Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 chương 6: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Đề số 2
Đề bài
Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy \(R\) và chiều cao \(h\) bằng:
-
A.
\({S_{xq}} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\)
-
B.
\({S_{xq}} = \pi R\sqrt {{R^2} + {h^2}} \)
-
C.
\({S_{xq}} = \pi R\sqrt {{R^2} - {h^2}} \)
-
D.
\({S_{xq}} = \pi Rh\)
Hình trụ có bán kính \(r = 5cm\) và chiều cao \(h = 3cm\) có diện tích toàn phần gần với số nào sau đây?
-
A.
\(251,3c{m^2}\)
-
B.
\(141,3c{m^2}\)
-
C.
\(172,8c{m^2}\)
-
D.
\(125,7c{m^2}\)
Tính thể tích \(V\) của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a$.
-
A.
\(V = \dfrac{{3\pi {a^3}}}{4}\)
-
B.
\(V = \pi {a^3}\)
-
C.
\(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{6}\)
-
D.
\(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{2}\)
Nếu tăng bán kính của mặt cầu lên 4 lần thì diện tích mặt cầu tăng lên bao nhiêu lần?
-
A.
\(16\)
-
B.
\(8\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(64\)
Quay hình chữ nhật \(ABCD\) quanh mỗi cạnh \(AB,CD\) thì ta được hai hình trụ có
-
A.
cùng chiều cao
-
B.
cùng tâm đáy
-
C.
không cùng bán kính đáy
-
D.
không cùng diện tích đáy
Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu?
-
A.
hình chóp tam giác
-
B.
hình chóp tứ giác
-
C.
hình chóp ngũ giác
-
D.
hình chóp lục giác
Số giao điểm của đường thẳng và mặt cầu tối đa có thể có là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
Vô số
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng tạo với trục một góc \(\alpha \left( {{0^0} < \alpha < {{90}^0}} \right)\) thì ta được:
-
A.
đường tròn
-
B.
hình chữ nhật
-
C.
hình thang cân
-
D.
elip
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có chiều cao bằng \(h\) và cạnh bên bằng \(b\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
-
A.
\(\dfrac{{{b^2}}}{h}\)
-
B.
\(\dfrac{{2{b^2}}}{h}\)
-
C.
\(\dfrac{{{b^2}}}{{2h}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{h^2}}}{{2b}}\)
Cho các hình sau đây: điểm, đường thẳng, đường tròn. Số hình khi quay quanh một trục cố định ta được mặt tròn xoay là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$0$
Chọn phát biểu đúng:
Khi quay tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) quanh trục \(AB\) thì
-
A.
\(AB\) là đường sinh
-
B.
\(AB\) là đường cao
-
C.
\(AB\) là bán kính đáy.
-
D.
\(AB\) là đường kính đáy.
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(2a\) và bán kính đáy bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\)
Cho một mặt cầu bán kính bằng $1$. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?
-
A.
$\min V = 4\sqrt 3 $
-
B.
$\min V = 8\sqrt 3 $
-
C.
$\min V = 9\sqrt 3 $
-
D.
$\min V = 16\sqrt 3 $
Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 5, bán kính bằng 3. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:
-
A.
\(15\pi \)
-
B.
\(48\pi \)
-
C.
\(39\pi \)
-
D.
\(24\pi \)
Trong không gian \(Oxyz\), tập hợp các điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) sao cho \({a^2} + {b^2} \le 2,\,\,\left| c \right| \le 8\) là một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay đó?
-
A.
\(16\pi \)
-
B.
\(128\pi \)
-
C.
\(32\pi \)
-
D.
\(64\pi \)
Cho mặt cầu \(S\left( {I;R} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách I một khoảng bằng \(\frac{R}{2}\). Khi đó giao của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) là đường tròn có chu vi bằng:
-
A.
\(2\pi R.\)
-
B.
\(2\pi R\sqrt 3 .\)
-
C.
\(\pi R\sqrt 3 .\)
-
D.
\(\pi R.\)
Trong không gian, cho hình thang cân \(ABCD,\,\,AB//CD,\) \(AB = 3a,\,\,CD = 6a,\) đường cao \(MN = 2a,\) với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm cảu \(AB\) và \(CD.\) Khi quay hình thang cân quang trục đối xứng \(MN\) thì được một hình nón cụt có diện tích xung quanh là:
-
A.
\(3,75\pi {a^2}\)
-
B.
\(11,25\pi {a^2}\)
-
C.
\(7,5\pi {a^2}\)
-
D.
\(15\pi {a^2}\)
Cho hình nón đỉnh $S$, tâm đáy là $O$, góc ở đỉnh là ${135^0}$. Trên đường tròn đáy lấy điểm $A$ cố định và điểm $M$ di động. Tìm số vị trí $M$ để diện tích $SAM$ đạt giá trị lớn nhất
-
A.
Vô số
-
B.
$3$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
Có một miếng bìa hình chữ nhật \(ABCD\) với \(AB = 3\) và \(AD = 6\). Trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = 2\), trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(F\) là trung điểm của \(BC\). Cuốn miếng bìa lại sao cho \(AB\) trùng \(DC\)để tạo thành mặt xung quanh của một hình trụ.
Khi đó tính thể tích \(V\) của tứ diện \(ABEF\).
-
A.
\(V = \dfrac{\pi }{3}\).
-
B.
\(V = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}\).
-
C.
\(V = \dfrac{{3{\pi ^3}}}{2}\).
-
D.
\(V = \dfrac{2}{{3{\pi ^2}}}\).
Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi bằng 12. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng
-
A.
\(16\pi .\)
-
B.
\(32\pi .\)
-
C.
\(8\pi .\)
-
D.
\(64\pi .\)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:
-
A.
\(\dfrac{{3\sqrt 3 a}}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt {13} a}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{\sqrt {21} a}}{6}\)
-
D.
\(\dfrac{{2\sqrt 3 a}}{3}\)
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a;\)\(AC = BC = AD = BD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(M,\,\,N\) là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right);\,\,\left( {ABC} \right)\) là \(\alpha \) . Tính \({\rm{cos}}\alpha \) biết mặt cầu đường kính \(MN\) tiếp xúc với cạnh \(AD\).
-
A.
\(2 - \sqrt 3 \)
-
B.
\(2\sqrt 3 - 3\)
-
C.
\(3 - 2\sqrt 3 \)
-
D.
\(\sqrt 2 - 1\)
Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là \({R_1},{R_2},{R_3}\) đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng (P) lập thành một tam giác có độ dài cạnh lần lượt là 2, 3, 4. Tính tổng \({R_1} + {R_2} + {R_3}\):
-
A.
\(\dfrac{{67}}{{12}}\).
-
B.
\(\dfrac{{59}}{{12}}\).
-
C.
\(\dfrac{{53}}{{12}}\).
-
D.
\(\dfrac{{61}}{{12}}\).
Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là
-
A.
$30\,\% .$
-
B.
$50\,\% .$
-
C.
$21\,\% .$
-
D.
$11\,\% .$
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC.$ Hình nón có đỉnh $S$ và có đường tròn đáy là đường tròn tam giác $ABC$ gọi là hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABC,$ hình nón có đỉnh $S$ và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABC.$ Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho là
-
A.
$\dfrac{1}{4}.$
-
B.
$\dfrac{1}{2}.$
-
C.
$\dfrac{2}{3}.$
-
D.
$\dfrac{1}{3}.$
Lời giải và đáp án
Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy \(R\) và chiều cao \(h\) bằng:
-
A.
\({S_{xq}} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\)
-
B.
\({S_{xq}} = \pi R\sqrt {{R^2} + {h^2}} \)
-
C.
\({S_{xq}} = \pi R\sqrt {{R^2} - {h^2}} \)
-
D.
\({S_{xq}} = \pi Rh\)
Đáp án : B
- Tính đường sinh của hình nón \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \).
- Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy \(R\), đường sinh \(l\)là \({S_{xr}} = \pi Rl\).
Hình nón có bán kính đáy R và chiều cao h thì đường sinh \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \).
Khi đó diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{R^2} + {h^2}} \).
Hình trụ có bán kính \(r = 5cm\) và chiều cao \(h = 3cm\) có diện tích toàn phần gần với số nào sau đây?
-
A.
\(251,3c{m^2}\)
-
B.
\(141,3c{m^2}\)
-
C.
\(172,8c{m^2}\)
-
D.
\(125,7c{m^2}\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần hình trụ \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\)
Ta có: \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .5.3 + 2\pi {.5^2} \approx 251,3c{m^2}\)
Tính thể tích \(V\) của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a$.
-
A.
\(V = \dfrac{{3\pi {a^3}}}{4}\)
-
B.
\(V = \pi {a^3}\)
-
C.
\(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{6}\)
-
D.
\(V = \dfrac{{\pi {a^3}}}{2}\)
Đáp án : D
Thể tích của khối trụ là:$V = \pi {R^2}h$.
Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a$ thì bán kính đáy \(r = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và chiều cao \(h = a\).
Suy ra \(V = \pi {r^2}h = \dfrac{{\pi {a^3}}}{2}\)
Nếu tăng bán kính của mặt cầu lên 4 lần thì diện tích mặt cầu tăng lên bao nhiêu lần?
-
A.
\(16\)
-
B.
\(8\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(64\)
Đáp án : A
Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là: \(S = 4\pi {R^2}.\)
\( \Rightarrow \) Nếu tăng bán kính mặt cầu lên \(k\) lần thì diện tích mặt cầu tăng \({k^2}\) lần.
Tăng bán kính mặt cầu lên 4 lần thì diện tích mặt cầu tăng 16 lần.
Quay hình chữ nhật \(ABCD\) quanh mỗi cạnh \(AB,CD\) thì ta được hai hình trụ có
-
A.
cùng chiều cao
-
B.
cùng tâm đáy
-
C.
không cùng bán kính đáy
-
D.
không cùng diện tích đáy
Đáp án : A
Nhận xét hai hình trụ có được và kết luận.
Quay hình chữ nhật quanh hai cạnh đối diện ta được các hình trụ có chiều cao và bán kính đáy bằng nhau nên A đúng, B, C, D sai.
Hình chóp nào sau đây luôn nội tiếp được mặt cầu?
-
A.
hình chóp tam giác
-
B.
hình chóp tứ giác
-
C.
hình chóp ngũ giác
-
D.
hình chóp lục giác
Đáp án : A
Hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì sẽ nội tiếp được mặt cầu.
Trong các hình chóp tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác thì chỉ có tam giác luôn nội tiếp được đường tròn nên hình chóp tam giác luôn nội tiếp được mặt cầu.
Số giao điểm của đường thẳng và mặt cầu tối đa có thể có là:
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
Vô số
Đáp án : C
Đường thẳng và mặt cầu chỉ có thể có số giao điểm là \(0;1;2\) nên số giao điểm lớn nhất có thể có là \(2\) giao điểm.
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng tạo với trục một góc \(\alpha \left( {{0^0} < \alpha < {{90}^0}} \right)\) thì ta được:
-
A.
đường tròn
-
B.
hình chữ nhật
-
C.
hình thang cân
-
D.
elip
Đáp án : D
Khi cắt mặt trụ bởi mặt phẳng tạo với trục một góc \(\alpha \left( {{0^0} < \alpha < {{90}^0}} \right)\) thì ta được elip.
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có chiều cao bằng \(h\) và cạnh bên bằng \(b\). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
-
A.
\(\dfrac{{{b^2}}}{h}\)
-
B.
\(\dfrac{{2{b^2}}}{h}\)
-
C.
\(\dfrac{{{b^2}}}{{2h}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{h^2}}}{{2b}}\)
Đáp án : C
- Xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là giao điểm của hai trục của hai mặt bất kì.
- Sử dụng tam giác đồng dạng để tính bán kính mặt cầu.
Gọi \(E\) là tâm tam giác đều \(ABC\) \( \Rightarrow SE \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SE\) là trục của \(\left( {ABC} \right)\).
Gọi \(F\) là trung điểm của \(SA\). Trong \(\left( {SAE} \right)\), từ \(F\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(SA\) và cắt \(SE\) tại \(G\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}G \in SE \Rightarrow GA = GB = GC\\G \in GF \Rightarrow GS = GA\end{array} \right.\) \( \Rightarrow GA = GB = GC = GS\), do đó \(G\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).
Xét \(\Delta SFG\) và \(\Delta SEA\) có: \(\angle ASE\) chung, \(\angle SFG = \angle SEA = {90^0}\).
\( \Rightarrow \Delta SFG \sim \Delta SEA\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{SF}}{{SE}} = \dfrac{{SG}}{{SA}}\) \( \Rightarrow SG = \dfrac{{SA.SF}}{{SE}} = \dfrac{{b.\dfrac{b}{2}}}{h} = \dfrac{{{b^2}}}{{2h}}\).
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) là \(R = SG = \dfrac{{{b^2}}}{{2h}}\).
Cho các hình sau đây: điểm, đường thẳng, đường tròn. Số hình khi quay quanh một trục cố định ta được mặt tròn xoay là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$0$
Đáp án : B
Sử dụng định nghĩa mặt tròn xoay: Khi quay một đường (đường thẳng hoặc đường cong) quanh một đường thẳng cố định thì ta được một mặt tròn xoay
Khi quay đường thẳng, đường tròn quanh một trục cố định thì ta được mặt tròn xoay.
Khi quay một điểm quanh trục cố định ta chỉ được một đường tròn.
Chọn phát biểu đúng:
Khi quay tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) quanh trục \(AB\) thì
-
A.
\(AB\) là đường sinh
-
B.
\(AB\) là đường cao
-
C.
\(AB\) là bán kính đáy.
-
D.
\(AB\) là đường kính đáy.
Đáp án : B
Dựng hình và nhận xét đoạn \(AB\).
Quan sát hình vẽ ta thấy \(AB\) là đường cao.
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(2a\) và bán kính đáy bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\)
Đáp án : A
+) Sử dụng công thức: \(h = \sqrt {{l^2} - {R^2}} .\)
+) Thể tích hình nón có bán kính R và đường cao h là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)
Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(O\) có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 .\)
Khi đó ta có: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
Cho một mặt cầu bán kính bằng $1$. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?
-
A.
$\min V = 4\sqrt 3 $
-
B.
$\min V = 8\sqrt 3 $
-
C.
$\min V = 9\sqrt 3 $
-
D.
$\min V = 16\sqrt 3 $
Đáp án : B
Trong các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp một mặt cầu, hình tứ diện đều có thể tích nhỏ nhất.
- Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh \(a\) là \(r = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\)
- Thể tích tứ diện đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh $a$
Bán kính mặt cầu nội tiếp $r = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = 1 \Rightarrow a = 2\sqrt 6 $
Thể tích tứ diện đều đó là $V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = 8\sqrt 3 $
Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 5, bán kính bằng 3. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:
-
A.
\(15\pi \)
-
B.
\(48\pi \)
-
C.
\(39\pi \)
-
D.
\(24\pi \)
Đáp án : D
Diện tích toàn phần của hình nón có bán kính đáy \(R\) và đường sinh \(l\) là: \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}.\)
Diện tích toàn phần của hình nón đã cho là: \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}\) \( = \pi .3.5 + \pi {.3^2} = 24\pi .\)
Trong không gian \(Oxyz\), tập hợp các điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) sao cho \({a^2} + {b^2} \le 2,\,\,\left| c \right| \le 8\) là một khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay đó?
-
A.
\(16\pi \)
-
B.
\(128\pi \)
-
C.
\(32\pi \)
-
D.
\(64\pi \)
Đáp án : C
Thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \pi {r^2}h\).
Tập hợp các điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) sao cho \({a^2} + {b^2} \le 2,\,\,\left| c \right| \le 8\) là khối trụ có bán kính đáy \(r = \sqrt 2 \), chiều cao \(h = 16\).
Do đó thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi .{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.16 = 32\pi \).
Cho mặt cầu \(S\left( {I;R} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách I một khoảng bằng \(\frac{R}{2}\). Khi đó giao của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) là đường tròn có chu vi bằng:
-
A.
\(2\pi R.\)
-
B.
\(2\pi R\sqrt 3 .\)
-
C.
\(\pi R\sqrt 3 .\)
-
D.
\(\pi R.\)
Đáp án : C
Giao tuyến của mặt cầu tâm I và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là đường tròn có bán kính bằng: \(r = \sqrt {{R^2} - d_{\left( {I;\left( p \right)} \right)}^2} \)
Áp dụng công thức tính chu vi đường tròn.
Ta thấy \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{R}{2} \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} - d_{\left( {I;\left( p \right)} \right)}^2} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\).
Khi đó chu vi đường tròn bằng \(S = 2\pi r = R\sqrt 3 \pi \)
Trong không gian, cho hình thang cân \(ABCD,\,\,AB//CD,\) \(AB = 3a,\,\,CD = 6a,\) đường cao \(MN = 2a,\) với \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm cảu \(AB\) và \(CD.\) Khi quay hình thang cân quang trục đối xứng \(MN\) thì được một hình nón cụt có diện tích xung quanh là:
-
A.
\(3,75\pi {a^2}\)
-
B.
\(11,25\pi {a^2}\)
-
C.
\(7,5\pi {a^2}\)
-
D.
\(15\pi {a^2}\)
Đáp án : B
Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh \(l\) và bán kính đáy \(r\) là: \({S_{xq}} = \pi rl.\)
Kéo dài AD và BC cắt nhau tại S.
Quay tam giác SCD quanh trục SN được hình nón (N) đỉnh S, đáy là đường tròn đường kính CD.
Gọi hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn đường kính AB là (M).
Khi đó: Diện tích xung quanh hình nón cụt được tạo thành = Diện tích xung quanh hình nón (N) – Diện tích xung quanh hình nón (M).
Kéo dài AD và BC cắt nhau tại S.
Quay tam giác SCD quanh trục SN được hình nón (N) đỉnh S, đáy là đường tròn đường kính CD.
Gọi hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn đường kính AB là (M).
Theo định lý Talet ta có: \(\dfrac{{SA}}{{SD}} = \dfrac{{SM}}{{SN}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{{3a}}{{6a}} = \dfrac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SN}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{SM}}{{SM + 2a}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow 2SM = SM + 2a\)\( \Leftrightarrow SM = 2a\)
\( \Rightarrow SN = SM + MN = 4a.\)
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác \(SAM,\,\,SDN\) vuông tại \(M,\,\,N\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} = S{M^2} + A{M^2}\\S{D^2} = S{N^2} + D{N^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S{A^2} = 4{a^2} + {\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{25{a^2}}}{4}\\S{D^2} = {\left( {4a} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{6a}}{2}} \right)^2} = 25{a^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = \dfrac{{5a}}{2}\\SD = 5a\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow \) Diện tích xung quanh hình chóp cụt cần tính là:
\(\begin{array}{l}{S_{xq\,\,\left( N \right)}} - {S_{xq\,\,\left( M \right)}} = \pi .DN.SD - \pi .SA.AM\\ = \pi .5a.3a - \pi .\dfrac{{5a}}{2}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{45\pi {a^2}}}{4} = 11,25\pi {a^2}.\end{array}\)
Cho hình nón đỉnh $S$, tâm đáy là $O$, góc ở đỉnh là ${135^0}$. Trên đường tròn đáy lấy điểm $A$ cố định và điểm $M$ di động. Tìm số vị trí $M$ để diện tích $SAM$ đạt giá trị lớn nhất
-
A.
Vô số
-
B.
$3$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
Đáp án : C
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC}\) và đánh giá \(\sin \widehat {BAC} \le 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{SAM}} = \dfrac{1}{2}SA.SM\sin \widehat {ASM}\\ = \dfrac{1}{2}S{A^2}\sin \widehat {ASM} \le \dfrac{1}{2}S{A^2}\\ \Rightarrow \max {S_{SAM}} = \dfrac{1}{2}S{A^2}\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\sin \widehat {ASM} = 1 \Leftrightarrow \widehat {ASM} = {90^0}\).
Có $2$ điểm $M$ như vậy (hai điểm đối xứng với nhau qua $AB$).
Có một miếng bìa hình chữ nhật \(ABCD\) với \(AB = 3\) và \(AD = 6\). Trên cạnh \(AD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = 2\), trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(F\) là trung điểm của \(BC\). Cuốn miếng bìa lại sao cho \(AB\) trùng \(DC\)để tạo thành mặt xung quanh của một hình trụ.
Khi đó tính thể tích \(V\) của tứ diện \(ABEF\).
-
A.
\(V = \dfrac{\pi }{3}\).
-
B.
\(V = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}\).
-
C.
\(V = \dfrac{{3{\pi ^3}}}{2}\).
-
D.
\(V = \dfrac{2}{{3{\pi ^2}}}\).
Đáp án : B
Dựng hình lăng trụ, chứa các đỉnh A, B, E, F.
Lập tỉ số thể tích khối tứ diện \(ABEF\) và khối lăng trụ đó.
Dựng hình lăng trụ (như hình vẽ).
\(\begin{array}{l}{V_{ABEF}} = \dfrac{1}{2}{V_{F.AEMB}} = \dfrac{1}{2}\left( {{V_{AEN.BMF}} - {V_{F.AEN}}} \right) = \dfrac{1}{2}.\left( {{V_{AEN.BMF}} - \dfrac{1}{3}{V_{AEN.BMF}}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{V_{AEN.BMF}} = \dfrac{1}{3}{V_{AEN.BMF}}\end{array}\)
\(\Delta AEN\) vuông tại E có \(AN = 2R = \dfrac{{AD}}{\pi } = \dfrac{6}{\pi }\)
Số đo góc \(\widehat {ANE} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}{.360^0} = {60^0}\) (do )
\( \Rightarrow \Delta AEN\) là một nửa tam giác đều cạnh \(\dfrac{6}{\pi } \Rightarrow {S_{\Delta AEN}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{6}{\pi }} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}\)
\( \Rightarrow {V_{AEN.BMF}} = 3.\dfrac{{9\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}} = \dfrac{{27\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}} \Rightarrow {V_{ABEF}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{2{\pi ^2}}}\).
Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu vi bằng 12. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng
-
A.
\(16\pi .\)
-
B.
\(32\pi .\)
-
C.
\(8\pi .\)
-
D.
\(64\pi .\)
Đáp án : C
- Gọi \(R,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Dựa vào chu vi thiết diện biểu diễn \(h\) theo \(R\).
- Thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là \(V = \pi {R^2}h\).
- Sử dụng BĐT Cô-si: \(abc \le {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{3}} \right)^3}\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\).
Gọi \(R,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Giả sử thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật \(ABCD\) như hình vẽ, ta có \(AB = 2R\) và \(AD = h\).
Chu vi thiết diện chứa trục bằng 12 \( \Rightarrow 2R + h = 6 \Rightarrow h = 6 - 2R\).
Khi đó thể tích khối trụ:
\(\begin{array}{l}V = \pi {R^2}h = \pi {R^2}\left( {6 - 2R} \right) = \pi .R.R\left( {6 - 2R} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le \pi .{\left( {\dfrac{{R + R + 6 - 2R}}{3}} \right)^3} = 8\pi \end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(R = 6 - 2R \Leftrightarrow R = 2.\)
Vậy thể tích khối trụ lớn nhất là \(8\pi \) khi \(R = 2\).
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:
-
A.
\(\dfrac{{3\sqrt 3 a}}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt {13} a}}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{\sqrt {21} a}}{6}\)
-
D.
\(\dfrac{{2\sqrt 3 a}}{3}\)
Đáp án : C
- Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là tâm tam giác đều ABC và A’B’C’, khi đó ta có OO’ là trục của (A’B’C’).
Gọi N là trung điểm của B’M, E là trung điểm của A’C’, qua N kẻ NI // B’E \(\left( {I \in OO'} \right)\), chứng minh \(IA' = IB' = IC' = IM\).
- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính mặt cầu.
Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là tâm tam giác đều ABC và A’B’C’, khi đó ta có OO’ là trục của (A’B’C’).
Gọi N là trung điểm của B’M, E là trung điểm của A’C’.
Qua N kẻ NI // B’E \(\left( {I \in OO'} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}B'E \bot BB'\\NI\parallel B'E\end{array} \right. \Rightarrow NI \bot BB'\) \( \Rightarrow IM = IB'\).
Lại có \(I \in OO'\) nên \(IA' = IB' = IC'\).
Do đó ta có \(IA' = IB' = IC' = IM\) nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp M.A’B’C’, bán kính \(R = IB'\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}NI\parallel B'O'\\B'N\parallel O'I\end{array} \right.\) nên O’B’NI là hình bình hành \( \Rightarrow O'I = B'N = \dfrac{1}{2}B'M = \dfrac{1}{4}BB' = \dfrac{a}{2}\).
Tam giác A’B’C’ đều cạnh a nên \(B'E = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B'O = \dfrac{2}{3}B'E = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O’B’I có:
\(IB' = \sqrt {O'{I^2} + B'O{'^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}\).
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a;\)\(AC = BC = AD = BD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(M,\,\,N\) là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right);\,\,\left( {ABC} \right)\) là \(\alpha \) . Tính \({\rm{cos}}\alpha \) biết mặt cầu đường kính \(MN\) tiếp xúc với cạnh \(AD\).
-
A.
\(2 - \sqrt 3 \)
-
B.
\(2\sqrt 3 - 3\)
-
C.
\(3 - 2\sqrt 3 \)
-
D.
\(\sqrt 2 - 1\)
Đáp án : B
- Xác định góc \(\alpha \): Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính \(\cos \alpha \) bằng cách sử dụng định lý cô sin trong tam giác: \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).
Xét các tam giác ACB, ADB lần lượt cân tại C và D nên \(CM \bot AB,DM \bot AB\)
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {ABD} \right) = AB\\CM \bot AB,CM \subset \left( {ABC} \right)\\DM \bot AB,DM \subset \left( {ABD} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ABD} \right)} \right) = \angle \left( {CM;DM} \right)\).
Tam giác ACM vuông tại M nên theo Pitago ta có :
\(\begin{array}{l}C{M^2} = A{C^2} - A{M^2}\\ \Rightarrow CM = \sqrt {A{C^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)
Tương tự \(DM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Gọi K là hình chiếu của I lên AD ta có :
Mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với AD nên \(IK = IM = IN,IK \bot AD\).
Xét tam giác AMI và AKI có :
\(\begin{array}{l}\widehat {AMI} = \widehat {AKI} = {90^0};\\AI\,chung;\\IM = IK\left( {cmt} \right);\end{array}\)
Do đó \(\Delta AMI = \Delta AKI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow AK = AM = \dfrac{a}{2}\) (cạnh tương ứng).
Tương tự : \(\Delta DNI = \Delta DKI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow DN = DK = AD - AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{a}{2} = \dfrac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\\ \Rightarrow DC = 2DN = 2.\dfrac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2} = a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\end{array}\)
Ap dụng định lý cô sin trong tam giác MCD có :
\(\begin{array}{l}\cos \widehat {CMD} = \dfrac{{M{C^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2MC.MD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \right)}^2}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\sqrt 3 - 3 > 0\\ \Rightarrow \cos \alpha = \cos \widehat {CMD} = 2\sqrt 3 - 3\end{array}\)
Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là \({R_1},{R_2},{R_3}\) đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng (P) lập thành một tam giác có độ dài cạnh lần lượt là 2, 3, 4. Tính tổng \({R_1} + {R_2} + {R_3}\):
-
A.
\(\dfrac{{67}}{{12}}\).
-
B.
\(\dfrac{{59}}{{12}}\).
-
C.
\(\dfrac{{53}}{{12}}\).
-
D.
\(\dfrac{{61}}{{12}}\).
Đáp án : D
Gọi \({I_1},{I_2},{I_3}\) là tâm của các hình cầu, \(M,N,P\) là các tiếp điểm của các hình cầu (như hình vẽ), \(H,K,F\) là tiếp ba hình cầu với mặt phẳng (P) (như hình vẽ).
Xét mặt phẳng \(\left( {{I_1}{I_2}KH} \right)\), có:
\(\begin{array}{l}HK = \sqrt {{I_1}{I_2}^2 - {{\left( {{I_2}K - {I_1}H} \right)}^2}} \,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{R_1} + {R_2}} \right)}^2} - {{\left( {{R_1} - {R_2}} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {4{R_1}{R_2}} = 2 \Rightarrow {R_1}{R_2} = 1\end{array}\)
Tương tự, \({R_1}{R_3} = \dfrac{9}{4},\,{R_2}{R_3} = 4\)
\( \Rightarrow {R_1}{R_2}{R_3} = \sqrt {1.\dfrac{9}{4}.4} = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{R_1} = \dfrac{3}{4}\\{R_2} = \dfrac{4}{3}\\{R_3} = 3\end{array} \right.\).
Vậy \({R_1} + {R_2} + {R_3} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{3} + 3 = \dfrac{{61}}{{12}}\).
Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là
-
A.
$30\,\% .$
-
B.
$50\,\% .$
-
C.
$21\,\% .$
-
D.
$11\,\% .$
Đáp án : C
Xác định thể tích hình trụ, tính thể tích gỗ cần phải đẽo để suy ra tỉ lệ thể tích
Để thể tích gỗ cần phải đẽo đi là ít nhất thì thể tích hình trụ là lớn nhất.
Hay hình trụ là hình trụ nội tiếp hình hộp và có thể tích là ${V_1} = \pi {R^2}h = \dfrac{{\pi {x^2}h}}{4}.$
Với $x$ là độ dài cạnh đáy hình hộp $ \Rightarrow $ Thể tích hình hộp là $V = {x^2}h.$
Suy ra thể tích cần phải đẽo là ${V_2} = V - {V_2} = \left( {1 - \dfrac{\pi }{4}} \right){x^2}h.$
Vậy tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo là $\dfrac{{{V_2}}}{V}.100\,\% = \left( {1 - \dfrac{\pi }{4}} \right).100\,\% \,\, \approx \,\,21,5\,\% .$
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC.$ Hình nón có đỉnh $S$ và có đường tròn đáy là đường tròn tam giác $ABC$ gọi là hình nón nội tiếp hình chóp $S.ABC,$ hình nón có đỉnh $S$ và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABC.$ Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho là
-
A.
$\dfrac{1}{4}.$
-
B.
$\dfrac{1}{2}.$
-
C.
$\dfrac{2}{3}.$
-
D.
$\dfrac{1}{3}.$
Đáp án : A
Áp dụng công thức tính nhanh tính bán kính ngoại tiếp và nội tiếp đường tròn
Gọi $h,\,\,x$ lần lượt là chiều cao, độ dài cạnh đáy của hình chóp tam giác đều $S.ABC.$
Bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta \,ABC$ là Thể tích khối nón nội tiếp là ${V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h.$
Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta \,ABC$ là Thể tích khối nón nội tiếp là ${V_2} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.$
Vậy tỉ số $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{{r^2}}}{{{R^2}}} = {\left( {\dfrac{{x\sqrt 3 }}{6}} \right)^2}:{\left( {\dfrac{{x\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}.$