-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 3: Dãy số - Đề số 1
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_1} = 5\) và \({x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n \in N^*\). Số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là:
-
A.
\({x_n} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}\)
-
B.
\({x_n} = \dfrac{{5{n^2} - 5n}}{2}\)
-
C.
\({x_n} = \dfrac{{{n^2} + n + 10}}{2}\)
-
D.
\({x_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 12}}{2}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.2n.\) Mệnh đề nào sau đây sai?
-
A.
\({u_1} = - 2.\)
-
B.
\({u_2} = 4.\)
-
C.
\({u_3} = - 6.\)
-
D.
\({u_4} = - 8.\)
Giá trị của tổng $S = 1-2 + 3-4 + ... - 2n + \left( {2n + 1} \right)$ là:
-
A.
$1$
-
B.
$0$
-
C.
$5$
-
D.
$n + 1$
Một học sinh chứng minh mệnh đề ${\rm{''}}{8^n} + 1$ chia hết cho ${\rm{7, }}\forall n \in {\mathbb{N}^*}''$ \(\left( * \right)\) như sau:
\( \bullet \) Giả sử \(\left( * \right)\) đúng với \(n = k\), tức là ${8^k} + 1$ chia hết cho \(7.\)
\( \bullet \) Ta có: ${8^{k + 1}} + 1 = 8\left( {{8^k} + 1} \right) - 7$, kết hợp với giả thiết ${8^k} + 1$ chia hết cho \(7\) nên suy ra được ${8^{k + 1}} + 1$ chia hết cho \(7.\) Vậy đẳng thức \(\left( * \right)\) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
Học sinh trên chứng minh đúng.
-
B.
Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.
-
C.
Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.
-
D.
Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(k \ne p.\)
-
B.
\(k \ge p.\)
-
C.
\(k = p.\)
-
D.
\(k < p.\)
Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Mệnh đề nào đúng?
-
A.
\({S_n} = \dfrac{1}{{n + 1}}\)
-
B.
\({S_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}\)
-
C.
\({S_n} = \dfrac{n}{{n + 2}}\)
-
D.
\({S_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2}}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = \dfrac{1}{2}\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2n\) với mọi \(n \ge 2\). Khi đó \({u_{50}}\) bằng:
-
A.
$1274,5$
-
B.
$2548,5$
-
C.
$5096,5$
-
D.
$2550,5$
Với mọi số nguyên dương $n$, tổng $2 + 5 + 8 + … + (3n – 1)$ là:
-
A.
\(\dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{n\left( {3n + 2} \right)}}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{3{n^2}}}{2}\)
Với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\), bất đẳng thức nào sau đây đúng?
-
A.
\({3^n} > 4n + 1\)
-
B.
\({3^n} > 4n + 2\)
-
C.
\({3^n} > 3n + 2\)
-
D.
Cả ba đều đúng
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào bị chặn trên ?
-
A.
Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 3n + 1\)
-
B.
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \dfrac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\)
-
C.
Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {3.2^{n + 1}}\)
-
D.
Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) , với \({u_n} = \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
A.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và không bị chặn dưới.
-
B.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới và không bị chặn trên.
-
C.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới và bị chặn trên.
-
D.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_n} = {2.3^n} - {5.2^n},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
-
A.
\({x_{n + 2}} = 5{x_{n + 1}} - 6{x_n}\)
-
B.
\({x_{n + 2}} = 6{x_{n + 1}} - 5{x_n}\)
-
C.
\({x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 0\)
-
D.
\({x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 0\)
Lời giải và đáp án
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_1} = 5\) và \({x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n \in N^*\). Số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là:
-
A.
\({x_n} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}\)
-
B.
\({x_n} = \dfrac{{5{n^2} - 5n}}{2}\)
-
C.
\({x_n} = \dfrac{{{n^2} + n + 10}}{2}\)
-
D.
\({x_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 12}}{2}\)
Đáp án : A
Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy số.
Dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh số hạng tổng quát đó đúng bằng phương pháp quy nạp
\(\begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = {x_1} + 1 = 5 + 1\\{x_3} = {x_2} + 2 = 5 + 1 + 2\\{x_4} = {x_3} + 3 = 5 + 1 + 2 + 3\\...\end{array}\)
Dự đoán \({x_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \in N^*\)
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Dễ thấy, $(*)$ đúng với $n = 1$.
Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k (k\ge 1),$ tức là \({x_k} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\,,\) ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh \({x_{k + 1}} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}\).
Ta có: \({x_{k + 1}} = {x_k} + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\, + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right) + 2k}}{2} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1 + 2} \right)}}{2} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi \(n \in N^*\).
Vậy \({x_n} = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2},\forall n \in N^*\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.2n.\) Mệnh đề nào sau đây sai?
-
A.
\({u_1} = - 2.\)
-
B.
\({u_2} = 4.\)
-
C.
\({u_3} = - 6.\)
-
D.
\({u_4} = - 8.\)
Đáp án : D
Thay trực tiếp từng giá trị \(n = 1,2,3,4\) hoặc dùng chức năng CALC của máy tính.
Ta có:
\({u_1} = - 2.1 = - 2;\,\,{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2}.2.2 = 4,\,\,{u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}2.3 = - 6;\,\,{u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}2.4 = 8\)
Giá trị của tổng $S = 1-2 + 3-4 + ... - 2n + \left( {2n + 1} \right)$ là:
-
A.
$1$
-
B.
$0$
-
C.
$5$
-
D.
$n + 1$
Đáp án : D
- Cách tính tổng S: Xác định số hạng cuối cùng (2n+1) trong tổng rồi thực hiện các phép toán cộng trừ xen kẽ từ 1 đến số đó.
- Dự đoán công thức tổng $S$ sau đó chứng minh công thức vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với $n = 0$ ta có: $S = 1$
Với $n = 1$ ta có $S = 1 – 2 + 3 = 2$
Với $n = 2$ ta có $S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3$
Dự đoán $S = n + 1 (*)$, ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng bằng quy nạp.
Với $n = 0$ đương nhiên $(*)$ đúng.
Giả sử $(*)$ đúng với $n = k$, tức là \({S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} \right) = k + 1\), ta chứng minh $(*)$ đúng với $n =k+1$.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} \right) + \left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + 2k + 1} \right) - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = {S_k} - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = k + 1 + 1.\end{array}\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$, tức là $S = n + 1$.
Một học sinh chứng minh mệnh đề ${\rm{''}}{8^n} + 1$ chia hết cho ${\rm{7, }}\forall n \in {\mathbb{N}^*}''$ \(\left( * \right)\) như sau:
\( \bullet \) Giả sử \(\left( * \right)\) đúng với \(n = k\), tức là ${8^k} + 1$ chia hết cho \(7.\)
\( \bullet \) Ta có: ${8^{k + 1}} + 1 = 8\left( {{8^k} + 1} \right) - 7$, kết hợp với giả thiết ${8^k} + 1$ chia hết cho \(7\) nên suy ra được ${8^{k + 1}} + 1$ chia hết cho \(7.\) Vậy đẳng thức \(\left( * \right)\) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
Học sinh trên chứng minh đúng.
-
B.
Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.
-
C.
Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.
-
D.
Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.
Đáp án : D
Quan sát lời giải trên ta thấy:
Học sinh thực hiện thiếu bước 1: Kiểm tra \(n = 1\) thì \({8^1} + 1 = 9\) không chia hết cho \(7\) nên mệnh đề đó sai.
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(k \ne p.\)
-
B.
\(k \ge p.\)
-
C.
\(k = p.\)
-
D.
\(k < p.\)
Đáp án : B
Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) với \(k \ge p\).
Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Mệnh đề nào đúng?
-
A.
\({S_n} = \dfrac{1}{{n + 1}}\)
-
B.
\({S_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}\)
-
C.
\({S_n} = \dfrac{n}{{n + 2}}\)
-
D.
\({S_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2}}\)
Đáp án : B
Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh hoặc có thể sử dụng nhận xét:\(\dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{{k + 1}}\,\,\forall k \in N^*\)
Cách 1:
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được \({S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{n}{{n + 1}}\,\,\left( * \right)\)
Thật vậy, với $n = 1$ ta có \({S_1} = \dfrac{1}{{1.2}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{1 + 1}}\)
Giả sử (*) đúng đến $n = k(k \ge 1) $, khi đó ta có:
\({S_k} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \dfrac{k}{{k + 1}}\), ta chứng minh (*) đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh
\({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{k + 1}}{{k + 2}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \dfrac{k}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{{k^2} + 2k + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {k + 2} \right)}}.\end{array}\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = \dfrac{1}{2}\) và \({u_n} = {u_{n - 1}} + 2n\) với mọi \(n \ge 2\). Khi đó \({u_{50}}\) bằng:
-
A.
$1274,5$
-
B.
$2548,5$
-
C.
$5096,5$
-
D.
$2550,5$
Đáp án : B
Dự đoán và chứng minh số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp toán học sau đó tìm số hạng thứ 50.
Ta có: \({u_1} = \dfrac{1}{2}\)
$\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 2.2 = \dfrac{1}{2} + 4 = \dfrac{1}{2} + 2.2\\{u_3} = {u_2} + 2.3 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3} \right)\\{u_4} = {u_3} + 2.4 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 + 8 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + 4} \right)\\...\end{array}$
Dự đoán số hạng tổng quát \({u_n} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + n} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \ge 2\)
Chứng minh bằng quy nạp:
Dễ thấy $(*)$ đúng với $n = 2.$
Giả sử $(*)$ đúng đến \(n = k \ge 2\) , tức là \({u_k} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right)\), ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + 1} \right)\)
Ta có: \({u_{k + 1}} = {u_k} + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right) + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + k + 1} \right)\)
Vậy $(*)$ đúng với mọi \(n \ge 2\).
Mặt khác ta có \(1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} \) \(\Leftrightarrow 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 1\)
Khi đó số hạng \({u_{50}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + 50} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {\dfrac{{50.51}}{2} - 1} \right) = 2548,5\)
Với mọi số nguyên dương $n$, tổng $2 + 5 + 8 + … + (3n – 1)$ là:
-
A.
\(\dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{n\left( {3n + 2} \right)}}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{3{n^2}}}{2}\)
Đáp án : A
Thử một giá trị bất kì của $n$ thỏa mãn $n$ là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Gọi ${{S}_{n}}=2+5+8+\ldots +\left( 3n-1 \right)$
Với $n = 1$ ta có: \({S_1} = 2\) , ta loại được các đáp án B, C và D.
Ta chứng minh ${{S}_{n}}=2+5+8+\ldots +\left( 3n-1 \right)=\dfrac{n\left( 3n+1 \right)}{2}\,\,\,\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$ bằng phương pháp quy nạp toán học.
Giả sử (*) đúng đến $n = k (k \ge 1)$, tức là ${{S}_{k}}=2+5+8+\ldots +\left( 3k-1 \right)=\dfrac{k\left( 3k+1 \right)}{2}$
Ta cần chứng minh (*) đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh ${{S}_{k+1}}=2+5+8+\ldots +\left( 3\left( k+1 \right)-1 \right)=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 3\left( k+1 \right)+1 \right)}{2}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2}$
Ta có: $\begin{align} & {{S}_{k+1}}=2+5+8+\ldots +\left( 3\left( k+1 \right)-1 \right)=2+5+8+\ldots +\left( 3k-1 \right)+\left( 3k+2 \right) \\ & =\dfrac{k\left( 3k+1\right)}{2}+3k+2=\dfrac{3{{k}^{2}}+k+6k+4}{2}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2} \\\end{align}$
Do đó (*) đúng đến $n = k + 1$ .
Vậy ${{S}_{n}}=2+5+8+\ldots +\left( 3n-1\right)=\dfrac{n\left( 3n+1 \right)}{2}$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\), bất đẳng thức nào sau đây đúng?
-
A.
\({3^n} > 4n + 1\)
-
B.
\({3^n} > 4n + 2\)
-
C.
\({3^n} > 3n + 2\)
-
D.
Cả ba đều đúng
Đáp án : C
Thử một giá trị bất kì của $n$ thỏa mãn $n$ là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với $n = 2$ ta có: \({3^2} = 9 > 3.2 + 2\)
Ta chứng minh đáp án C đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bất đẳng thức đúng với $n = 2$, giả sử bất đẳng thức đúng đến $n = k (k \ge 2)$, tức là \({3^k} > 3k + 2\).
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$, tức là cần phải chứng minh \({3^{k + 1}} > 3\left( {k + 1} \right) + 2 = 3k + 5\)
Ta có: \({3^{k + 1}} = {3.3^k} > 3\left( {3k + 2} \right) \) \(= 9k + 6 > 3k + 5\)
Vậy bất đằng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào bị chặn trên ?
-
A.
Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 3n + 1\)
-
B.
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \dfrac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\)
-
C.
Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {3.2^{n + 1}}\)
-
D.
Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\)
Đáp án : B
\({a_n} < M,\,\,\forall n\) thì dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) được gọi là bi chặn trên bởi $M$ và \({a_n} > m\,\,\forall n\) thì thì dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) được gọi là bi chặn dưới bởi $m$.
Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn dưới bới \({a_1} = 4\)
Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) có \(\dfrac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}} < 1\,\,\forall n \in N^* \Rightarrow \left( {{b_n}} \right)\) là dãy số bị chặn trên bởi $1$.
Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn dưới bởi \({c_1} = 12\)
Dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) là dãy đan dấu và \({d_{2n}} = {\left( { - 2} \right)^{2n }}= {4^n}\) lớn tùy ý khi $n$ đủ lớn và \({d_{2n + 1}} = {\left( { - 2} \right)^{2n + 1}} = - {2.4^n}\) nhỏ tùy ý khi $n$ đủ lớn.
Do đó dãy \(\left( {{d_n}} \right)\) không bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) , với \({u_n} = \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
A.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và không bị chặn dưới.
-
B.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới và không bị chặn trên.
-
C.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới và bị chặn trên.
-
D.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.
Đáp án : C
Nhận xét tính tăng giảm của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\), suy ra tính bị chặn và chứng minh dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên (dưới, bị chặn) bởi số xác định.
Ta có :
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{3\left( {n + 1} \right) - 1}}{{3\left( {n + 1} \right) + 7}} - \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}} \) \(= \dfrac{{3n + 2}}{{3n + 10}} - \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}}\) \( = \dfrac{{9{n^2} + 27n + 14 - 9{n^2} - 27n + 10}}{{\left( {3n + 10} \right)\left( {3n + 7} \right)}} \) \(= \dfrac{{24}}{{\left( {3n + 10} \right)\left( {3n + 7} \right)}} > 0\)
Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Ta có \({u_n} = \dfrac{{3n - 1}}{{3n + 7}} = 1 - \dfrac{8}{{3n + 7}} < 1\,\,\forall n \ge 1\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi $1$.
\({u_1} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi \(\dfrac{1}{5}\) .
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_n} = {2.3^n} - {5.2^n},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
-
A.
\({x_{n + 2}} = 5{x_{n + 1}} - 6{x_n}\)
-
B.
\({x_{n + 2}} = 6{x_{n + 1}} - 5{x_n}\)
-
C.
\({x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 0\)
-
D.
\({x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 0\)
Đáp án : A
Xác định \({x_{n + 2}},{x_{n + 1}}\) và tìm đẳng thức liên hệ giữa \({x_{n + 2}},{x_{n + 1}},{x_n}\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}{x_{n + 1}} = {2.3^{n + 1}} - {5.2^{n + 1}} = {6.3^n} - {10.2^n}\\\,{x_{n + 2}} = {2.3^{n + 2}} - {5.2^{n + 2}} = {18.3^n} - {20.2^n}\end{array}\)
- Đáp án A : $5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 5\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 6\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {18.3^n} - {20.2^n} = {x_{n + 2}} \Rightarrow $ A đúng.
- Đáp án B: $6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 6\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 5\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {16.3^n} - {35.2^n} \ne {x_{n + 2}} \Rightarrow B$ sai.
- Đáp án C : ${x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = {18.3^n} - {20.2^n} + 5\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 6\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {36.3^n} - {40.2^n} \ne 0 \Rightarrow C$sai.
- Đáp án D : ${x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = {18.3^n} - {20.2^n} + 6\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 5\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {44.3^n} - {55.2^n} \ne 0 \Rightarrow D$ sai.
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
