-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
Đề bài
Cho một đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(\left( P \right)\)?
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
vô số
Cho \(d//\left( \alpha \right)\) và \(d' \subset \left( \alpha \right)\), số giao điểm của \(d\) và \(d'\) là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Cho các mệnh đề sau:
1. Qua một điểm không thuộc hai mặt phẳng cắt nhau vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với hai mặt đó.
2. Ba đường thẳng đôi một cắt nhau thì xác định một mặt phẳng.
3. Qua một điểm không thuộc hai đường thẳng chéo nhau vẽ được duy nhất một mặt phẳng song song với hai đường thẳng đó.
4. Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc song song.
5. Nếu đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $d’$ trong mặt phẳng $(P)$ thì đường thẳng $d$ song song hoặc nằm trong mặt phẳng $(P).$
6. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đó.
Hãy chọn các mệnh đề đúng:
-
A.
1, 2, 3, 4
-
B.
1, 3, 4, 5, 6
-
C.
1, 4
-
D.
1, 3, 4, 5
Cho tứ diện \(ABCD\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(AD \subset \left( {ABC} \right)\)
-
B.
\(AD \cap \left( {ABC} \right) = C\)
-
C.
\(AB \subset \left( {ABC} \right)\)
-
D.
\(AC//\left( {ABD} \right)\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), mặt phẳng \(\left( {MA'C'} \right)\) cắt hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), mặt phẳng \(\left( {MA'C'} \right)\) cắt hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) theo thiết diện là hình gì?
-
A.
Hình tam giác
-
B.
Hình ngũ giác
-
C.
Hình lục giác
-
D.
Hình thang
Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $Bx, Cy, Dz$ là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua $B, C, D$ và nằm về một phía của mặt phẳng $(ABCD),$ đồng thời không nằm trong mặt phẳng $(ABCD).$ Một mặt phẳng đi qua $A$ và cắt $Bx, Cy, Dz$ lần lượt tại các điểm $B’, C’, D’ $ với $BB’ = 2, DD’ = 4.$ Khi đó $CC’$ bằng:
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$6$
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
A.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì song song
-
B.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau
-
C.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
-
D.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song
Hai đường thẳng song song thì
-
A.
chúng chéo nhau
-
B.
chúng cắt nhau
-
C.
chúng đồng phẳng
-
D.
chúng không đồng phẳng
Số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng không thể là:
-
A.
chỉ hai điểm
-
B.
một điểm
-
C.
không có điểm nào
-
D.
vô số điểm
Cho hình bình hành \(ABCD\). Vẽ các tia \(Ax,By,Cz,Dt\) song song, cùng hướng nhau và không nằm trong \(mp\left( {ABCD} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt \(Ax,By,Cz,Dt\) lần lượt tại \(A',B',C',D'\), gọi \(O,O'\) lần lượt là tâm hình bình hành và giao điểm của hai đường thẳng \(A'C'\) với \(B'D'\). Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(A'B'C'D'\) là hình bình hành
-
B.
\(mp\left( {AA'B'B} \right)//mp\left( {DD'C'C} \right)\)
-
C.
\(AA' = CC'\) và \(BB' = DD'\)
-
D.
\(OO'//AA'\)
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D',AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O,A'C'$ và $B'D'$ cắt nhau tại $O'$ . Các điểm $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,BC,O'B'$. Khi đó thiết diện do mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt hình lập phương sẽ là đa giác có số cạnh là bao nhiêu?
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$6$
Giả sử $M$ là giao của đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
Tồn tại một và chỉ một đường thẳng $b \subset \left( P \right)$ sao cho $M$ là giao điểm của $a$ và $b$
-
B.
Mọi mặt phẳng chứa $a$ đều cắt $\left( P \right)$
-
C.
Tồn tại mặt phẳng chứa $a$ nhưng không có điểm chung với $\left( P \right)$
-
D.
Mọi mặt phẳng chứa $a$ đều không cắt $\left( P \right)$
Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho tứ giác \(ABCD\), điểm \(E \notin \left( \alpha \right)\). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt tạo bởi ba trong năm điểm \(A,B,C,D,E\)?
-
A.
$10$.
-
B.
$7$.
-
C.
$8$.
-
D.
$9$.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
$(NOM)$ cắt $(OPM)$
-
B.
$(MON) // (SBC)$
-
C.
\(\left( {PON} \right) \cap \left( {MNP} \right) = NP\)
-
D.
\(\left( {MNP} \right)//\left( {SBD} \right)\)
Cho tứ giác lồi \(ABCD\) và điểm $S$ không thuộc $mp\left( {ABCD} \right)$. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt xác định bởi $3$ trong số các điểm $A,B,C,D,S$?
-
A.
$5$
-
B.
$6$
-
C.
$7$
-
D.
$4$
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(BC.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là:
-
A.
\(SD.\)
-
B.
\(SO{\rm{ }}(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD).\)
-
C.
\(SG{\rm{ }}(G\) là trung điểm \(AB).\)
-
D.
\(SF{\rm{ }}(F\) là trung điểm \(CD).\)
Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AC, BC, BD, AD.$ Tìm điều kiện của tứ diện $ABCD$ để $MNPQ$ là hình thoi?
-
A.
$AB = BC$
-
B.
$BC = AD$
-
C.
AC = BD
-
D.
$AB = CD$
Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD $ và $ BC, G$ là trọng tâm tam giác $BCD.$ Khi đó giao điểm của đường thẳng $MG$ và $mp(ABC)$ là:
-
A.
Điểm $C$
-
B.
Giao điểm của đường thẳng $MG$ và đường thẳng $AN$
-
C.
Điểm $N$
-
D.
Giao điểm của đường thẳng $MG$ và đường thẳng $ BC$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD $ là hình bình hành. \(Mp\left( \alpha \right)\) qua $BD$ và song song với $SA$ cắt $SC$ tại $K.$ Chọn khẳng định đúng?
-
A.
$SK = 2KC$
-
B.
$SK = 3KC$
-
C.
$SK = KC$
-
D.
$SK=\dfrac{1}{2}KC$
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ là một điểm nằm trên đoạn đường chéo $BD$ . Thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\) đi qua $M$ và song song với $AC$ và $SB$ có thể là những hình gì?
-
A.
Tam giác, tứ giác
-
B.
Tam giác, ngữ giác
-
C.
Tứ giác, ngũ giác
-
D.
Ngũ giác
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $SC$ và \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa $AM$ và song song với $BD$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) với các cạnh $SB,SD$ , gọi $I$ là giao điểm của $ME$ và $BC,J$ là giao điểm của $MF$ và $CD$. Nhận xét gì về ba điểm $I,J,A$?
-
A.
Thẳng hàng
-
B.
Cùng thuộc một đường tròn cố đinh.
-
C.
Ba điểm tạo thành một tam giác
-
D.
Đáp án khác
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt $SA, SB, SC, SD$ theo thứ tự lần lượt tại $A’, B’, C’, D’$ (không đồng thời trùng với các đầu mút). \(A'B'C'D'\) là hình bình hành khi và chỉ khi:
-
A.
\(\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)\)
-
B.
\(\left( \alpha \right)\) và $(ABCD)$ cắt nhau
-
C.
\(\left( \alpha \right)\) và $(ABCD)$ trùng nhau
-
D.
\(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của các đoạn $SA, SB, SC, SD.$
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Mặt phẳng \(\left( {IB'D'} \right)\) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?
-
A.
Tam giác
-
B.
Hình thang
-
C.
Hình bình hành
-
D.
Hình chữ nhật
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) không phải là hình thang. Trên cạnh \(SC\) lấy điểm \(M\). Gọi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đôi một song song
-
B.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đôi một cắt nhau
-
C.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đồng quy.
-
D.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ cùng thuộc một mặt phẳng.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$ và có $AC = a, BD = b. $ Tam giác $SBD$ là tam giác đều. Một mặt phẳng $(P)$ di động song song với $(SBD)$ đi qua $I$ trên đoạn $OC.$ Đặt \(AI = x\,\,\left( {\dfrac{a}{2} < x < a} \right)\). Khi đó diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $(P)$ là:
-
A.
\(\dfrac{{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 2 }}{{2{a^2}}}\)
-
B.
$\dfrac{{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{{4{a^2}}}$
-
C.
$\dfrac{{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}$
-
D.
\(\dfrac{{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{{2{a^2}}}\)
Lời giải và đáp án
Cho một đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(\left( P \right)\)?
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
vô số
Đáp án : B
Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì có duy nhất một mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(\left( P \right)\).
Cho \(d//\left( \alpha \right)\) và \(d' \subset \left( \alpha \right)\), số giao điểm của \(d\) và \(d'\) là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : C
Vì \(d//\left( \alpha \right)\) và \(d' \subset \left( \alpha \right)\) nên \(d\) và \(d'\) chỉ có thể song song hoặc chéo nhau. Do đó chũng không có điểm chung.
Cho các mệnh đề sau:
1. Qua một điểm không thuộc hai mặt phẳng cắt nhau vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với hai mặt đó.
2. Ba đường thẳng đôi một cắt nhau thì xác định một mặt phẳng.
3. Qua một điểm không thuộc hai đường thẳng chéo nhau vẽ được duy nhất một mặt phẳng song song với hai đường thẳng đó.
4. Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc song song.
5. Nếu đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $d’$ trong mặt phẳng $(P)$ thì đường thẳng $d$ song song hoặc nằm trong mặt phẳng $(P).$
6. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đó.
Hãy chọn các mệnh đề đúng:
-
A.
1, 2, 3, 4
-
B.
1, 3, 4, 5, 6
-
C.
1, 4
-
D.
1, 3, 4, 5
Đáp án : D
Suy luận từng đáp án, dựa vào các tính chất đường song song với mặt, hai mặt phẳng song song.
1. Qua một điểm vẽ đường thẳng song song với hai đường thẳng cắt nhau thì đường thẳng cần vẽ phải song song với giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Qua một điểm không thuộc đường thẳng vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Vậy 1. đúng.
2. Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng. 2 sai
3. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau, \(M \notin a,M \notin b\)
Qua M kẻ \(a'//a;\,\,b'//b \Rightarrow a',b'\) là duy nhất.
\(a' \cap b' = \left\{ M \right\} \Rightarrow \) mặt phẳng (P) xác định bới a’, b’ là duy nhất. Và ta có : \(\left( P \right)//a,\,\,\left( P \right)//b\). Vậy 3 đúng.
4, 5. Hiển nhiên đúng.
6. Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì có thể song song hoặc trùng nhau, hoặc cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đó. Vậy 6 sai.
Cho tứ diện \(ABCD\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
\(AD \subset \left( {ABC} \right)\)
-
B.
\(AD \cap \left( {ABC} \right) = C\)
-
C.
\(AB \subset \left( {ABC} \right)\)
-
D.
\(AC//\left( {ABD} \right)\)
Đáp án : C
Vẽ hình và xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Từ hình vẽ ta thấy:
+) Đường thẳng \(AD\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) tại điểm duy nhất \(A\) nên đáp án A, B đều sai.
+) \(A \in \left( {ABC} \right),B \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow AB \subset \left( {ABC} \right)\) nên C đúng.
+) Đường thẳng \(AC\) cắt mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) tại điểm duy nhất \(A\) nên D sai.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), mặt phẳng \(\left( {MA'C'} \right)\) cắt hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), mặt phẳng \(\left( {MA'C'} \right)\) cắt hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) theo thiết diện là hình gì?
-
A.
Hình tam giác
-
B.
Hình ngũ giác
-
C.
Hình lục giác
-
D.
Hình thang
Đáp án : D
- Sử dụng phương pháp tìm thiết diện để xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MA'C'} \right)\).
- Sử dụng quan hệ song song và tính chất đường trung bình để xác định hình dạng của thiết diện.
Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right),A'M\) cắt \(B'B\) tại \(I\).
Trong mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right),IC'\) cắt \(BC\) tại \(N\).
Tứ giác \(A'MNC'\) là thiết diện cần tìm.
Ta có: \(MB//A'B' \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{A'B'}} = \dfrac{{IB}}{{IB'}} = \dfrac{{IM}}{{IA'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow M\) là trung điểm \(IA'\).
Mà \(BN//B'C' \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IB'}} = \dfrac{{IN}}{{IC'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow N\) là trung điểm \(IC'\).
Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(IA'C' \Rightarrow MN//A'C' \Rightarrow MNC'A'\) là hình thang.
Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $Bx, Cy, Dz$ là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua $B, C, D$ và nằm về một phía của mặt phẳng $(ABCD),$ đồng thời không nằm trong mặt phẳng $(ABCD).$ Một mặt phẳng đi qua $A$ và cắt $Bx, Cy, Dz$ lần lượt tại các điểm $B’, C’, D’ $ với $BB’ = 2, DD’ = 4.$ Khi đó $CC’$ bằng:
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$6$
Đáp án : D
- Đưa về cùng mặt phẳng;
- Sử dụng các tính chất của đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang.
Trên $Bx$ và $Dz$ lấy điểm $B’$ và $D’$ sao cho $BB’ = 2, DD’ = 4.$
Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD, I $ là trung điểm của $B’D’$
Ta có $BDD’B’$ là hình thang, $OI$ là đường trung bình của hình thang nên $OI // BB’ // DD’ // Cy$ và \(OI = \dfrac{{BB' + {\rm{DD}}'}}{2} = \dfrac{{2 + 4}}{2} = 3\).
Xét mặt phẳng tạo bởi $OI$ và $CC’$ có: \(AI \cap Cy = C'\).
Ta có $OI // CC’, AO = OC$ suy ra $AI = IC’$
Suy ra $OI$ là đường trung bình của tam giác $ACC’$ \( \Rightarrow CC' = 2OI = 6\)
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
A.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì song song
-
B.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau
-
C.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
-
D.
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song
Đáp án : D
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung (không cắt nhau) thì có thể song song hoặc chéo nhau nên A, B, C sai, D đúng.
Hai đường thẳng song song thì
-
A.
chúng chéo nhau
-
B.
chúng cắt nhau
-
C.
chúng đồng phẳng
-
D.
chúng không đồng phẳng
Đáp án : C
Hai đường thẳng song song với nhau thì chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng không thể là:
-
A.
chỉ hai điểm
-
B.
một điểm
-
C.
không có điểm nào
-
D.
vô số điểm
Đáp án : A
Đường thẳng và mặt phẳng nếu có hai điểm chung thì sẽ có vô số điểm chung nên không thể chỉ có hai điểm chung.
Cho hình bình hành \(ABCD\). Vẽ các tia \(Ax,By,Cz,Dt\) song song, cùng hướng nhau và không nằm trong \(mp\left( {ABCD} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt \(Ax,By,Cz,Dt\) lần lượt tại \(A',B',C',D'\), gọi \(O,O'\) lần lượt là tâm hình bình hành và giao điểm của hai đường thẳng \(A'C'\) với \(B'D'\). Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
\(A'B'C'D'\) là hình bình hành
-
B.
\(mp\left( {AA'B'B} \right)//mp\left( {DD'C'C} \right)\)
-
C.
\(AA' = CC'\) và \(BB' = DD'\)
-
D.
\(OO'//AA'\)
Đáp án : C
Xét tính đúng sai của các đáp án, sử dụng các phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng song song.
Ta có: \(AB//CD,AA'//DD'\) và \(AA',AB \subset \left( {ABB'A'} \right);CD,DD' \subset \left( {CDD'C'} \right)\)
Do đó \(mp\left( {AA'B'B} \right)//mp\left( {DD'C'C} \right)\), đáp án B đúng.
Mặt khác,
\(\left. \begin{array}{l}\left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = A'B'\\\left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {DCC'D'} \right) = C'D'\\\left( {ABB'A'} \right)//\left( {DCC'D'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A'B'//C'D'\)
\(\left. \begin{array}{l}\left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = A'D'\\\left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = C'B'\\\left( {ADD'A'} \right)//\left( {BCC'B'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A'D'//C'B'\)
Do đó, tứ giác \(A'B'C'D'\) là hình bình hành nên đáp án A đúng.
Do \(O,O'\) lần lượt là tâm các hình bình hành nên \(O,O'\) lần lượt là trung điểm của \(AC,A'C'\) nên \(OO'\) là đường trung bình trong hình thang \(AA'C'C\).
Do đó \(OO'//AA'\) nên D đúng.
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D',AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O,A'C'$ và $B'D'$ cắt nhau tại $O'$ . Các điểm $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,BC,O'B'$. Khi đó thiết diện do mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ cắt hình lập phương sẽ là đa giác có số cạnh là bao nhiêu?
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$6$
Đáp án : B
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có điểm chung $M$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $d$ và $d'$ thì giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$ và $d'$.
Ta có: $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN//AC//A'C'$ .
$\left( {MNP} \right)$ và $\left( {A'B'C'D'} \right)$ có điểm $P$ chung và $MN//A'C'$ .
Qua $P$ kẻ \(EF//A'C';E \in A'B',F \in B'C'.\)
Vậy thiết diện của hình lập phương cắt bởi $mp\left( {MNP} \right)$ là $MNFE$.
Giả sử $M$ là giao của đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
Tồn tại một và chỉ một đường thẳng $b \subset \left( P \right)$ sao cho $M$ là giao điểm của $a$ và $b$
-
B.
Mọi mặt phẳng chứa $a$ đều cắt $\left( P \right)$
-
C.
Tồn tại mặt phẳng chứa $a$ nhưng không có điểm chung với $\left( P \right)$
-
D.
Mọi mặt phẳng chứa $a$ đều không cắt $\left( P \right)$
Đáp án : B
Sử dụng tính chất đường thẳng cắt mặt phẳng.
Nếu đường thẳng $a$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ tại \(M\) thì \(M \in \left( P \right)\).
Hơn nữa, các mặt phẳng chứa \(a\) thì cũng chứa \(M\) nên chúng đều có điểm chung với \(\left( P \right)\), do đó đều cắt $\left( P \right)$.
Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho tứ giác \(ABCD\), điểm \(E \notin \left( \alpha \right)\). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt tạo bởi ba trong năm điểm \(A,B,C,D,E\)?
-
A.
$10$.
-
B.
$7$.
-
C.
$8$.
-
D.
$9$.
Đáp án : B
Qua ba điểm không thẳng hàng ta luôn xác định duy nhất một phẳng.
Điểm \(E\) và $2$ điểm bất kì trong $4$ điểm \(A,B,C,D\) tạo thành $6$ mặt phẳng, bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành 1 mặt phẳng.
Vậy có tất cả $7$ mặt phẳng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
$(NOM)$ cắt $(OPM)$
-
B.
$(MON) // (SBC)$
-
C.
\(\left( {PON} \right) \cap \left( {MNP} \right) = NP\)
-
D.
\(\left( {MNP} \right)//\left( {SBD} \right)\)
Đáp án : B
\(\left\{ \begin{array}{l}a//\left( \beta \right)\\b//\left( \beta \right)\\a \cap b \subset \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a//a'\\b//b'\\a \cap b \subset \left( \alpha \right)\\a',b' \subset \left( \beta \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\)
Dễ dàng chứng minh được $MNOP $ là hình bình hành \( \Rightarrow M,N,O,P\) đồng phẳng \( \Rightarrow A,C\) sai.
Ta có : $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ \( \Rightarrow MN//AD//BC\)
$ON$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ \( \Rightarrow ON//SB\)
\( \Rightarrow (MON) // (SBC)\)
\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.
Đáp án D sai vì \(N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBD} \right)\)
Cho tứ giác lồi \(ABCD\) và điểm $S$ không thuộc $mp\left( {ABCD} \right)$. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt xác định bởi $3$ trong số các điểm $A,B,C,D,S$?
-
A.
$5$
-
B.
$6$
-
C.
$7$
-
D.
$4$
Đáp án : C
Vẽ hình và đếm số mặt phẳng được tạo thành.
Từ hình vẽ ta thấy có \(7\) mặt phẳng được xác định bởi các điểm $A,B,C,D,S$.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(BC.\) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) là:
-
A.
\(SD.\)
-
B.
\(SO{\rm{ }}(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD).\)
-
C.
\(SG{\rm{ }}(G\) là trung điểm \(AB).\)
-
D.
\(SF{\rm{ }}(F\) là trung điểm \(CD).\)
Đáp án : B
- Tìm điểm chung dễ thấy của hai mặt phẳng.
- Tìm điểm chung thứ hai bằng cách tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà chúng cắt nhau.
\( \bullet \) \(S\)là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right).\)
\( \bullet \) Gọi \(O = AC \cap BD\) là tâm của hình hình hành.
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(T = AC \cap MN\) $ \Rightarrow T \equiv O$
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\\O \in MN \subset \left( {SMN} \right) \Rightarrow O \in \left( {SMN} \right)\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow O\) là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\) và \(\left( {SAC} \right).\)
Vậy \(\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO.\)
Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AC, BC, BD, AD.$ Tìm điều kiện của tứ diện $ABCD$ để $MNPQ$ là hình thoi?
-
A.
$AB = BC$
-
B.
$BC = AD$
-
C.
AC = BD
-
D.
$AB = CD$
Đáp án : D
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng các tính chất đường trung bình của tam giác
- Các dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi.
Vì $MN$ và $PQ$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ABC$ và $ABD$ nên:
\(\left\{ \begin{array}{l}MN//PQ//AB\\MN = PQ = \dfrac{1}{2}AB\end{array} \right. \Rightarrow \) MNPQ là hình bình hành.
Để $MNPQ $ trở thành hình thoi ta cần thêm yếu tố $MN = PN.$
Ta có: $PN$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên \(PN = \dfrac{1}{2}CD\).
$MN = PN $ \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD \Leftrightarrow AB = CD.\)
Vậy để $MNPQ $ là hình thoi cần thêm điều kiện $AB = CD.$
Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD $ và $ BC, G$ là trọng tâm tam giác $BCD.$ Khi đó giao điểm của đường thẳng $MG$ và $mp(ABC)$ là:
-
A.
Điểm $C$
-
B.
Giao điểm của đường thẳng $MG$ và đường thẳng $AN$
-
C.
Điểm $N$
-
D.
Giao điểm của đường thẳng $MG$ và đường thẳng $ BC$
Đáp án : B
Đừa về cùng mặt phẳng. Tìm trong mặt phẳng $(SAB)$ một đường thẳng cắt $DY.$ Giao điểm của đường thẳng đó và $SO$ chính là giao điểm của $(SAB)$ và $DY.$
Ta có: \(\dfrac{{DM}}{{DA}} \ne \dfrac{{DG}}{{DN}}\,\,\left( {\dfrac{1}{2} \ne \dfrac{2}{3}} \right) \)
\(\Rightarrow \) $MG$ và $AN$ không song song với nhau.
Trong $(ADN)$ gọi \(E = MG \cap AN.\) Mà \(AN \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow MG \cap \left( {ABC} \right) = E.\)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD $ là hình bình hành. \(Mp\left( \alpha \right)\) qua $BD$ và song song với $SA$ cắt $SC$ tại $K.$ Chọn khẳng định đúng?
-
A.
$SK = 2KC$
-
B.
$SK = 3KC$
-
C.
$SK = KC$
-
D.
$SK=\dfrac{1}{2}KC$
Đáp án : C
- Tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng.
- Định lí đường trung bình của tam giác.
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
Trong mặt phẳng $SAC,$ qua $O$ kẻ ${\rm{O}}K \bot AC\,\,\left( {K \in SC} \right)$, suy ra $mp$\(\left( \alpha \right)\) chính là $mp(BDK).$
$OK // SA ; AO = OC$\( \Rightarrow \) $SK = KC.$ (Định lí đường trung bình của tam giác)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ là một điểm nằm trên đoạn đường chéo $BD$ . Thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\) đi qua $M$ và song song với $AC$ và $SB$ có thể là những hình gì?
-
A.
Tam giác, tứ giác
-
B.
Tam giác, ngữ giác
-
C.
Tứ giác, ngũ giác
-
D.
Ngũ giác
Đáp án : B
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng các yếu tố về song song để xác định \(mp\left( \alpha \right)\).
- Xác định thiết diện của hình chóp bằng cách xác định giao tuyến của \(mp\left( \alpha \right)\) với các mặt của hình chóp.
Lưu ý: Khi đề bài cho các điểm tùy ý mà vị trí của điểm đó chưa rõ ràng ta phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra.
Gọi \(O = AC \cap BD\)
Trường hợp 1: $M$ nằm giữa $O$ và $B$ .
Trong $\left( {ABCD} \right)$ qua $M$ kẻ \(FG//AC\left( {F \in AB,G \in BC} \right)\)
Trong $\left( {SAB} \right)$ qua $F$ kẻ \(FH//SB\left( {H \in SA} \right)\).
\( \Rightarrow mp\left( \alpha \right)\) là $\left( {FHG} \right)$ .
Ta có: \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = FG,\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = FH.\)
Ta có: \(mp\left( \alpha \right)\) và $\left( {SAC} \right)$ có $H$ chung.
\(\begin{array}{l}\left( \alpha \right) \supset FG\\\left( {SAC} \right) \supset AC\\FG//AC\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Qua $H$ kẻ \(HI//AC\left( {I \in SC} \right),mp\left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right) = HI,mp\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = GI\)
Trong $\left( {ABCD} \right)$ kéo dài $FG$ cắt $CD$ và $AD$ lần lượt tại $K$ và \(J\left( {K \in CD,J \in AD} \right)\).
Trong $\left( {SCD} \right)$ gọi \(L = KI \cap SD \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = IL,\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = HL.\)
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\) là ngũ giác $HFGIL$ .
Trường hợp 2: $M$ nằm giữa $O$ và $D$ .
Trong $\left( {ABCD} \right)$ qua $M$ kẻ \(EF//AC\left( {E \in AD,F \in CD} \right)\).
Trong $\left( {SBD} \right)$ qua $M$ kẻ \(MG//SB\left( {G \in SD} \right).\)
\( \Rightarrow mp\left( \alpha \right)\) là $\left( {EFG} \right)$ và $EFG$ cũng chính là thiết diện của hình chóp khi cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\).
Vậy thiết diện là tam giác.
Tóm lại, tùy vào vị trí của điểm $M$ trên đoạn $BD$ , thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\) có thể là tam giác hoặc ngũ giác.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $SC$ và \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa $AM$ và song song với $BD$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) với các cạnh $SB,SD$ , gọi $I$ là giao điểm của $ME$ và $BC,J$ là giao điểm của $MF$ và $CD$. Nhận xét gì về ba điểm $I,J,A$?
-
A.
Thẳng hàng
-
B.
Cùng thuộc một đường tròn cố đinh.
-
C.
Ba điểm tạo thành một tam giác
-
D.
Đáp án khác
Đáp án : A
- Dựa vào tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có điểm chung $M$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $d$ và $d'$ thì giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$ và $d'$ để xác định thiết diện của hình chóp.
- Các điểm cùng thuộc 2 mặt phẳng thì sẽ thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Do đó chúng thẳng hàng.
Giả sử dựng được điểm $E,F$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}EF = \left( \alpha \right) \cap \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel BD\\BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow EF\parallel BD.\)
Do đó các điểm $E,F,A,M$ cùng thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), gọi \(K = EF \cap AM.\)
Ta có: \(K \in EF,EF \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow K \in \left( {SBD} \right).\)
\(K \in AM,AM \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow K \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow K \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {SAC} \right).\)
Mà \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\) với \(O = AC \cap BD \Rightarrow K \in SO.\)
Cách dựng $E,F$: Dựng giao điểm $K$ của $AM$ và $SO$ . Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $BD$ cắt $SB$ tại $E$ và cắt $SD$ tại $F$ .
Do \(\begin{array}{l}I = ME \cap BC\\I \in ME,ME \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow I \in \left( \alpha \right)\\I \in BC,BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABCD} \right).\end{array}\)
Do đó \(I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)
Tương tự ta cũng có \(J \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)và \(A \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)
Vậy $I,J,A$ cùng thuộc giao tuyến của \(mp\left( \alpha \right)\) và (ABCD).
Vậy $I,J,A$thẳng hàng.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt $SA, SB, SC, SD$ theo thứ tự lần lượt tại $A’, B’, C’, D’$ (không đồng thời trùng với các đầu mút). \(A'B'C'D'\) là hình bình hành khi và chỉ khi:
-
A.
\(\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)\)
-
B.
\(\left( \alpha \right)\) và $(ABCD)$ cắt nhau
-
C.
\(\left( \alpha \right)\) và $(ABCD)$ trùng nhau
-
D.
\(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của các đoạn $SA, SB, SC, SD.$
Đáp án : A
Suy luận từng đáp án.
Do $A',B',C',D'$ không đồng thời trùng với các đầu mút nên loại đáp án C.
Gọi $a$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB, b$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AD.$
$A’B’C’D’$ là hình bình hành khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}A'B'//C'D'\\A'B' = C'D'\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\A'B'//C'D'\\A'B' \subset \left( {SAB} \right),\,\,C'D' \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'B'//a\)
Suy ra $A’B’ // AB$ $(1)$
Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}b = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\A'D'//B'C'\\A'D' \subset \left( {SAD} \right),\,\,C'B' \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A'D'//b\)
Suy ra $A’D’ // AD$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ \( \Rightarrow \left( {A'B'C'D'} \right)//\left( {ABCD} \right)\) hay \(\left( \alpha \right)//\left( {ABCD} \right)\)
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Mặt phẳng \(\left( {IB'D'} \right)\) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?
-
A.
Tam giác
-
B.
Hình thang
-
C.
Hình bình hành
-
D.
Hình chữ nhật
Đáp án : B
- Xác định thiết diện của hình hộp: Sử dụng tính chất: “Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại và hai giao tuyến song song với nhau”.
- Sử dụng các tính chất song song để tìm hình dạng của thiết diện.
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}\left( {IB'D'} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = B'D'\\\left( {A'B'C'D'} \right)//\left( {ABCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {IB'D'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = JI//B'D'\) với \(J \in AD\)
Mà \(BD//B'D'\) nên \(JI//BD \Rightarrow J\) là trung điểm của \(AD\).
Vậy thiết diện là hình thang \(JIB'D'\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) không phải là hình thang. Trên cạnh \(SC\) lấy điểm \(M\). Gọi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đôi một song song
-
B.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đôi một cắt nhau
-
C.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đồng quy.
-
D.
Ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ cùng thuộc một mặt phẳng.
Đáp án : C
- Tìm giao điểm \(O\) của \(AB,CD\).
- Chứng minh \(MN\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
- Chứng minh \(O\) nằm trên \(MN\) bằng cách chứng minh \(O\) nằm trên hai mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Gọi \(I = AD \cap BC.\) Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), gọi \(K = BM \cap SI\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), gọi \(N = AK \cap SD\).
Khi đó \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\).
Gọi \(O = AB \cap CD\). Ta có:
● \(O \in AB\) mà \(AB \subset \left( {AMB} \right)\) suy ra \(O \in \left( {AMB} \right)\).
● \(O \in CD\) mà \(CD \subset \left( {SCD} \right)\) suy ra ${\rm{IJ}},MN,SE$.
Do đó \(O \in \left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\). \(\left( 1 \right)\)
Mà \(\left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(O \in MN\). Vậy ba đường thẳng $AB,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}MN$ đồng quy.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$ và có $AC = a, BD = b. $ Tam giác $SBD$ là tam giác đều. Một mặt phẳng $(P)$ di động song song với $(SBD)$ đi qua $I$ trên đoạn $OC.$ Đặt \(AI = x\,\,\left( {\dfrac{a}{2} < x < a} \right)\). Khi đó diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $(P)$ là:
-
A.
\(\dfrac{{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 2 }}{{2{a^2}}}\)
-
B.
$\dfrac{{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{{4{a^2}}}$
-
C.
$\dfrac{{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}$
-
D.
\(\dfrac{{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{{2{a^2}}}\)
Đáp án : C
Dựng mặt phẳng qua $I$ và song song với $(SBD),$ dựng thiết diện.
Chứng minh thiết diện là tam giác đều và tính diện tích tam giác đều đó.
Trong $(ABCD)$ qua $I$ kẻ $EF // BD$ \(\left( {E \in BC;F \in CD} \right)\)
Trong $(SAC)$ qua $I$ kẻ $IG // SO$ \(\left( {G \in SC} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {GEF} \right)\) qua $I$ và song song với $(SBD)$ \( \Rightarrow \left( P \right) \equiv \left( {GEF} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {GEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = GE\\\left( {SBD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {GEF} \right)//\left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GE//SB\)
Tương tự ta chứng minh được $GF // SD.$
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{IC}}{{OC}} = \dfrac{{FE}}{{BD}} = \dfrac{{GC}}{{SC}} = \dfrac{{GE}}{{SB}} = \dfrac{{GF}}{{SD}}\\BD = SB = SD\end{array} \right. \Rightarrow GE = GF = EF \Rightarrow \Delta GEF\) đều và \(\dfrac{{IC}}{{OC}} = \dfrac{{EF}}{{BD}}\) \( \Rightarrow EF = \dfrac{{IC}}{{OC}}.BD = \dfrac{{a - x}}{{\frac{a}{2}}}.b = \dfrac{{2b\left( {a - x} \right)}}{a}\)
\( \Rightarrow \Delta GEF\) đều cạnh \(\dfrac{{2(a - x)}}{a}.b\) , do đó \({S_{\Delta GEF}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{2(a - x)}}{a}} \right)}^2}.{b^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{{{a^2}}}\)
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
