-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 3: Nguyên hàm - Đề số 1
Đề bài
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\). Với \(C \ne 0\) là một hằng số bất kì, hàm nào sau đây cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)?
-
A.
\(C.F\left( x \right)\)
-
B.
\(C - F\left( x \right)\)
-
C.
\(C + F\left( x \right)\)
-
D.
\(\dfrac{{F\left( x \right)}}{C}\)
Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}\) bằng
-
A.
\(\frac{61}{9}\)
-
B.
$4.$
-
C.
$61.$
-
D.
\(\frac{61}{3}\).
Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$
-
A.
$\int {f(x)dx = {x^3}\ln 3x - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $
-
B.
$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C} $
-
C.
$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $
-
D.
$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{{27}} + C} $
Cho \(I=\int{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+5}dx}\), đặt \(u=\sqrt{{{x}^{2}}+5}\) khi đó viết \(I\) theo \(u\) và \(du\) ta được:
-
A.
\(\int{\left( {{u}^{4}}+5{{u}^{3}} \right)du}\)
-
B.
\(\int{\left( {{u}^{4}}-5{{u}^{3}} \right)du}\)
-
C.
\(\int{{{u}^{2}}du}\)
-
D.
\(\int{\left( {{u}^{4}}-5{{u}^{2}} \right)du}\)
Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 2}}$
-
B.
$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( {x + 1} \right)} d{\rm{x = 2}}$
-
C.
$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 1}}$
-
D.
$\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)} d{\rm{x = 1}}$
Tính \(I = \int {\cos \sqrt x dx} \) ta được:
-
A.
\(2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x - \cos \sqrt x } \right) + C\)
-
B.
\(2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x } \right) + C\)
-
C.
\(\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x + C\)
-
D.
\(\sqrt x \sin \sqrt x - \cos \sqrt x + C\)
Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành
-
A.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
B.
$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
C.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
D.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để $I + 3 \ge 0$?
-
A.
$4$
-
B.
$0$
-
C.
$5$
-
D.
$2$
Biết $F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}$ là nguyên hàm của hàm số $y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}$. Khi đó $b - a$ là
-
A.
$ - 1$
-
B.
$3$
-
C.
$1$
-
D.
$2$
Cho \(A = \int {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} dx = a} {t^7} + b{t^5} + c{t^3} + C\) , với \(t = \sqrt {1 + {x^2}} \). Tính \(A = a - b - c\)
-
A.
\(\dfrac{{12}}{{79}}\)
-
B.
\(\dfrac{{95}}{{103}}\)
-
C.
\(\dfrac{{22}}{{105}}\)
-
D.
\(\dfrac{{48}}{{109}}\)
Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x\) bằng
-
A.
\(e-1.\)
-
B.
\(\frac{1}{e}-1.\)
-
C.
\(\frac{e-1}{e}.\)
-
D.
\(\frac{1}{e}.\)
Biết rằng \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x\), trong đó a, b, c là các hằng số. Giá trị của tổng \(S = a + b\) thỏa mãn:
-
A.
$S < 0$
-
B.
$ - 1 < S < - \dfrac{1}{2}$
-
C.
$\dfrac{1}{3} < S < \dfrac{1}{2}$
-
D.
$S > 1$
Lời giải và đáp án
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\). Với \(C \ne 0\) là một hằng số bất kì, hàm nào sau đây cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)?
-
A.
\(C.F\left( x \right)\)
-
B.
\(C - F\left( x \right)\)
-
C.
\(C + F\left( x \right)\)
-
D.
\(\dfrac{{F\left( x \right)}}{C}\)
Đáp án : C
Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right) + C\) hay \(F\left( x \right) - C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) (\(C \ne 0\) là một hằng số)
Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right) + C\) hay \(F\left( x \right) - C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) (\(C \ne 0\) là một hằng số).
Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}\) bằng
-
A.
\(\frac{61}{9}\)
-
B.
$4.$
-
C.
$61.$
-
D.
\(\frac{61}{3}\).
Đáp án : D
Sử dụng công thức \(\int {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx} = \dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{a\left( {n + 1} \right)}} + C\)
\(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}=\frac{1}{3}\left. {{(x+3)}^{3}} \right|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left( {{5}^{3}}-{{4}^{3}} \right)=\frac{61}{3}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$
-
A.
$\int {f(x)dx = {x^3}\ln 3x - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $
-
B.
$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C} $
-
C.
$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $
-
D.
$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{{27}} + C} $
Đáp án : B
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho hàm logarit:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{\left( {ax + b} \right)}}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln 3x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{3}{{3x}}dx\\v = \dfrac{1}{3}{x^3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \int {\dfrac{1}{3}{x^3}.\dfrac{3}{{3x}}dx} = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \int {\dfrac{1}{3}{x^2}dx} = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \dfrac{1}{9}{x^3} + C\)
Cho \(I=\int{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+5}dx}\), đặt \(u=\sqrt{{{x}^{2}}+5}\) khi đó viết \(I\) theo \(u\) và \(du\) ta được:
-
A.
\(\int{\left( {{u}^{4}}+5{{u}^{3}} \right)du}\)
-
B.
\(\int{\left( {{u}^{4}}-5{{u}^{3}} \right)du}\)
-
C.
\(\int{{{u}^{2}}du}\)
-
D.
\(\int{\left( {{u}^{4}}-5{{u}^{2}} \right)du}\)
Đáp án : D
- Tính \({{u}^{2}}={{x}^{2}}+5\Rightarrow du=dx\) và thay vào \(I\).
Ta có: \(\sqrt{{{x}^{2}}+5}=u\Rightarrow {{u}^{2}}={{x}^{2}}+5\Rightarrow 2udu=2xdx\Rightarrow {{x}^{3}}dx={{x}^{2}}.xdx=\left( {{u}^{2}}-5 \right).udu\)
Khi đó:
\(I=\int{\left( {{u}^{2}}-5 \right).u.udu}=\int{\left( {{u}^{4}}-5{{u}^{2}} \right)du}\)
Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 2}}$
-
B.
$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( {x + 1} \right)} d{\rm{x = 2}}$
-
C.
$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 1}}$
-
D.
$\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)} d{\rm{x = 1}}$
Đáp án : A
Sử dụng phương pháp đổi biến số để tích tích phân ở các đáp án.
Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:
$\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)d(2x)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1} \\\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = \int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)d(x + 1)} = \int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 2} \\\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)dx} = \int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)d(x - 2)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1} \end{array}$
Do đó các đáp án B, C, D đều đúng, đáp án A sai.
Tính \(I = \int {\cos \sqrt x dx} \) ta được:
-
A.
\(2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x - \cos \sqrt x } \right) + C\)
-
B.
\(2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x } \right) + C\)
-
C.
\(\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x + C\)
-
D.
\(\sqrt x \sin \sqrt x - \cos \sqrt x + C\)
Đáp án : B
Trước hết ta nên đặt \(t = \sqrt x \) để đưa nguyên hàm về dạng đơn giản hơn, sau đó áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Đặt \(\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt \Rightarrow I = 2\int {t\cos tdt} .\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = \cos tdt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = \sin t\end{array} \right. \)
$\Rightarrow I = 2\left( {t\sin t - \int {{\mathop{\rm sint}\nolimits} dt} + C} \right) = 2\left( {t\sin t + \cos t + C} \right) $
$= 2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x } \right) + C.$
Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành
-
A.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
B.
$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
C.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
D.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Đáp án : A
Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để $I + 3 \ge 0$?
-
A.
$4$
-
B.
$0$
-
C.
$5$
-
D.
$2$
Đáp án : D
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản tính tích phân theo $m$ rồi thay vào điều kiện bài cho tìm $m$.
$\begin{array}{l}{\rm{\;}}I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - {m^2}x} \right)} \right|_0^1 = 1 - {m^2}\\{\rm{ \;}}I + 3 \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {m^2} + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 4 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 2;2} \right]\end{array}$
$m$ là số nguyên dương $ \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}$.
Biết $F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}$ là nguyên hàm của hàm số $y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}$. Khi đó $b - a$ là
-
A.
$ - 1$
-
B.
$3$
-
C.
$1$
-
D.
$2$
Đáp án : A
Sử dụng phương pháp nguyên hàm nguyên hàm từng phần cho dạng bài hàm số mũ:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = uv - \int {vdu} \)
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$.$ \Rightarrow \int {(2x + 3){e^x}dx} = (2x + 3){e^x} - \int {{e^x}2dx = } (2x + 3){e^x} - 2{e^x} = (2x + 1){e^x}$
Khi đó \(a = 2,b = 1\)
Cho \(A = \int {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} dx = a} {t^7} + b{t^5} + c{t^3} + C\) , với \(t = \sqrt {1 + {x^2}} \). Tính \(A = a - b - c\)
-
A.
\(\dfrac{{12}}{{79}}\)
-
B.
\(\dfrac{{95}}{{103}}\)
-
C.
\(\dfrac{{22}}{{105}}\)
-
D.
\(\dfrac{{48}}{{109}}\)
Đáp án : C
- Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \)
- Tính \(dx\) theo \(dt\) và tìm nguyên hàm.
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow {x^2} = {t^2} - 1 \Rightarrow xdx = tdt\)
\(A = \int {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}{t^2}dt} = \int {\left( {{t^6} - 2{t^4} + {t^2}} \right)dt} \)\( = \dfrac{{{t^7}}}{7} - \dfrac{2}{5}{t^5} + \dfrac{{{t^3}}}{3} + C\) \( \Rightarrow a = \dfrac{1}{7};b = - \dfrac{2}{5};c = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow a - b - c = \dfrac{{22}}{{105}}\)
Tích phân \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x\) bằng
-
A.
\(e-1.\)
-
B.
\(\frac{1}{e}-1.\)
-
C.
\(\frac{e-1}{e}.\)
-
D.
\(\frac{1}{e}.\)
Đáp án : C
Bấm máy hoặc sử dụng công thức nguyên hàm hàm số mũ để tính tích phân.
Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}}\,\text{d}x=\left. -\,{{e}^{-\,x}} \right|_{0}^{1}=-\,{{e}^{-\,1}}-\left( -\,{{e}^{0}} \right)=-\frac{1}{e}+1=\frac{e-1}{e}.\)
Biết rằng \(F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x\), trong đó a, b, c là các hằng số. Giá trị của tổng \(S = a + b\) thỏa mãn:
-
A.
$S < 0$
-
B.
$ - 1 < S < - \dfrac{1}{2}$
-
C.
$\dfrac{1}{3} < S < \dfrac{1}{2}$
-
D.
$S > 1$
Đáp án : C
Đối với bài toán này ta có thể tính đạo hàm rồi đồng nhất hệ số tìm \(a,b,c\).
Đặt $F\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c$.
Ta có
$F'\left( x \right) = 2a{e^{2x}}\cos 3x - 3a{e^{2x}}\sin 3x + 2b{e^{2x}}\sin 3x + 3b{e^{2x}}\cos 3x$ $ = \left( {2a + 3b} \right){e^{2x}}\cos 3x + \left( {2b - 3a} \right){e^{2x}}\sin 3x$
Để $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x$, điều kiện là
$F'\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 1\\2b - 3a = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{{13}}\\b = \dfrac{3}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow a + b = \dfrac{5}{{13}}$
Do đó \(\dfrac{1}{3} < S < \dfrac{1}{2}\).
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
