C
Bước 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức.
Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có giới hạn hữu hạn suy ra \(a,b\)
Bước 3: Với \(a,b\) tìm được ở trên thì tính giới hạn hàm số có được
Bước 1:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + ax + a{x^2} - b}}{{1 - {x^3}}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + ax + a{x^2} - b}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}.\)
Bước 2:
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)\) hữu hạn thì tử thức \(a + ax + a{x^2} - b\) phải có nghiệm bằng \(1\)
\( \Leftrightarrow a + a.1 + a{.1^2} - b = 0 \Leftrightarrow 3a - b = 0.\)
Vậy ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\3a - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right. \)
Bước 3:
\( \Rightarrow L = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)\)
\( = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} \) \(= - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{ - \left( {x + 2} \right)}}{{1 + x + {x^2}}} = 1\).
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {\dfrac{{3x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} $ bằng?
-
A.
$ - \sqrt {\dfrac{3}{2}.} $
-
B.
$\sqrt {\dfrac{3}{2}} .$
-
C.
$\dfrac{3}{2}.$
-
D.
$ - \dfrac{3}{2}.$
Đáp án : A
- Đưa $x$ vào trong căn: $x = - \sqrt {{x^2}} \,\,\,\,khi\,\,x \to - \infty $
- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất.
- Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x\sqrt {\dfrac{{3x + 2}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {\dfrac{{{x^2}\left( {3x + 2} \right)}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {\dfrac{{3{x^3} + 2{x^2}}}{{2{x^3} + {x^2} - 1}}} } \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {\dfrac{{3 + \dfrac{2}{x}}}{{2 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^3}}}}}} } \right) = - \sqrt {\dfrac{3}{2}} \end{array}$
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
