Đề thi toán 11, đề kiểm tra toán 11 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$. là tam giác vuông tại $B,$ $BC = a$. Cạnh bên $SA = a$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${45^0}$. Độ dài $AC$ bằng

A.

$a\sqrt 2 .$
B.

$a\sqrt 3 .$
C.

$2a.$
D.

$a.$

Câu 2 :

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng $60^\circ $, đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $A'$ cách đều $A$, $B$, $C$. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

A.

$a$.
B.

$a\sqrt 2 $.
C.

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D.

$\dfrac{{2a}}{3}$.

Câu 3 :

Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt $a,b,c$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a//b$
B.

Nếu $a//b$ và $c \bot a$ thì $c \bot b$.
C.

Nếu góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$ thì $a//b$.
D.

Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong $mp\left( \alpha \right)//c~$ thì góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$.

Câu 4 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.

Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
B.

Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó
C.

Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
D.

Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.

Câu 5 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Khoảng cách từ đỉnh $A$ của hình lập phương đó đến đường thẳng $CD'$ bằng

A.

$a\sqrt 2 $.
B.

$\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
C.

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D.

$a\sqrt 3 $.

Câu 6 :

Cho $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5$, góc giữa $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ bằng $120^\circ $. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A.

$\left| {\vec a + \vec b} \right| = \sqrt {19} $
B.

$\left| {\vec a - \vec b} \right| = 7$
C.

$\left| {\vec a - 2\vec b} \right| = \sqrt {139} $
D.

$\left| {\vec a + 2\vec b} \right| = 9$

Câu 7 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC$ và $DB = DC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$AB \bot \left( {ABC} \right)$.
B.

$AC \bot BD$.
C.

$CD \bot \left( {ABD} \right)$.
D.

$BC \bot AD$.

Câu 8 :

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M$ là trung điểm của $AA'$, $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$. Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?

A.

$\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {B'C} $
B.

$\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {A'D'} $ .
C.

$\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {DC'} $ và $\overrightarrow {B'C} $
D.

$\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {A'D} $ và $\overrightarrow {B'C'} $.

Câu 9 :

Cho tứ diện $SABC$ có hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta SBC$ là hai tam giác đều cạnh $a,\,\,\,SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$ Gọi $M$ là điểm trên $AB$ sao cho $AM = b{\rm{ }}\left( {0 < b < a} \right).$ $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $M$ và vuông góc với $BC.$ Thiết diện của $\left( P \right)$ và tứ diện $SABC$ có diện tích bằng ?

A.

$\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}(a-b)^2$
B.

$\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}(a-b)^2 $
C.

$\dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16}}(a-b)^2$
D.

$\dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}(a-b)^2$

Câu 10 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy lớn $AB$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $Q$ là điểm trên cạnh $SA$ và $Q \ne A,$ $Q \ne S$; $M$ là điểm trên đoạn $AD$ và $M \ne A$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $QM$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$. Thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho là:

A.

tam giác.
B.

hình thang cân.
C.

hình thang vuông
D.

hình bình hành

Câu 11 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

Nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
B.

Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P) $ song song với $a$ là khoảng cách từ một điểm $A$ bất kỳ thuộc $a$ tới $mp(P).$
C.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$ đến một điểm $N$ bất kỳ trên $b$
D.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm $M$ bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Câu 12 :

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có cạnh bên bằng $a.$ Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc ${60^{\rm{o}}}.$ Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là trung điểm của $BC$. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?

A.

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
B.

$\dfrac{a}{3}.$
C.

$\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
D.

$\dfrac{a}{2}.$

Câu 13 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SB$ hợp với mặt đáy một góc $60^\circ $. Tính khoảng cách $d$ từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

A.

$d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
B.

$d = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$
C.

$d = a.$
D.

$d = a\sqrt 3 .$

Câu 14 :

Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AB$, $BC$, $CD$ đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm $O$ cách đều bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$.

A.

$O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
B.

$O$ là trọng tâm tam giác $ACD$.
C.

$O$ là trung điểm cạnh $BD$.
D.

$O$ là trung điểm cạnh $AD$.

Câu 15 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Gọi $O$ là tâm của $ABCD$ và $I$ là trung điểm của $SC$. Khẳng định nào sau đây sai ?

A.

$IO \bot \left( {ABCD} \right).$
B.

$BC \bot SB.$
C.

$\left( {SAC} \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $BD.$
D.

Tam giác $SCD$ vuông ở $D.$

Câu 16 :

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?

A.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
B.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
C.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
D.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

Câu 17 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $SA = SB = SC = b$. Gọi G là trọng tâm $\Delta ABC$. Xét mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $SC$. Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để $(P)$ cắt $SC$ tại điểm ${C_1}$ nằm giữa $S$ và $C$.

A.

$b > a\sqrt 2 $.
B.

$b < a\sqrt 2 $.
C.

$a < b\sqrt 2 $.
D.

$a > b\sqrt 2 $.

Câu 18 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA = a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua trung điểm $E$ của $SC$ và vuông góc với $AB$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho.

A.

${S_{EFGH}} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}.$
B.

${S_{EFGH}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 7 }}{{32}}.$
C.

${S_{EFGH}} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}.$
D.

${S_{EFGH}} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 2 }}{{16}}.$

Câu 19 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$ với $AB = a,$ $AD = 2a.$ Cạnh bên $SA = a$ và vuông góc với đáy. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $SO$ và vuông góc với $\left( {SAD} \right).$ Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ và hình chóp đã cho.

A.

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
B.

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
C.

$S = \dfrac{{{a^2}}}{2}.$
D.

$S = {a^2}.$

Câu 20 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = AC = a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên mặt đáy $\left( {ABC} \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $SH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.$
B.

$\cot \varphi = \sqrt 7 .$
C.

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}.$
D.

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}.$

Câu 21 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,{\rm{ }}AD = 2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc giữa $SD$ với đáy bằng ${60^0}.$ Tính khoảng cách $d$ từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ theo $a$.

A.

$d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
B.

$d = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}.$
C.

$d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.$
D.

$d = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Câu 22 :

Cho hình chóp $S.ABCD $ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a.$ Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $H$ thuộc đoạn $BD$ sao cho $HD = 3HB.$ Biết góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt đáy bằng ${45^0}.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD$ là

A.

$\dfrac{{3a\sqrt {34} }}{{17}}.$
B.

$\dfrac{{2a\sqrt {13} }}{3}.$
C.

$\dfrac{{2a\sqrt {51} }}{{13}}.$
D.

$\dfrac{{2a\sqrt {38} }}{{17}}.$

Câu 23 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên $SA = x$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right).$ Xác định $x$ để hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ tạo với nhau một góc ${60^0}.$

A.

$x = \dfrac{{3a}}{2}.$
B.

$x = \dfrac{a}{2}.$
C.

$x = a.$
D.

$x = 2a.$

Câu 24 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a$, $AD = a\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $A$ vuông góc với $SC$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho.

A.

${S_{AMIN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{7}.$
B.

${S_{AMIN}} = \dfrac{{12{a^2}\sqrt 6 }}{{35}}.$
C.

${S_{AMIN}} = \dfrac{{6{a^2}\sqrt 6 }}{{35}}.$
D.

${S_{AMIN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{5}.$

Câu 25 :

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA = AB = a$ và $AD = x.a$. Gọi $E$ là trung điểm của $SC$. Tìm $x$, biết khoảng cách từ điểm $E$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng $h = \dfrac{a}{3}$.

A.

$1.$
B.

$\sqrt 2 .$
C.

$2.$
D.

$4.$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A.

$a\sqrt 2 .$
B.

$a\sqrt 3 .$
C.

$2a.$
D.

$a.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC \Rightarrow BC$ là giao tuyến.

Mặt khác $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $\Delta ABC$ vuông tại $B \Rightarrow AB \bot BC$.

Nên $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow $$BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SB \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} = {45^0}$

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$, có $\widehat {SBA} = {45^0} \Rightarrow SA = AB = a$.

Mà $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 $.

Câu 2 :

A.

$a$.
B.

$a\sqrt 2 $.
C.

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D.

$\dfrac{{2a}}{3}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính khoảng cách từ $A'$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng cách sử dụng tính chất hình chóp đều, từ đó suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right)$

Vì $\Delta ABC$ đều và $AA' = A'B = A'C \Rightarrow A'ABC$ là hình chóp đều.

Gọi $A'H$ là chiều cao của lăng trụ, suy ra $H$ là trọng tâm $\Delta ABC,\widehat {A'AH} = 60^\circ $.

$ \Rightarrow d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = A'H = AH.\tan 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\sqrt 3 = a$.

Câu 3 :

Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt $a,b,c$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a//b$
B.

Nếu $a//b$ và $c \bot a$ thì $c \bot b$.
C.

Nếu góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$ thì $a//b$.
D.

Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong $mp\left( \alpha \right)//c~$ thì góc giữa $a$ và $c$ bằng góc giữa $b$ và $c$.

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

A sai vì: Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ thì $a$ và $b$ hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau (cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với $c$)

C sai vì: Giả sử hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau, ta dựng đường thẳng $c$ là đường vuông góc chung của $a$ và $b$. Khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng với góc giữa $b$ và $c$ và cùng bằng ${90^0}$, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng $a$ và $b$ không song song.

D sai vì: Giả sử $a$ vuông góc với $c,b~$ song song với $c$, khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng ${90^0}$, còn góc giữa $b$ và $c$ bằng ${0^0}$.

Do đó B đúng.

Câu 4 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.

Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
B.

Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc với cả hai đường thẳng đó
C.

Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
D.

Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó cắt cả hai đường thẳng đó.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét tính đúng sai của từng đáp án dựa vào tính chất đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A: Đúng

Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố "đường vuông góc chung phải cắt nhau với hai đường thẳng đã cho".

Đáp án C: Sai, vì "mặt phẳng đi qua đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia" chưa chắc đã tồn tại.

Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.

Câu 5 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Khoảng cách từ đỉnh $A$ của hình lập phương đó đến đường thẳng $CD'$ bằng

A.

$a\sqrt 2 $.
B.

$\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
C.

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
D.

$a\sqrt 3 $.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Gọi $M$ là trung điểm của $CD'$, chứng minh $AM \bot CD'$ và tính độ dài $AM$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $M$ là trung điểm của $CD'$. Do $ABCD.A'B'C'D'$là hình lập phương nên tam giác $ACD'$là tam giác đều cạnh $a\sqrt 2 $.

$AM \bot CD' \Rightarrow d\left( {A,CD'} \right) = AM = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$

Câu 6 :

A.

$\left| {\vec a + \vec b} \right| = \sqrt {19} $
B.

$\left| {\vec a - \vec b} \right| = 7$
C.

$\left| {\vec a - 2\vec b} \right| = \sqrt {139} $
D.

$\left| {\vec a + 2\vec b} \right| = 9$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng các hằng đẳng thức bình phương của tổng, hiệu và công thức tích vô hướng của hai véc tơ để tính độ dài các véc tơ ở mỗi đáp án.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A: ${\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\vec a^2} + {\vec b^2} + 2\vec a.\vec b $ $ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$ $ = {3^2} + {5^2} + 2.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 19$

Do đó $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19} $

Đáp án B: ${\left| {\vec a - \vec b} \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2}$$ = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}$ $ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$ $ = {3^2} - 2.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {5^2} = 49$ $ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 7$ nên B đúng.

Đáp án C: ${\left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)^2}$ $ = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a \overrightarrow b + 4{\overrightarrow b ^2}$ $ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$ $ = {3^2} - 4.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {4.5^2} = 139$ $ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {139} $ nên C đúng.

Đáp án D: ${\left| {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)^2}$ $ = {\overrightarrow a ^2} + 4\overrightarrow a \overrightarrow b + 4{\overrightarrow b ^2}$ $ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 4\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$ $ = {3^2} + 4.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {4.5^2} = 79$ $ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {79} $ nên D sai.

Câu 7 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC$ và $DB = DC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$AB \bot \left( {ABC} \right)$.
B.

$AC \bot BD$.
C.

$CD \bot \left( {ABD} \right)$.
D.

$BC \bot AD$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng các tính chất tam giác cân, điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng để chứng minh.

Lời giải chi tiết :

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$. Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\DE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADE} \right) \Rightarrow BC \bot AD$.

Câu 8 :

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M$ là trung điểm của $AA'$, $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$. Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?

A.

$\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {B'C} $
B.

$\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {A'D'} $ .
C.

$\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {DC'} $ và $\overrightarrow {B'C} $
D.

$\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {A'D} $ và $\overrightarrow {B'C'} $.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Kiểm tra tính đồng phẳng của các véc tơ bằng cách tìm một mặt phẳng song song với giá của cả ba véc tơ, nếu ta chỉ ra được mặt phẳng đó thì ba véc tơ đồng phẳng.

Lời giải chi tiết :

Ta có $MO{\rm{//}}\left( {CDA'B'} \right);$

$AB//A'B' \Rightarrow AB{\rm{//}}\left( {CDA'B'} \right),$

$B'C$ nằm trong mặt phẳng $\left( {CDA'B'} \right)$ nên các vecto $\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {B'C} $ dồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng $\left( {CDA'B'} \right)$.

Câu 9 :

A.

$\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}(a-b)^2$
B.

$\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}(a-b)^2 $
C.

$\dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16}}(a-b)^2$
D.

$\dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}(a-b)^2$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, cụ thể là tính diện tích

Lời giải chi tiết :

Gọi $N$ là trung điểm của $BC.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SB = SC\\AB = AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC \bot SN\\BC \bot AN\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right).$

Theo bài ra $BC \bot \left( P \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in \left( P \right)\\\left( P \right)//\left( {SAN} \right)\end{array} \right.$.

Kẻ $MI//AN,\,MK//SA$

$ \Rightarrow $ Thiết diện của $\left( P \right)$ và $S.ABC$ là $\Delta KMI$

Mà $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ABC\\\Delta SBC\end{array} \right.$ là hai tam giác đều cạnh $a$

$\Rightarrow AN = SN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = SA $ $\Rightarrow \Delta SAN$ là tam giác đều cạnh $\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\Rightarrow \Delta KMI$ là tam giác đều cạnh $\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a - b}}{a}= \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {a - b} \right)$

$\Rightarrow {S_{\Delta KMI}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16}}(a-b)^2$

Câu 10 :

A.

tam giác.
B.

hình thang cân.
C.

hình thang vuông
D.

hình bình hành

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)$. Mà $\left( \alpha \right) \bot \left( {SAD} \right)$ suy ra $AB\parallel \left( \alpha \right)$.

Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BC$ tại $N$.

Qua $Q$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $SB$ tại $P$.

Khi đó thiết diện là hình thang $MNPQ$ (do $MN\parallel PQ$).

Vì $AB \bot \left( {SAD} \right)$ suy ra $MN \bot \left( {SAD} \right)$ nên $MN \bot MQ$.

Do đó thiết diện $MNPQ$ là hình thang vuông tại Q và $M$.

Câu 11 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

Nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau và vuông góc với nhau thì đường thẳng vuông góc chung của chúng nằm trong mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
B.

Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P) $ song song với $a$ là khoảng cách từ một điểm $A$ bất kỳ thuộc $a$ tới $mp(P).$
C.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$ đến một điểm $N$ bất kỳ trên $b$
D.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm $M$ bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các định nghĩa, tính chất về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng và mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết :

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ là khoảng cách từ một điểm $M$ thuộc đường thẳng $b$ đến mặt phẳng $(P)$ chứa $a$ và song song với $b$ chứ không phải khoảng cách giữa hai điểm như đáp án C nói nên C sai.

Câu 12 :

A.

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
B.

$\dfrac{a}{3}.$
C.

$\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
D.

$\dfrac{a}{2}.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính khoảng cách $d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right)$ rồi suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $A'H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \widehat {A'AH} = {60^{\rm{o}}}.$

$d\left( {\left( {A'B'C'} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = A'H = A'A.\sin {60^{\rm{o}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Câu 13 :

A.

$d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
B.

$d = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$
C.

$d = a.$
D.

$d = a\sqrt 3 .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Xác định

${60^0} = \widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} \Rightarrow SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 $.

Ta có $AD\parallel BC \Rightarrow AD\parallel \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$

Kẻ $AK \bot SB\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AK\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right)$

Khi đó $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Vậy $d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Câu 14 :

Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AB$, $BC$, $CD$ đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm $O$ cách đều bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$.

A.

$O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
B.

$O$ là trọng tâm tam giác $ACD$.
C.

$O$ là trung điểm cạnh $BD$.
D.

$O$ là trung điểm cạnh $AD$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Chứng minh tứ diện $ABCD$ có cả bốn mặt đều là các tam giác vuông.

- Dùng tính chất của tam giác vuông : Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền để kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O$ là trung điểm của $AD$.

Từ giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CD\\BC \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CD \bot AC$. Vậy $\Delta ACD$ vuông tại $C$.

Do đó $OA = OC = OD$ (1)

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CD\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BD \Rightarrow \Delta ABD$ vuông tại $B$.

Do đó $OA = OB = OD$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $OA = OB = OC = OD$.

Câu 15 :

A.

$IO \bot \left( {ABCD} \right).$
B.

$BC \bot SB.$
C.

$\left( {SAC} \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $BD.$
D.

Tam giác $SCD$ vuông ở $D.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng và định nghĩa mặt phẳng trung trực để xét tính đúng, sai của từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

Có $IO$ là đường trung bình tam giác $SAC$ nên $IO//SA$ nên $IO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên A đúng.

Có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot SB$ nên B đúng

Và $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot SD$ nên phương án D đúng.

Đáp án C sai vì nếu $\left( {SAC} \right)$ là mặt phẳng trung trực của $BD$ $ \Rightarrow BD \bot AC$(vô lý).

Câu 16 :

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?

A.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
B.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
C.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
D.

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức cộng véc tơ : xen điểm $G$ vào các véc tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {CD} $ với chú ý :

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 $ và ${\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2}$.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2}\end{array}$

$= 3A{G^2} + 3B{G^2} + 3C{G^2} + 3D{G^2} + 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 1 \right)$

Lại có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{{\rm{D}}^2} = 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$

Câu 17 :

A.

$b > a\sqrt 2 $.
B.

$b < a\sqrt 2 $.
C.

$a < b\sqrt 2 $.
D.

$a > b\sqrt 2 $.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác

Lời giải chi tiết :

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Do S.ABC là hình chóp đều nên $SG \bot \left( {ABC} \right)$.

Gọi C’ là trung điểm AB. Suy ra C, C’, G thẳng hàng.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CC'\\SG \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SCC'} \right) \Rightarrow AB \bot SC$. (1)

Trong tam giác SAC, kẻ $A{C_1} \bot SC$. (2)

Từ (1) và (2), suy ra $SC \bot \left( {AB{C_1}} \right)$.

Suy ra thiết diện cần tìm là tam giác $AB{C_1}$ thỏa mãn đi qua A và vuông góc với SC.

Tam giác SAC cân tại S nên để ${C_1}$ nằm giữa S và C khi và chỉ khi $\widehat {ASC} < {90^0}$.

Suy ra $\cos \widehat {ASC} > 0 \Leftrightarrow S{A^2} + S{C^2} - A{C^2} > 0 \Leftrightarrow 2{b^2} - {a^2} > 0 \Rightarrow a < b\sqrt 2 .$

Câu 18 :

A.

${S_{EFGH}} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}.$
B.

${S_{EFGH}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 7 }}{{32}}.$
C.

${S_{EFGH}} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}.$
D.

${S_{EFGH}} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 2 }}{{16}}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Gọi F là trung điểm AC, suy ra EF // SA.

Do $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB$ nên $EF \bot AB$. $\left( 1 \right)$

Gọi J, G lần lượt là trung điểm AB, AJ.

Suy ra $CJ \bot AB$ và $FG\parallel CJ$ nên $FG \bot AB$. $\left( 2 \right)$

Trong $\Delta \,SAB$ kẻ $GH\parallel SA$ $\left( {H \in SB} \right)$, suy ra $GH \bot AB$. $\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ , $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$, suy ra thiết diện cần tìm là hình thang vuông EFGH, vuông tại G và F.

Do đó ${S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {EF + GH} \right).FG$.

Ta có $EF = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a}{2}$; $FG = \dfrac{1}{2}CJ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$; $\dfrac{{GH}}{{SA}} = \dfrac{{BG}}{{BA}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow GH = BG = \dfrac{{3a}}{4}.$

Vậy ${S_{EFGH}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{a}{2} + \dfrac{{3a}}{4}} \right).\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}$.

Câu 19 :

A.

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.$
B.

$S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$
C.

$S = \dfrac{{{a^2}}}{2}.$
D.

$S = {a^2}.$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Gọi $M,{\rm{ }}N$ lần lượt là trung điểm $AD,{\rm{ }}BC$. Khi đó

$ \bullet $ $MN$ đi qua $O.$

$ \bullet $ $\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AD\\MN \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SAD} \right).$

Từ đó suy ra $\left( \alpha \right) \equiv \left( {SMN} \right)$ và thiết diện cần tìm là tam giác $SMN$.

Tam giác $SMN$ vuông tại $M$ nên

${S_{\Delta \,SMN}} = \dfrac{1}{2}SM.MN = \dfrac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + {{\left( {\dfrac{{AD}}{2}} \right)}^2}} .AB = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.$

Câu 20 :

A.

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.$
B.

$\cot \varphi = \sqrt 7 .$
C.

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}.$
D.

$\cot \varphi = \dfrac{{\sqrt {14} }}{4}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Gọi $H$ là trung điểm $BC.$ Tam giác $ABC $ vuông tại $A$ nên $H$ trung điểm của $BC.$

Theo giả thiết, ta có $SH \bot \left( {ABC} \right)$

Qua $B$ kẻ $Bx$//$AC$. Khi đó $\widehat {\left( {SB;AC} \right)} = \widehat {\left( {SB;Bx} \right)}$

Kẻ $HE \bot Bx$ tại $E$, cắt $AC$ tại $M$

Suy ra AMEB là hình chữ nhật nên $\left\{ \begin{array}{l}BE = AM = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}\\HE = HM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}Bx \bot HE\\Bx \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow Bx \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow Bx \bot SE$

Tam giác vuông $SEB$ vuông tại $E,$ có $\cot \widehat {SBE} = \dfrac{{BE}}{{SE}} = \dfrac{{AM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{6{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}$

Câu 21 :

A.

$d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
B.

$d = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}.$
C.

$d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.$
D.

$d = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Xác định ${60^0} = \widehat {\left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD,AD} \right)} = \widehat {SDA}$ và $SA = AD.\tan \widehat {SDA} = 2a\sqrt 3 $.

Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật $ABCD$ ta có

$\begin{array}{l}CA \cap \left( {SBD} \right) = O \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{CO}}{{AO}} = 1\\ \Rightarrow d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\end{array}$.

Trong $(ABCD)$ kẻ $AE \bot BD$ và trong $(SAE)$ kẻ $AK \bot SE\,\,\,\left( 1 \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AE\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BD \bot AK\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AK$.

Tam giác vuông $BAD$, có $AE = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$.

Tam giác vuông $SAE$, có $AK = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right) = AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Câu 22 :

A.

$\dfrac{{3a\sqrt {34} }}{{17}}.$
B.

$\dfrac{{2a\sqrt {13} }}{3}.$
C.

$\dfrac{{2a\sqrt {51} }}{{13}}.$
D.

$\dfrac{{2a\sqrt {38} }}{{17}}.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Kẻ $HK \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right)$, do đó góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là $\widehat {SKH} = {45^0}$

Ta có $\Delta HKD$ vuông cân tại $K$, do vậy $HK = KD = \dfrac{{3a}}{2} \Rightarrow SH = HK.\tan {45^0} = \dfrac{{3a}}{2}$

Dựng $Ax//BD$ ta có $d\left( {SA,BD} \right) = d\left( {BD,\left( {SAx} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SAx} \right)} \right)$

Dựng $HE \bot Ax \Rightarrow HE = OA = a\sqrt 2 $

Dựng $HF \bot SE\,\,\,\left( 1 \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}Ax \bot SH\\Ax \bot HE\end{array} \right. \Rightarrow Ax \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow Ax \bot HF\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow HF \bot \left( {SAx} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAx} \right)} \right) = HF$

Vậy $HF = \dfrac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \dfrac{{3a\sqrt {34} }}{{17}} = d$.

Câu 23 :

A.

$x = \dfrac{{3a}}{2}.$
B.

$x = \dfrac{a}{2}.$
C.

$x = a.$
D.

$x = 2a.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Từ $A$ kẻ $AH$ vuông góc với $SB\,\,\,\,\left( {H \in SB} \right).$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$ mà $AH \bot SB$ suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC$

Từ A kẻ AK vuông góc với $SD\,\,\,\left( {K \in SD} \right),$ tương tự, chứng minh được $AK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AK \bot SC$

Khi đó $SC \bot \left( {AHK} \right)$ suy ra

$\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AH;AK} \right)} = \widehat {HAK} = {60^0}.$

Lại có $\Delta \,SAB = \Delta \,SAD\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AH = AK$ mà $\widehat {HAK} = {60^0}$ suy ra tam giác AHK đều.

Tam giác SAB vuông tại A có $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{xa}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} = AK = HK$

Suy ra $SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{x^2} - \dfrac{{{x^2}{a^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}} = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SB}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}.$

Tương tự ta chứng minh được $\dfrac{{SK}}{{SC}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}}$

$ \Rightarrow HK$//$BD$ suy ra $\dfrac{{SH}}{{SB}} = \dfrac{{HK}}{{BD}} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {a^2}}} = \dfrac{{xa}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} .a\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow 2{x^2} = {x^2} + {a^2} \Rightarrow x = a.$

Câu 24 :

A.

${S_{AMIN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{7}.$
B.

${S_{AMIN}} = \dfrac{{12{a^2}\sqrt 6 }}{{35}}.$
C.

${S_{AMIN}} = \dfrac{{6{a^2}\sqrt 6 }}{{35}}.$
D.

${S_{AMIN}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{5}.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Trong tam giác $SAC, $ kẻ $AI \bot SC$ $\left( {\,I \in SC} \right)$

Trong $mp(SBC),$ kẻ ${d_1}$ đi qua $I$ vuông góc với $SC$ cắt $SB $ tại $M.$

Trong $mp(SCD),$ kẻ ${d_2}$ đi qua $I$ vuông góc với $SC$ cắt $SD$ tại $N.$

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mp $\left( \alpha \right)$ là tứ giác $AMIN.$

Ta có $SC \bot \left( \alpha \right) \Rightarrow SC \bot AM$. (1)

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM$. (2)

Từ (1) và (2), suy ra $AM \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AM \bot MI$. Chứng minh tương tự, ta được $AN \bot NI$.

Do đó ${S_{AMIN}} = {S_{\Delta AMI}} + {S_{\Delta ANI}} $ $= \dfrac{1}{2}AM.MI + \dfrac{1}{2}AN.NI$.

Vì $AM, AI, AN $ là các đường cao của các tam giác vuông $SAB, SAC, SAD $ nên

$AM = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$; $AI = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = a\sqrt 2 $; $AN = \dfrac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}$

Suy ra $MI = \sqrt {A{I^2} - A{M^2}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{5}$ và $NI = \sqrt {A{I^2} - A{N^2}} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{7}$

Vậy ${S_{AMIN}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}.\dfrac{{a\sqrt {30} }}{5} + \dfrac{{2a\sqrt {21} }}{7}.\dfrac{{a\sqrt {14} }}{7}} \right) = \dfrac{{12{a^2}\sqrt 6 }}{{35}}$

Câu 25 :

A.

$1.$
B.

$\sqrt 2 .$
C.

$2.$
D.

$4.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Ta có $E \in SC$, $EC \cap \left( {SBD} \right) = S \Rightarrow \dfrac{{d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{ES}}{{CS}} = \dfrac{1}{2}$

Từ A kẻ $ AK \bot BD\left( {K \in BD} \right)$, kẻ $AH \bot SK\,\,\left( {H \in SK} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AK\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow BD \bot AH\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right).$

$ \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = 2.d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{2a}}{3}.$

Mà $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{K^2}}} \Rightarrow AK = \dfrac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} - A{H^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$.

Tam giác $ABD$ vuông tại $A$, có đường cao $AK$.

$ \Rightarrow \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{AD{}^2}} = \dfrac{1}{{A{K^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}{x^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow x = 2$

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục

Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1

Bài giải mới nhất

Báo lỗi góp ý