Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 3: Dãy số - Đề số 3
Đề bài
Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?
-
A.
Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 3n - 5\)
-
B.
Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \sqrt 3 - \sqrt 5 n\)
-
C.
Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {n^2} - n\)
-
D.
Dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = 2017\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} + 2018\)
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_1} = 5\) và \({x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n \in N^*\). Số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là:
-
A.
\({x_n} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}\)
-
B.
\({x_n} = \dfrac{{5{n^2} - 5n}}{2}\)
-
C.
\({x_n} = \dfrac{{{n^2} + n + 10}}{2}\)
-
D.
\({x_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 12}}{2}\)
Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có \({a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\,\,\forall n \in N^*\) .
-
A.
$14$
-
B.
$15$
-
C.
$13$
-
D.
$12$
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = \dfrac{1}{2}\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2n\) với mọi \(n \ge 2\). Khi đó \({u_{50}}\) bằng:
-
A.
$1274,5$
-
B.
$2548,5$
-
C.
$5096,5$
-
D.
$2550,5$
Cho cấp số cộng $6;x; - 2;y$. Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
A.
$x = 2,y = 5$
-
B.
$x = 4,y = 6$
-
C.
$x = 2,y = - 6$
-
D.
$x = 4,y = - 6$.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..\) Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.
-
A.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
-
B.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$
-
C.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
-
D.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.$với \(n \ge 1\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây?
-
A.
$ - 1;\,2;\,5.$
-
B.
$2;5;8$
-
C.
$4;\,7;\,10.$
-
D.
$-1;3;7.$
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện ba số \(\dfrac{1}{{x + y}},\dfrac{1}{{y + z}},\dfrac{1}{{z + x}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?
-
A.
Ba số \({x^2},{y^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
-
B.
Ba số \({y^2},{z^2},{x^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
-
C.
Ba số \({y^2},{x^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
-
D.
Ba số \({z^2},{y^2},{x^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_n} = {2.3^n} - {5.2^n},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
-
A.
\({x_{n + 2}} = 5{x_{n + 1}} - 6{x_n}\)
-
B.
\({x_{n + 2}} = 6{x_{n + 1}} - 5{x_n}\)
-
C.
\({x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 0\)
-
D.
\({x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 0\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) , với \({u_n} = \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
A.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và không bị chặn dưới.
-
B.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới và không bị chặn trên.
-
C.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới và bị chặn trên.
-
D.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.
Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }},\dfrac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }},\dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}\) lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
-
A.
Ba số $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.
-
B.
Ba số \(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\) lập thành cấp số cộng.
-
C.
Ba số \({a^2},{b^2},{c^2}\) lập thành cấp số cộng
-
D.
Ba số \(\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c \) lập thành cấp số cộng.
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt $7$ hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô vuông thứ hai nhiều hơn ô đầu tiên là $5$ hạt dẻ, tiếp tục đặt vào ô vuông thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là $5$ hạt dẻ,… và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng hết $25450$ hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?
-
A.
$98$ ô
-
B.
$100$ ô
-
C.
$102$ ô
-
D.
$104$ ô
Lời giải và đáp án
Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?
-
A.
Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 3n - 5\)
-
B.
Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \sqrt 3 - \sqrt 5 n\)
-
C.
Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {n^2} - n\)
-
D.
Dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = 2017\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} + 2018\)
Đáp án : C
Chứng minh hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = const\,\,\forall n \ge 1\).
Đáp án A ta có \({a_{n + 1}} - {a_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 5 - \left( {3n - 5} \right)\) \( = 3n + 3 - 5 - 3n + 5 = 3 \)
\(\Rightarrow \left( {{a_n}} \right)\) là 1 CSC có công sai $d = 3.$
Đáp án B ta có \({b_{n + 1}} - {b_n} = \left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 \left( {n + 1} \right)} \right) - \left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 n} \right) \) \(= \sqrt 3 - \sqrt 5 n - \sqrt 5 - \sqrt 3 + \sqrt 5 n = - \sqrt 5 \)
\(\Rightarrow \left( {{b_n}} \right)\) là 1 CSC có công sai \(d = - \sqrt 5 \)
Đáp án C ta có \({c_{n + 1}} - {c_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - \left( {n + 1} \right) - {n^2} + n = {n^2} + 2n + 1 - n - 1 - {n^2} + n = 2n \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)\) không là CSC.
Đáp án D ta có \(\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} = 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_n} = 2018\,\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_{n + 1}} - {d_n} = 0 \Rightarrow \left( {{d_n}} \right)\) là CSC có công sai $d = 0.$
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_1} = 5\) và \({x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n \in N^*\). Số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là:
-
A.
\({x_n} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}\)
-
B.
\({x_n} = \dfrac{{5{n^2} - 5n}}{2}\)
-
C.
\({x_n} = \dfrac{{{n^2} + n + 10}}{2}\)
-
D.
\({x_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 12}}{2}\)
Đáp án : A
Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy số.
Dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh số hạng tổng quát đó đúng bằng phương pháp quy nạp
\(\begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = {x_1} + 1 = 5 + 1\\{x_3} = {x_2} + 2 = 5 + 1 + 2\\{x_4} = {x_3} + 3 = 5 + 1 + 2 + 3\\...\end{array}\)
Dự đoán \({x_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \in N^*\)
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Dễ thấy, $(*)$ đúng với $n = 1$.
Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k (k\ge 1),$ tức là \({x_k} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\,,\) ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh \({x_{k + 1}} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}\).
Ta có: \({x_{k + 1}} = {x_k} + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\, + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right) + 2k}}{2} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1 + 2} \right)}}{2} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi \(n \in N^*\).
Vậy \({x_n} = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2},\forall n \in N^*\)
Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có \({a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\,\,\forall n \in N^*\) .
-
A.
$14$
-
B.
$15$
-
C.
$13$
-
D.
$12$
Đáp án : B
Phân tích để xuất hiện hằng đẳng thức.
\({a_n} = - {n^2} + 4n + 11 = - {n^2} + 4n - 4 + 15 = - {\left( {n - 2} \right)^2} + 15 \le 15\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2\)
Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng $15$.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = \dfrac{1}{2}\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2n\) với mọi \(n \ge 2\). Khi đó \({u_{50}}\) bằng:
-
A.
$1274,5$
-
B.
$2548,5$
-
C.
$5096,5$
-
D.
$2550,5$
Đáp án : B
Dự đoán và chứng minh số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp toán học sau đó tìm số hạng thứ 50.
Ta có: \({u_1} = \dfrac{1}{2}\)
$\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 2.2 = \dfrac{1}{2} + 4 = \dfrac{1}{2} + 2.2\\{u_3} = {u_2} + 2.3 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3} \right)\\{u_4} = {u_3} + 2.4 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 + 8 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + 4} \right)\\...\end{array}$
Dự đoán số hạng tổng quát \({u_n} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + n} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \ge 2\)
Chứng minh bằng quy nạp:
Dễ thấy $(*)$ đúng với $n = 2.$
Giả sử $(*)$ đúng đến \(n = k \ge 2\) , tức là \({u_k} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right)\), ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + 1} \right)\)
Ta có: \({u_{k + 1}} = {u_k} + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right) + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + k + 1} \right)\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi \(n \ge 2\).
Mặt khác ta có \(1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} \) \(\Leftrightarrow 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 1\)
Khi đó số hạng \({u_{50}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + 50} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {\dfrac{{50.51}}{2} - 1} \right) = 2548,5\)
Cho cấp số cộng $6;x; - 2;y$. Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
A.
$x = 2,y = 5$
-
B.
$x = 4,y = 6$
-
C.
$x = 2,y = - 6$
-
D.
$x = 4,y = - 6$.
Đáp án : C
Sử dụng tính chất của CSC \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 2 = 2x\\x + y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 6\end{array} \right.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..\) Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.
-
A.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
-
B.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$
-
C.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
-
D.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$
Đáp án : A
Tìm hai số khi biết tổng $S$ và tích $P$ là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\).
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSC \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right. \Rightarrow {u_3},{u_5}\) là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 3\\X = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$
TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 3\\{u_1} + 4d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 2\\{u_1} + 4d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$.
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\end{array} \right.$với \(n \ge 1\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây?
-
A.
$ - 1;\,2;\,5.$
-
B.
$2;5;8$
-
C.
$4;\,7;\,10.$
-
D.
$-1;3;7.$
Đáp án : A
Lần lượt tính các giá trị \({u_2},{u_3}\) dựa vào công thức truy hồi.
Ta có \({u_1} = - 1;\,\,{u_2} = {u_1} + 3 = 2;\,\,{u_3} = {u_2} + 3 = 5.\)
Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện ba số \(\dfrac{1}{{x + y}},\dfrac{1}{{y + z}},\dfrac{1}{{z + x}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?
-
A.
Ba số \({x^2},{y^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
-
B.
Ba số \({y^2},{z^2},{x^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
-
C.
Ba số \({y^2},{x^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
-
D.
Ba số \({z^2},{y^2},{x^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Đáp án : C
Sử dụng tính chất của cấp số cộng \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\)
Ta có
\(\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{z + x}} = 2\dfrac{1}{{y + z}} \Rightarrow yz + {z^2} + xy + xz + xy + xz + {y^2} + yz = 2\left( {xz + {x^2} + yz + xy} \right) \Leftrightarrow {z^2} + {y^2} = 2{x^2}\)
Vậy ba số \({y^2},{x^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_n} = {2.3^n} - {5.2^n},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
-
A.
\({x_{n + 2}} = 5{x_{n + 1}} - 6{x_n}\)
-
B.
\({x_{n + 2}} = 6{x_{n + 1}} - 5{x_n}\)
-
C.
\({x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 0\)
-
D.
\({x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 0\)
Đáp án : A
Xác định \({x_{n + 2}},{x_{n + 1}}\) và tìm đẳng thức liên hệ giữa \({x_{n + 2}},{x_{n + 1}},{x_n}\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}{x_{n + 1}} = {2.3^{n + 1}} - {5.2^{n + 1}} = {6.3^n} - {10.2^n}\\\,{x_{n + 2}} = {2.3^{n + 2}} - {5.2^{n + 2}} = {18.3^n} - {20.2^n}\end{array}\)
- Đáp án A : $5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 5\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 6\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {18.3^n} - {20.2^n} = {x_{n + 2}} \Rightarrow $ A đúng.
- Đáp án B: $6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 6\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 5\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {16.3^n} - {35.2^n} \ne {x_{n + 2}} \Rightarrow B$ sai.
- Đáp án C : ${x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = {18.3^n} - {20.2^n} + 5\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 6\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {36.3^n} - {40.2^n} \ne 0 \Rightarrow C$sai.
- Đáp án D : ${x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = {18.3^n} - {20.2^n} + 6\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 5\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {44.3^n} - {55.2^n} \ne 0 \Rightarrow D$ sai.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) , với \({u_n} = \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
A.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và không bị chặn dưới.
-
B.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới và không bị chặn trên.
-
C.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới và bị chặn trên.
-
D.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.
Đáp án : C
Nhận xét tính tăng giảm của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\), suy ra tính bị chặn và chứng minh dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên (dưới, bị chặn) bởi số xác định.
Ta có :
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{3\left( {n + 1} \right) - 1}}{{3\left( {n + 1} \right) + 7}} - \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}} \) \(= \dfrac{{3n + 2}}{{3n + 10}} - \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}}\) \( = \dfrac{{9{n^2} + 27n + 14 - 9{n^2} - 27n + 10}}{{\left( {3n + 10} \right)\left( {3n + 7} \right)}} \) \(= \dfrac{{24}}{{\left( {3n + 10} \right)\left( {3n + 7} \right)}} > 0\)
Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Ta có \({u_n} = \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}} = 1 - \dfrac{8}{{3n + 7}} < 1\,\,\forall n \ge 1\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi $1$.
\({u_1} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi \(\dfrac{1}{5}\) .
Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }},\dfrac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }},\dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }}\) lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
-
A.
Ba số $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.
-
B.
Ba số \(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\) lập thành cấp số cộng.
-
C.
Ba số \({a^2},{b^2},{c^2}\) lập thành cấp số cộng
-
D.
Ba số \(\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c \) lập thành cấp số cộng.
Đáp án : A
Sử dụng tính chất của CSC: \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }} + \dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \dfrac{2}{{\sqrt c + \sqrt a }}\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt c + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) + \left( {\sqrt c + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right) = 2\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {ac} + \sqrt {bc} + a + \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + c + \sqrt {ab} + \sqrt {ac} = 2\sqrt {ab} + 2b + 2\sqrt {ac} + 2\sqrt {bc} \\ \Leftrightarrow a + c = 2b\end{array}\)
Khi đó $a,b,c$ lập thành một cấp số cộng.
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt $7$ hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô vuông thứ hai nhiều hơn ô đầu tiên là $5$ hạt dẻ, tiếp tục đặt vào ô vuông thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là $5$ hạt dẻ,… và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng hết $25450$ hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?
-
A.
$98$ ô
-
B.
$100$ ô
-
C.
$102$ ô
-
D.
$104$ ô
Đáp án : B
Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n}$ là số hạt dẻ ở ô thứ n là một cấp số cộng có ${u_1} = 7$ và công sai $d = 5$. Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của CSC: \({S_n} = \dfrac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}\)
Gọi ${u_n}$ là số hạt dẻ ở ô thứ $n$ . Khi đó ta có ${u_1} = 7$ và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 5,\forall n \ge 1.\)
Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${u_1} = 7$ và công sai $d = 5$ nên ta có
\({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = \dfrac{{n\left[ {2.7 + \left( {n - 1} \right)5} \right]}}{2} = \dfrac{{5{n^2} + 9n}}{2}\)
Theo giả thiết ta có \({S_n} = 25450\) \( \Rightarrow \dfrac{{5{n^2} + 9n}}{2} = 25450 \Leftrightarrow n = 100\)
Vậy bàn cờ có $100$ ô.
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2