-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 chương 4: Số phức - Đề số 2
Đề bài
Giả sử ${z_1};{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình: ${z^2} - 2z + 5 = 0$ và $A,B$ là các điểm biểu diễn của ${z_1};{z_2}$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là
-
A.
$\left( {0;1} \right)$
-
B.
$(0; - 1)$
-
C.
$\left( {1;1} \right)$
-
D.
$\left( {1;0} \right)$
Cho số phức $z = 2 + 5i$. Tìm số phức \(w = iz + \overline z \).
-
A.
$w = 7-3i$
-
B.
$w = -3-3i$
-
C.
$w = 3 + 7i$
-
D.
$w = -7-7i$
Gọi \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính giá trị biểu thức \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}.\)
-
A.
\(P = 2\sqrt {10} \).
-
B.
\(P = 20\).
-
C.
\(P = 40\).
-
D.
\(P = \sqrt {10} \).
Kí hiệu \(a\), \(b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(z = i\left( {1 - i} \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(a = 1,{\rm{ }}b = i.\)
-
B.
\(a = 1,{\rm{ }}b = 1.\)
-
C.
\(a = 1,{\rm{ }}b = - 1.\)
-
D.
\(a = 1,{\rm{ }}b = - i.\)
Cho phương trình \(2{z^2} - 3iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(\Delta = - 5i\)
-
B.
\(\Delta = - 3 - 8i\)
-
C.
\(\Delta = 9 - 8i\)
-
D.
\(\Delta = - 9 - 8i\)
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\dfrac{{1 - i}}{{z + 1}} = 1 + i$. Điểm \(M\) biểu diễn của số phức $w = {z^3} + 1$ trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ là:
-
A.
\(M\left( {2; - 3} \right)\).
-
B.
\(M\left( {2;3} \right)\).
-
C.
\(M\left( {3; - 2} \right)\).
-
D.
\(M\left( {3;2} \right)\).
Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của số phức \(z\), biết tập hợp các điểm \(M\) là phần tô đậm ở hình bên (kể cả biên). Mệnh đề nào sau đây đúng ?
-
A.
\(z\) có phần ảo không nhỏ hơn phần thực
-
B.
\(z\) có phần thực không nhỏ hơn phần ảo và có môđun không lớn hơn \(3.\)
-
C.
\(z\) có phần thực bằng phần ảo.
-
D.
\(z\) có môđun lớn hơn \(3.\)
Tìm các giá trị của tham số thực \(x,\,{\rm{ }}y\) để số phức \(z = {\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5\) là số thực.
-
A.
\(x = 1\) và \(y = 0\).
-
B.
\(x = - 1\).
-
C.
\(x = 1\) hoặc \(y = 0\).
-
D.
\(x = 1\).
Cho \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\({z_1} + {z_2} = 2i\)
-
B.
\({z_1}{z_2} = - 2i\)
-
C.
\({z_1}{z_2} = 2i\)
-
D.
\({z_1} + {z_2} = - 2i\)
Số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| + z = 0$. Khi đó:
-
A.
$z$ là số thuần ảo
-
B.
Môđun của $z$ bằng $1$
-
C.
$z$ là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0
-
D.
Phần thực của $z$ là số âm
Cho số phức $z = 3 + 2i.$ Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\bar z.$
-
A.
Phần thực bằng $ - 3$ và phần ảo bằng $ - 2i.$
-
B.
Phần thực bằng $3$ và phần ảo bằng $ - 2.$
-
C.
Phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng $2i.$
-
D.
Phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng \(2\).
Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó
-
A.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
-
B.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
-
C.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.
-
D.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.
Trong $C$, cho phương trình $a{z^2} + bz + c = 0(a \ne 0)(*),a,b,c\in R$. Gọi $\Delta = {b^2} - 4ac$, ta xét các mệnh đề sau:
1) Nếu \(\Delta \) là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm
2) Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt
3) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình (*) có nghiệm kép
Trong các mệnh đề trên
-
A.
Không có mệnh đề nào đúng
-
B.
Có $1$ mệnh đề đúng
-
C.
Có $2$ mệnh đề đúng
-
D.
Cả $3$ mệnh đề đều đúng
Cho ba điểm \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) lần lượt biểu diễn ba số phức \({z_1},{\rm{ }}{z_2},{\rm{ }}{z_3}\) với \({z_3} \ne {z_1}\) và \({z_3} \ne {z_2}.\) Biết \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\) và \({z_1} + {z_2} = 0.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\).
-
B.
Tam giác \(ABC\) đều
-
C.
Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\).
-
D.
Tam giác \(ABC\) cân tại \(C\).
Tìm số phức có phần thực bằng $12$ và mô đun bằng $13$:
-
A.
$5 \pm 12i$
-
B.
$12 + 5i$
-
C.
$12 \pm 5i$
-
D.
$12 \pm i$
Thu gọn số phức $w = {i^5} + {i^6} + {i^7} + ... + {i^{18}}$ có dạng \(a + bi\). Tính tổng \(S = a + b.\)
-
A.
\(S = 0.\)
-
B.
\(S = {2^{10}} + 1.\)
-
C.
\(S = 1\).
-
D.
\(S = {2^{10}}\).
Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.
-
A.
$\left| z \right| = 25\sqrt 2 $
-
B.
$\left| z \right| = 7\sqrt 2 $
-
C.
$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $
-
D.
$\left| z \right| = \sqrt 2 $
Kí hiệu \({z_1},{\rm{ }}{z_2},\,{\rm{ }}{z_3}\) và \({z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình $6{z^4} + 19{z^2} + 15 = 0.$ Tính tổng \(T = \dfrac{1}{{{z_1}}} + \dfrac{1}{{{z_2}}} + \dfrac{1}{{{z_3}}} + \dfrac{1}{{{z_4}}}.\)
-
A.
$T = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + i.$
-
B.
$T = 2\sqrt 2 .$
-
C.
$T = 0.$
-
D.
$T = - \,2.$
Cho số phức \({\rm{w}}\)và hai số thực \(a,b\). Biết \({z_1} = {\rm{w}} + 2i\) và \({z_2} = 2w - 3\) là 2 nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
-
A.
\(T = 2\sqrt {13} \).
-
B.
\(T = \dfrac{{2\sqrt {97} }}{3}\).
-
C.
\(T = \dfrac{{2\sqrt {85} }}{3}\).
-
D.
\(T = 4\sqrt {13} \).
Gọi ${z_1}$, ${z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - 2z + 2 = 0$. Tính giá trị biểu thức $P = z_1^{2016} + z_2^{2016}.$
-
A.
\(P = {2^{1009}}\).
-
B.
\(P = {2^{1008}}\).
-
C.
\(P = 2\).
-
D.
\(P = 0\).
Tập điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn ${\left| z \right|^2} = {z^2}$ là:
-
A.
Cả mặt phẳng
-
B.
Đường thẳng
-
C.
Một điểm
-
D.
Hai đường thẳng
Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(2|z - 1 - 2i| = |3i + 1 - 2\bar z|\).
-
A.
Đường thẳng $2x + 14y - 5 = 0$
-
B.
Đường thẳng $6x + 1 = 0$
-
C.
Đường thẳng $3x + 4y + 5 = 0$
-
D.
Đường thẳng $3x - 4y - 5 = 0$
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1| = 1\).
-
A.
\(\sqrt 2 \)
-
B.
\(0\)
-
C.
\( - 1\)
-
D.
\(\sqrt 3 \).
Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2\) , gọi \({z_0}\) là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó:
-
A.
Không tồn tại số phức
-
B.
\(\left| {{z_0}} \right| = 2\)
-
C.
\(\left| {{z_0}} \right| = 7\)
-
D.
\(\left| {{z_0}} \right| = 3.\)
Xét số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right| = 6\sqrt 2 \). Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(\left| {z - 1 + i} \right|\). Tính \(P = m + M\).
-
A.
\(P = \sqrt {13} + \sqrt {73} \)
-
B.
\(P = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}\)
-
C.
\(P = 5\sqrt 2 + \sqrt {73} \)
-
D.
\(P = \dfrac{{5\sqrt 2 + \sqrt {73} }}{2}\)
Lời giải và đáp án
Giả sử ${z_1};{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình: ${z^2} - 2z + 5 = 0$ và $A,B$ là các điểm biểu diễn của ${z_1};{z_2}$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là
-
A.
$\left( {0;1} \right)$
-
B.
$(0; - 1)$
-
C.
$\left( {1;1} \right)$
-
D.
$\left( {1;0} \right)$
Đáp án : D
- Giải phương trình bậc hai tìm hai nghiệm \({z_1},{z_2}\).
- Số phức \(z = a + bi\) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là \(M\left( {a;b} \right)\).
- Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là \(\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)
Phương trình: ${z^2}-2z + 5 = 0$
Có: $\Delta ' = 1 - 5 = - 4 = 4{i^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {4{i^2}} = 2i$
\( \Rightarrow \) Phương trình có $2$ nghiệm là: ${z_1} = 1 + 2i;{z_2} = 1 - 2i$
Khi đó: $A\left( {1;2} \right),B(1; - 2)$
Tọa độ trung điểm đoạn thẳng $AB$ là: $\left( {1;0} \right)$
Cho số phức $z = 2 + 5i$. Tìm số phức \(w = iz + \overline z \).
-
A.
$w = 7-3i$
-
B.
$w = -3-3i$
-
C.
$w = 3 + 7i$
-
D.
$w = -7-7i$
Đáp án : B
- Tìm số phức \(\overline z = a - bi\).
- Thay \(z,\overline z \) vào \(w\), sử dụng các công thức cộng và nhân số phức để tìm \(w\).
$\overline z = 2 - 5i \Rightarrow w = i\left( {2 + 5i} \right) + 2 - 5i = - 3 - 3i$.
Gọi \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Tính giá trị biểu thức \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}.\)
-
A.
\(P = 2\sqrt {10} \).
-
B.
\(P = 20\).
-
C.
\(P = 40\).
-
D.
\(P = \sqrt {10} \).
Đáp án : B
- Giải phương trình tìm nghiệm.
- Tính mô đun và thay và biểu thức \(P\).
Ta có \({z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = {\left( {3i} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - 1 + 3i = {z_1}\\z = - 1 - 3i = {z_2}\end{array} \right..\)
Suy ra \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left( {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} } \right)^2} = 10 + 10 = 20\).
Kí hiệu \(a\), \(b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(z = i\left( {1 - i} \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\(a = 1,{\rm{ }}b = i.\)
-
B.
\(a = 1,{\rm{ }}b = 1.\)
-
C.
\(a = 1,{\rm{ }}b = - 1.\)
-
D.
\(a = 1,{\rm{ }}b = - i.\)
Đáp án : B
Biến đổi \(z\) về dạng \(z = a + bi\) suy ra phần thực và phần ảo.
Ta có \(z = i\left( {1 - i} \right) = i - {i^2} = i - \left( { - 1} \right) = 1 + i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right..\)
Cho phương trình \(2{z^2} - 3iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(\Delta = - 5i\)
-
B.
\(\Delta = - 3 - 8i\)
-
C.
\(\Delta = 9 - 8i\)
-
D.
\(\Delta = - 9 - 8i\)
Đáp án : D
Phương trình bậc hai \(A{z^2} + Bz + C = 0\left( {A \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta = {B^2} - 4AC\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 3i} \right)^2} - 4.2.i = 9{i^2} - 8i = - 9 - 8i\)
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\dfrac{{1 - i}}{{z + 1}} = 1 + i$. Điểm \(M\) biểu diễn của số phức $w = {z^3} + 1$ trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ là:
-
A.
\(M\left( {2; - 3} \right)\).
-
B.
\(M\left( {2;3} \right)\).
-
C.
\(M\left( {3; - 2} \right)\).
-
D.
\(M\left( {3;2} \right)\).
Đáp án : C
- Tính \(z\) suy ra \(w\) và điểm biểu diễn của \(w\).
Ta có $\dfrac{{1 - i}}{{z + 1}} = 1 + i \Leftrightarrow z + 1 = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}}$ $ \Leftrightarrow z + 1 = - i \Rightarrow z = - 1 - i$
Suy ra $w = {z^3} + 1 = {\left( { - 1 - i} \right)^3} + 1 = - {\left( {1 + i} \right)^3} + 1 = 3 - 2i$
$ \Rightarrow M\left( {3; - 2} \right)$
Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của số phức \(z\), biết tập hợp các điểm \(M\) là phần tô đậm ở hình bên (kể cả biên). Mệnh đề nào sau đây đúng ?
-
A.
\(z\) có phần ảo không nhỏ hơn phần thực
-
B.
\(z\) có phần thực không nhỏ hơn phần ảo và có môđun không lớn hơn \(3.\)
-
C.
\(z\) có phần thực bằng phần ảo.
-
D.
\(z\) có môđun lớn hơn \(3.\)
Đáp án : B
- Gọi \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)\).
- Tập hợp các điểm bên trong đường tròn tâm O bán kính R là \(x^2+y^2 \le R^2\).
- Tập hợp các điểm bên dưới đường thẳng \(y=x\) là \(y \le x\).
- Nhận xét mối quan hệ của x và y.
Gọi \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn \(z\) trên mặt phẳng tọa độ.
Phần tô đậm là phần nằm dưới đường thẳng \(y=x\) và trong đường tròn tâm O bán kính 3 nên tọa độ của M thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} \le 9\\y \le x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 3\\y \le x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| \le 3\\y \le x\end{array} \right..\)
Tìm các giá trị của tham số thực \(x,\,{\rm{ }}y\) để số phức \(z = {\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5\) là số thực.
-
A.
\(x = 1\) và \(y = 0\).
-
B.
\(x = - 1\).
-
C.
\(x = 1\) hoặc \(y = 0\).
-
D.
\(x = 1\).
Đáp án : C
Số phức \(z = a + bi\) là số thực nếu \(b = 0\).
Ta có \(z = {\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5\)\( = {x^2} + 2ixy - {y^2} - 2x - 2iy + 5\)
\( = \left( {{x^2} - {y^2} - 2x + 5} \right) + 2\left( {xy - y} \right)i.\)
Để \(z\) là số thực \( \Leftrightarrow 2\left( {xy - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.\).
Cho \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\({z_1} + {z_2} = 2i\)
-
B.
\({z_1}{z_2} = - 2i\)
-
C.
\({z_1}{z_2} = 2i\)
-
D.
\({z_1} + {z_2} = - 2i\)
Đáp án : D
Sử dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A} = \dfrac{{ - 2i}}{1} = - 2i\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A} = \dfrac{i}{1} = i\end{array} \right.\)
Vậy \({z_1} + {z_2} = - 2i\).
Số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| + z = 0$. Khi đó:
-
A.
$z$ là số thuần ảo
-
B.
Môđun của $z$ bằng $1$
-
C.
$z$ là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0
-
D.
Phần thực của $z$ là số âm
Đáp án : C
Đặt $z = a + bi$ , tính $\left| z \right|$ sau đó thay vào phương trình $\left| z \right| + z = 0$. Từ đó tìm được $a$ và $b$
Đặt $z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Ta có: $\left| z \right| + z = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 0 + 0i$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\left| a \right| + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a \le 0\end{array} \right.$
Cho số phức $z = 3 + 2i.$ Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\bar z.$
-
A.
Phần thực bằng $ - 3$ và phần ảo bằng $ - 2i.$
-
B.
Phần thực bằng $3$ và phần ảo bằng $ - 2.$
-
C.
Phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng $2i.$
-
D.
Phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng \(2\).
Đáp án : B
Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(\overline z = a - bi\).
Từ $z = 3 + 2i$, suy ra $\bar z = 3 - 2i$.
Vậy phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng \( - 2\).
Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó
-
A.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
-
B.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
-
C.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.
-
D.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.
Đáp án : D
Cho số phức $ z = a + bi\Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{a + bi}} = \dfrac{{a - bi}}{{(a - bi)(a + bi)}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} - {{(bi)}^2}}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}$
Ta có: $z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 i}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{(1 - \sqrt 3 i)(1 + \sqrt 3 i)}} $
$= \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{{1^2} - {{(\sqrt 3 i)}^2}}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$
Trong $C$, cho phương trình $a{z^2} + bz + c = 0(a \ne 0)(*),a,b,c\in R$. Gọi $\Delta = {b^2} - 4ac$, ta xét các mệnh đề sau:
1) Nếu \(\Delta \) là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm
2) Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt
3) Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình (*) có nghiệm kép
Trong các mệnh đề trên
-
A.
Không có mệnh đề nào đúng
-
B.
Có $1$ mệnh đề đúng
-
C.
Có $2$ mệnh đề đúng
-
D.
Cả $3$ mệnh đề đều đúng
Đáp án : C
Phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập số phức: $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0,a,b,c \in R} \right)$
- Tính \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
+ \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\).
+ \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_{1,2}} = - \dfrac{b}{{2a}}\).
+ \(\Delta < 0\) thì phương trình có hai nghiệm phức phân biệt \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm i\sqrt { - \Delta } }}{{2a}}\).
1) Sai vì nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình có $2$ nghiệm phức
2) Đúng
3) Đúng
Vậy có $2$ mệnh đề đúng
Cho ba điểm \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) lần lượt biểu diễn ba số phức \({z_1},{\rm{ }}{z_2},{\rm{ }}{z_3}\) với \({z_3} \ne {z_1}\) và \({z_3} \ne {z_2}.\) Biết \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|\) và \({z_1} + {z_2} = 0.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\).
-
B.
Tam giác \(ABC\) đều
-
C.
Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\).
-
D.
Tam giác \(ABC\) cân tại \(C\).
Đáp án : A
Biểu diễn hình học các điểm biểu diễn \({z_1},{z_2},{z_3}\) và nhận xét tam giác \(ABC\).
Giả sử \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = R.\)
Khi đó \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) nằm trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).
Do \({z_1} + {z_2} = 0\) nên hai điểm \(A,{\rm{ }}B\) đối xứng nhau qua \(O.\) Như vậy điểm \(C\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB\) (bỏ đi hai điểm \(A\) và \(B\)) hay tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\).
Tìm số phức có phần thực bằng $12$ và mô đun bằng $13$:
-
A.
$5 \pm 12i$
-
B.
$12 + 5i$
-
C.
$12 \pm 5i$
-
D.
$12 \pm i$
Đáp án : C
Mô đun số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Ta có: \({\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {b^2} = {\left| z \right|^2} - {a^2} \Leftrightarrow b = \pm \sqrt {{{\left| z \right|}^2} - {a^2}} \)
Vậy phần ảo của số phức đó là $ b=\pm \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}} = \pm 5$.
Thu gọn số phức $w = {i^5} + {i^6} + {i^7} + ... + {i^{18}}$ có dạng \(a + bi\). Tính tổng \(S = a + b.\)
-
A.
\(S = 0.\)
-
B.
\(S = {2^{10}} + 1.\)
-
C.
\(S = 1\).
-
D.
\(S = {2^{10}}\).
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = u_1.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\).
Ta có $w = {i^5}\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}} \right) $ $= i.\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}} \right).$
Dễ thấy $T = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}$ là tổng của cấp số nhân có $14$ số hạng, trong đó số hạng đầu tiên ${u_1} = 1$, công bội $q = i$.
Do đó $T = {u_1}\dfrac{{1 - {q^{14}}}}{{1 - q}} = 1.\dfrac{{1 - {i^{14}}}}{{1 - i}} = \dfrac{{1 + 1}}{{1 - i}}$ $ = \dfrac{{2\left( {1 + i} \right)}}{{1 + 1}} = 1 + i$
Vậy \(w = i\left( {1 + i} \right) = - 1 + i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow S = a + b = 0\)
Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.
-
A.
$\left| z \right| = 25\sqrt 2 $
-
B.
$\left| z \right| = 7\sqrt 2 $
-
C.
$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $
-
D.
$\left| z \right| = \sqrt 2 $
Đáp án : C
Áp dụng công thức $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi;\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Ta có: $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = 7 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 $
Kí hiệu \({z_1},{\rm{ }}{z_2},\,{\rm{ }}{z_3}\) và \({z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình $6{z^4} + 19{z^2} + 15 = 0.$ Tính tổng \(T = \dfrac{1}{{{z_1}}} + \dfrac{1}{{{z_2}}} + \dfrac{1}{{{z_3}}} + \dfrac{1}{{{z_4}}}.\)
-
A.
$T = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + i.$
-
B.
$T = 2\sqrt 2 .$
-
C.
$T = 0.$
-
D.
$T = - \,2.$
Đáp án : C
- Giải phương trình tìm các nghiệm \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\).
- Thay vào tính giá trị biểu thức và kết luận.
Phương trình $6{z^4} + 19{z^2} + 15 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {2{z^2} + 3} \right)\left( {3{z^2} + 5} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{z^2} = - \,3\\3{z^2} = - \,5\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = - \dfrac{3}{2}\\{z^2} = - \dfrac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = \dfrac{{3{i^2}}}{2}\\{z^2} = \dfrac{{5{i^2}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm \,\dfrac{{i\sqrt 6 }}{2}\\z = \pm \,\dfrac{{i\sqrt {15} }}{3}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow T = \dfrac{2}{{i\sqrt 6 }} - \dfrac{2}{{i\sqrt 6 }} + \dfrac{3}{{i\sqrt {15} }} - \dfrac{3}{{i\sqrt {15} }} = 0$
Cho số phức \({\rm{w}}\)và hai số thực \(a,b\). Biết \({z_1} = {\rm{w}} + 2i\) và \({z_2} = 2w - 3\) là 2 nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
-
A.
\(T = 2\sqrt {13} \).
-
B.
\(T = \dfrac{{2\sqrt {97} }}{3}\).
-
C.
\(T = \dfrac{{2\sqrt {85} }}{3}\).
-
D.
\(T = 4\sqrt {13} \).
Đáp án : B
Nếu \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\) thì \({z_1} = \overline {{z_2}} \).
Đặt \({\rm{w}} = x + yi\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}{z_1} = x + yi + 2i = x + \left( {y + 2} \right)i;{z_2} = 2(x + yi) - 3 = \left( {2x - 3} \right) + 2yi \\ \Rightarrow {z_2} = \left( {2x - 3} \right) - 2yi\\{z_1} = \overline {{z_2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x - 3\\y + 2 = - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + \dfrac{4}{3}i\\{z_2} = 3 - \dfrac{4}{3}i\end{array} \right. \\ \Rightarrow T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)}^2}} + \sqrt {{3^2} + {{\left( { - \dfrac{4}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{2\sqrt {97} }}{3}\end{array}\)
Gọi ${z_1}$, ${z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - 2z + 2 = 0$. Tính giá trị biểu thức $P = z_1^{2016} + z_2^{2016}.$
-
A.
\(P = {2^{1009}}\).
-
B.
\(P = {2^{1008}}\).
-
C.
\(P = 2\).
-
D.
\(P = 0\).
Đáp án : A
- Giải phương trình tìm nghiệm.
- Thay vào tính giá trị biểu thức.
Biệt số $\Delta = 4 - 8 = - 4 = {\left( {2i} \right)^2}$.
Do đó phương trình có hai nghiệm phức: ${z_1} = \dfrac{{2 - 2i}}{2} = 1 - i$ và ${z_2} = \dfrac{{2 + 2i}}{2} = 1 + i$.
Suy ra $z_1^{2016} = {\left( {1 - i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right]^{1008}} = {\left( { - 2i} \right)^{1008}} = {\left( { - 2} \right)^{1008}}.{i^{1008}} = {2^{1008}}.1 = {2^{1008}}$;
$z_2^{2016} = {\left( {1 + i} \right)^{2016}} = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1008}} = {\left( {2i} \right)^{1008}} = {2^{1008}}.{i^{1008}} = {2^{1008}}.1 = {2^{1008}}$.
Vậy $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {2^{1008}} + {2^{1008}} = {2^{1009}}$.
Tập điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn ${\left| z \right|^2} = {z^2}$ là:
-
A.
Cả mặt phẳng
-
B.
Đường thẳng
-
C.
Một điểm
-
D.
Hai đường thẳng
Đáp án : B
Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\).
Bước 2: Thay \(z = x + yi\) vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa \(x,y\).
Bước 3: Kết luận:
- Phương trình đường thẳng: \(Ax + By + C = 0\)
- Phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)
- Phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\) hoặc \(x = a{y^2} + by + c\)
- Phương trình elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Đặt $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right)$ thì ${\left| z \right|^2} = {z^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {x^2} + 2xyi - {y^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\{x^2} + {y^2} = {x^2} - {y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 0\end{array} \right.$
Do đó tập điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $y = 0$.
Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(2|z - 1 - 2i| = |3i + 1 - 2\bar z|\).
-
A.
Đường thẳng $2x + 14y - 5 = 0$
-
B.
Đường thẳng $6x + 1 = 0$
-
C.
Đường thẳng $3x + 4y + 5 = 0$
-
D.
Đường thẳng $3x - 4y - 5 = 0$
Đáp án : A
Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn là \(M(x;y)\)
Bước 2: Thay \(z\) vào đề bài \( \Rightarrow \) Sinh ra một phương trình:
+) Đường thẳng: \(Ax + By + C = 0.\)
+) Đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0.\)
+) Parabol: \(y = a.{x^2} + bx + c\)
+) Elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} = 1\)
Giả sử ta có số phức $z = x + yi$. Thay vào điều kiện \(2|z - 1 - 2i| = |3i + 1 - 2\bar z|\) có
\(2|(x + yi) - 1 - 2i| = |3i + 1 - 2(x - yi)| \Leftrightarrow 2|(x - 1) + (y - 2)i| = |(1 - 2x) + (3 + 2y)i|\) \( \Leftrightarrow 2\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2}} = \sqrt {{{(1 - 2x)}^2} + {{(3 + 2y)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow 4{(x - 1)^2} + 4{(y - 2)^2} = {(1 - 2x)^2} + {(3 + 2y)^2}\)
\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 8x + 4 + 4{y^2} - 16y + 16 = 4{x^2} - 4x + 1 + 4{y^2} + 12y + 9\)
\( \Leftrightarrow 4x + 28y - 10 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2x + 14y - 5 = 0\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1| = 1\).
-
A.
\(\sqrt 2 \)
-
B.
\(0\)
-
C.
\( - 1\)
-
D.
\(\sqrt 3 \).
Đáp án : B
Gọi \(z = x + yi\), thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ \(x,y\).
Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho \(\left| z \right|\) đạt GTNN.
Có \(\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}} = 1 + 3i\). Đặt \(z = x + yi\) thì
\(\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1 = (1 + 3i)(x + yi) - 1 = (x - 3y - 1) + (3x + y)i\)
Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành
\({(x - 3y - 1)^2} + {(3x + y)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow {(x - 3y)^2} - 2(x - 3y) + 1 + {(3x + y)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow 10{x^2} + 10{y^2} - 2x + 6y = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - \dfrac{1}{5}x} \right) + \left( {{y^2} + \dfrac{3}{5}y} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{3}{{10}}} \right)^2} = \dfrac{1}{{10}}\) (*)
Điểm biểu diễn \(M(x,y)\) của \(z\) chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm \(M(x,y)\) thuộc đường tròn này để $OM$ nhỏ nhất.
Vì đường tròn này qua $O$ nên min $OM = 0$ khi \(M \equiv O\) hay $M\left( {0,0} \right)$, do đó $z = 0$ hay $min\left| z \right| = 0$.
Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2\) , gọi \({z_0}\) là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó:
-
A.
Không tồn tại số phức
-
B.
\(\left| {{z_0}} \right| = 2\)
-
C.
\(\left| {{z_0}} \right| = 7\)
-
D.
\(\left| {{z_0}} \right| = 3.\)
Đáp án : D
- Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\)
- Bước 2: Thay \(z\) và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \(x,y\) suy ra tập hợp biểu diễn của số phức \(z\).
- Bước 3: Sử dụng mối quan hệ hình học để tìm mô đun số phức cần tìm.
Giả sử $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)$ ta có:
$\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {(a + 3) + (b + 4)i} \right| = 2 \Leftrightarrow {(a + 3)^2} + {(b + 4)^2} = 4$
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn tâm $I\left( { - 3; - 4} \right)$ và bán kính $r = 2$
Từ hình vẽ ta thấy số phức \({z_0}\) có mô đun nhỏ nhất nếu \({z_0}\) có điểm biểu diễn là \(M\).
Ta có: $\overrightarrow {OI} = ( - 3; - 4)$ nên đường thẳng đi qua \(O\) và \(I\) là $OI:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 4t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3t;4t} \right)$
Mặt khác $M \in \left( C \right)$ nên: ${\left( {3t + 3} \right)^2} + {\left( {4t + 4} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow 25{t^2} + 50t + 21 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 3}}{5}\\t = \dfrac{{ - 7}}{5}\end{array} \right.$
$M\left( {\dfrac{{ - 9}}{5};\dfrac{{ - 12}}{5}} \right)$ hoặc $M\left( {\dfrac{{ - 21}}{5};\dfrac{{ - 28}}{5}} \right)$
$M\left( {\dfrac{{ - 9}}{5};\dfrac{{ - 12}}{5}} \right)$ thuộc $\left( C \right)$ và gần $O$ nhất.
$ \Rightarrow z = \dfrac{{ - 9}}{5} - \dfrac{{12}}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = 3$
Xét số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right| = 6\sqrt 2 \). Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(\left| {z - 1 + i} \right|\). Tính \(P = m + M\).
-
A.
\(P = \sqrt {13} + \sqrt {73} \)
-
B.
\(P = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}\)
-
C.
\(P = 5\sqrt 2 + \sqrt {73} \)
-
D.
\(P = \dfrac{{5\sqrt 2 + \sqrt {73} }}{2}\)
Đáp án : B
- Gọi $z = x + yi$ và tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn bài toán.
- Biểu diễn tập hợp điểm đó trên hệ trục tọa độ từ đó tìm GTLN, GTNN của biểu thức đã cho.
Gọi $z=x+yi\left( x,y\in R \right)$
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ gọi $P\left( {x;y} \right)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$
Gọi $A\left( {-2;1} \right),B\left( {4;7} \right)$ thì
$\begin{array}{l}AB = 6\sqrt 2 = \left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 - 7i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 7} \right)}^2}} = PA + PB\end{array}$
Suy ra tập hợp các điểm $P$ thỏa mãn chính là đoạn thẳng AB
Có $\left| {z - 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = PC$ với $C\left( {1;-1} \right)$
Do đó \(P{C_{\min }}\) khi \(P\) là hình chiếu của \(C\) lên \(AB\) và \(P{C_{\max }}\) khi \(P \equiv B\)
Suy ra $M = CB = \sqrt {73} $.
Ta có: \(AB:\dfrac{{x + 2}}{{4 + 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{7 - 1}} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\)\( \Rightarrow m=d\left( {C,AB} \right) = \dfrac{{\left| {1 - \left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{5}{{\sqrt 2 }}\)
$\Rightarrow M + m = \dfrac{{5\sqrt 2 + 2\sqrt {73} }}{2}$
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
