Đề thi toán 12, đề kiểm tra toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 chương 7: Phương pháp tọa độ trong không gian - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j$. Tọa độ của điểm $M$ là

A.

$M\left( {0;2;1} \right)$
B.

$M\left( {1;2;0} \right)$
C.

$M\left( {2;0;1} \right)$
D.

$M\left( {2;1;0} \right)$

Câu 2 :

Cho đường thẳng $d$ có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $(P):x + y + z - 10 = 0$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.

$d$ nằm trong $(P)$
B.

$d$ song song với $(P)$
C.

$d$ vuông góc với $(P)$
D.

$d$ tạo với $(P)$ một góc nhỏ hơn ${45^0}$

Câu 3 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 4{\rm{z}} - 16 = 0$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{z}{2}$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.

A.

$\left( P \right):2x - 2y + z - 8 = 0$
B.

$\left( P \right): - 2x + 11y - 10{\rm{z}} - 105 = 0$
C.

$\left( P \right):2x - 11y + 10z - 35 = 0$
D.

$\left( P \right) : - 2x + 2y - z + 11 = 0$

Câu 4 :

Hai véc tơ không cùng phương $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của $\left( P \right)$ nếu giá của chúng:

A.

nằm trong $\left( P \right)$
B.

song song $\left( P \right)$
C.

nằm trong $\left( P \right)$ hoặc song song với $\left( P \right)$.
D.

vuông góc $\left( P \right)$

Câu 5 :

Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ với $A\left( {0,1,1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 2,3,1} \right)$ và $C\left( {4, - 3,1} \right)$. Phương trình nào không phải là phương trình tham số của đường chéo $BD$.

A.

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 3 - t\\z = 1\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} \right.$
C.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 + 2t\\z = 1\end{array} \right.$
D.

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 3 + t\\z = 1\end{array} \right.$

Câu 6 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {0;0;2} \right)$, $B\left( {1;0;0} \right)$, $C\left( {2;2;0} \right)$ và $D\left( {0;m;0} \right)$. Điều kiện cần và đủ của $m$ để khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $2$ là:

A.

$\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = - 2\end{array} \right.$.
B.

$\left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = 2\end{array} \right.$.
C.

$\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.$.
D.

$\left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = - 2\end{array} \right.$.

Câu 7 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?

A.

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 8 = 0.$
B.

${(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9.$
C.

$2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0$
D.

$3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 12y - 24z + 16 = 0$

Câu 8 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right.$

A.

$\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{1}$
B.

$\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 2}}$
C.

$\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 2}}$
D.

$\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{1}$

Câu 9 :

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + 3 = 0$. Vec-tơ nào sau đây không là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ .

A.

$\vec a = (3, - 3,0)$
B.

$\vec a = (1, - 2,3)$
C.

$\vec a = ( - 1,1,0)$
D.

$\vec a = (1, - 1,0)$

Câu 10 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):4x + y - 2 = 0$ . Đường thẳng nào trong các đường thẳng sau vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

A.

$d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{2}$
B.

$d:\dfrac{{x - 3}}{4} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{2}$
C.

$d:\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1}$
D.

$(d):\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.$

Câu 11 :

Cho $\overrightarrow a = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)$ là cặp VTCP của mặt phẳng $\left( P \right)$. Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

A.

$\left( {1;2;0} \right)$
B.

$\left( {2;11; - 7} \right)$
C.

$\left( {4; - 22; - 14} \right)$
D.

$\left( {2;2; - 4} \right)$

Câu 12 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}$ và điểm $A\left( {5,4, - 2} \right)$. Phương trình mặt cầu đi qua điểm $A$ và có tâm là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $(Oxy)$ là

A.

$(S):{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 65.$
B.

$(S):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 9.$
C.

$(S):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 64.$
D.

$(S):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 65.$

Câu 13 :

Điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k $ có tọa độ:

A.

$M\left( {1;1; - 3} \right)$
B.

$M\left( {1; - 1; - 3} \right)$
C.

$M\left( {1; - 3;1} \right)$
D.

$M\left( { - 1; - 3;1} \right)$

Câu 14 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình ${(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu $(S)$ qua trục $Oz$.

A.

${(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$
B.

${(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$
C.

${(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$
D.

${(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4$

Câu 15 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z + 5 = 0$. Tiếp diện của $(S)$ tại điểm $M(-1;2;0)$ có phương trình là:

A.

$2x+y=0$
B.

$x = 0$
C.

$y = 0$
D.

$z = 0$

Câu 16 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2; - 1;3} \right),C\left( { - 3;5;1} \right)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

A.

$D\left( { - 2;8; - 3} \right)$
B.

$D\left( { - 4;8; - 5} \right)$
C.

$D\left( { - 2;2;5} \right)$
D.

$D\left( { - 4;8; - 3} \right)$.

Câu 17 :

Trong không gian Oxyz, cho $M\left( -1;3;4 \right)$, mặt phẳng (P) đi qua M cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho M là trực tâm $\Delta ABC$. Thể tích khối tứ diện OABC bằng

A.

$\frac{8788}{3}$.
B.

$\frac{4394}{3}$.
C.

$\frac{2197}{9}$.
D.

$\frac{4394}{9}$.

Câu 18 :

Cho hai điểm $A\left( {1; - 2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right)$, độ dài đường cao $OH$ của tam giác $OAB$ là:

A.

$3\sqrt {19} $
B.

$\dfrac{{3\sqrt {19} }}{{13}}$
C.

$\sqrt 6 $
D.

$\dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}$

Câu 19 :

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho $d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 2}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 3y + z - 4 = 0$. Phương trình hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right)$ là:

A.

$\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{1}$
B.

$\dfrac{{x - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}$
C.

$\dfrac{{x + 5}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}$
D.

$\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}$

Câu 20 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1,2, - 4} \right);{\rm{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\rm{ }} và {\rm{ }}C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S) $ đi qua $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy) $ có bán kính là :

A.

$\sqrt {34} $
B.

$\sqrt {26} $
C.

$34$
D.

$26$

Câu 21 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0$ và mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0$. Giả sử $M \in \left( P \right)$ và $N \in \left( S \right)$ sao cho $\overrightarrow {MN} $ cùng phương với vectơ $\overrightarrow u = \left( {1;0;1} \right)$ và khoảng cách $MN$ lớn nhất. Tính $MN$

A.

$MN = 3$
B.

$MN = 1 + 2\sqrt 2 $
C.

$MN = 3\sqrt 2 $
D.

$MN = 14$

Câu 22 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = 4\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 3 - t'\\z = 0\end{array} \right.$ . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:

A.

${(x - 2)^2} + {y^2} + {z^2} = 4$
B.

${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 2$
C.

${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$
D.

${(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 4$

Câu 23 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phươn trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho $T = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

$\left( P \right):\,\,6x - 3y + 2z - 6 = 0$
B.

$\left( P \right):\,\,6x + 3y + 2z - 18 = 0$
C.

$\left( P \right):\,\,x + 2y + 3z - 14 = 0$
D.

$\left( P \right):\,\,3x + 2y + z - 10 = 0$

Câu 24 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y = 0$. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng qua $A\left( { - 1;3; - 4} \right)$ cắt trục $Ox$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$:

A.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 6t\\y = - 3t\\z = 4t\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 3 + t\\z - 4 - t\end{array} \right.$
C.

$\dfrac{{x + 1}}{6} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z + 4}}{4}$
D.

$\dfrac{{x + 1}}{6} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z + 4}}{4}$

Câu 25 :

Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72$ và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử $\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)$ là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:

A.

$mn = \dfrac{{276}}{{49}}$
B.

$mn = - \dfrac{{276}}{{49}}$
C.

$mn = 4$
D.

$mn = - 4$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j$. Tọa độ của điểm $M$ là

A.

$M\left( {0;2;1} \right)$
B.

$M\left( {1;2;0} \right)$
C.

$M\left( {2;0;1} \right)$
D.

$M\left( {2;1;0} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa điểm $M\left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j \Rightarrow \overrightarrow {OM} = 2.\vec i + 1.\vec j + 0.\overrightarrow k \Leftrightarrow M\left( {2;1;0} \right)$

Câu 2 :

A.

$d$ nằm trong $(P)$
B.

$d$ song song với $(P)$
C.

$d$ vuông góc với $(P)$
D.

$d$ tạo với $(P)$ một góc nhỏ hơn ${45^0}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm số giao điểm của $(d)$ và $(P)$

Lời giải chi tiết :

Giả sử $M$ là giao điểm của $(d)$ và $(P)$.

Lấy $M \in (d) \Rightarrow M\left( {2t;1 - t;3 + t} \right)$

Vì $M \in (P) \Rightarrow 2t + 1 - t + 3 + t - 10 = 0 \Leftrightarrow 2t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 3$

Suy ra ta có $M\left( {6; - 2;6} \right)$, suy ra $d$ cắt $(P)$ tại $1$ điểm duy nhất. Do đó, loại đáp án A và B.

Mặt khác giả sử $d \bot (P) \Rightarrow \dfrac{2}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{1}$(vô lý). Do đó loại C

Câu 3 :

A.

$\left( P \right):2x - 2y + z - 8 = 0$
B.

$\left( P \right): - 2x + 11y - 10{\rm{z}} - 105 = 0$
C.

$\left( P \right):2x - 11y + 10z - 35 = 0$
D.

$\left( P \right) : - 2x + 2y - z + 11 = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Mặt cầu: ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2} \Rightarrow I(a;b;c);bkR$

Lời giải chi tiết :

Ta xét mặt cầu $(S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 2)^2} = 25$

$\Rightarrow I(1;2; - 2);R = 5$

Điểm $A(1;-3;0)$ thuộc $d$ nên $A \in (P)$ và $d(I;(P)) = 5$ nên thử các đáp án ta thấy C đúng.

Câu 4 :

Hai véc tơ không cùng phương $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của $\left( P \right)$ nếu giá của chúng:

A.

nằm trong $\left( P \right)$
B.

song song $\left( P \right)$
C.

nằm trong $\left( P \right)$ hoặc song song với $\left( P \right)$.
D.

vuông góc $\left( P \right)$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Hai véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)$ được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của $\left( P \right)$ nếu giá của chúng nằm trong $\left( P \right)$ hoặc song song với $\left( P \right)$.

Câu 5 :

A.

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 3 - t\\z = 1\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} \right.$
C.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 + 2t\\z = 1\end{array} \right.$
D.

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 3 + t\\z = 1\end{array} \right.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $BD$ đi qua trung điểm $I$ của $AC$.

- Tìm tọa độ trung điểm $I$ của $AC$.

- Viết phương trình đường thẳng $BI$ cũng chính là phương trình đường thẳng $BD$ cần tìm.

Lời giải chi tiết :

Gọi $I$ là tâm của hình bình hành $ABCD$. Suy ra $I$ là trung điểm của $AC$. Ta có $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Phương trình $BI$ cũng chính là phương trình đường chéo $BD$.

+ Phương trình $BI$ nhận $\overrightarrow {BI} = (4, - 4,0)$ là vectơ chỉ phương

+ qua điểm $B\left( { - 2,3,1} \right)$ và cũng qua điểm $I\left( {2, - 1,1} \right)$.

Vì phương trình tham số ở câu D có vecto chỉ phương là $(1,1,0)$, đây không là vecto chỉ phương của $BI$.

Câu 6 :

A.

$\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = - 2\end{array} \right.$.
B.

$\left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = 2\end{array} \right.$.
C.

$\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.$.
D.

$\left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = - 2\end{array} \right.$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Khoảng cách $AB$ và $CD$ được tính theo công thức $d\left( {AB,CD} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; - 2} \right)$, $\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;m - 2;0} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( {2;2; - 2} \right)$.

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {2m - 4;4;m - 2} \right)$.

Do đó $d\left[ {AB,CD} \right] = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2\left( {2m - 4} \right) + 8 - 2\left( {m - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m - 4} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }} = 2$

$ \Leftrightarrow \left| {2m + 4} \right| = 2\sqrt {5{m^2} - 20m + 36} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.$.

Câu 7 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?

A.

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 8 = 0.$
B.

${(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9.$
C.

$2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0$
D.

$3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 12y - 24z + 16 = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Điều kiện cần và đủ để ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu là ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$

Lời giải chi tiết :

Phương trình đáp án B có dạng ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ với $a = - 1,b = 2,c = 1$ và $R = 3$ là phương trình mặt cầu.

Phương trình đáp án A có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ với $a = - 1,b = - 1,c = - 1,d = - 8$ có $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {11} $ là một phương trình mặt cầu.

Xét phương án C có

$2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0$.

Phương trình có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ với $a = 1,b = - \dfrac{1}{2},c = - \dfrac{1}{2},d = 8$ có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - 8 < 0.$

Không phải là phương trình mặt cầu.

Câu 8 :

A.

$\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{1}$
B.

$\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 2}}$
C.

$\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 2}}$
D.

$\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{1}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tìm điểm đi qua và VTCP của đường thẳng.

- Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {1;0; - 2} \right)\\\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{1}$

Câu 9 :

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + 3 = 0$. Vec-tơ nào sau đây không là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ .

A.

$\vec a = (3, - 3,0)$
B.

$\vec a = (1, - 2,3)$
C.

$\vec a = ( - 1,1,0)$
D.

$\vec a = (1, - 1,0)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0$ nhận vectơ $\vec n = (a,b,c)$ là một vectơ pháp tuyến thì $\left( P \right)$ cũng nhận vectơ $k.\vec n$ làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết :

Nhận thấy $(P):x - y + 3 = 0$ nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)$ làm véc tơ pháp tuyến nên các véc tơ $\overrightarrow a = \left( {3; - 3;0} \right),\overrightarrow a = \left( { - 1;1;0} \right)$ cũng là các véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Câu 10 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):4x + y - 2 = 0$ . Đường thẳng nào trong các đường thẳng sau vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

A.

$d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{2}$
B.

$d:\dfrac{{x - 3}}{4} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{2}$
C.

$d:\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1}$
D.

$(d):\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$(P)$ vuông góc với $d$, suy ra $\overrightarrow {{n_P}} $ cùng phương $\overrightarrow {{u_d}} $.

Lời giải chi tiết :

$\left( P \right)$ vuông góc với $d \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} //\overrightarrow {{u_d}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} = k.\overrightarrow {{u_d}} $.

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4;1;0} \right)$ và trong các đáp án chỉ có đáp án D thỏa mãn $\overrightarrow {{n_P}} $ cùng phương $\overrightarrow {{u_d}} $.

Câu 11 :

A.

$\left( {1;2;0} \right)$
B.

$\left( {2;11; - 7} \right)$
C.

$\left( {4; - 22; - 14} \right)$
D.

$\left( {2;2; - 4} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ là cặp VTCP của $\left( P \right)$ thì $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]$ là một VTPT của $\left( P \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow a = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)$

$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}&\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {4;22; - 14} \right)$

Do đó $\overrightarrow n = \left( {4;22; - 14} \right)$ là một VTPT của $\left( P \right)$ nên $\dfrac{1}{2}\overrightarrow n = \left( {2;11; - 7} \right)$ cũng là một VTPT của $\left( P \right)$.

Câu 12 :

A.

$(S):{(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 65.$
B.

$(S):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 9.$
C.

$(S):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 64.$
D.

$(S):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 65.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm tâm mặt cầu: Tọa độ giao điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng và mặt cầu.

- Tính bán kính mặt cầu, từ đó suy ra phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết :

Giả sử $M$ là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Viết phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng tham số $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}&{}\\{y = 1 + 2t}&{}\\{z = - 1 - t}&{}\end{array}} \right.$

Ta có $M$ thuộc $d$ nên $M\left( {t,2t + 1, - t - 1} \right)$ .

Vì M thuộc $\left( {Oxy} \right):z = 0$ nên có $ - t - 1 = 0$ hay $t = - 1$, suy ra $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$.

Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$, bán kính $MA = \sqrt {{{(5 + 1)}^2} + {{(4 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}} = \sqrt {65} $

Câu 13 :

Điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k $ có tọa độ:

A.

$M\left( {1;1; - 3} \right)$
B.

$M\left( {1; - 1; - 3} \right)$
C.

$M\left( {1; - 3;1} \right)$
D.

$M\left( { - 1; - 3;1} \right)$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

$\overrightarrow {OM} = \overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow M\left( {1; - 3;1} \right)$.

Câu 14 :

A.

${(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$
B.

${(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$
C.

${(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$
D.

${(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Gọi $(S’)$ là mặt cầu đối xứng với mặt cầu $(S)$ qua trục $Oz$.

Tìm $J$ là điểm đối xứng của tâm mặt cầu $(S)$ qua $Oz$.

(Điểm $M(x;y;z)$ lấy đối xứng qua trục $Oz$ ta được $M'(-x;-y;z)$).

Mặt cầu $(S’)$ có tâm $J$ và bán kính $R$.

Lời giải chi tiết :

$(S)$ có tâm $I( - 1;1;2)$ và $R = 2$

Lấy đối xứng điểm $I$ qua trục $Oz$ ta được $J(1; - 1;2)$.

$(S’)$ có tâm $J$ và bán kính $R$ có phương trình là: ${(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$

Câu 15 :

A.

$2x+y=0$
B.

$x = 0$
C.

$y = 0$
D.

$z = 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$

+ Phương trình tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $M \in \left( S \right)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {IM} $ làm véctơ pháp tuyến

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2; - 3} \right)$ và bán kính $R = 3$

Ta có : $M( - 1;2;0) \in \left( S \right)$

Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $M$.

Khi đó $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {IM} \left( {0;0;3} \right)$ làm véctơ pháp tuyến

Vậy $\left( \alpha \right):0(x + 1) + 0(y - 2) + 3(z - 0) = 0 \Leftrightarrow z = 0$

Câu 16 :

A.

$D\left( { - 2;8; - 3} \right)$
B.

$D\left( { - 4;8; - 5} \right)$
C.

$D\left( { - 2;2;5} \right)$
D.

$D\left( { - 4;8; - 3} \right)$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức tính tọa độ véc tơ $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$

- Sử dụng điều kiện để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $

Lời giải chi tiết :

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1; - 1 - 2;3 + 1} \right) = \left( {1; - 3;4} \right)$ và $\overrightarrow {DC} = ( - 3 - {x_D};5 - {y_D};1 - {z_D})$.

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - {x_D} = 1\\5 - {y_D} = - 3\\1 - {z_D} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 4\\{y_D} = 8\\{z_D} = - 3\end{array} \right.$

Câu 17 :

A.

$\frac{8788}{3}$.
B.

$\frac{4394}{3}$.
C.

$\frac{2197}{9}$.
D.

$\frac{4394}{9}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Chứng minh : $OM\bot \left( ABC \right)$

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$, là mặt phẳng đi qua M và nhận $\overrightarrow{OM}$ là 1 VTPT.

- Tìm tọa độ giao điểm của (ABC) và các trục tọa độ, từ đó tính thể tích khối tứ diện OABC.

Lời giải chi tiết :

+) Ta có:

$AM\bot CB$ (vì M là trực tâm tam giác ABC)

$OA\bot CB$ (vì $OA\bot OB,\,\,OA\bot OC\Rightarrow OA\bot \left( OBC \right)\Leftrightarrow OA\bot BC$)

$\Rightarrow BC\bot \left( OMA \right)\Rightarrow BC\bot OM$

Tương tự, chứng minh được $AC\bot OM\Rightarrow OM\bot \left( ABC \right)$

+) Viết phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$:

$M\left( -1;3;4 \right),\,\,\overrightarrow{OM}\left( -1;3;4 \right)$

Phương trình mặt phẳng (ABC): $-1\left( x+1 \right)+3\left( y-3 \right)+4\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow -x+3y+4z-26=0$

+) Tìm tọa độ các điểm A, B, C:

Cho $y=z=0\Rightarrow x=26\Rightarrow A\left( 26;0;0 \right)$

Cho $x=z=0\Rightarrow y=\frac{26}{3}\Rightarrow B\left( 0;\frac{26}{3};0 \right)$

Cho $x=y=0\Rightarrow z=\frac{13}{2}\Rightarrow C\left( 0;0;\frac{13}{2} \right)$

Thể tích khối tứ diện OABC : $V=\frac{1}{6}.26.\frac{26}{3}.\frac{13}{2}=\frac{2197}{9}$.

Câu 18 :

Cho hai điểm $A\left( {1; - 2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right)$, độ dài đường cao $OH$ của tam giác $OAB$ là:

A.

$3\sqrt {19} $
B.

$\dfrac{{3\sqrt {19} }}{{13}}$
C.

$\sqrt 6 $
D.

$\dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tìm véc tơ chỉ phương $\overrightarrow u $ của đường thẳng $AB$.

- Đường cao $OH$ chính là khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $AB$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;1} \right)$

$ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 1;1} \right)$

Do đó $OH = d\left( {O,AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}$

Câu 19 :

A.

$\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{1}$
B.

$\dfrac{{x - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}$
C.

$\dfrac{{x + 5}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}$
D.

$\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$.

- Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {1;3;1} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 3;2; - 2} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]$

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;1} \right)$ và $\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 3;2; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {4; - 1; - 7} \right)$

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( {1;3;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {4; - 1; - 7} \right)$ làm VTPT nên $\left( Q \right):4\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 3} \right) - 7\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y - 7z + 6 = 0$

Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của $\left( P \right),\left( Q \right)$.

Dễ thấy điểm $\left( {0; - 1;1} \right)$ thuộc cả hai mặt phẳng và $\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;1;1} \right)$

Do đó $d'$ đi qua $A\left( {0; - 1;1} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {2;1;1} \right)$.

Câu 20 :

A.

$\sqrt {34} $
B.

$\sqrt {26} $
C.

$34$
D.

$26$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Gọi tọa độ tâm $I$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng.

- Mặt cầu tâm $I$ đi qua $3$ điểm nếu $IA = IB = IC$, từ đó tìm $I$ và suy ra phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết :

Tâm $I$ thuộc mặt phẳng $\left( {xOy} \right):z = 0$ nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I\left( {x,y,0} \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ qua $A,B,C$ nên ta có $IA = IB = IC = R$

Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(4)^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(3)^2}\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1\\ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 = - 4x + 4 - 4y + 4 + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10y = - 10\\2x + 10y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = - 2\end{array} \right.$.

Vậy $I\left( { - 2,1,0} \right)$.

Có $IA = \sqrt {26} = R$

Câu 21 :

A.

$MN = 3$
B.

$MN = 1 + 2\sqrt 2 $
C.

$MN = 3\sqrt 2 $
D.

$MN = 14$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giá trị lớn nhất của $MN$ chính là độ dài của vectơ lớn nhất trong các vectơ $\overrightarrow v $ mà phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow v $ biến mặt cầu $(S)$ thành mặt cầu $(S’)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$.

Lời giải chi tiết :

$(S)$ có tâm $I(–1;2;1)$ và $R = 1$.

Gọi $\overrightarrow v \left( {t;0;t} \right)$là vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow u \left( {1;0;1} \right)$ sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến $(S)$ thành $(S’)$ tiếp xúc với $(P)$

Phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow v \left( {t;0;t} \right)$ biến $I$ thành $I’ (–1 + t; 2; 1 + t)$

Suy ra $(S’)$ có tâm $I’$ và bán kính $R’ = R = 1$.

$(S’)$ tiếp xúc $(P)$ $ ⇔ d(I; (P)) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 1 + t - 2.2 + 2\left( {1 + t} \right) - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {3t - 6} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 1\end{array} \right.$

Với $t = 3 \Rightarrow \overrightarrow v \left( {3;0;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = 3\sqrt 2 $

Với $t = 1 ⇒ \overrightarrow v \left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 2 $

Vậy giá trị lớn nhất của $MN $ là $3\sqrt 2 $

Câu 22 :

A.

${(x - 2)^2} + {y^2} + {z^2} = 4$
B.

${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 2$
C.

${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$
D.

${(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 4$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tìm ${\rm{A}} \in {\rm{d}}$ và $B \in d'$ sao cho $AB$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $d $ và $ d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right.$

- Lập phương trình mặt cầu đường kính $AB$.

Lời giải chi tiết :

Lấy ${\rm{A}} \in {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{A}}\left( {2a;a;4} \right)$ và $B \in d' \Rightarrow B\left( {b;3 - b;0} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a;3 - a - b; - 4} \right)$

$AB$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $d$ và $d’$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {b - 2a} \right) + 1.\left( {3 - a - b} \right) + 0.\left( { - 4} \right) = 0\\1.\left( {b - 2a} \right) - 1.\left( {3 - a - b} \right) + 0.\left( { - 4} \right) = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a + b + 3 = 0\\ - a + 2b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$

Suy ra ${\rm{A}}\left( {2;1;4} \right)$, $B\left( {2;1;0} \right)$ và $\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 4} \right)$

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng $d$ và $d'$

Có tâm $I$ là trung điểm của $AB$ và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2}$.

Ta có $I\left( {2;1;2} \right)$ và $R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$

Vậy ta có ${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4$

Câu 23 :

A.

$\left( P \right):\,\,6x - 3y + 2z - 6 = 0$
B.

$\left( P \right):\,\,6x + 3y + 2z - 18 = 0$
C.

$\left( P \right):\,\,x + 2y + 3z - 14 = 0$
D.

$\left( P \right):\,\,3x + 2y + z - 10 = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) ở dạng đoạn chắn.

+) Sử dụng BĐT Bunhiacopxki.

+) Tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra.

Lời giải chi tiết :

Gọi $A\left( {a;0;0} \right);\,\,B\left( {0;b;0} \right);\,\,C\left( {0;0;c} \right)$, khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

$M\left( {1;2;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

$\begin{array}{l}1 = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}} \right)^2} \le \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{14}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \ge \frac{1}{{14}} \Rightarrow {T_{\min }} = \frac{1}{{14}}\end{array}$

Dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} = \frac{1}{{2b}} = \frac{1}{{3c}}\\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{a}{2}\\c = \frac{a}{3}\\\frac{1}{a} + \frac{4}{a} + \frac{9}{a} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 7\\c = \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{{3z}}{{14}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0$

Câu 24 :

A.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 6t\\y = - 3t\\z = 4t\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 3 + t\\z - 4 - t\end{array} \right.$
C.

$\dfrac{{x + 1}}{6} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z + 4}}{4}$
D.

$\dfrac{{x + 1}}{6} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z + 4}}{4}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Gọi tọa độ giao điểm $B$ của $d$ với $Ox$.

- $d//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = 0$

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2;0} \right)$.

Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm. Ta có $d \cap Ox = B\left( {b;0;0} \right)$.

Suy ra $d$ có VTCP $\overrightarrow {AB} = \left( {b + 1; - 3;4} \right)$.

Do $d\parallel \left( P \right)$ nên $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_P}} \Rightarrow \left( {b + 1} \right).1 + \left( { - 3} \right).2 + 4.0 = 0 \Leftrightarrow b = 5 \Rightarrow B\left( {5;0;0} \right).$

Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm $A,{\rm{ }}B$ nên có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 6t\\y = - 3t\\z = 4t\end{array} \right.$.

Câu 25 :

A.

$mn = \dfrac{{276}}{{49}}$
B.

$mn = - \dfrac{{276}}{{49}}$
C.

$mn = 4$
D.

$mn = - 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ biết VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)$ và đi qua $A$.

- $\left( P \right)$ tiếp xúc $\left( S \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)$.

- Tìm GTLN của biểu thức $d\left( {B,\left( P \right)} \right)$ và suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

$(S)$ có tâm $I(5;-3;7)$ và bán kính $R= 6\sqrt 2 $

Theo đề bài ta có phương trình $(P)$ có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S) $ nên ${\rm{d}}(I,(P)) = \dfrac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 $

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \\ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)\\\Delta ' = 3025{(n + 1)^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0\end{array}$

Phương trình (*) luôn có nghiệm

$\begin{array}{l}{\rm{d}}(B,(P)) = \dfrac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ = > d(B,(P))\max = AB \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}\end{array}$

Mặt khác $\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} $

$\dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}$=$\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}$

$\begin{array}{l}72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n= \dfrac{{276}}{{49}}$

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục

Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 chương 7: Phương pháp tọa độ trong không gian - Đề số 1

Bài giải mới nhất

Báo lỗi góp ý