-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 3: Dãy số - Đề số 2
Đề bài
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?
-
A.
Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\), với \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\sin \dfrac{\pi }{n},\,\,\forall n \in N^*\)
-
B.
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), với ${b_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\,\,\forall n \in N^*$
-
C.
Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\), với ${c_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }},\,\,\forall n \in N^*$
-
D.
Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\), với \({d_n} = \dfrac{n}{{{n^2} + 1}},\,\,\forall n \in N^*\)
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(k \ne p.\)
-
B.
\(k \ge p.\)
-
C.
\(k = p.\)
-
D.
\(k < p.\)
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({x_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng:
-
A.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 5}}\)
-
B.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 3}}\)
-
C.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}\)
-
D.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 1}}\)
Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:
-
A.
\(n = k - 1\)
-
B.
\(n = k - 2\)
-
C.
\(n = k + 1\)
-
D.
\(n = k + 2\)
Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên $n$ thỏa \(n \ge 3\) thì:
-
A.
\({2^n} < n\)
-
B.
\({2^n} < 2n\)
-
C.
\({2^n} < n + 1\)
-
D.
\({2^n} > 2n + 1\)
Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}\) và \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = n + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)\) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
A.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
-
B.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
-
C.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
-
D.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \dfrac{{ - n}}{{n + 1}}.$ Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
-
A.
$ - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{4}{5}; - \dfrac{5}{6}.$
-
B.
$ - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{4}{5}; - \dfrac{5}{6}; - \dfrac{6}{7}.$
-
C.
$\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4};\dfrac{4}{5};\dfrac{5}{6}.$
-
D.
$0; - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{4}{5}$
Giả sử $Q$ là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho
a) \(k \in Q\)
b) \(n \in Q \Rightarrow n + 1 \in Q\,\,\forall n \ge k.\)
-
A.
Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.
-
B.
Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q.
-
C.
Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q.
-
D.
Mọi số nguyên đều thuộc Q.
Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k + 1\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
-
A.
\(n = k\)
-
B.
\(n = k + 1\)
-
C.
\(n = k + 2\)
-
D.
\(n = k + 3\)
Với mọi số nguyên dương $n$, tổng \({S_n} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n\left( {n + 1} \right)\) là:
-
A.
\(\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}\)
-
D.
Đáp số khác
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 2\) và \({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1,\,\,\forall n \in N^*\) , có tính chất:
-
A.
là dãy số tăng và bị chặn.
-
B.
là dãy số giảm và bị chặn.
-
C.
là dãy số giảm và không bị chặn
-
D.
là dãy số tăng và không bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_n} = {2.3^n} - {5.2^n},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
-
A.
\({x_{n + 2}} = 5{x_{n + 1}} - 6{x_n}\)
-
B.
\({x_{n + 2}} = 6{x_{n + 1}} - 5{x_n}\)
-
C.
\({x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 0\)
-
D.
\({x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 0\)
Lời giải và đáp án
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?
-
A.
Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\), với \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\sin \dfrac{\pi }{n},\,\,\forall n \in N^*\)
-
B.
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), với ${b_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\,\,\forall n \in N^*$
-
C.
Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\), với ${c_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }},\,\,\forall n \in N^*$
-
D.
Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\), với \({d_n} = \dfrac{n}{{{n^2} + 1}},\,\,\forall n \in N^*\)
Đáp án : B
Suy ra trực tiếp từ các đáp án bằng cách xét hiệu \({x_{n + 1}} - {x_n}\) .
Ta thấy dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) dãy đan dấu nên không tăng cũng không giảm.
Với dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), ta có ${b_n} = {5^n} + 1,\,\,\forall n \in N^*$, vì ${\left( { - 1} \right)^{2n}} = 1$. Vì \({b_{n + 1}} = {5^{n + 1}} + 1 = {5.5^n} + 1 > {b_n} \Rightarrow \left( {{b_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Với dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) ta có ${c_{n + 1}} = \dfrac{1}{{n + 1 + \sqrt {n + 2} }} < \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }} = {c_n} \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)$là dãy số giảm.
Với dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) ta có \({d_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}}.\)
Xét hiệu \({d_{n + 1}} - {d_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}} - \dfrac{n}{{{n^2} + 1}} = \dfrac{{{n^3} + {n^2} + n + 1 - {n^3} - 2{n^2} - 2n}}{{\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{ - {n^2} - n + 1}}{{\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0\,\,\forall n \in N^*\)
Vậy \(\left( {{d_n}} \right)\) là dãy giảm.
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(k \ne p.\)
-
B.
\(k \ge p.\)
-
C.
\(k = p.\)
-
D.
\(k < p.\)
Đáp án : B
Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) với \(k \ge p\).
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({x_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng:
-
A.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 5}}\)
-
B.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 3}}\)
-
C.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}\)
-
D.
\({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 1}}\)
Đáp án : C
Thay $n$ bởi $n + 1$ và tính số hạng $x_{n+1}$
Ta có: \({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}}} \right)^{2\left( {n + 1} \right) + 3}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}\)
Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:
-
A.
\(n = k - 1\)
-
B.
\(n = k - 2\)
-
C.
\(n = k + 1\)
-
D.
\(n = k + 2\)
Đáp án : C
Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\).
Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên $n$ thỏa \(n \ge 3\) thì:
-
A.
\({2^n} < n\)
-
B.
\({2^n} < 2n\)
-
C.
\({2^n} < n + 1\)
-
D.
\({2^n} > 2n + 1\)
Đáp án : D
Thử một giá trị bất kì của $n$ thỏa mãn \(n \ge 3\) và dự đoán kết quả.
Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với $n = 3$ ta loại được đáp án A, B và C.
Ta chứng minh đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bất đẳng thức \({2^n} > 2n + 1\) đúng với $n = 3$ vì $8 > 7$.
Giả sử bất đẳng thức đúng đến \(n = k \ge 3\), tức là \({2^k} > 2k + 1\), ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh \({2^{k + 1}} > 2\left( {k + 1} \right) + 1 = 2k + 3.\)
Ta có: \({2^{k + 1}} = {2.2^k} > 2\left( {2k + 1} \right) = 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1.\) Vì \(k \ge 4 \Rightarrow 2k - 1 \ge 7 > 0 \Rightarrow {2^{k + 1}} > 2k + 3\)
Do đó bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$.
Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3.\)
Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}\) và \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = n + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)\) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
A.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
-
B.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
-
C.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
-
D.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Đáp án : D
Xét tính tăng giảm của từng dãy số.
Đối với dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) , ta xét thương \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và so sánh thương đó với 1.
Đối với dãy \(\left( {{y_n}} \right)\) ta xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n}\) và so sánh hiệu đó với 0.
Xét thương : \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{\dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}}} = \dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \dfrac{{n + 2}}{2} = \dfrac{n}{2} + 1 > 1\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {x_{n + 1}} > {x_n} \Rightarrow \left( {{x_n}} \right)\) là dãy tăng.
Xét hiệu
\({y_{n + 1}} - {y_n} =\) \( \left( {n + 1} \right) + {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - n - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \) \(= {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 \)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}\left( {n + 2} \right) \ge 0\\
- {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \ge - 1
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \ge - 1 \) \(\Rightarrow {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 \ge 0\,\,\forall n \ge 1\)
Dễ thấy dấu "=" không xảy ra vì không tồn tại n để \(\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}\left( {n + 2} \right) = 0\\
- {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) = - 1
\end{array} \right.\)
Vậy \({\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 > 0\,\,\forall n \ge 1\)
\(\Rightarrow {y_{n + 1}} > {y_n}\)
Do đó \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy tăng.
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \dfrac{{ - n}}{{n + 1}}.$ Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
-
A.
$ - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{4}{5}; - \dfrac{5}{6}.$
-
B.
$ - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{4}{5}; - \dfrac{5}{6}; - \dfrac{6}{7}.$
-
C.
$\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4};\dfrac{4}{5};\dfrac{5}{6}.$
-
D.
$0; - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{4}{5}$
Đáp án : A
Thay lần lượt các giá trị \(n = 1,2,3,4,5\) vào công thức số hạng tổng quát của dãy số.
Ta có \({u_1} = - \dfrac{1}{2};{u_2} = - \dfrac{2}{3};{u_3} = - \dfrac{3}{4};\) \({u_4} = - \dfrac{4}{5};{u_5} = - \dfrac{5}{6}.\)
Giả sử $Q$ là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho
a) \(k \in Q\)
b) \(n \in Q \Rightarrow n + 1 \in Q\,\,\forall n \ge k.\)
-
A.
Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.
-
B.
Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q.
-
C.
Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q.
-
D.
Mọi số nguyên đều thuộc Q.
Đáp án : B
Dựa vào lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học và loại trừ các đáp án.
Đáp án A: sai vì \(Q \subset {N^*}\) chứ không phải \({N^*} \subset Q\), nên mọi số nguyên dương không thể thuộc \(Q\) hết được.
Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.
Đáp án C: sai vì theo giả thiết \(b)\) thì phải là số tự nhiên lớn hơn \(k\) thuộc \(Q\).
Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc \(Q\).
Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k + 1\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
-
A.
\(n = k\)
-
B.
\(n = k + 1\)
-
C.
\(n = k + 2\)
-
D.
\(n = k + 3\)
Đáp án : C
Phương pháp quy nạo toán học:
- Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\).
- Bước 2: Với \(k\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).
Do đó ta thấy, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k + 1\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 2\).
Với mọi số nguyên dương $n$, tổng \({S_n} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n\left( {n + 1} \right)\) là:
-
A.
\(\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}\)
-
D.
Đáp số khác
Đáp án : B
- Thử một giá trị bất kì của $n$ thỏa mãn $n$ là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
- Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với $n = 1$ ta có: \({S_1} = 1.2 = 2\), do đó đáp án A, C sai.
Ta chứng minh \({S_n} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\,\,\left( * \right)\) đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k (k \ge 1)$, tức là \({S_k} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3},\) ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{3},\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\\ = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k + 3k + 6} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 5k + 6} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{3}.\end{array}\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 2\) và \({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1,\,\,\forall n \in N^*\) , có tính chất:
-
A.
là dãy số tăng và bị chặn.
-
B.
là dãy số giảm và bị chặn.
-
C.
là dãy số giảm và không bị chặn
-
D.
là dãy số tăng và không bị chặn.
Đáp án : B
Tìm số hạng tổng quát và chứng minh dãy số đó tăng (giảm) và bị chặn.
\({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2}\)
Ta có: \({u_n} = \dfrac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2} - {u_n} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2} - \dfrac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)\)
Tương tự ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right)\)
Tiếp tục như vậy ta được:
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{2}\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)\\
{u_n} - {u_{n - 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right)\\
{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}} = \frac{1}{2}\left( {{u_{n - 2}} - {u_{n - 3}}} \right)\\
...\\
{u_4} - {u_3} = \frac{1}{2}\left( {{u_3} - {u_2}} \right)\\
{u_3} - {u_2} = \frac{1}{2}\left( {{u_2} - {u_1}} \right)\\
\Rightarrow \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right)...\left( {{u_4} - {u_3}} \right)\left( {{u_3} - {u_2}} \right)\\
= \frac{1}{2}\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right).\frac{1}{2}\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right).\frac{1}{2}\left( {{u_{n - 2}} - {u_{n - 3}}} \right)...\frac{1}{2}\left( {{u_3} - {u_2}} \right).\frac{1}{2}\left( {{u_2} - {u_1}} \right)\\
\Rightarrow \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.\left( {{u_2} - {u_1}} \right)\\
\Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\left( {{u_2} - {u_1}} \right)
\end{array}\)
Ta có: \({u_1} = 2{u_2} - 1 \Rightarrow {u_2} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}.\left( {\dfrac{3}{2} - 2} \right) = - \dfrac{1}{{{2^n}}} < 0\) \( \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
\({u_{n + 1}} - {u_n} = - \dfrac{1}{{{2^n}}} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} - \dfrac{1}{{{2^n}}}\) .
Mà \({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1\)\( \Rightarrow {u_n} = 2\left( {{u_n} - \dfrac{1}{{{2^n}}}} \right) - 1\)\( \Leftrightarrow {u_n} = 2{u_n} - \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} - 1 \Leftrightarrow {u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} < 1 + 1 = 2\)
\( \Rightarrow 1 < {u_n} < 2\)
Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_n} = {2.3^n} - {5.2^n},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
-
A.
\({x_{n + 2}} = 5{x_{n + 1}} - 6{x_n}\)
-
B.
\({x_{n + 2}} = 6{x_{n + 1}} - 5{x_n}\)
-
C.
\({x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 0\)
-
D.
\({x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 0\)
Đáp án : A
Xác định \({x_{n + 2}},{x_{n + 1}}\) và tìm đẳng thức liên hệ giữa \({x_{n + 2}},{x_{n + 1}},{x_n}\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}{x_{n + 1}} = {2.3^{n + 1}} - {5.2^{n + 1}} = {6.3^n} - {10.2^n}\\\,{x_{n + 2}} = {2.3^{n + 2}} - {5.2^{n + 2}} = {18.3^n} - {20.2^n}\end{array}\)
- Đáp án A : $5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 5\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 6\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {18.3^n} - {20.2^n} = {x_{n + 2}} \Rightarrow $ A đúng.
- Đáp án B: $6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 6\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 5\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {16.3^n} - {35.2^n} \ne {x_{n + 2}} \Rightarrow B$ sai.
- Đáp án C : ${x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = {18.3^n} - {20.2^n} + 5\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 6\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {36.3^n} - {40.2^n} \ne 0 \Rightarrow C$sai.
- Đáp án D : ${x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = {18.3^n} - {20.2^n} + 6\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 5\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {44.3^n} - {55.2^n} \ne 0 \Rightarrow D$ sai.
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
