-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 4: Giới hạn - Đề số 2
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\,\,\,khi\,\,0 < x < 9\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\\\dfrac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 9\end{array} \right.\). Tìm \(m\) để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
-
A.
\(\dfrac{1}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{6}\)
-
D.
$1$
Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - x\cos x\,\,\,khi\,\,x < 0\\\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le x < 1\\{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\end{array} \right.\)
-
A.
Liên tục tại mọi điểm trừ điểm $x = 0.$
-
B.
Liên tục tại mọi điểm trừ $x = 1.$
-
C.
Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm $x = 0$ và $x = 1.$
-
D.
Liên tục tại mọi điểm \(x \in R\).
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3{x^3} - 1}} + \sqrt {{x^2} + 2} } \right)\) là:
-
A.
\(\sqrt[3]{3} + 1.\)
-
B.
\( + \infty .\)
-
C.
\(\sqrt[3]{3} - 1.\)
-
D.
\( - \infty \).
Cho ${u_n} = \dfrac{{1 - 4n}}{{5n}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{5}.$
-
B.
$ - \dfrac{4}{5}.$
-
C.
$\dfrac{4}{5}.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{5}.$
Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng $ + \infty $?
-
A.
${u_n} = \dfrac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 5{n^2}}}.$
-
B.
${u_n} = \dfrac{{1 + {n^2}}}{{5n + 5}}.$
-
C.
${u_n} = \dfrac{{1 + 2n}}{{5n + 5{n^2}}}.$
-
D.
${u_n} = \dfrac{{1 - {n^2}}}{{5n + 5}}.$
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}\) là:
-
A.
\(\dfrac{5}{6}.\)
-
B.
\(\dfrac{{13}}{{12}}.\)
-
C.
\(\dfrac{{11}}{{12}}.\)
-
D.
\( - \dfrac{{13}}{{12}}.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\). Khi đó ta có thể hiểu rằng:
-
A.
Giới hạn của \(y = f\left( x \right)\) khi \(x\) tiến dần về \({x_0}\) bằng số \(L\).
-
B.
Giới hạn của \(y = f\left( x \right)\) khi \(x\) tiến dần về \({x_0}\) và \(x > {x_0}\) bằng số \(L\).
-
C.
Giới hạn của \(y = f\left( x \right)\) khi \(x\) tiến dần về \({x_0}\) và \(x = {x_0}\) bằng số \(L\).
-
D.
Giới hạn của \(y = f\left( x \right)\) khi \(x\) tiến dần về \({x_0}\) và \(x < {x_0}\) bằng số \(L\).
Giá trị \(\lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\) bằng
-
A.
\( - 1.\)
-
B.
\(1.\)
-
C.
\( + \infty .\)
-
D.
\(0.\)
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) có \(\lim {u_n} = \sqrt 3 \) và \(\lim {v_n} = - 2\sqrt 3 \). Giới hạn \(I = \lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?
-
A.
\(I > 0\)
-
B.
\(I = 0\)
-
C.
\(I < 0\)
-
D.
\(I > 1\)
Chọn đáp án đúng:
-
A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty \)
-
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4} = - \infty \)
-
C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4}} \right) = + \infty \)
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^4}} \right) = + \infty \)
Cho các dãy số \({u_n} = \dfrac{1}{n},n \ge 1\) và \({v_n} = {n^2},n \ge 1\). Khi đó:
-
A.
\(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = 0\)
-
B.
\(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = + \infty \)
-
C.
\(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = - \infty \)
-
D.
\(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = 1\)
Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\left| {3x + 6} \right|}}{{x + 2}}$ là:
-
A.
\( - \infty .\)
-
B.
\(3.\)
-
C.
\( + \infty .\)
-
D.
Không xác định.
Giới hạn $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$bằng?
-
A.
$1.$
-
B.
$\dfrac{2}{3}.$
-
C.
$ - 1.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{3}.$
Dãy số nào sau đây có giới hạn \(0\)?
-
A.
\({u_n} = \dfrac{n}{2}\)
-
B.
\({u_n} = \dfrac{2}{n}\)
-
C.
\({u_n} = n\)
-
D.
\({u_n} = \sqrt n \)
Chọn đáp án đúng: Với \(c,k\) là các hằng số và \(k\) nguyên dương thì:
-
A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\)
-
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = + \infty \)
-
C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = 0\)
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = - \infty \)
Giá trị của \(C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}}\) bằng:
-
A.
\( + \infty \)
-
B.
\( - \infty \)
-
C.
$0$
-
D.
$1$
Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Dãy $({u_n})$là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $.
-
B.
Dãy $({u_n})$là dãy tăng tới $1$ khi $n \to + \infty $.
-
C.
Không tồn tại giới hạn của dãy $({u_n})$.
-
D.
Cả 3 đáp án trên đều sai
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} - x} \right)$ bằng?
-
A.
$-1.$
-
B.
$0.$
-
C.
$\dfrac{1}{2}.$
-
D.
$1$
Tính$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - 1)\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} $ bằng?
-
A.
$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.
-
B.
$\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$
-
C.
$\dfrac{1}{2}.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{2}.$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & {\rm{khi}}\,\,x < 3,\,\,x \ne 1\\4 & {\rm{khi}}\,\,x = 1\\\sqrt {x + 1} & {\rm{khi}}\,\,x \ge 3\end{array} \right.\). Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại:
-
A.
mọi điểm thuộc \(\mathbb{R}\).
-
B.
mọi điểm trừ \(x = 1\).
-
C.
mọi điểm trừ \(x = 3\).
-
D.
mọi điểm trừ \(x = 1\) và \(x = 3\).
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}}&{{\rm{khi }}x \ne 1}\\{3x + m}&{{\rm{khi }}x = 1}\end{array}} \right.$ liên tục tại \(x = 1.\)
-
A.
\(m = 0.\)
-
B.
\(m = 2.\)
-
C.
\(m = 4.\)
-
D.
\(m = 6.\)
Cho $a$ và $b$ là các số thực khác $0.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) liên tục tại $x = 0.$
-
A.
$a = 5b$
-
B.
$a = 10b$
-
C.
$a = b$
-
D.
$a = 2b.$
Cho dãy số $({u_n})$xác định bởi
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} + {u_n}}}{2},\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\)
Đặt ${v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{u_{_i}^2}}}, $ khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
Không tồn tại giới hạn của ${v_n}$.
-
B.
${v_n}$ có giới hạn hữu hạn là $\infty $.
-
C.
${v_n}$ có giới hạn hữu hạn và $\lim {v_n} = 0.$
-
D.
${v_n}$ có giới hạn hữu hạn và $\lim {v_n} = 6.$
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$
-
A.
$\dfrac{{23}}{2}$.
-
B.
$24$.
-
C.
$\dfrac{3}{2}$.
-
D.
$3$.
Cho \(a, b\) là các số thực khác \(0\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để hàm số sau liên tục tại \(x = 0\): \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x}\,\,\,\,\,khi\,x \ne 0\\a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\)
-
A.
\(a + b = 0\)
-
B.
\(2a + b = 0\)
-
C.
\(3a + 4b = 0\)
-
D.
\(3a + 2b = 0\)
Lời giải và đáp án
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\,\,\,khi\,\,0 < x < 9\\m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\\\dfrac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 9\end{array} \right.\). Tìm \(m\) để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
-
A.
\(\dfrac{1}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{6}\)
-
D.
$1$
Đáp án : C
Sử dụng lý thuyết:
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {a; + \infty } \right)\) nếu nó liên tục trên \(\left( {a; + \infty } \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).
Do đó ta chỉ cần xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0$ và $x = 9.$
Hàm số liên tục trên \(\left( {0;9} \right) \cup \left( {9; + \infty } \right)\), ta cần xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0$ và $x = 9.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{9 - \left( {9 - x} \right)}}{{x\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{1}{{3 + \sqrt {9 - x} }} = \dfrac{1}{6}$
Mà $f\left( 0 \right) = m$ $\Rightarrow $ để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} = m\).
$\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \dfrac{3}{x} = \dfrac{1}{3}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \dfrac{{3 - 0}}{9} = \dfrac{1}{3}\\f\left( 9 \right) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right\} $
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = f\left( 9 \right) $ $\Rightarrow $ hàm số liên tục tại $x = 9.$
Vậy với \(m = \dfrac{1}{6}\) thì hàm số liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)
Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - x\cos x\,\,\,khi\,\,x < 0\\\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le x < 1\\{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\end{array} \right.\)
-
A.
Liên tục tại mọi điểm trừ điểm $x = 0.$
-
B.
Liên tục tại mọi điểm trừ $x = 1.$
-
C.
Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm $x = 0$ và $x = 1.$
-
D.
Liên tục tại mọi điểm \(x \in R\).
Đáp án : B
Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0$ và $x = 1$
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^+}} f\left( x \right) =\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^-}} f\left( x \right) =f\left( {{x_0}} \right)\)
Tức là, ta cần tìm giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị của hàm số tại mỗi điểm cần xét tính liên tục.
+ Nếu hai giới hạn đó bằng nhau và bằng giá trị hàm số tại điểm đó thì hàm số liên tục.
+ Nếu giới hạn trái không bằng giới hạn phải thì hàm số không liên tục tại điểm xét.
+ Nếu hai giới hạn bằng nhau nhưng không bằng giá trị thì hàm số cũng không liên tục tại điểm xét.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right),\left( {0;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\) nên ta chỉ xét tính liên tục của \(y = f\left( x \right)\) tại các điểm \(x = 0,x = 1\).
\(\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} \right) = 0\\f\left( 0 \right) = \dfrac{0}{{1 + 0}} = 0\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \) \(\Rightarrow \) hàm số liên tục tại $x = 0.$
\(\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^3} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}} = \dfrac{1}{{1 + 1}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow \)Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) \( \Rightarrow \) hàm số không liên tục tại $x = 1.$
Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm trừ $x = 1.$
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3{x^3} - 1}} + \sqrt {{x^2} + 2} } \right)\) là:
-
A.
\(\sqrt[3]{3} + 1.\)
-
B.
\( + \infty .\)
-
C.
\(\sqrt[3]{3} - 1.\)
-
D.
\( - \infty \).
Đáp án : B
Đặt \(x\) làm nhân tử chung.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3{x^3} - 1}} + \sqrt {{x^2} + 2} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt[3]{{3 - \dfrac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } \right) = + \infty \) vì \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3 - \dfrac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } \right) = \sqrt[3]{3} + 1 > 0\end{array} \right..\)
Cho ${u_n} = \dfrac{{1 - 4n}}{{5n}}$. Khi đó $\lim {u_n}$bằng?
-
A.
$\dfrac{1}{5}.$
-
B.
$ - \dfrac{4}{5}.$
-
C.
$\dfrac{4}{5}.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{5}.$
Đáp án : B
Chia cả tử mẫu của phân thức cho n.
$\lim {u_n} = \lim \dfrac{{1 - 4n}}{{5n}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{n} - 4}}{5} = \dfrac{{ - 4}}{5} = - \dfrac{4}{5}.$
Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng $ + \infty $?
-
A.
${u_n} = \dfrac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 5{n^2}}}.$
-
B.
${u_n} = \dfrac{{1 + {n^2}}}{{5n + 5}}.$
-
C.
${u_n} = \dfrac{{1 + 2n}}{{5n + 5{n^2}}}.$
-
D.
${u_n} = \dfrac{{1 - {n^2}}}{{5n + 5}}.$
Đáp án : B
Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${n^2}$.
$\begin{array}{l}\lim \dfrac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 5{n^2}}} = \lim \dfrac{{1 - \dfrac{2}{n}}}{{\dfrac{5}{n} + 5}} = \dfrac{1}{5}.\\\lim \dfrac{{1 + {n^2}}}{{5n + 5}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{n^2}}} + 1}}{{\dfrac{5}{n} + \dfrac{5}{{{n^2}}}}} = + \infty .\\\lim \dfrac{{1 + 2n}}{{5n + 5{n^2}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{2}{n}}}{{\dfrac{5}{n} + 5}} = \dfrac{0}{5} = 0.\\\lim \dfrac{{1 - {n^2}}}{{5n + 5}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{n^2}}} - 1}}{{\dfrac{5}{n} + \dfrac{5}{{{n^2}}}}} = - \infty .\end{array}$
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}\) là:
-
A.
\(\dfrac{5}{6}.\)
-
B.
\(\dfrac{{13}}{{12}}.\)
-
C.
\(\dfrac{{11}}{{12}}.\)
-
D.
\( - \dfrac{{13}}{{12}}.\)
Đáp án : B
Thêm bớt số hạng, nhân liên hợp khử dạng vô định \(\dfrac{0}{0}\) và tính giới hạn.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sqrt {1 + x} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{2\sqrt {1 + x} - 2}}{x} + \dfrac{{2 - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}} \right)\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{2}{{\sqrt {x + 1} + 1}} + \dfrac{1}{{4 + 2\sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}}}} \right) = 1 + \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{{13}}{{12}}.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\). Khi đó ta có thể hiểu rằng:
-
A.
Giới hạn của \(y = f\left( x \right)\) khi \(x\) tiến dần về \({x_0}\) bằng số \(L\).
-
B.
Giới hạn của \(y = f\left( x \right)\) khi \(x\) tiến dần về \({x_0}\) và \(x > {x_0}\) bằng số \(L\).
-
C.
Giới hạn của \(y = f\left( x \right)\) khi \(x\) tiến dần về \({x_0}\) và \(x = {x_0}\) bằng số \(L\).
-
D.
Giới hạn của \(y = f\left( x \right)\) khi \(x\) tiến dần về \({x_0}\) và \(x < {x_0}\) bằng số \(L\).
Đáp án : D
Khi \(x \to x_0^ - \) ta hiểu là \(x\) tiến dần về \({x_0}\) và \(x < {x_0}\).
Giá trị \(\lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}\) bằng
-
A.
\( - 1.\)
-
B.
\(1.\)
-
C.
\( + \infty .\)
-
D.
\(0.\)
Đáp án : D
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi \(n\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
Ta có \(\left| {\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right| = \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < \dfrac{1}{{n.n}} = \dfrac{1}{{{n^2}}}\) mà \(\lim \dfrac{1}{{{n^2}}} = 0\) nên suy ra \(\lim \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 0\)
Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) có \(\lim {u_n} = \sqrt 3 \) và \(\lim {v_n} = - 2\sqrt 3 \). Giới hạn \(I = \lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?
-
A.
\(I > 0\)
-
B.
\(I = 0\)
-
C.
\(I < 0\)
-
D.
\(I > 1\)
Đáp án : C
Sử dụng lý thuyết \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = L + M\).
Ta có: \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \sqrt 3 - 2\sqrt 3 = - \sqrt 3 < 0\).
Chọn đáp án đúng:
-
A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty \)
-
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4} = - \infty \)
-
C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4}} \right) = + \infty \)
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^4}} \right) = + \infty \)
Đáp án : A
Sử dụng chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty \) nếu \(k\) chẵn.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty \) nên A đúng, B sai.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4}} \right) = - \infty \) nên C và D đều sai.
Cho các dãy số \({u_n} = \dfrac{1}{n},n \ge 1\) và \({v_n} = {n^2},n \ge 1\). Khi đó:
-
A.
\(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = 0\)
-
B.
\(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = + \infty \)
-
C.
\(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = - \infty \)
-
D.
\(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = 1\)
Đáp án : B
Ta có: \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim \left( {\dfrac{1}{n}.{n^2}} \right) = \lim n = + \infty \).
Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\left| {3x + 6} \right|}}{{x + 2}}$ là:
-
A.
\( - \infty .\)
-
B.
\(3.\)
-
C.
\( + \infty .\)
-
D.
Không xác định.
Đáp án : B
Phá dấu giá trị tuyệt đối dựa vào điều kiện của \(x\).
Ta có \(\left| {x + 2} \right| = x + 2\) với mọi \(x > - 2,\) do đó :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{\left| {3x + 6} \right|}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{3\left| {x + 2} \right|}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \dfrac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = 3$
Giới hạn $\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$bằng?
-
A.
$1.$
-
B.
$\dfrac{2}{3}.$
-
C.
$ - 1.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{3}.$
Đáp án : D
Bước 1: Chia cả tử mẫu của phân thức cho ${5^n}$.
Bước 2: Sử dụng giới hạn \(\lim {q^n} = 0\) nếu \(\left| q \right| < 1\).
Bước 1:
$\lim \dfrac{{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}}$ $ = \lim \dfrac{{{{2.2}^n} - {{3.5}^n} + 5}}{{{{3.2}^n} + {{9.5}^n}}} $
$= \lim \dfrac{{2.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} - 3 + 5.{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 9}}$
Bước 2:
$ =\dfrac{2.0-3+5.0}{3.0+9}= \dfrac{{ - 3}}{9} = - \dfrac{1}{3}.$
Dãy số nào sau đây có giới hạn \(0\)?
-
A.
\({u_n} = \dfrac{n}{2}\)
-
B.
\({u_n} = \dfrac{2}{n}\)
-
C.
\({u_n} = n\)
-
D.
\({u_n} = \sqrt n \)
Đáp án : B
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) mà \({u_n} = \dfrac{2}{n}\) có giới hạn \(0\).
Chọn đáp án đúng: Với \(c,k\) là các hằng số và \(k\) nguyên dương thì:
-
A.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\)
-
B.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = + \infty \)
-
C.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = 0\)
-
D.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = - \infty \)
Đáp án : A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} = 0\) nên đáp án A đúng.
Giá trị của \(C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1} + n}}\) bằng:
-
A.
\( + \infty \)
-
B.
\( - \infty \)
-
C.
$0$
-
D.
$1$
Đáp án : C
Khi tìm \(\lim \dfrac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
\(\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)
Chú ý: $\left[ \begin{array}{l}\lim \dfrac{0}{a} = 0\\\lim \dfrac{a}{0} = \infty \end{array} \right.$ (a là số bất kì, $a \in R$)
Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\) ta có được : \(C = \lim \dfrac{{\sqrt[4]{{\dfrac{3}{{{n^5}}} + \dfrac{1}{{{n^8}}}}} - \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {2 + \dfrac{3}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}} + \dfrac{1}{n}}} = 0\).
Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi $\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {u_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+1}{2},(n\ge 1) \end{align} \right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Dãy $({u_n})$là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $.
-
B.
Dãy $({u_n})$là dãy tăng tới $1$ khi $n \to + \infty $.
-
C.
Không tồn tại giới hạn của dãy $({u_n})$.
-
D.
Cả 3 đáp án trên đều sai
Đáp án : A
- Tính ${u_2},\,{u_3},...$, từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số.
- Rút ra nhận xét.
\(\begin{array}{l}{u_2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\\{u_3} = \dfrac{{\dfrac{3}{2} + 1}}{2} = \dfrac{5}{4} = \dfrac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}}\\{u_4} = \dfrac{{\dfrac{5}{4} + 1}}{2} = \dfrac{9}{8} = \dfrac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\end{array}\)
Chứng minh bằng quy nạp: ${u_{n + 1}} = \dfrac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$:
* Với $n = 1$: ${u_2} = \dfrac{{{u_1} + 1}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}$ : (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với $n = k \ge 1$, tức là ${u_k} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}$ ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ , tức là cần chứng minh ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$
Ta có : ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^k} + 1 + {2^k}}}{{{2^k}}}}}{2} = \dfrac{{{{2.2}^k} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).
Như vậy, công thức tổng quát của dãy $({u_n})$là: ${u_n} = \dfrac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}} = 1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},\,\,\forall n = 1;2;...\,\,\,\,(*)$
Từ (*) ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^n}}} - \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) \) \(= \dfrac{1}{{{2^n}}} - \dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}} < 0\,\,\forall n = 1,2,... \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm và \(\lim {u_n} = \lim \left( {1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 1 \Rightarrow \)$({u_n})$ là dãy giảm tới $1$ khi $n \to + \infty $
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} - x} \right)$ bằng?
-
A.
$-1.$
-
B.
$0.$
-
C.
$\dfrac{1}{2}.$
-
D.
$1$
Đáp án : C
Bước 1: Nhân liên hợp để khử dạng $\infty - \infty $
Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất.
Bước 3: Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.
Bước 1:
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} - x} \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} + x} \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + x + 3} + x} \right)}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + x + 3 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + x + 3} + x}} \end{array}$
Bước 2:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{3}{x}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} + 1}} $
Bước 3:
$= \dfrac{{1 + 0}}{{\sqrt {1 + 0 + 0} + 1}} = \dfrac{1}{2}$
Tính$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - 1)\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} $ bằng?
-
A.
$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.
-
B.
$\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$
-
C.
$\dfrac{1}{2}.$
-
D.
$ - \dfrac{1}{2}.$
Đáp án : A
- Đưa $x - 1$ vào trong căn: $x - 1 = - \sqrt {{{(x - 1)}^2}} \,\,\,\,khi\,\,x \to - \infty $
- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất.
- Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x - 1)\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - \sqrt {\dfrac{{{x^2}{{(x - 1)}^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} } \right] \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - \sqrt {\dfrac{{{x^2}({x^2} - 2x + 1)}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} } \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - \sqrt {\dfrac{{{x^4} - 2{x^3} + {x^2}}}{{2{x^4} + {x^2} + 1}}} } \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - \sqrt {\dfrac{{1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{2 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^4}}}}}} } \right] = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & {\rm{khi}}\,\,x < 3,\,\,x \ne 1\\4 & {\rm{khi}}\,\,x = 1\\\sqrt {x + 1} & {\rm{khi}}\,\,x \ge 3\end{array} \right.\). Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại:
-
A.
mọi điểm thuộc \(\mathbb{R}\).
-
B.
mọi điểm trừ \(x = 1\).
-
C.
mọi điểm trừ \(x = 3\).
-
D.
mọi điểm trừ \(x = 1\) và \(x = 3\).
Đáp án : D
Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\).
Dễ thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right),\left( {1;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 4\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x = 1.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 3 \right) = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x + 1} \right) = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x = 3.\)
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}}&{{\rm{khi }}x \ne 1}\\{3x + m}&{{\rm{khi }}x = 1}\end{array}} \right.$ liên tục tại \(x = 1.\)
-
A.
\(m = 0.\)
-
B.
\(m = 2.\)
-
C.
\(m = 4.\)
-
D.
\(m = 6.\)
Đáp án : A
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Theo giả thiết ta phải có
$3 + m = f\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow m = 0$
Cho $a$ và $b$ là các số thực khác $0.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) liên tục tại $x = 0.$
-
A.
$a = 5b$
-
B.
$a = 10b$
-
C.
$a = b$
-
D.
$a = 2b.$
Đáp án : B
Bước 1: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) và \(f\left( 0\right)\)
Bước 2: Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)
Bước 1:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{x\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1} + 1}}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a.0 + 1} + 1}} = \dfrac{a}{2}\\f\left( 0 \right) = 5b\end{array}\)
Bước 2:
Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = 5b \Leftrightarrow a = 10b\)
Cho dãy số $({u_n})$xác định bởi
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} + {u_n}}}{2},\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\)
Đặt ${v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{u_{_i}^2}}}, $ khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
Không tồn tại giới hạn của ${v_n}$.
-
B.
${v_n}$ có giới hạn hữu hạn là $\infty $.
-
C.
${v_n}$ có giới hạn hữu hạn và $\lim {v_n} = 0.$
-
D.
${v_n}$ có giới hạn hữu hạn và $\lim {v_n} = 6.$
Đáp án : D
- Biến đổi, rút gọn biểu thức ${v_n}$ rồi tính giới hạn.
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} + {u_n}}}{2} - {u_n} \)
\(= \dfrac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} - {u_n}}}{2} > \dfrac{{\sqrt {u_n^2} - {u_n}}}{2} = 0 \)
\(\Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.
Giả sử $\lim {u_n} = a$ thì $a > 0$ và $a = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 4a} + a}}{2} \Leftrightarrow a = \sqrt {{a^2} + 4a} $ $ \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + 4a \Rightarrow a = 0$ (vô lý).
Suy ra $\lim {u_n} = + \infty $
\(\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{{\sqrt {u_{n - 1}^2 + 4{u_{n - 1}}} + {u_{n - 1}}}}{2} \\ \Leftrightarrow 2{u_n} - {u_{n - 1}} = \sqrt {u_{n - 1}^2 + 4{u_{n - 1}}} \\ \Leftrightarrow 4u_n^2 - 4{u_n}{u_{n - 1}} + u_{n - 1}^2 = u_{n - 1}^2 + 4{u_{n - 1}} \\ \Leftrightarrow u_n^2 = \left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}\end{array}\)
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{1}{{u_n^2}} = \frac{1}{{\left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}}} = \frac{{\left( {{u_n} + 1} \right) - {u_n}}}{{\left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}}}\\
= \frac{{{u_n} + 1}}{{\left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}}} - \frac{{{u_n}}}{{\left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}}} = \frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{{{u_n}}}{{u_n^2}}\\
= \frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{u_n}}}\\
\Rightarrow \frac{1}{{u_n^2}} = \frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{u_n}}}
\end{array}$
Do đó:
\({v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{u_i^2}}} = \dfrac{1}{{u_1^2}} + \left( {\dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_2}}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{u_2}}} - \dfrac{1}{{{u_3}}}} \right) + ... + \left( {\dfrac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \dfrac{1}{{{u_n}}}} \right) = \dfrac{1}{{u_1^2}} + \dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_n}}} = 6 - \dfrac{1}{{{u_n}}} \) \(\Rightarrow \lim {v_n} = \lim \left( {6 - \dfrac{1}{{{u_n}}}} \right) = 6 - 0 = 6.\)
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$
-
A.
$\dfrac{{23}}{2}$.
-
B.
$24$.
-
C.
$\dfrac{3}{2}$.
-
D.
$3$.
Đáp án : D
- Biến đổi biểu thức, đưa về dạng $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{1 + nx}} - 1}}{x}$
- Nhân liên hợp.
Ta có:
$\begin{array}{l}\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1\\ = \sqrt {1 + 2x} - \sqrt {1 + 2x} + \sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}} - \sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}} + \sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1\\ = \left( {\sqrt {1 + 2x} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2x} \left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1} \right) + \sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1} \right)\end{array}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\dfrac{{\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1}}{x}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\dfrac{{\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}} \right)\end{array}$
Tính:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {1 + 2x} - 1} \right)\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\sqrt {1 + 2x} + 1}} = \dfrac{2}{{1 + 1}} = 1$
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\dfrac{{\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right]}}{{x.\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right]}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\dfrac{{3x}}{{x.\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right]}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{3\sqrt {1 + 2x} }}{{\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 3x}}} \right)}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}} + 1} \right]}}} \right) = \dfrac{{3.1}}{{1 + 1 + 1}} = 1\end{array}$
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\dfrac{{\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^2} + \sqrt[4]{{1 + 4x}} + 1} \right]}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^2} + \sqrt[4]{{1 + 4x}} + 1} \right]}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\dfrac{{4x}}{{x\left[ {{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^2} + \sqrt[4]{{1 + 4x}} + 1} \right]}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}}}{{{{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[4]{{1 + 4x}}} \right)}^2} + \sqrt[4]{{1 + 4x}} + 1}} = \dfrac{{4.1.1}}{{1 + 1 + 1 + 1}} = 1\end{array}$
Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 3x}}.\sqrt[4]{{1 + 4x}} - 1}}{x} = 1 + 1 + 1 = 3$
Cho \(a, b\) là các số thực khác \(0\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để hàm số sau liên tục tại \(x = 0\): \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x}\,\,\,\,\,khi\,x \ne 0\\a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\)
-
A.
\(a + b = 0\)
-
B.
\(2a + b = 0\)
-
C.
\(3a + 4b = 0\)
-
D.
\(3a + 2b = 0\)
Đáp án : C
Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 0\).
Để hàm số liên tục tại \(x = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).\)
Ta có:
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right) + \left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right) + \left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right)}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{ax + 1 - 1}}{{\sqrt {ax + 1} + 1}}.\dfrac{{bx + 1 - 1}}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}} + \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{\sqrt {ax + 1} + 1}} + \dfrac{{bx + 1 - 1}}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\dfrac{{abx}}{{\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1} \right)}} + \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1} + 1}} + \dfrac{b}{{{{\sqrt[3]{{bx + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}}} \right]\\ = 0 + \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} = \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3}\end{array}$
Để hàm số liên tục tại \(x = 0 \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3} = a + b \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} + \dfrac{{2b}}{3} = 0 \Leftrightarrow 3a + 4b = 0\)
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
