Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 2: Tổ hợp xác suất - Đề số 3
Đề bài
Với giá trị của $x$ thỏa mãn \(12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\) thì \(A_{x - 1}^2 - C_x^1 = ?\)
-
A.
$20$
-
B.
$30$
-
C.
$ - 10$
-
D.
$34$
Trong một lớp có $17$ bạn nam và $11$ bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn làm lớp trưởng?
-
A.
\(17\)
-
B.
\(11\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(28\)
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
-
A.
\(A_n^k\)
-
B.
\(A_k^n\)
-
C.
\(C_n^k\)
-
D.
\(C_k^n\)
Công việc \(A\) có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) với số cách thực hiện lần lượt là \({n_1},{n_2},...,{n_k}\). Khi đó số cách thực hiện công việc \(A\) là:
-
A.
\({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) cách
-
B.
\({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách
-
C.
\(n_1^2 + n_2^2 + ... + n_k^2\) cách
-
D.
\({n_1}.{n_2} + {n_2}.{n_3} + ... + {n_{k - 1}}.{n_k}\) cách
Tổng giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình \(C_x^1 + C_x^2 + C_x^3 = \dfrac{7}{2}x\) là
-
A.
$4$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có $7$ chữ số và bắt đầu bởi $3$ chữ số đầu tiên là $790$. Hỏi ở Huyện Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:
-
A.
$1000$.
-
B.
$100000$.
-
C.
$10000$.
-
D.
$1000000$.
Cho phương trình \(A_x^3 + 2C_{x + 1}^{x - 1} - 3C_{x - 1}^{x - 3} = 3{x^2} + {P_6} + 159\). Giả sử \(x = {x_0}\) là nghiệm của phương trình trên, lúc này ta có:
-
A.
\({x_0} \in \left( {10;13} \right)\)
-
B.
\({x_0} \in \left( {12;14} \right)\)
-
C.
\({x_0} \in \left( {10;12} \right)\)
-
D.
\({x_0} \in \left( {14;16} \right)\)
Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn $1000$ được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?
-
A.
$48$
-
B.
$68$
-
C.
$69$
-
D.
$125$
Cho tập $A = \left\{ {2;5} \right\}$. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có $10$ chữ số, các chữ số lấy từ tập $A$ sao cho không có chữ số $2$ nào đứng cạnh nhau?
-
A.
$144$ số
-
B.
$143$ số
-
C.
$1024$ số
-
D.
$512$ số
Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều \(10\) cạnh là:
-
A.
\(35\).
-
B.
\(120\).
-
C.
\(240\).
-
D.
$720$
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2A_x^y + 5C_x^y = 90\\5A_x^y - 2C_x^y = 80\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thì $xy$ bằng :
-
A.
$5$
-
B.
$7$
-
C.
$10$
-
D.
$ - 2$
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \dfrac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\) là:
-
A.
$2$
-
B.
$1$
-
C.
$0$
-
D.
$3$
Lời giải và đáp án
Với giá trị của $x$ thỏa mãn \(12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\) thì \(A_{x - 1}^2 - C_x^1 = ?\)
-
A.
$20$
-
B.
$30$
-
C.
$ - 10$
-
D.
$34$
Đáp án : D
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) để tìm x, sau đó thay vào tính giá trị biểu thức
\(\begin{array}{l}12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\\ \Leftrightarrow 12x + \dfrac{{\left( {x + 4} \right)!}}{{2!\left( {x + 2} \right)!}} = 162\\ \Leftrightarrow 12x + \dfrac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{2} = 162\\ \Leftrightarrow 24x + {x^2} + 7x + 12 = 324\\ \Leftrightarrow {x^2} + 31x - 312 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 39\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow A_{x - 1}^2 - C_x^1 = A_7^2 - C_8^1 = 34\)
Trong một lớp có $17$ bạn nam và $11$ bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn làm lớp trưởng?
-
A.
\(17\)
-
B.
\(11\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(28\)
Đáp án : D
Sử dụng quy tắc cộng \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\).
Có \(2\) phương án chọn lớp trưởng là nam hoặc nữ.
- Có \(17\) cách chọn lớp trưởng là nam.
- Có \(11\) cách chọn lớp trưởng là nữ.
Vậy có tất cả \(17 + 11 = 28\) cách chọn lớp trưởng.
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
-
A.
\(A_n^k\)
-
B.
\(A_k^n\)
-
C.
\(C_n^k\)
-
D.
\(C_k^n\)
Đáp án : C
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là \(C_n^k\).
Công việc \(A\) có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) với số cách thực hiện lần lượt là \({n_1},{n_2},...,{n_k}\). Khi đó số cách thực hiện công việc \(A\) là:
-
A.
\({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) cách
-
B.
\({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách
-
C.
\(n_1^2 + n_2^2 + ... + n_k^2\) cách
-
D.
\({n_1}.{n_2} + {n_2}.{n_3} + ... + {n_{k - 1}}.{n_k}\) cách
Đáp án : B
Số cách thực hiện công việc \(A\) là: \({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách.
Tổng giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình \(C_x^1 + C_x^2 + C_x^3 = \dfrac{7}{2}x\) là
-
A.
$4$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Đáp án : A
Ta sử dụng công thức tổ hợp \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\), lưu ý điều kiện của tổ hợp chập k phần tử của n \(C_n^k\) là \(k,n \in N\,;\,k \le n\), sau đó rút gọn và giải phương trình.
ĐK: \(x \ge 3,x \in N\)
\(\begin{array}{l}C_x^1 + C_x^2 + C_x^3 = \dfrac{7}{2}x\\ \Leftrightarrow x + \dfrac{{x!}}{{2!\left( {x - 2} \right)!}} + \dfrac{{x!}}{{3!\left( {x - 3} \right)!}} = \dfrac{7}{2}x\\ \Leftrightarrow x + \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} + \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{6} = \dfrac{7}{2}x\\ \Leftrightarrow 6x + 3{x^2} - 3x + {x^3} - 3{x^2} + 2x = 21x\\ \Leftrightarrow {x^3} - 16x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 16} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = - 4\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 4\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có $7$ chữ số và bắt đầu bởi $3$ chữ số đầu tiên là $790$. Hỏi ở Huyện Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:
-
A.
$1000$.
-
B.
$100000$.
-
C.
$10000$.
-
D.
$1000000$.
Đáp án : C
- Đếm số cách chọn từng chữ số trong bốn số cuối số điện thoại.
- Sử dụng quy tắc nhân và tính số cách chọn.
Gọi số điện thoại cần tìm có dạng \(\overline {790abcd} \).
Khi đó: \(a\)có 10 cách chọn, \(b\)có 10 cách chọn, \(c\)có 10 cách chọn, \(d\) có 10 cách chọn.
Nên có tất cả \(10.10.10.10 = {10^4}\) số.
Cho phương trình \(A_x^3 + 2C_{x + 1}^{x - 1} - 3C_{x - 1}^{x - 3} = 3{x^2} + {P_6} + 159\). Giả sử \(x = {x_0}\) là nghiệm của phương trình trên, lúc này ta có:
-
A.
\({x_0} \in \left( {10;13} \right)\)
-
B.
\({x_0} \in \left( {12;14} \right)\)
-
C.
\({x_0} \in \left( {10;12} \right)\)
-
D.
\({x_0} \in \left( {14;16} \right)\)
Đáp án : A
Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp và hoán vị \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\,\,;\,\,{P_n} = n!\)
ĐK: \(x \ge 3,x \in N\).
Phương trình đã cho có dạng
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x!}}{{\left( {x - 3} \right)!}} + \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)!}}{{2!\left( {x - 1} \right)!}} - \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)!}}{{2!\left( {x - 3} \right)!}} = 3{x^2} + 6! + 159\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + x\left( {x + 1} \right) - \dfrac{3}{2}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 3{x^2} + 879\\ \Leftrightarrow x = 12\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
(Dùng lệnh SHIFT SLOVE trên máy tính)
Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn $1000$ được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?
-
A.
$48$
-
B.
$68$
-
C.
$69$
-
D.
$125$
Đáp án : C
Số nhỏ hơn $1000$ là số có $3, 2$ hoặc $1$ chữ số.
Ta đưa về bài toán: "Có bao nhiêu số tự nhiên có $3,2$ hoặc $1$chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?"
Số nhỏ hơn $1000$ là số có nhiều nhất $3$ chữ số.
TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?
Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c} \right)\) suy ra có $4$ cách chọn $a$, có $4$ cách chọn $b$, có $3$ cách chọn $c$ .
Vậy có $4.4.3 = 48$ số.
TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số $0,1,2,3,4$?
Có $4.4 = 16$ số.
TH3: Số có $1$ chữ số lập từ các số $0,1,2,3,4$?
Có $5$ số.
Vậy có có tất cả $69$ số.
Cho tập $A = \left\{ {2;5} \right\}$. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có $10$ chữ số, các chữ số lấy từ tập $A$ sao cho không có chữ số $2$ nào đứng cạnh nhau?
-
A.
$144$ số
-
B.
$143$ số
-
C.
$1024$ số
-
D.
$512$ số
Đáp án : A
Sử dụng nguyên tắc vách ngăn: Xếp chữ số $5$ trước để tạo ra các vách ngăn sau đó xếp các chữ số $2$ vào các vách ngăn đó
TH1: Có $10$ chữ số $5$: Chỉ có duy nhất $1$ số.
TH2: Có $9$ chữ số $5$ và $1$ chữ số $2$ .
Xếp $9$ chữ số $5$ thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách. Vậy trường hợp này có 10 số.
TH3: Có $8$ chữ số $5$ và $2$ chữ số$2$.
Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào $9$ vách ngăn đó, có \(C_9^2 = 36\) cách. Vậy trường hợp này có 36 số.
TH4: Có $7$ chữ số $5$ và $3$ chữ số $2$ .
Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có \(C_8^3 = 56\) cách. Vậy trường hợp này có 56 số.
TH5: Có $6$ chữ số $5$ và $4$ chữ số $2$ .
Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có \(C_7^4 = 35\) cách. Vậy trường hợp này có 35 số.
TH6: Có $5$ chữ số $5$ và $5$ chữ số $2$.
Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có \(C_6^5 = 6\) cách. Vậy trường hợp này có 6 số.
Theo quy tắc cộng ta có tất cả: $1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144$ số.
Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều \(10\) cạnh là:
-
A.
\(35\).
-
B.
\(120\).
-
C.
\(240\).
-
D.
$720$
Đáp án : B
Mỗi tam giác được tạo thành ứng với một cách chọn \(3\) trong \(10\) điểm.
Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.
Chọn \(3\) trong \(10\) đỉnh của đa giác, có \(C_{10}^3 = 120\).
Vậy có \(120\) tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác \(10\) cạnh.
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2A_x^y + 5C_x^y = 90\\5A_x^y - 2C_x^y = 80\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thì $xy$ bằng :
-
A.
$5$
-
B.
$7$
-
C.
$10$
-
D.
$ - 2$
Đáp án : C
Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) và mối quan hệ giữa các công thức chỉnh hợp và tổ hợp \(C_n^k = \dfrac{{A_n^k}}{{k!}}\).
ĐK: \(x \ge y \ge 0,x,y \in N\)
Đặt \(a = A_x^y\,\,;\,\,y = C_x^y\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 90\\5x - 2y = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 20\\b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A_x^y = 20\\C_x^y = 10\end{array} \right.\)
Ta có: \(C_x^y = \dfrac{{A_x^y}}{{y!}} \Leftrightarrow 10 = \dfrac{{20}}{{y!}} \Leftrightarrow y! = 2 \Leftrightarrow y = 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow C_x^2 = 20 \Leftrightarrow \dfrac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} = 20 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 20\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow xy = 5.2 = 10\end{array}\)
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \dfrac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\) là:
-
A.
$2$
-
B.
$1$
-
C.
$0$
-
D.
$3$
Đáp án : B
Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) sau đó giải hệ phương trình.
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le y\\0 \le x \le y + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le y\,\,\left( {x,y \in N} \right)\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \dfrac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{y!}}{{x!\left( {y - x} \right)!}}.\dfrac{{x!\left( {y + 2 - x} \right)!}}{{\left( {y + 2} \right)!}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{{y!}}{{x!\left( {y - x} \right)!}}.\dfrac{{\left( {y - x} \right)!}}{{y!}} = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left( {y - x + 1} \right)\left( {y - x + 2} \right)}}{{\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{{x!}} = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\,\,\left( {tm} \right)\\\dfrac{{\left( {y - 3} \right)\left( {y - 2} \right)}}{{\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}} = \dfrac{1}{3}\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow 3{y^2} - 15y + 18 = {y^2} + 3y + 2\\ \Leftrightarrow 2{y^2} - 18y + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 8\,\,\left( {tm} \right)\\y = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;8} \right)\)
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2