Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 2
Đề bài
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 + 3\tan x = 0\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \).
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \).
-
C.
\(x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \).
-
D.
\(x =- \dfrac{\pi }{3} + k\pi \).
Phương trình \(\cos 2x = 1\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Nghiệm của phương trình $\cos x = - \dfrac{1}{2}$ là:
-
A.
$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $.
-
B.
$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $.
-
C.
$x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi $.
-
D.
$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) luôn thuộc đồ thị hàm số
-
A.
\(y = \cos x\)
-
B.
\(y = \sin x\)
-
C.
\(y = \cot x\)
-
D.
\(y = \tan x - 1\)
Tìm chu kì của các hàm số sau \(y = \sin \sqrt x \)
-
A.
Hàm số không tuần hoàn
-
B.
\({T_0} = 2\pi \)
-
C.
\({T_0} = \pi \)
-
D.
\({T_0} = 4{\pi ^2}\)
Nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là:
-
A.
$x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.
-
B.
$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $.
-
C.
$x = k\pi $.
-
D.
$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}}\)
-
A.
\(\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 4\)
-
B.
\(\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 3\)
-
C.
\(\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 2\)
-
D.
\(\min y = \dfrac{1}{2};\max y = 2\)
Tìm tập xác định của hàm số sau \(y = \tan 3x.\cot 5x\)
-
A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{5} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
C.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{4},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
D.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \)
-
A.
\(\max y = 1,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
-
B.
\(\max y = 3,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
-
C.
\(\max y = 2,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
-
D.
\(\max y = 0,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
Nghiệm của phương trình $\cos x + \sin x = 0$ là:
-
A.
\(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \).
-
C.
\(x = k\pi \).
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x.\cot x = 1\) là:
-
A.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
-
B.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
C.
\(R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
D.
\(R\)
Lời giải và đáp án
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 + 3\tan x = 0\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \).
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \).
-
C.
\(x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \).
-
D.
\(x =- \dfrac{\pi }{3} + k\pi \).
Đáp án : C
Phương trình \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \).
\(\sqrt 3 + 3\tan x = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Phương trình \(\cos 2x = 1\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : A
Ta có: \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 0 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : B
Ta có:
+) \(\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên A sai.
+) \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên B đúng, D sai.
+) \(\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên C sai.
Nghiệm của phương trình $\cos x = - \dfrac{1}{2}$ là:
-
A.
$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $.
-
B.
$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $.
-
C.
$x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi $.
-
D.
$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
Đáp án : C
Phương trình \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \).
$\cos x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{{2\pi }}{3}$$ \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$
Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) luôn thuộc đồ thị hàm số
-
A.
\(y = \cos x\)
-
B.
\(y = \sin x\)
-
C.
\(y = \cot x\)
-
D.
\(y = \tan x - 1\)
Đáp án : B
Thay tọa độ điểm \(O\) vào tủng hàm số và kiểm tra.
Đáp án A sai vì \(\cos 0 = 1\).
Đáp án B đúng vì \(\sin 0 = 0\).
Đáp án C sai vì \(\cot 0\) không xác định.
Đáp án D sai vì \(\tan 0 - 1 = - 1 \ne 0\).
Tìm chu kì của các hàm số sau \(y = \sin \sqrt x \)
-
A.
Hàm số không tuần hoàn
-
B.
\({T_0} = 2\pi \)
-
C.
\({T_0} = \pi \)
-
D.
\({T_0} = 4{\pi ^2}\)
Đáp án : A
Tìm tập xác định \(D\) của hàm số. Kiểm tra điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}
x + T \in D\\
x - T \in D
\end{array} \right.{\rm{ }}\forall x \in D\). Nếu thỏa mãn ta kiểm tra tiếp điều kiện \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\) đối với hàm số \(f\left( x \right) = \sin \sqrt x \).
TXĐ: \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\). Thay lần lượt các đáp án B, C, D vào \(x - T\), nếu \(\exists x \in D:x - T \notin D \) hoặc \(\exists x \in D:x +T \notin D \) thì đáp án không thỏa mãn. Chẳng hạn, ta thử đáp án B: \(T = 2\pi \).
Với \(x = 0 \Rightarrow x - T = - 2\pi \notin D \Rightarrow \) \(\exists x \in D:x - T \notin D \forall T > 0\).
Vậy hàm số không tuần hoàn.
Nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là:
-
A.
$x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.
-
B.
$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $.
-
C.
$x = k\pi $.
-
D.
$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.
Đáp án : D
$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$.
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}}\)
-
A.
\(\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 4\)
-
B.
\(\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 3\)
-
C.
\(\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 2\)
-
D.
\(\min y = \dfrac{1}{2};\max y = 2\)
Đáp án : A
+) Sử dụng đánh giá \( - 1 \le \sin x \le 1\) hay \(0 \le {\sin ^2}x \le 1\) để đánh giá vế phải của \(y\).
+) Với hai vế bất đẳng thức đều dương: Ta lấy nghịch đảo hai vế thì bất đẳng thức đổi chiều từ $\ge$ sang $\le$ và chuyển từ $\le$ sang $\ge$
+) Khi nhân số dương với 2 vế của bất đẳng thức thì bất đẳng thức không đổi chiều.
+) Tìm GTLN
$\begin{array}{l}{\sin ^2}x \ge 0 \Rightarrow 2{\sin ^2}x \ge 0\end{array}$$\Rightarrow 1 + 2{\sin ^2}x \ge 1$
Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:
$\dfrac{1}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \le \dfrac{1}{1}=1 $
Nhân 2 vế với 4 ta được:
$\Rightarrow \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \le 4.1 = 4\\\Rightarrow y \le 4$
Dấu “=” xảy ra khi \({\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow\sin x = 0\).
+) Tìm GTNN
$\begin{array}{l}{\sin ^2}x \le 1 \Rightarrow 2{\sin ^2}x \le 2\\\Rightarrow 1 + 2{\sin ^2}x \le 1 + 2 = 3\end{array}$
Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:
$\dfrac{1}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \ge \dfrac{1}{3}$
Nhân 2 vế với 4 ta được:
$\Rightarrow \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \ge \dfrac{4}{3}\\\Rightarrow y \ge \dfrac{4}{3}$
Dấu “=” xảy ra khi \({\sin ^2}x= 1\Leftrightarrow\sin x = \pm 1\).
Vậy GTLN là 4, GTNN là \(\dfrac{4}{3}\).
Tìm tập xác định của hàm số sau \(y = \tan 3x.\cot 5x\)
-
A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{5} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
C.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{4},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
D.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án : D
- Hàm số \(y = \tan x\) xác định nếu \(\cos x \ne 0\).
- Hàm số \(y = \cot x\) xác định nếu \(\sin x \ne 0\).
- Sử dụng các công thức
$\cos a \ne 0 \Leftrightarrow a\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$
$\sin a \ne 0 \Leftrightarrow a\ne k\pi$
Ta có: \(\tan 3x=\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}\) và $\cot 5x=\dfrac{\cos 5x}{\sin 5x}$
=> Điều kiện của hàm số là:
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\sin 5x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\5x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x \ne k\dfrac{\pi }{5}\end{array} \right.\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \)
-
A.
\(\max y = 1,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
-
B.
\(\max y = 3,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
-
C.
\(\max y = 2,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
-
D.
\(\max y = 0,\min y = 1 - \sqrt 3 \)
Đáp án : D
Sử dụng \( 0 \le \cos ^2 x \le 1\) để đánh giá biểu thức \(y = 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \), từ đó tìm được GTNN, GTLN của hàm số.
Ta có: \(0 \le {\cos ^2}x \le 1\)\(\Rightarrow 2.0 \le 2.{\cos ^2}x \le 2.1\)
\( \Rightarrow 0 \le 2{\cos ^2}x \le 2\)\( \Rightarrow 0 + 1 \le 2{\cos ^2}x + 1 \le 2 + 1\) \( \Rightarrow 1 \le 2{\cos ^2}x + 1 \le 3\)
\( \Rightarrow 1 \le \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \le \sqrt 3 \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 1 \ge - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \ge - \sqrt 3 \\ \Rightarrow - 1+1 \ge - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} +1 \ge1 - \sqrt 3 +1\end{array}\)
\( \Rightarrow 0 \ge 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \ge 1 - \sqrt 3 \)
\( \Rightarrow 1 - \sqrt 3 \le y \le 0\)
Do đó \(\min y = 1 - \sqrt 3 \) khi \({\cos ^2}x = 1\) và \(\max y = 0\) khi \(\cos x = 0\).
Nghiệm của phương trình $\cos x + \sin x = 0$ là:
-
A.
\(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \).
-
C.
\(x = k\pi \).
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).
Đáp án : A
- Đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \).
- Áp dụng công thức: $\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)=-\sin x$
Ta có: $\cos x + \sin x = 0 $
$\Leftrightarrow \cos x = - \sin x$
\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = x + \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {VN} \right)\\x = - x - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow 2x =- \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)
\(\Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi }{4} + k\pi \).
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x.\cot x = 1\) là:
-
A.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
-
B.
\(R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
C.
\(R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}\)
-
D.
\(R\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức \(\tan x.\cot x = 1\) nên ta chỉ cần tìm điều kiện xác định của phương trình.
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2} \Rightarrow D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
Do \(\tan x.\cot x = 1,\forall x \in D\) nên tập nghiệm của phương trình là \(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2