-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 3: Nguyên hàm - Đề số 2
Đề bài
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng \(2\)?
-
A.
\(\int\limits_1^2 {{e^x}dx} \).
-
B.
\(\int\limits_0^1 {2dx} \).
-
C.
\(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} \).
-
D.
\(\int\limits_0^1 {xdx} \).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
-
A.
\(\int{{{e}^{x}}\,\text{d}x}={{e}^{x}}+C.\)
-
B.
\(\int{0\,\text{d}x}=C.\)
-
C.
\(\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln x+C.\)
-
D.
\(\int{\text{dx}}=x+C.\)
Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$ là các hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right],$ có $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4,\,\,\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - \,2$ và $\int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} = 1.$ Tính $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} .$
-
A.
$I = 9.$
-
B.
$I = 4.$
-
C.
$I = - \,11.$
-
D.
$I = 11.$
Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}\) bằng
-
A.
\(\frac{61}{9}\)
-
B.
$4.$
-
C.
$61.$
-
D.
\(\frac{61}{3}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn mệnh đề sai?
-
A.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
-
B.
\(\int\limits_a^b {kdx} = k\left( {b - a} \right)\)
-
C.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \) với \(b \in \left[ {a;c} \right]\)
-
D.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( { - x} \right)dx} \)
Cho hàm số \(y = f(x)\)thỏa mãn hệ thức \(\int {f\left( x \right)\sin xdx} = - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}. \) Hỏi \(y = f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau:
-
A.
\(f\left( x \right) = - \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
-
B.
\(f(x) = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
-
C.
\(f\left( x \right) = {\pi ^x}.\ln \pi \).
-
D.
\(f\left( x \right) = - {\pi ^x}.\ln \pi \).
Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
-
A.
$y = \sin x + 1$
-
B.
\(y = \cos x\)
-
C.
\(y = \cot x\)
-
D.
\(y = - \cos x\)
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(k\) là một số thực trên \(R\). Cho các công thức:
a) \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\)
b) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
c) \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Số công thức sai là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(0\)
Nếu \(t = {x^2}\) thì:
-
A.
\(xf\left( {{x^2}} \right)dx = f\left( t \right)dt\)
-
B.
\(xf\left( {{x^2}} \right)dx = \dfrac{1}{2}f\left( t \right)dt\)
-
C.
\(xf\left( {{x^2}} \right)dx = 2f\left( t \right)dt\)
-
D.
\(xf\left( {{x^2}} \right)dx = {f^2}\left( t \right)dt\)
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\sqrt {4 + {x^3}} $ là:
-
A.
$2\sqrt {{x^3} + 4} + C$
-
B.
$\dfrac{2}{9}\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$
-
C.
$2\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$
-
D.
$\dfrac{1}{9}\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$
Cho \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{5}}+{{x}^{3}}}}=a.\ln 5+b.\ln 2+c\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(a+2b+4c\) bằng
-
A.
0
-
B.
-1
-
C.
\(-\frac{5}{8}.\)
-
D.
1
Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là
-
A.
\(T=10\).
-
B.
\(T=9\).
-
C.
\(T=8\).
-
D.
\(T=11\).
Lời giải và đáp án
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng \(2\)?
-
A.
\(\int\limits_1^2 {{e^x}dx} \).
-
B.
\(\int\limits_0^1 {2dx} \).
-
C.
\(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} \).
-
D.
\(\int\limits_0^1 {xdx} \).
Đáp án : B
Tính tích phân từng đáp án và dùng phương pháp loại trừ, sử dụng công thức nguyên hàm hàm số cơ bản:
\(\int {dx = x + C} \), \(\int {\sin xdx = - \cos x + C} \), \(\int {{x^\alpha }dx = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} \) và công thức tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
+) $\int\limits_1^2 {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_1^2 = {e^2} - e$
+) \(\int\limits_0^1 {2dx} = \left. {2x} \right|_0^1 = 2\),
+) \(\int\limits_0^1 {xdx} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{2}\)
+) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \left. { - \cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 1\)
Vậy chỉ có đáp án B là có tích phân bằng \(2\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
-
A.
\(\int{{{e}^{x}}\,\text{d}x}={{e}^{x}}+C.\)
-
B.
\(\int{0\,\text{d}x}=C.\)
-
C.
\(\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln x+C.\)
-
D.
\(\int{\text{dx}}=x+C.\)
Đáp án : C
Ta có \(\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln \left| x \right|+C\ne \ln x+C.\)
Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$ là các hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right],$ có $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4,\,\,\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - \,2$ và $\int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} = 1.$ Tính $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} .$
-
A.
$I = 9.$
-
B.
$I = 4.$
-
C.
$I = - \,11.$
-
D.
$I = 11.$
Đáp án : D
Sử dụng các công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} ;\,\,\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} ;\,\,\int\limits_a^b {cf\left( x \right)dx} = c\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\)
Ta có $\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} $
Suy ra $\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} = - \,2 - 1 = - \,3.$
Vậy $I = 2\,\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 2.4 - \left( { - \,3} \right) = 11.$
Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}\) bằng
-
A.
\(\frac{61}{9}\)
-
B.
$4.$
-
C.
$61.$
-
D.
\(\frac{61}{3}\).
Đáp án : D
Sử dụng công thức \(\int {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx} = \dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{a\left( {n + 1} \right)}} + C\)
\(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}=\frac{1}{3}\left. {{(x+3)}^{3}} \right|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left( {{5}^{3}}-{{4}^{3}} \right)=\frac{61}{3}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn mệnh đề sai?
-
A.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
-
B.
\(\int\limits_a^b {kdx} = k\left( {b - a} \right)\)
-
C.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \) với \(b \in \left[ {a;c} \right]\)
-
D.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( { - x} \right)dx} \)
Đáp án : D
Các mệnh đề A, B, C đều đúng. Mệnh đề D sai.
Cho hàm số \(y = f(x)\)thỏa mãn hệ thức \(\int {f\left( x \right)\sin xdx} = - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}. \) Hỏi \(y = f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau:
-
A.
\(f\left( x \right) = - \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
-
B.
\(f(x) = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
-
C.
\(f\left( x \right) = {\pi ^x}.\ln \pi \).
-
D.
\(f\left( x \right) = - {\pi ^x}.\ln \pi \).
Đáp án : B
Đặt : \(\left\{ \begin{array}{l}u = f(x)\\dv = \sin {\rm{xdx}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'(x)dx\\v = - \cos x\end{array} \right. \)
$\Rightarrow \int {f(x)\sin {\rm{x}}dx = - f(x).\cos x + \int {f'(x).\cos xdx} }$
Nên suy ra \(f'(x) = {\pi ^x} \Rightarrow f(x) = \int {{\pi ^x}} dx = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
-
A.
$y = \sin x + 1$
-
B.
\(y = \cos x\)
-
C.
\(y = \cot x\)
-
D.
\(y = - \cos x\)
Đáp án : B
$F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$
\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x \Rightarrow y = \sin x\) là một nguyên hàm của hàm số $y = \cos x$.
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(k\) là một số thực trên \(R\). Cho các công thức:
a) \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\)
b) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
c) \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Số công thức sai là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(0\)
Đáp án : A
Dễ thấy các công thức a) đúng vì tích phân có hai cận bằng nhau thì có giá trị $0$.
Công thức c) là đúng theo tính chất tích phân.
Công thức b) sai vì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
Nếu \(t = {x^2}\) thì:
-
A.
\(xf\left( {{x^2}} \right)dx = f\left( t \right)dt\)
-
B.
\(xf\left( {{x^2}} \right)dx = \dfrac{1}{2}f\left( t \right)dt\)
-
C.
\(xf\left( {{x^2}} \right)dx = 2f\left( t \right)dt\)
-
D.
\(xf\left( {{x^2}} \right)dx = {f^2}\left( t \right)dt\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức đổi biến \(t = u\left( x \right) \Rightarrow f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx = f\left( t \right)dt\).
Ta có: \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2} \)
$\Rightarrow xf\left( {{x^2}} \right)dx = f\left( {{x^2}} \right).xdx = f\left( t \right).\dfrac{{dt}}{2} = \dfrac{1}{2}f\left( t \right)dt$
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\sqrt {4 + {x^3}} $ là:
-
A.
$2\sqrt {{x^3} + 4} + C$
-
B.
$\dfrac{2}{9}\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$
-
C.
$2\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$
-
D.
$\dfrac{1}{9}\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$
Đáp án : B
-Sử dụng phương pháp đưa vào trong vi phân
$\int {{x^2}\sqrt {4 + {x^3}} dx = \dfrac{1}{3}\int {\sqrt {4 + {x^3}} .d\left( {{x^3} + 4} \right)} } $$ = \dfrac{1}{3}\dfrac{{{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}}}{{\dfrac{3}{2}}} + C = \dfrac{2}{9}\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$.
Cho \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{5}}+{{x}^{3}}}}=a.\ln 5+b.\ln 2+c\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(a+2b+4c\) bằng
-
A.
0
-
B.
-1
-
C.
\(-\frac{5}{8}.\)
-
D.
1
Đáp án : B
Dựa vào phương pháp đổi biến số và tách phân thức trong dạng toán tích phân của hàm phân thức
Ta có \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{5}}+{{x}^{3}}}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\frac{2x\,\text{d}x}{{{x}^{4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}\left( {{x}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}}\)
Xét \(\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{t+1-t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}\,\text{d}t}=\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{1}{{{t}^{2}}}-\frac{1}{t\left( t+1 \right)} \right)\,\text{d}t}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}}}-\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{t\left( t+1 \right)}}\)
\(\begin{align} & =\left. -\frac{1}{t} \right|_{1}^{4}-\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{1}{t}-\frac{1}{t+1} \right)dt=\frac{3}{4}-\left. \left( \ln t-\ln \left( t+1 \right) \right) \right|_{1}^{4}} \\ & =\frac{3}{4}-\ln 4+\ln 5-\ln 2=\frac{3}{4}-3\ln 2+\ln 5. \\\end{align}\)
Khi đó \(I=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{4}-3\ln 2+\ln 5 \right)=\frac{1}{2}.\ln 5-\frac{3}{2}.\ln 2+\frac{3}{8}.\) Vậy \(a+2b+4c=-\,1.\)
Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là
-
A.
\(T=10\).
-
B.
\(T=9\).
-
C.
\(T=8\).
-
D.
\(T=11\).
Đáp án : C
Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân.
Đặt \({{x}^{2}}+9=t\Rightarrow 2xdx=dt\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}dt\).
Đổi cận:
$\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 9\\
x = 4 \Rightarrow t = 25
\end{array}$
Khi đó, ta có: \(I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=}\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\ln tdt}=\frac{1}{2}\left[ \left. t.\ln \left| t \right| \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{td(\ln t)} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{t.\frac{1}{t}dt} \right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{dt} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\left. t \right|_{9}^{25} \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( 25\ln 25-9\ln 9 \right)-(25-9) \right]=25\ln 5-9\ln 3-8\)
Suy ra, \(a=25,\,b=-9,\,c=-8\Rightarrow T=a+b+c=8\)
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
