Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 5: Đạo hàm - Đề số 1
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3 - \sqrt {4 - x} \,\,\,khi\,\,x \ne 0\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Khi đó \(f'\left( 0 \right)\) là kết quả nào sau đây?
-
A.
\(\dfrac{1}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{16}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
D.
$2$
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2}\) tại điểm có tung độ bằng $5$ có phương trình là?
-
A.
\(y = 12x - 7\)
-
B.
\(y = - 12x - 7\)
-
C.
\(y = 12x + 17\)
-
D.
\(y = - 12x + 17\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}\) tại giao điểm với trục tung cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là?
-
A.
\(x = - 1\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = - 2\)
-
D.
\(x = 2\)
Cho hàm số \(y = \sin x\). Chọn câu sai ?
-
A.
\(y' = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
-
B.
\(y'' = \sin \left( {x + \pi } \right)\)
-
C.
\(y''' = \sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
-
D.
\({y^{\left( 4 \right)}} = \sin \left( {2\pi - x} \right)\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng $2$ có hệ số góc \(k = ?\)
-
A.
\(k = - 1\)
-
B.
\(k = - 3\)
-
C.
\(k = 3\)
-
D.
\(k = 5\)
Cho hàm số \(y = {x^2} + 2x\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(dy = \left( {{x^2} + 2x} \right)'dx\)
-
B.
\(dx = \left( {{x^2} + 2x} \right)'dy\)
-
C.
\(dy = \left( {{x^2} + 2x} \right)dx\)
-
D.
\(dy = \dfrac{1}{{{x^2} + 2x}}dx\)
Hàm số \(y = \dfrac{x}{{x - 2}}\) có đạo hàm cấp hai là:
-
A.
\(y'' = 0\)
-
B.
\(y'' = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
-
C.
\(y'' = - \dfrac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\)
-
D.
\(y'' = \dfrac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = x\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)'\) là:
-
A.
\(y' = \sin x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right) + \cos x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right)\)
-
B.
\(y' = \sin x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right) - \cos x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right)\)
-
C.
\(y' = \sin x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right) + \cos x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right)\)
-
D.
\(y' = \sin x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right) - \cos x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right)\)
Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị hàm số \(y = {x^4} + x\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) vuông góc với \(d:\,\,x + 5y = 0\) có phương trình là:
-
A.
\(y = 5x - 3\)
-
B.
\(y = 3x - 5\)
-
C.
\(y = 2x - 3\)
-
D.
\(y = x + 4\)
Hàm số nào sau đây có \(y' = 2x + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)?
-
A.
\(y = \dfrac{{{x^3} + 1}}{x}\)
-
B.
\(y = \dfrac{{3\left( {{x^2} + x} \right)}}{{{x^3}}}\)
-
C.
\(y = \dfrac{{{x^3} + 5x - 1}}{x}\)
-
D.
\(y = \dfrac{{2{x^2} + x - 1}}{x}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:
-
A.
$0$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
không tồn tại
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2}\)
-
A.
\(y' = \left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)\)
-
B.
\(y' = 2\left( {{x^7} + x} \right)\)
-
C.
\(y' = 2\left( {7{x^6} + 1} \right)\)
-
D.
\(y' = 2\left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)\)
Với \(f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}\) thì \(f''\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) bằng:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$-2$
-
D.
$5$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \,\,\,khi\,\,x > 1\\{x^2}\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\). Tính \(f'\left( 1 \right)\) ?
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
không tồn tại.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\). Giá trị của \(f'\left( 8 \right)\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{1}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{12}}\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{6}\)
-
D.
\( - \dfrac{1}{{12}}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx\,\,khi\,\,x \ge 1\\2x - 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Tìm $a, b$ để hàm số có đạo hàm tại $x = 1.$
-
A.
\(a = - 1,b = 0\)
-
B.
\(a = - 1,b = 1\)
-
C.
\(a = 1,b = 0\)
-
D.
\(a = 1,b = 1\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Đạo hàm của hàm số f(x) âm khi và chỉ khi
-
A.
\(0 < x < 2\)
-
B.
\(x < 1\)
-
C.
\(x < 0\) hoặc \(x > 1\)
-
D.
\(x < 0\) hoặc \(x > 2\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\). Hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\)
-
B.
\(x\sqrt x - 3\sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{x\sqrt x }}\)
-
C.
\(\dfrac{3}{2}\left( { - \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{x\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\)
-
D.
\(\dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\)
Đạo hàm cấp $n$ của hàm số \(\dfrac{1}{{ax + b}},\,a \ne 0\) là
-
A.
\({y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{2^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\)
-
B.
\({y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{a^n}n!}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{n + 1}}}}\)
-
C.
${y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}$
-
D.
\({y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\)
Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = {t^3} - 2{t^2} + 4t + 1\) trong đó $t$ là giây, $s$ là mét. Gia tốc chuyển động khi $t = 2$ là
-
A.
\(12\,m/{s^2}\)
-
B.
\(8\,m/{s^2}\)
-
C.
\(7\,m/{s^2}\)
-
D.
\(6\,m/{s^2}\)
Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1\) song song với đường thẳng \(y = 8x + 2\) là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$0$
Số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:
-
A.
$3$
-
B.
$2$
-
C.
$0$
-
D.
$1$
Tìm $a, b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\a\sin x + b\cos x\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 0\).
-
A.
\(a = 1,b = 1\)
-
B.
\(a = - 1,b = 1\)
-
C.
\(a = - 1,b = - 1\)
-
D.
\(a = 0,b = 1\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1\,\,\,\,khi\,\,x > 1\\2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\) ta được:
-
A.
\(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\)
-
B.
\(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
-
C.
Không tồn tại đạo hàm
-
D.
\(f'\left( x \right) = 2x - 3\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của $d$?
-
A.
\(3\sqrt 3 \)
-
B.
\(2\sqrt 2 \)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\sqrt 3 \)
Lời giải và đáp án
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3 - \sqrt {4 - x} \,\,\,khi\,\,x \ne 0\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Khi đó \(f'\left( 0 \right)\) là kết quả nào sau đây?
-
A.
\(\dfrac{1}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{16}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
D.
$2$
Đáp án : A
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
$f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4 - 4 + x}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \dfrac{1}{4}$
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2}\) tại điểm có tung độ bằng $5$ có phương trình là?
-
A.
\(y = 12x - 7\)
-
B.
\(y = - 12x - 7\)
-
C.
\(y = 12x + 17\)
-
D.
\(y = - 12x + 17\)
Đáp án : A
- Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng $5$.
- Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
\(\begin{array}{l}y = 5 \Leftrightarrow 2{x^3} + 3{x^2} = 5 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow \left( C \right) \cap Oy = M\left( {1;5} \right)\\y' = 6{x^2} + 6x \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 12\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {1;5} \right)\) là: \(y = 12\left( {x - 1} \right) + 5 = 12x - 7\)
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}\) tại giao điểm với trục tung cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là?
-
A.
\(x = - 1\)
-
B.
\(x = 1\)
-
C.
\(x = - 2\)
-
D.
\(x = 2\)
Đáp án : D
Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm vừa tìm được.
Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành.
\(x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow \) giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(M\left( {0;2} \right)\)
\(y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 1\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {0;2} \right)\) là \(y = - 1\left( {x - 0} \right) + 2 = - x + 2\,\,\left( d \right)\)
Vậy giao điểm của $\left( d \right)$ với trục hoành là điểm có hoành độ $x = 2$.
Cho hàm số \(y = \sin x\). Chọn câu sai ?
-
A.
\(y' = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
-
B.
\(y'' = \sin \left( {x + \pi } \right)\)
-
C.
\(y''' = \sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
-
D.
\({y^{\left( 4 \right)}} = \sin \left( {2\pi - x} \right)\)
Đáp án : D
Tính đạo hàm cấp một, hai, ba, biến đổi các công thức lượng giác và suy ra đáp án sai.
\(y' = \cos x = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \) Đáp án A đúng.
\(y'' = - \sin x = \sin \left( {x + \pi } \right) \Rightarrow \) Đáp án B đúng.
\(y''' = - \cos x = \sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow \) Đáp án C đúng.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng $2$ có hệ số góc \(k = ?\)
-
A.
\(k = - 1\)
-
B.
\(k = - 3\)
-
C.
\(k = 3\)
-
D.
\(k = 5\)
Đáp án : B
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \({x_0}\) có hệ số góc \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\)
\(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow k = y'\left( 2 \right) = - 3\)
Cho hàm số \(y = {x^2} + 2x\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(dy = \left( {{x^2} + 2x} \right)'dx\)
-
B.
\(dx = \left( {{x^2} + 2x} \right)'dy\)
-
C.
\(dy = \left( {{x^2} + 2x} \right)dx\)
-
D.
\(dy = \dfrac{1}{{{x^2} + 2x}}dx\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính vi phân của hàm số \(dy = y'dx\).
Ta có: \(dy = y'dx = \left( {{x^2} + 2x} \right)'dx\).
Hàm số \(y = \dfrac{x}{{x - 2}}\) có đạo hàm cấp hai là:
-
A.
\(y'' = 0\)
-
B.
\(y'' = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
-
C.
\(y'' = - \dfrac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\)
-
D.
\(y'' = \dfrac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\)
Đáp án : D
Tính đạo hàm cấp 1, sau đó tính đạo hàm cấp 2.
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{1.\left( {x - 2} \right) - x.1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\y'' = \dfrac{{\left( { - 2} \right)'{{\left( {x - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right)'}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \dfrac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}} = \dfrac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\end{array}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = x\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)'\) là:
-
A.
\(y' = \sin x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right) + \cos x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right)\)
-
B.
\(y' = \sin x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right) - \cos x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right)\)
-
C.
\(y' = \sin x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right) + \cos x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right)\)
-
D.
\(y' = \sin x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right) - \cos x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right)\)
Đáp án : A
\(y = x\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)' = \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\) sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 tích \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\)
\(\begin{array}{l}y = x\left( {2x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)' = \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\\ \Rightarrow y' = \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)'\left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)'\\y' = \left( {18{x^2} + 2x - 2} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\\y' = \sin x\left( {18{x^2} + 2x - 2 - 6{x^3} - {x^2} + 2x} \right) + \cos x\left( {18{x^2} + 2x - 2 + 6{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\\y' = \sin x\left( { - 6{x^3} + 17{x^2} + 4x - 2} \right) + \cos x\left( {6{x^3} + 19{x^2} - 2} \right)\end{array}\)
Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị hàm số \(y = {x^4} + x\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) vuông góc với \(d:\,\,x + 5y = 0\) có phương trình là:
-
A.
\(y = 5x - 3\)
-
B.
\(y = 3x - 5\)
-
C.
\(y = 2x - 3\)
-
D.
\(y = x + 4\)
Đáp án : A
Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến \(\left( \Delta \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\).
Bước 2: Sử dụng công thức \(\Delta \bot d \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right).\dfrac{{ - 1}}{5} = - 1\)
Bước 1:
\(d:\,\,x + 5y = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{5}x\)
Ta có: \(y = 4{x^3} + 1 \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là: \(y = \left( {4x_0^3 + 1} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 + {x_0}\,\,\left( \Delta \right)\)
Bước 2:
\(\Delta \bot d \Rightarrow \left( {4x_0^3 + 1} \right).\dfrac{{ - 1}}{5} = - 1 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 1 = 5 \Leftrightarrow 4x_0^3 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 1\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = 5\left( {x - 1} \right) + 2 = 5x - 3\)
Hàm số nào sau đây có \(y' = 2x + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)?
-
A.
\(y = \dfrac{{{x^3} + 1}}{x}\)
-
B.
\(y = \dfrac{{3\left( {{x^2} + x} \right)}}{{{x^3}}}\)
-
C.
\(y = \dfrac{{{x^3} + 5x - 1}}{x}\)
-
D.
\(y = \dfrac{{2{x^2} + x - 1}}{x}\)
Đáp án : C
Tính đạo hàm ở từng đáp án.
Đáp án A: \(y' = \dfrac{{\left( {{x^3} + 1} \right)'.x - \left( {{x^3} + 1} \right)x'}}{{{x^2}}} \) \(= \dfrac{{3{x^2}.x - {x^3} - 1}}{{{x^2}}} = \dfrac{{2{x^3} - 1}}{{{x^2}}}\)
Đáp án B:
\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow y' = 3.\dfrac{{\left( {x + 1} \right)'.{x^2} - \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}}\\ = 3\dfrac{{{x^2} - 2x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^4}}}\\ = 3\dfrac{{ - {x^2} - 2x}}{{{x^4}}} = - 3\dfrac{{x + 2}}{{{x^3}}}\end{array}\)
Đáp án C: \(y' = \dfrac{{\left( {{x^3} + 5x - 1} \right)'.x - \left( {{x^3} + 5x - 1} \right).x'}}{{{x^2}}} \) \(= \dfrac{{\left( {3{x^2} + 5} \right).x - {x^3} - 5x + 1}}{{{x^2}}} \) \(= \dfrac{{2{x^3} + 1}}{{{x^2}}} = 2x + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:
-
A.
$0$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
không tồn tại
Đáp án : D
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x + 3 - 5}}{{x - 1}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}} - 5}}{{x - 1}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 12x + 9}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x - 9} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} + 3x - 9}}{{x - 1}} = + \infty $
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$
Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại $x = 1.$
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2}\)
-
A.
\(y' = \left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)\)
-
B.
\(y' = 2\left( {{x^7} + x} \right)\)
-
C.
\(y' = 2\left( {7{x^6} + 1} \right)\)
-
D.
\(y' = 2\left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)\)
Đáp án : D
+) Khai triển hằng đẳng thức bình phương của một tổng.
+) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm: \(\left( {u + v} \right)' = u' + v',\,\,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)
\(\begin{array}{l}y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2} = {x^{14}} + 2{x^8} + {x^2}\\ \Rightarrow y' = 14{x^{13}} + 2.8{x^7} + 2x\\ = 14{x^{13}} + 16{x^7} + 2x\\ = 2\left( {7{x^{13}} + 8{x^7} + x} \right)\\ = 2\left( {7{x^{13}} + 7{x^7} + {x^7} + x} \right) \\= 2\left[ {7{x^6}\left( {{x^7} + x} \right) + {x^7} + x} \right]\\= 2\left( {{x^7} + x} \right)\left( {7{x^6} + 1} \right)\end{array}\)
Với \(f\left( x \right) = {\sin ^3}x + {x^2}\) thì \(f''\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) bằng:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$-2$
-
D.
$5$
Đáp án : D
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số trên, sau đó thay \(x = - \dfrac{\pi }{2}\) và tính \(f''\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{\sin ^2}x\left( {\sin x} \right)' + 2x = 3{\sin ^2}x\cos x + 2x\\f''\left( x \right) = 3.\left( {{{\sin }^2}x} \right)'.\cos x + 3{\sin ^2}x.\left( {\cos x} \right)' + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6\sin x\left( {\sin x} \right)'\cos x - 3{\sin ^2}x.\sin x + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 6\sin x{\cos ^2}x - 3{\sin ^3}x + 2\\f''\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = 6\sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right){\cos ^2}\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) - 3{\sin ^3}\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) + 2 = 3 + 2 = 5.\end{array}$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \,\,\,khi\,\,x > 1\\{x^2}\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\). Tính \(f'\left( 1 \right)\) ?
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
không tồn tại.
Đáp án : D
Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại).
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{1}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\end{array}\)
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x = 1.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\). Giá trị của \(f'\left( 8 \right)\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{1}{6}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{12}}\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{6}\)
-
D.
\( - \dfrac{1}{{12}}\)
Đáp án : B
+) Đưa hàm số về dạng \({x^n}\) và áp dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)
+) Thay $x = 8$ và tính \(f'\left( 8 \right)\)
\(f\left( x \right) = \sqrt[3]{x} = {x^{\frac{1}{3}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}.{x^{\frac{1}{3} - 1}} = \dfrac{1}{3}{x^{ - \frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{{{x^{\frac{2}{3}}}}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\) \(\Rightarrow f'\left( 8 \right) = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{8^2}}}}} = \dfrac{1}{{12}}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx\,\,khi\,\,x \ge 1\\2x - 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Tìm $a, b$ để hàm số có đạo hàm tại $x = 1.$
-
A.
\(a = - 1,b = 0\)
-
B.
\(a = - 1,b = 1\)
-
C.
\(a = 1,b = 0\)
-
D.
\(a = 1,b = 1\)
Đáp án : C
+) Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại $x = 1: $ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)
+) Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại $x = 1:$ \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {a{x^2} + bx} \right) = a + b = f\left( 1 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x - 1} \right) = 1\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow a + b = 1\,\,\,\left( 1 \right)\)
Khi đó ta có: \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{a{x^2} + bx - \left( {a + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{a\left( {{x^2} - 1} \right) + b\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {a\left( {x + 1} \right) + b} \right] = 2a + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2x - 1 - \left( {a + b} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2x - 2}}{{x - 1}} = 2\end{array}\)
Để hàm số có đạo hàm tại $x = 1$ thì \(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \Leftrightarrow 2a + b = 2\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\2a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Đạo hàm của hàm số f(x) âm khi và chỉ khi
-
A.
\(0 < x < 2\)
-
B.
\(x < 1\)
-
C.
\(x < 0\) hoặc \(x > 1\)
-
D.
\(x < 0\) hoặc \(x > 2\)
Đáp án : A
Tính \(f'\left( x \right)\) sau đó giải bất phương trình \(f'\left( x \right) < 0\)
Có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3.2x = 3{x^2} - 6x\)
\(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\). Hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\)
-
B.
\(x\sqrt x - 3\sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{x\sqrt x }}\)
-
C.
\(\dfrac{3}{2}\left( { - \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{x\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\)
-
D.
\(\dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\)
Đáp án : D
Sử dụng khai triển hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^3}\), đưa các hạng tử về dạng \({x^n}\) và sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) .
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3} = {\left( {\sqrt x } \right)^3} - 3{\left( {\sqrt x } \right)^2}.\dfrac{1}{{\sqrt x }} + 3\sqrt x {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\\f\left( x \right) = {x^{\dfrac{3}{2}}} - 3\sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^{\dfrac{3}{2}}}}}\\f\left( x \right) = {x^{\dfrac{3}{2}}} - 3\sqrt x + 3{x^{ - \dfrac{1}{2}}} - {x^{ - \dfrac{3}{2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{3}{2} - 1}} - \dfrac{3}{{2\sqrt x }} + 3.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right){x^{ - \dfrac{1}{2} - 1}} + \dfrac{3}{2}{x^{ - \dfrac{3}{2} - 1}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{3}{2}\sqrt x - \dfrac{3}{{2\sqrt x }} - \dfrac{3}{2}{x^{ - \dfrac{3}{2}}} + \dfrac{3}{2}{x^{ - \dfrac{5}{2}}}\\f'\left( x \right) = \dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\end{array}\)
Đạo hàm cấp $n$ của hàm số \(\dfrac{1}{{ax + b}},\,a \ne 0\) là
-
A.
\({y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{2^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\)
-
B.
\({y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{a^n}n!}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{n + 1}}}}\)
-
C.
${y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}$
-
D.
\({y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\)
Đáp án : D
Tính đạo hàm các cấp $1,2,3,...$ của hàm số đã cho và rút ra quy luật, sau đó suy ra đạo hàm cấp $n$ của hàm số
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{ - a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}\\y'' = \dfrac{{a.2\left( {ax + b} \right).a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^3}}}\\y''' = \dfrac{{ - 2{a^2}.3{{\left( {ax + b} \right)}^2}.a}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^6}}} = \dfrac{{ - 2.3.{a^3}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^4}}}\\....\\{y^{\left( n \right)}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\end{array}\)
Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = {t^3} - 2{t^2} + 4t + 1\) trong đó $t$ là giây, $s$ là mét. Gia tốc chuyển động khi $t = 2$ là
-
A.
\(12\,m/{s^2}\)
-
B.
\(8\,m/{s^2}\)
-
C.
\(7\,m/{s^2}\)
-
D.
\(6\,m/{s^2}\)
Đáp án : B
\(a = s''\), tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(s = {t^3} - 2{t^2} + 4t + 1\), sau đó tính \(a\left( 2 \right)\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}a = v' = \left( {s'} \right)' = s''\\s' = 3{t^2} - 4t + 4\\s'' = 6t - 4 = a\\a\left( 2 \right) = 6.2 - 4 = 8\,\,\left( {m/{s^2}} \right)\end{array}\)
Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1\) song song với đường thẳng \(y = 8x + 2\) là:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$3$
-
D.
$0$
Đáp án : B
Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến phụ thuộc vào $x_0$
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\,\,\left( d \right)\)
Bước 2: Sử dụng tính chất \(\left( d \right)//\left( {y = 8x + 2} \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 8\)
Bước 1:
\(y' = {x^2} - 4x + 3\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:
\(y = \left( {x_0^2 - 4{x_0} + 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{1}{3}x_0^3 - 2x_0^2 + 3{x_0} + 1\left( d \right)\)
Bước 2:
\(\left( d \right)//\left( {y = 8x + 2} \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 8 \Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 3 = 8\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 5}\\{{x_0} = {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( d \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 8\left( {x - 5} \right) + \dfrac{{23}}{3} = 8x - \dfrac{{97}}{3}}\\{\left( d \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 8\left( {x + 1} \right) - \dfrac{{13}}{3} = 8x + \dfrac{{11}}{3}}\end{array}} \right.\)
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là $2$.
Số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:
-
A.
$3$
-
B.
$2$
-
C.
$0$
-
D.
$1$
Đáp án : D
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\,\,\left( d \right)\)
Cho \(A \in \left( d \right)\), tìm \({x_0}\), có bao nhiêu nghiệm \({x_0}\) thì có bấy nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua $A.$
\(y' = 3{x^2} - 3\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C)\) là: \(y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 1\,\,\left( d \right)\)
$\begin{array}{l}A \in d \Rightarrow - 6 = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 1\,\,\left( d \right)\\ \Leftrightarrow - 6 = 3x_0^2 - 3x_0^3 - 3 + 3{x_0} + x_0^3 - 3{x_0} + 1\\ \Leftrightarrow - 2x_0^3 + 3x_0^2 + 4 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2\end{array}$
Vậy số tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1; - 6} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là $1$.
Tìm $a, b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} + bx + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\a\sin x + b\cos x\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 0\).
-
A.
\(a = 1,b = 1\)
-
B.
\(a = - 1,b = 1\)
-
C.
\(a = - 1,b = - 1\)
-
D.
\(a = 0,b = 1\)
Đáp án : A
+) Trước hết, tìm điều kiện để hàm số liên tục tại $x = 0.$
+) Sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa.
+) Hàm số có đạo hàm tại $x = 0$ \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \Leftrightarrow a = 1.\) Sử dụng công thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\) .
Để hàm số có đạo hàm tại $x = 1$ thì trước hết hàm số phải liên tục tại $x = 1.$
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {a{x^2} + bx + 1} \right) = 1 = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\sin x + b\cos x} \right) = b\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow b = 1\)
Khi đó ta có: \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{a{x^2} + x + 1 - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax + 1} \right) = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{a\sin x + \cos x - 1}}{x} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{2a\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} - 2{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{x} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{\dfrac{x}{2}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos \dfrac{x}{2} - 2\sin \dfrac{x}{2}} \right) = a\end{array}\)
Để tồn tại \(f'\left( 0 \right) \) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \Leftrightarrow a = 1.\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1\,\,\,\,khi\,\,x > 1\\2x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\) ta được:
-
A.
\(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\)
-
B.
\(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
-
C.
Không tồn tại đạo hàm
-
D.
\(f'\left( x \right) = 2x - 3\)
Đáp án : B
+) Tính đạo hàm của hàm số khi \(x > 1\)
+) Tính đạo hàm của hàm số khi \(x < 1\)
+) Sử dụng định nghĩa đạo hàm, xét sự tồn tại của đạo hàm của hàm số tại $x = 1.$
Với \(x > 1\) ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 3\)
Với \(x < 1\) ta có : \(f\left( x \right) = 2x + 2 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2\)
Với $x = 1$ ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - 3x + 1} \right) = - 1 \ne f\left( 1 \right) = 4 \) \(\Rightarrow \) Hàm số không liên tục tại $x = 1,$ do đó không có đạo hàm tại $x = 1.$
Vậy \(f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x - 3\,\,\,khi\,\,x > 1\\2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của $d$?
-
A.
\(3\sqrt 3 \)
-
B.
\(2\sqrt 2 \)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\sqrt 3 \)
Đáp án : C
Viết phương trình tiếp tuyến $\left( d \right)$ của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).
Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến $d$.
Tìm GTLN của khoảng cách $d$.
Ta có \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:
$\begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x - y + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}} = 0\left( \Delta \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} - 1 + \dfrac{{3{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + \dfrac{3}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }} \\= \dfrac{{\left| {\dfrac{{ - 3 + 3{x_0} + 3{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right|}}{{\sqrt {\dfrac{9}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\left| {6{x_0} - 6} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}} \\= \dfrac{{6\left| {{x_0} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }} \\= 6\sqrt {\dfrac{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9}}} \end{array}$
Đặt \(t = {\left( {{x_0} - 1} \right)^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow d = 6\sqrt {\dfrac{t}{{{t^2} + 9}}} \)
Mà
$\begin{array}{l}
{t^2} + 9 \ge 2\sqrt {{t^2}.9} = 6t \Rightarrow \frac{t}{{{t^2} + 9}} \le \frac{t}{{6t}} = \frac{1}{6}\\
\Rightarrow 6.\sqrt {\frac{t}{{{t^2} + 9}}} \le 6.\sqrt {\frac{1}{6}} = \sqrt 6 \\
\Rightarrow {d_{\max }} = \sqrt 6
\end{array}$
Dấu "=" xảy ra khi t=3
$ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} - 1 = \sqrt 3 \\
{x_0} - 1 = - \sqrt 3
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = \sqrt 3 + 1\\
{x_0} = - \sqrt 3 + 1
\end{array} \right.$
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2