Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 3: Nguyên hàm - Đề số 3
Đề bài
Tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx\) có giá trị là:
-
A.
\(\frac{{19}}{3}\).
-
B.
\(\frac{{32}}{3}\).
-
C.
\(\frac{{16}}{3}\).
-
D.
\(\frac{{21}}{2}\).
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trong đoạn \(\left[ 1;e \right]\), biết \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x}dx}=1,\,\,f(e)=2\). Tích phân \(\int\limits_{1}^{e}{f'(x)\ln xdx}=?\)
-
A.
1
-
B.
0
-
C.
2
-
D.
3
Cho hai hàm số \(f,\,\,g\) liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
-
A.
$\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
-
B.
$\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
-
C.
$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $
-
D.
$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} {\rm{\;}} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx} = 10\) và \(2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)
-
A.
\(I = - 12\)
-
B.
\(I = 8\)
-
C.
\(I = 12\)
-
D.
\(I = - 8\)
Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$ là các hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right],$ có $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4,\,\,\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - \,2$ và $\int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} = 1.$ Tính $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} .$
-
A.
$I = 9.$
-
B.
$I = 4.$
-
C.
$I = - \,11.$
-
D.
$I = 11.$
Cho hàm số \(y = f(x)\)thỏa mãn hệ thức \(\int {f\left( x \right)\sin xdx} = - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}. \) Hỏi \(y = f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau:
-
A.
\(f\left( x \right) = - \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
-
B.
\(f(x) = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
-
C.
\(f\left( x \right) = {\pi ^x}.\ln \pi \).
-
D.
\(f\left( x \right) = - {\pi ^x}.\ln \pi \).
Biết $\int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C} $ với $x \in \left( {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right)$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
-
A.
$\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.} $
-
B.
$\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 6x\ln \left( {3x - 1} \right) + C.} $
-
C.
$\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 6x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.} $
-
D.
$\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 3x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.} $
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{a}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+bx{{e}^{x}}\). Tìm a và b biết rằng \(f'\left( 0 \right)=-22\) và \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=5\).
-
A.
\(a=-2,b=-8\)
-
B.
\(a=2,b=8\)
-
C.
\(a=8,b=2\)
-
D.
\(a=-8,b=-2\)
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(k\) là một số thực trên \(R\). Cho các công thức:
a) \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\)
b) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
c) \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Số công thức sai là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(0\)
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\sqrt {4 + {x^3}} $ là:
-
A.
$2\sqrt {{x^3} + 4} + C$
-
B.
$\dfrac{2}{9}\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$
-
C.
$2\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$
-
D.
$\dfrac{1}{9}\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$
Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} \) được viết dưới dạng \(a + b\ln 2\) với \(a,b \in Q\). Khi đó \(a + b\) có giá trị là:
-
A.
\(\dfrac{3}{2}\)
-
B.
\( - \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{5}{2}\)
-
D.
\( - \dfrac{5}{2}\)
Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\frac{2}{3}\left( \sqrt{a}-b \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương. Tính \(T=a+b.\)
-
A.
\(T=7.\)
-
B.
\(T=10.\)
-
C.
\(T=6.\)
-
D.
\(T=8.\)
Lời giải và đáp án
Tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx\) có giá trị là:
-
A.
\(\frac{{19}}{3}\).
-
B.
\(\frac{{32}}{3}\).
-
C.
\(\frac{{16}}{3}\).
-
D.
\(\frac{{21}}{2}\).
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính nguyên hàm hàm lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} \)
Ta có: $I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx = \left. {\dfrac{{{x^6}}}{6}} \right|_1^2 = \dfrac{{21}}{2}$.
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trong đoạn \(\left[ 1;e \right]\), biết \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x}dx}=1,\,\,f(e)=2\). Tích phân \(\int\limits_{1}^{e}{f'(x)\ln xdx}=?\)
-
A.
1
-
B.
0
-
C.
2
-
D.
3
Đáp án : A
Công thức từng phần: \(\int{udv=uv-\int{vdu}}\).
$\int\limits_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x}dx}=\int\limits_{1}^{e}{f(x)d\ln x}=\left. f(x)\ln x \right|_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{\ln xf'(x)dx}=1$
$\Rightarrow f(e)-\int\limits_{1}^{e}{\ln xf'(x)dx}=1$
$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{e}{\ln xf'(x)dx}=f(e)-1=2-1=1$
Cho hai hàm số \(f,\,\,g\) liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
-
A.
$\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
-
B.
$\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
-
C.
$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $
-
D.
$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} {\rm{\;}} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $
Đáp án : B
Sử dụng tính chất của tích phân.
Đáp án A: đúng theo tính chất tích phân.
Đáp án B: sai vì \(x\) không phải hằng số nên không đưa được ra ngoài dấu tích phân.
Đáp án C: đúng theo tính chất tích phân.
Đáp án D: đúng theo tính chất tích phân.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx} = 10\) và \(2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)
-
A.
\(I = - 12\)
-
B.
\(I = 8\)
-
C.
\(I = 12\)
-
D.
\(I = - 8\)
Đáp án : D
Đặt $u=x+1;dv=f'(x)dx$ thì $du=dx;v=f(x)$
Ta có:
$\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {(x + 1)f'(x)d{\rm{x}} = 10} \Leftrightarrow \left. {(x + 1)f(x)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f(x)d{\rm{x}} = 10 = } 2f(1) - f(0) - \int\limits_0^1 {f(x)d{\rm{x}}} \\ \to \int\limits_0^1 {f(x)d{\rm{x}}} = - 8.\end{array}$
Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$ là các hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right],$ có $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4,\,\,\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - \,2$ và $\int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} = 1.$ Tính $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} .$
-
A.
$I = 9.$
-
B.
$I = 4.$
-
C.
$I = - \,11.$
-
D.
$I = 11.$
Đáp án : D
Sử dụng các công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} ;\,\,\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} ;\,\,\int\limits_a^b {cf\left( x \right)dx} = c\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\)
Ta có $\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} $
Suy ra $\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} = - \,2 - 1 = - \,3.$
Vậy $I = 2\,\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 2.4 - \left( { - \,3} \right) = 11.$
Cho hàm số \(y = f(x)\)thỏa mãn hệ thức \(\int {f\left( x \right)\sin xdx} = - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}. \) Hỏi \(y = f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau:
-
A.
\(f\left( x \right) = - \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
-
B.
\(f(x) = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
-
C.
\(f\left( x \right) = {\pi ^x}.\ln \pi \).
-
D.
\(f\left( x \right) = - {\pi ^x}.\ln \pi \).
Đáp án : B
Đặt : \(\left\{ \begin{array}{l}u = f(x)\\dv = \sin {\rm{xdx}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'(x)dx\\v = - \cos x\end{array} \right. \)
$\Rightarrow \int {f(x)\sin {\rm{x}}dx = - f(x).\cos x + \int {f'(x).\cos xdx} }$
Nên suy ra \(f'(x) = {\pi ^x} \Rightarrow f(x) = \int {{\pi ^x}} dx = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
Biết $\int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C} $ với $x \in \left( {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right)$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
-
A.
$\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.} $
-
B.
$\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 6x\ln \left( {3x - 1} \right) + C.} $
-
C.
$\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 6x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.} $
-
D.
$\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 3x\ln \left( {9x - 1} \right) + C.} $
Đáp án : A
Sử dụng công thức đổi biến $t = 3x$ để tính nguyên hàm $\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} $.
Đặt $t = 3x \Rightarrow dt = 3dx \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{3}$, khi đó:
$\begin{array}{*{20}{l}}{\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} {\rm{\;}} = \dfrac{1}{3}\int {f\left( t \right)dt} {\rm{\;}} = \dfrac{1}{3}\left( {2t\ln \left( {3t - 1} \right)} \right) + C}\\{ = \dfrac{1}{3}\left( {2.3x.\ln \left( {3.3x - 1} \right)} \right) + C = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C}\end{array}$
Vậy $\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} {\rm{\;}} = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C$
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{a}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+bx{{e}^{x}}\). Tìm a và b biết rằng \(f'\left( 0 \right)=-22\) và \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=5\).
-
A.
\(a=-2,b=-8\)
-
B.
\(a=2,b=8\)
-
C.
\(a=8,b=2\)
-
D.
\(a=-8,b=-2\)
Đáp án : C
+) Tính \(f'\left( 0 \right)\) và sử dụng giả thiết \(f'\left( 0 \right)=-22\) suy ra 1 phương trình chứa a,b.
+) Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}\) và sử dụng giả thiết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=5\) suy ra 1 phương trình nữa chứa a, b.
+) Giải hệ gồm 2 phương trình trên, tìm a và b.
\(\begin{align} & f'\left( x \right)=-3.\frac{a}{{{\left( x+1 \right)}^{4}}}+b{{e}^{x}}+bx{{e}^{x}} \\ & \Rightarrow f'\left( 0 \right)=-3a+b=-22\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{a}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+bx{{e}^{x}} \right)dx}=a\int\limits_{0}^{1}{{{\left( x+1 \right)}^{-3}}dx}+b\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}=a{{I}_{1}}+b{{I}_{2}} \\ & {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( x+1 \right)}^{-3}}dx}=\left. \frac{{{\left( x+1 \right)}^{-2}}}{-2} \right|_{0}^{1}=\frac{-1}{2}\left( \frac{1}{4}-1 \right)=\frac{3}{8} \\ \end{align}\)
Đặt\(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right. \Rightarrow {I_2} = \left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = e - \left. {{e^x}} \right|_0^1 = e - \left( {e - 1} \right) = 1\)
\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{3}{8}a+b=5\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=8 \\ & b=2 \\ \end{align} \right.\)
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(k\) là một số thực trên \(R\). Cho các công thức:
a) \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\)
b) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
c) \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Số công thức sai là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(0\)
Đáp án : A
Dễ thấy các công thức a) đúng vì tích phân có hai cận bằng nhau thì có giá trị $0$.
Công thức c) là đúng theo tính chất tích phân.
Công thức b) sai vì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\sqrt {4 + {x^3}} $ là:
-
A.
$2\sqrt {{x^3} + 4} + C$
-
B.
$\dfrac{2}{9}\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$
-
C.
$2\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$
-
D.
$\dfrac{1}{9}\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$
Đáp án : B
-Sử dụng phương pháp đưa vào trong vi phân
$\int {{x^2}\sqrt {4 + {x^3}} dx = \dfrac{1}{3}\int {\sqrt {4 + {x^3}} .d\left( {{x^3} + 4} \right)} } $$ = \dfrac{1}{3}\dfrac{{{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}}}{{\dfrac{3}{2}}} + C = \dfrac{2}{9}\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$.
Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} \) được viết dưới dạng \(a + b\ln 2\) với \(a,b \in Q\). Khi đó \(a + b\) có giá trị là:
-
A.
\(\dfrac{3}{2}\)
-
B.
\( - \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{5}{2}\)
-
D.
\( - \dfrac{5}{2}\)
Đáp án : B
Sử dụng bảng nguyên hàm các hàm sơ cấp để tính tích phân, từ đó tìm \(a,b \Rightarrow a + b\).
Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^0 \)
$= \dfrac{1}{2} - 2\ln 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - \dfrac{3}{2}$
Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\frac{2}{3}\left( \sqrt{a}-b \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương. Tính \(T=a+b.\)
-
A.
\(T=7.\)
-
B.
\(T=10.\)
-
C.
\(T=6.\)
-
D.
\(T=8.\)
Đáp án : B
Nhân liên hợp, bỏ mẫu số đưa về tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức cơ bản
Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{{{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\,\text{d}x}=\left. \frac{2}{3}\left[ \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}-\sqrt{{{x}^{3}}} \right] \right|_{0}^{1}=\frac{4}{3}\left( \sqrt{2}-1 \right).\)
Mặt khác \(I=\frac{2}{3}\left( \sqrt{a}-b \right)=\frac{4}{3}\left( \sqrt{2}-1 \right)=\frac{2}{3}\left( \sqrt{8}-2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=8 \\ & b=2 \\ \end{align} \right..\)
Vậy \(T=a+b=8+2=10.\)