Đề thi toán 11, đề kiểm tra toán 11 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 6: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Đề số 1

Đề bài

Xem đáp án

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Khẳng định nào sau đây đúng về phép quay :

A.

Phép biến hình biến điểm $O$ thành điểm $O$ và điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M'$ sao cho $\left( {OM;OM'} \right) = \varphi $ được gọi là phép quay tâm $O$ với góc quay $\varphi $.
B.

Nếu ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}:\,\,\,M\,\, \mapsto \,\,M'\,\,\left( {M \ne O} \right)$ thì $OM' \bot OM$
C.

Phép quay không phải là phép dời hình.
D.

Nếu ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}:\,\,\,M\,\, \mapsto \,\,M'\,\,\left( {M \ne O} \right)$ thì $OM' > OM$

Câu 2 :

Cho điểm $N\left( { - 2;3} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng

A.

Điểm $M\left( {2; - 3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Oy$.
B.

Điểm $M\left( { - 2; - 3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
C.

Điểm $M\left( {2;3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
D.

Điểm $M\left( { - 2;3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Oy$.

Câu 3 :

Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?

A.

Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số $k = 1$
B.

Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
C.

Phép vị tự tỉ số $k > 0$ là phép đồng dạng tỉ số $k$
D.

Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn góc

Câu 4 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $M\left( { - 2;4} \right)$. Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k = - 2$ biến điểm $M$ thành điểm nào trong các điểm sau?

A.

$\left( { - 3;4} \right)$
B.

$\left( { - 4; - 8} \right)$
C.

$\left( {4; - 8} \right)$
D.

$\left( {4;8} \right)$

Câu 5 :

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho điểm $I\left( {a;b} \right)$. Nếu phép đối xứng tâm $I$ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ thì ta có biểu thức

A.

$\left\{ \begin{array}{l}x' = a + x\\y' = b + y\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}x' = 2a - x\\y' = 2b - y\end{array} \right.$
C.

$\left\{ \begin{array}{l}x' = a - x\\y' = b - y\end{array} \right.$
D.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 2x' - a\\y = 2y' - b\end{array} \right.$

Câu 6 :

Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $d'$?

A.

Không có phép nào
B.

Có một phép duy nhất
C.

Chỉ có hai phép
D.

Có vô số phép

Câu 7 :

Điền cụm từ thích hợp vào chỗ chấm: “Phép đồng nhất là phép biến hình biến điểm $M$ thành …”.

A.

điểm $M'$ sao cho $MM' = 1$
B.

điểm $M'$ sao cho $MM' = 2$
C.

điểm $M'$ sao cho $MM' < 1$
D.

chính nó

Câu 8 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho parabol $\left( P \right):y=4{x^2} - 7x + 3$. Phép đối xứng trục $Oy$ biến $\left( P \right)$ thành $\left( {P'} \right)$ có phương trình

A.

$y = 4{x^2} + 7x - 3$
B.

$y = 4{x^2} + 7x + 3$
C.

$y = - 4{x^2} + 7x - 3$
D.

$y = - 4{x^2} - 7x + 3$

Câu 9 :

Phép đồng nhất biến hình $H$ thành hình $H'$ thì:

A.

$H' \equiv H$
B.

$H' \ne H$
C.

$H' > H'$
D.

$H' < H$

Câu 10 :

Khẳng định nào sau đây sai ?

A.

Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó
B.

Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
C.

Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó
D.

Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.

Câu 11 :

Cho đường thẳng $d$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành chính nó?

A.

Không có phép nào
B.

Có một phép duy nhất
C.

Chỉ có hai phép
D.

Có vô số phép

Câu 12 :

Cho hai điểm $M\left( { - 1;4} \right),M'\left( { - 4;5} \right)$. Phép vị tự tỉ số $k = 2$ biến $M$ thành $M'$ có tâm là điểm nào sau đây?

A.

$I\left( {1;3} \right)$
B.

$I\left( { - 2;3} \right)$
C.

$I\left( {2;3} \right)$
D.

$I\left( {2; - 3} \right)$

Câu 13 :

Cho hình vuông tâm $O$. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm $O$, góc quay $\alpha \,\,\left( {0 < \alpha \le 360^0} \right)$ biến hình vuông đã cho thành chính nó.

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Câu 14 :

Gọi $m$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép quay tâm $I$ góc quay $\alpha $ (biết rằng $I$ không nằm trên $d$), đường thẳng $d$ song song với $m$ khi:

A.

$\varphi = \dfrac{\pi }{3}$
B.

$\varphi = - \pi $
C.

$\varphi = \dfrac{\pi }{6}$
D.

$\varphi = \dfrac{{2\pi }}{3}$

Câu 15 :

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16$. Giả sử qua phép đối xứng tâm $I$ điểm $A\left( {1;3} \right)$ biến thành điểm $B\left( {a;b} \right)$. Tìm phương trình của đường tròn $\left( {C'} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép đối xứng tâm $I$.

A.

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 1$
B.

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 4$
C.

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 9$
D.

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 16$

Câu 16 :

Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến một đường thẳng $a$ cho trước thành chính nó?

A.

$0.$
B.

$1.$
C.

$2.$
D.

Vô số.

Câu 17 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho hai parabol: $\left( P \right):y = {x^2}$ và $\left( Q \right):y = {x^2} + 2x + 2$. Để chứng minh có một phép tịnh tiến $T$ biến $\left( Q \right)$ thành $\left( P \right)$ , một học sinh lập luận qua ba bước như sau:

- Bước 1: Gọi vectơ tịnh tiến là $\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)$, áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:

$\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - a\\y = y' - b\end{array} \right.$

- Bước 2: Thế vào phương trình của $\left( Q \right)$ ta được:

$y' - b = {\left( {x' - a} \right)^2} + 2\left( {x' - a} \right) + 2 \Leftrightarrow y' = x{'^2} + 2\left( {1 - a} \right)x' + {a^2} - 2a + b + 2$

Suy ra ảnh của $\left( Q \right)$ qua phép tịnh tiến $T$ là parabol $\left( R \right):y = {x^2} + 2\left( {1 - a} \right)x + {a^2} - 2a + b + 2$

- Bước 3: Buộc $\left( R \right)$ trùng với $\left( P \right)$ ta được hệ: $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 - a} \right) = 0\\{a^2} - 2a + b + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right.$

Vậy có duy nhất một phép tịnh tiến biến $\left( Q \right)$ thành $\left( P \right)$ , đó là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u = \left( {1; - 1} \right)$

Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào?

A.

Lập luận hoàn toàn đúng
B.

Sai từ bước 1
C.

Sai từ bước 2
D.

Sai từ bước 3

Câu 18 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y = {x^2} - 2x$ và điểm $I\left( { - 3;1} \right)$. Phép đối xứng tâm ${D_I}$ biến parabol $\left( P \right)$ thành parabol $\left( {P'} \right)$ có phương trình là

A.

$y = - {x^2} - 14x - 46$
B.

$y = - {x^2} + 14x - 5$
C.

$y = - {x^2} - 7x + 12$
D.

$y = - {x^2} + 6x + 3$

Câu 19 :

Cho lục giác đều $ABCDEF$, tâm $O$, các đỉnh được đặt theo thứ tự đó và cùng chiều kim đồng hồ. Thực hiện lần lượt phép quay tâm $O$ góc quay ${60^0}$ và phép tịnh tiến theo vector $\overrightarrow {OC} $ thì ảnh của tam giác $ABO$ là:

A.

$\Delta BOC$
B.

$\Delta OCD$
C.

$\Delta OFE$
D.

$\Delta AOF$

Câu 20 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt có phương trình $x - 2y + 1 = 0$ và $x - 2y + 4 = 0$, điểm $I\left( {2;1} \right)$. Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng ${\Delta _1}$ thành ${\Delta _2}$ khi đó giá trị của $k$ là :

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Câu 21 :

Cho $\Delta ABC$ có đường cao $AH,H$ nằm giữa $BC.$ Biết $AH = 4,HB = 2,HC = 8.$ Phép đồng dạng $F$ biến $\Delta HBA$ thành $\Delta HAC$. $F$ được hình thành bởi hai phép biến hình nào?

A.

Phép đối xứng tâm $H$ và phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k = \dfrac{1}{2}$.
B.

Phép tịnh tiến theo $\overrightarrow {BA} $ và phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k = 2$.
C.

Phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k = 2$ và phép quay tâm $H$ góc quay là góc $\left( {HB,HA} \right)$.
D.

Phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k = 2$ và phép đối xứng trục

Câu 22 :

Ảnh của điểm $M\left( {2; - 3} \right)$ qua phép quay tâm $I\left( { - 1;2} \right)$ góc quay $120^\circ $ là

A.

$M'\left( {\dfrac{{ - 5\sqrt 3 + 5}}{2};\dfrac{{3\sqrt 3 + 9}}{2}} \right)$.
B.

$M'\left( {\dfrac{{5\sqrt 3 - 5}}{2};\dfrac{{3\sqrt 3 + 9}}{2}} \right)$.
C.

$M'\left( {\dfrac{{ - 5\sqrt 3 + 1}}{2};\dfrac{{ - 3\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)$.
D.

$M'\left( {\dfrac{{ - 5\sqrt 3 + 1}}{2};\dfrac{{3\sqrt 3 + 9}}{2}} \right)$.

Câu 23 :

Trong mặt phẳng $Oxy$, tìm phương trình đường tròn $\left( {C'} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$: ${x^2} + {y^2} = 1$ qua phép đối xứng tâm $I\left( {1;\;0} \right)$.

A.

${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$.
B.

${\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 1$.
C.

${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1$.
D.

${x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1$.

Câu 24 :

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một điểm $A$ cố định. Một điểm $M$ thay đổi trên $\left( {O;R} \right)$, gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$ . Khi $M$ thay đổi trên $\left( {O;R} \right)$, tập hợp các điểm $N$ là:

A.

Đường tròn tâm $A$ bán kính $R$
B.

Đường tròn tâm $O$ bán kính $2R$
C.

Đường tròn tâm $I$ bán kính $\dfrac{R}{2}$ với $I$ là trung điểm của $AO$
D.

Đường tròn đường kính $AO$ .

Câu 25 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:$$3x - y + 2 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $d'$ là ảnh của $d$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $ - {90^{\rm{o}}}$.

A.

$d':x + 3y + 2 = 0$.
B.

$d':x + 3y - 2 = 0$.
C.

$d':3x - y - 6 = 0$.
D.

$d':x - 3y - 2 = 0$.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Khẳng định nào sau đây đúng về phép quay :

A.

Phép biến hình biến điểm $O$ thành điểm $O$ và điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M'$ sao cho $\left( {OM;OM'} \right) = \varphi $ được gọi là phép quay tâm $O$ với góc quay $\varphi $.
B.

Nếu ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}:\,\,\,M\,\, \mapsto \,\,M'\,\,\left( {M \ne O} \right)$ thì $OM' \bot OM$
C.

Phép quay không phải là phép dời hình.
D.

Nếu ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}:\,\,\,M\,\, \mapsto \,\,M'\,\,\left( {M \ne O} \right)$ thì $OM' > OM$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Suy luận từng đáp án, có thể sử dụng hình vẽ.

Lời giải chi tiết :

A sai vì thiếu điều kiện $OM = OM'$

C sai, phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên phép quay là 1 phép dời hình.

D hiển nhiên sai vì $OM = OM'$

Câu 2 :

Cho điểm $N\left( { - 2;3} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng

A.

Điểm $M\left( {2; - 3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Oy$.
B.

Điểm $M\left( { - 2; - 3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
C.

Điểm $M\left( {2;3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
D.

Điểm $M\left( { - 2;3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Oy$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Điểm $M'\left( {a; - b} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $M\left( {a;b} \right)$ qua phép đối xứng trục $Ox$ và $M''\left( { - a;b} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $M\left( {a;b} \right)$ qua phép đối xứng trục $Oy$.

Lời giải chi tiết :

Điểm $M\left( { - 2; - 3} \right)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Ox$.

Câu 3 :

Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?

A.

Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số $k = 1$
B.

Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
C.

Phép vị tự tỉ số $k > 0$ là phép đồng dạng tỉ số $k$
D.

Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn góc

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Vì phép quay là phép đồng dạng mà phép quay với góc quay $\alpha \ne k\pi \left( {k \in Z} \right)$ thì không biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Câu 4 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $M\left( { - 2;4} \right)$. Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k = - 2$ biến điểm $M$ thành điểm nào trong các điểm sau?

A.

$\left( { - 3;4} \right)$
B.

$\left( { - 4; - 8} \right)$
C.

$\left( {4; - 8} \right)$
D.

$\left( {4;8} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

${V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} $

Lời giải chi tiết :

Gọi điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ là ảnh của điểm $M$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k = - 2$.

${V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'} = - 2\overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \left( {x';y'} \right) = - 2\left( { - 2;4} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 4\\y' = - 8\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {4; - 8} \right)$

Câu 5 :

A.

$\left\{ \begin{array}{l}x' = a + x\\y' = b + y\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}x' = 2a - x\\y' = 2b - y\end{array} \right.$
C.

$\left\{ \begin{array}{l}x' = a - x\\y' = b - y\end{array} \right.$
D.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 2x' - a\\y = 2y' - b\end{array} \right.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

${D_I}\left( M \right) = M' \Rightarrow I$ là trung điểm của $MM'$

Lời giải chi tiết :

${D_I}\left( M \right) = M' \Rightarrow I$ là trung điểm của $MM' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + x' = 2a\\y + y' = 2b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 2a - x\\y' = 2b - y\end{array} \right.$

Câu 6 :

Cho hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $d'$?

A.

Không có phép nào
B.

Có một phép duy nhất
C.

Chỉ có hai phép
D.

Có vô số phép

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Do đó không xảy ra trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.

Câu 7 :

Điền cụm từ thích hợp vào chỗ chấm: “Phép đồng nhất là phép biến hình biến điểm $M$ thành …”.

A.

điểm $M'$ sao cho $MM' = 1$
B.

điểm $M'$ sao cho $MM' = 2$
C.

điểm $M'$ sao cho $MM' < 1$
D.

chính nó

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Với mỗi điểm $M$ xác định điểm $M' \equiv M$. Phép biến hình này là phép đồng nhất.

Câu 8 :

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho parabol $\left( P \right):y=4{x^2} - 7x + 3$. Phép đối xứng trục $Oy$ biến $\left( P \right)$ thành $\left( {P'} \right)$ có phương trình

A.

$y = 4{x^2} + 7x - 3$
B.

$y = 4{x^2} + 7x + 3$
C.

$y = - 4{x^2} + 7x - 3$
D.

$y = - 4{x^2} - 7x + 3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phép đối xứng trục $Oy$ có: $\left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right.$

Thay vào phương trình $\left( P \right)$ để tìm phương trình $\left( {P'} \right)$ .

Lời giải chi tiết :

Phép đối xứng trục $Oy$ có: $\left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right.$

Thay vào phương trình $\left( P \right)$ ta có: $y = 4{\left( { - x} \right)^2} - 7\left( { - x} \right) + 3 = 4{x^2} + 7x + 3$

Câu 9 :

Phép đồng nhất biến hình $H$ thành hình $H'$ thì:

A.

$H' \equiv H$
B.

$H' \ne H$
C.

$H' > H'$
D.

$H' < H$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Phép đồng nhất biến điểm $M$ thành chính nó nên nó biến mọi điểm nằm trên hình $H$ thành chính điểm đó.

Do đó $H \equiv H'$.

Câu 10 :

Khẳng định nào sau đây sai ?

A.

Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó
B.

Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó
C.

Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó
D.

Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Lời giải chi tiết :

Phép đối xứng trục không bảo toàn hướng của vector.

Câu 11 :

Cho đường thẳng $d$. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng $d$ thành chính nó?

A.

Không có phép nào
B.

Có một phép duy nhất
C.

Chỉ có hai phép
D.

Có vô số phép

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Lời giải chi tiết :

Mọi phép tịnh tiến theo véc tơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $d$ đều biến $d$ thành chính nó

Vậy có vô số phép tịnh tiến như trên.

Câu 12 :

Cho hai điểm $M\left( { - 1;4} \right),M'\left( { - 4;5} \right)$. Phép vị tự tỉ số $k = 2$ biến $M$ thành $M'$ có tâm là điểm nào sau đây?

A.

$I\left( {1;3} \right)$
B.

$I\left( { - 2;3} \right)$
C.

$I\left( {2;3} \right)$
D.

$I\left( {2; - 3} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k = 2$ biến điểm $M$ thành điểm $M' \Rightarrow \overrightarrow {IM'} = 2\overrightarrow {IM} $

Lời giải chi tiết :

Gọi tâm vị tự là điểm $I\left( {x;y} \right)$ ta có: ${V_{\left( {I;2} \right)}}\left( M \right) = M' \Rightarrow \overrightarrow {IM'} = 2\overrightarrow {IM} $

$ \Rightarrow \left( { - 4 - x;5 - y} \right) = 2\left( { - 1 - x;4 - y} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = - 2 - 2x\\5 - y = 8 - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;3} \right)$

Câu 13 :

Cho hình vuông tâm $O$. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm $O$, góc quay $\alpha \,\,\left( {0 < \alpha \le 360^0} \right)$ biến hình vuông đã cho thành chính nó.

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của hình vuông để xác định các góc quay thỏa mãn bài toán.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}
{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = D\\
{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = A\\
{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( C \right) = B\\
{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( D \right) = C\\
\Rightarrow {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( {ABCD} \right) = ABCD\\
{Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( A \right) = C\\
{Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( B \right) = D\\
{Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( C \right) = A\\
{Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( D \right) = B\\
\Rightarrow {Q_{\left( {O;{{180}^0}} \right)}}\left( {ABCD} \right) = ABCD\\
{Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\\
{Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( B \right) = C\\
{Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( C \right) = D\\
{Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( D \right) = A\\
\Rightarrow {Q_{\left( {O;{{270}^0}} \right)}}\left( {ABCD} \right) = ABCD\\
{Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( A \right) = A\\
{Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( B \right) = B\\
{Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( C \right) = C\\
{Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( D \right) = D\\
\Rightarrow {Q_{\left( {O;{{360}^0}} \right)}}\left( {ABCD} \right) = ABCD
\end{array}$

Vậy có 4 phép quay cần tìm.

Câu 14 :

Gọi $m$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép quay tâm $I$ góc quay $\alpha $ (biết rằng $I$ không nằm trên $d$), đường thẳng $d$ song song với $m$ khi:

A.

$\varphi = \dfrac{\pi }{3}$
B.

$\varphi = - \pi $
C.

$\varphi = \dfrac{\pi }{6}$
D.

$\varphi = \dfrac{{2\pi }}{3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nhận xét ảnh của $d$ qua phép quay tâm $I$ ứng với mỗi góc quay của từng đáp án rồi đối chiếu ảnh có được có phải là đường thẳng song song với $d$ hay không

Lời giải chi tiết :

Ta dễ thấy chỉ có phép quay tâm $I$ góc quay $\varphi = - \pi $ biến $d$ thành $m$ sao cho $d//m$ .

Câu 15 :

A.

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 1$
B.

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 4$
C.

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 9$
D.

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 16$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn khác cùng bán kính.

Lời giải chi tiết :

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm chính là điểm $A\left( {1;3} \right)$ và có bán kính $R = 4$

${D_I}\left( A \right) = B,{D_I}\left( C \right) = \left( {C'} \right) \Rightarrow B\left( {a;b} \right)$ là tâm của đường tròn $\left( {C'} \right)$ và đường tròn $\left( {C'} \right)$ có bán kính $R' = R = 4$. Vậy phương trình đường tròn $\left( {C'} \right)$ là: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 16$

Câu 16 :

Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến một đường thẳng $a$ cho trước thành chính nó?

A.

$0.$
B.

$1.$
C.

$2.$
D.

Vô số.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Từ tính chất của đường thẳng và định nghĩa tâm đối xứng suy ra tâm đối xứng của đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Tâm đối xứng của đường thẳng là điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng $a$.

Câu 17 :

- Bước 1: Gọi vectơ tịnh tiến là $\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)$, áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:

$\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - a\\y = y' - b\end{array} \right.$

- Bước 2: Thế vào phương trình của $\left( Q \right)$ ta được:

$y' - b = {\left( {x' - a} \right)^2} + 2\left( {x' - a} \right) + 2 \Leftrightarrow y' = x{'^2} + 2\left( {1 - a} \right)x' + {a^2} - 2a + b + 2$

Suy ra ảnh của $\left( Q \right)$ qua phép tịnh tiến $T$ là parabol $\left( R \right):y = {x^2} + 2\left( {1 - a} \right)x + {a^2} - 2a + b + 2$

Vậy có duy nhất một phép tịnh tiến biến $\left( Q \right)$ thành $\left( P \right)$ , đó là phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u = \left( {1; - 1} \right)$

Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào?

A.

Lập luận hoàn toàn đúng
B.

Sai từ bước 1
C.

Sai từ bước 2
D.

Sai từ bước 3

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - a\\y = y' - b\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Lập luận trên hoàn toàn đúng.

Câu 18 :

A.

$y = - {x^2} - 14x - 46$
B.

$y = - {x^2} + 14x - 5$
C.

$y = - {x^2} - 7x + 12$
D.

$y = - {x^2} + 6x + 3$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Lấy điểm $M\left( {x;y} \right) \in \left( P \right)$. Gọi ${D_I}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \Rightarrow I$ là trung điểm của $MM'$, do đó ta có : $\left\{ \begin{array}{l}x' = - 6 - x\\y' = 2 - y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 6 - x'\\y = 2 - y'\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 6 - x';2 - y'} \right) \in \left( P \right)$

Thay vào ta có :

$2 - y' = {\left( { - 6 - x'} \right)^2} - 2\left( { - 6 - x'} \right) \Leftrightarrow 2 - y' = x{'^2} + 12x' + 36 + 12 + 2x' \Leftrightarrow y' = - x{'^2} - 14x' - 46$

Do ${D_I}\left( P \right) = \left( {P'} \right) \Rightarrow M' \in \left( {P'} \right)$, do đó phương trình parabol $\left( {P'} \right)$ là: $y = - {x^2} - 14x - 46$

Câu 19 :

A.

$\Delta BOC$
B.

$\Delta OCD$
C.

$\Delta OFE$
D.

$\Delta AOF$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thực hiện lần lượt phép quay ${Q_{\left( {O;{{60}^0}} \right)}}$ và phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow {OC} }}$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O;{{60}^0}} \right)}}\left( A \right) = F\\{Q_{\left( {O;{{60}^0}} \right)}}\left( B \right) = A\\{Q_{\left( {O;{{60}^0}} \right)}}\left( O \right) = O\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O;{{60}^0}} \right)}}\left( {ABO} \right) = FAO\\\left\{ \begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {OC} }}\left( F \right) = O\\{T_{\overrightarrow {OC} }}\left( A \right) = B\\{T_{\overrightarrow {OC} }}\left( O \right) = C\end{array} \right. \Rightarrow {T_{\overrightarrow {OC} }}\left( {FAO} \right) = OBC\end{array}$

$\Rightarrow \Delta AOB\xrightarrow{{{Q}_{\left( O;{{60}^{0}} \right)}}}\Delta FAO\xrightarrow{{{T}_{\overrightarrow{OC}}}}\Delta OBC$

Câu 20 :

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Lấy điểm $A$ bất kì thuộc ${\Delta _1}$, tìm ảnh $A'$ của $A$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$.

Thay tọa độ điểm $A'$ vừa tìm được vào phương trình đường thẳng ${\Delta _2}$.

Lời giải chi tiết :

Lấy $A\left( { - 1;0} \right) \in {\Delta _1}$, gọi $A'\left( {x;y} \right)$ là ảnh của $A$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ ta có : $\overrightarrow {IA'} = k\overrightarrow {IA} $

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - 2;y - 1} \right) = k\left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 3k\\y - 1 = - k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3k + 2\\y = - k + 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3k + 2; - k + 1} \right)\\{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( {{\Delta _1}} \right) = {\Delta _2},\,\,{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( A \right) = A' \Rightarrow A' \in {\Delta _2}\end{array}$

Thay tọa độ điểm $A'$ vào phương trình đường thẳng ${\Delta _2}$ ta có:

$ - 3k + 2 - 2\left( { - k + 1} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow - k + 4 = 0 \Leftrightarrow k = 4$

Câu 21 :

A.

Phép đối xứng tâm $H$ và phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k = \dfrac{1}{2}$.
B.

Phép tịnh tiến theo $\overrightarrow {BA} $ và phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k = 2$.
C.

Phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k = 2$ và phép quay tâm $H$ góc quay là góc $\left( {HB,HA} \right)$.
D.

Phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k = 2$ và phép đối xứng trục

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất: Phép đồng dạng là hợp thành của một phép vị tự và phép biến hình.

Lần lượt quan sát các đáp án và kiểm tra.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}{Q_{\left( {H, - {{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = E;{V_{\left( {H;2} \right)}}\left( E \right) = A\\{Q_{\left( {H, - {{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = F;{V_{\left( {H;2} \right)}}\left( F \right) = C\end{array}$

Do đó, nếu ta thực hiện liên tiếp hai phép biến hình là phép quay tâm $H$ góc quay $ - {90^0}$ và phép vị tự tâm $H$ tỉ số $k = 2$ ta sẽ được phép đồng dạng tỉ số $k = 2$ biến tam giác $\Delta HBA$ thành tam giác $\Delta HAC$.

Câu 22 :

Ảnh của điểm $M\left( {2; - 3} \right)$ qua phép quay tâm $I\left( { - 1;2} \right)$ góc quay $120^\circ $ là

A.

$M'\left( {\dfrac{{ - 5\sqrt 3 + 5}}{2};\dfrac{{3\sqrt 3 + 9}}{2}} \right)$.
B.

$M'\left( {\dfrac{{5\sqrt 3 - 5}}{2};\dfrac{{3\sqrt 3 + 9}}{2}} \right)$.
C.

$M'\left( {\dfrac{{ - 5\sqrt 3 + 1}}{2};\dfrac{{ - 3\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)$.
D.

$M'\left( {\dfrac{{ - 5\sqrt 3 + 1}}{2};\dfrac{{3\sqrt 3 + 9}}{2}} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Công thức tọa độ của phép quay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = \left( {x - a} \right)\cos \varphi - \left( {y - b} \right)\sin \varphi + a}\\{x' = \left( {x - a} \right)\sin \varphi + \left( {y - b} \right)\cos \varphi + b}\end{array}} \right.$

Lời giải chi tiết :

Gọi $M'\left( {x';y'} \right)$ là ảnh của $M\left( {2; - 3} \right)$ qua phép quay tâm $I\left( { - 1;2} \right)$ góc quay $120^\circ $

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = \left( {x - a} \right)\cos \varphi - \left( {y - b} \right)\sin \varphi + a}\\{x' = \left( {x - a} \right)\sin \varphi + \left( {y - b} \right)\cos \varphi + b}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = \left( {2 + 1} \right)\cos 120^\circ - \left( { - 3 - 2} \right)\sin 120^\circ - 1}\\{x' = \left( {2 + 1} \right)\sin 120^\circ + \left( { - 3 - 2} \right)\cos 120^\circ + 2}\end{array}} \right.$.

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = - \dfrac{3}{2} + 5\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - 1}\\{y' = 3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{5}{2} + 2}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = \dfrac{{5\sqrt 3 - 5}}{2}}\\{y' = \dfrac{{3\sqrt 3 + 9}}{2}}\end{array}} \right.$. Vậy $M'\left( {\dfrac{{5\sqrt 3 - 5}}{2};\dfrac{{3\sqrt 3 + 9}}{2}} \right)$.

Câu 23 :

A.

${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$.
B.

${\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 1$.
C.

${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1$.
D.

${x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm tâm và bán kính đường tròn mới qua phép đối xứng tâm $I\left( {1;0} \right)$

Lời giải chi tiết :

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O\left( {0;\;0} \right)$, bán kính $R = 1$.

Gọi $O'$ là ảnh của $O$ qua phép đối xứng tâm $I\left( {1;\;0} \right)$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x_O} + {x_{O'}}}}{2} = {x_I}}\\{\dfrac{{{y_O} + {y_{O'}}}}{2} = {y_I}}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{O'}} = 2{x_I} - {x_O}}\\{{y_{O'}} = 2{y_I} - {y_O}}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{O'}} = 2.1 - 0}\\{{y_{O'}} = 2.0 - 0}\end{array}} \right.$$ \Rightarrow O'\left( {2;\;0} \right)$.

Đường tròn $\left( {C'} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép đối xứng tâm $I\left( {1;\;0} \right)$.

$\left( {C'} \right)$ có tâm $O'\left( {2;\;0} \right)$, bán kính $R' = R = 1$.

Phương trình đường tròn $\left( {C'} \right)$ là: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1$.

Câu 24 :

A.

Đường tròn tâm $A$ bán kính $R$
B.

Đường tròn tâm $O$ bán kính $2R$
C.

Đường tròn tâm $I$ bán kính $\dfrac{R}{2}$ với $I$ là trung điểm của $AO$
D.

Đường tròn đường kính $AO$ .

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta có $\overrightarrow {AN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AM} $

$ \Rightarrow $ Phép vị tự ${V_{\left( {A;\frac{1}{2}} \right)}}\left( M \right) = N$

Vậy khi $M$ thay đổi trên $\left( {O;R} \right)$ thì điểm $N$ thay đổi trên đường tròn $\left( T \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ qua phép vị tự ${V_{\left( {A;\frac{1}{2}} \right)}}$.

Gọi $I$ là ảnh của $O$ qua ${V_{\left( {A;\frac{1}{2}} \right)}}$ ta có $\overrightarrow {AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AO} \Rightarrow I$ là trung điểm của $OA$ .Vậy $\left( T \right)$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $\dfrac{R}{2}$ với $I$ là trung điểm của $AO$ .

Câu 25 :

A.

$d':x + 3y + 2 = 0$.
B.

$d':x + 3y - 2 = 0$.
C.

$d':3x - y - 6 = 0$.
D.

$d':x - 3y - 2 = 0$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm ảnh của một điểm thuộc $d$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $ - {90^0}$ và viết phương trình đường thẳng mới với chú ý đường thẳng này vuông góc với đường thẳng đã cho.

Lời giải chi tiết :

Qua phép quay tâm $O$ góc quay $ - {90^{\rm{o}}}$ đường thẳng $d$ biến thành đường thẳng $d'$ vuông góc với $d$.

Phương trình đường thẳng $d'$ có dạng: $x + 3y + m = 0$.

Lấy $A\left( {0;2} \right) \in d$. Qua phép quay tâm $O$ góc quay $ - {90^{\rm{o}}}$, điểm $A\left( {0;2} \right)$ biến thành điểm $B\left( {2;0} \right) \in d'$. Khi đó $m = - 2$.

Vậy phương trình đường $d'$ là $x + 3y - 2 = 0$.

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.