-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 chương 3: Nguyên hàm - Đề số 1
Đề bài
Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh $Ox$ của hình giới hạn bởi trục $Ox$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2} - ax\,\,\,\,\left( {a > 0} \right)$ bằng $V = 2.$ Khẳng định nào dưới đây đúng ?
-
A.
$a \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right).$
-
B.
$a \in \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right).$
-
C.
$a \in \left( {\dfrac{3}{2};2} \right).$
-
D.
$a \in \left( {2;\dfrac{5}{2}} \right).$
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y=\cos x\) ?
-
A.
\(y=\tan x\)
-
B.
\(y=\cot x\)
-
C.
\(y=\sin x\)
-
D.
\(y=-\sin x\)
Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu:
-
A.
\(F'\left( x \right) = f''\left( x \right)\)
-
B.
\(F'\left( x \right) = f'\left( x \right)\)
-
C.
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\)
-
D.
\(f'\left( x \right) = F\left( x \right)\)
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\left[ {1;4} \right]$ và $f(1) = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f(4) = 10$. Giá trị của $I = \int\limits_1^4 {f'(x)dx} $ là
-
A.
$I = 12$
-
B.
$I = 48$
-
C.
$I = 8$
-
D.
$I = 3$
Tính tích phân \(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\dfrac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx} \) bằng phương pháp đổi biến số \(u = \sqrt {{e^x} - 1} \). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
A.
\(I = \left. {\left( {\dfrac{{{u^3}}}{3} + u} \right)} \right|_1^2\)
-
B.
\(I = \left. {\dfrac{4}{3}\left( {{u^3} + u} \right)} \right|_1^2\)
-
C.
\(I = \left. {2\left( {\dfrac{{{u^3}}}{3} + u} \right)} \right|_1^2\)
-
D.
\(I = \left. {\dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{{u^3}}}{3} + u} \right)} \right|_1^2\)
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác \(2\)?
-
A.
\(\int\limits_1^{{e^2}} {\ln xdx} \).
-
B.
\(\int\limits_0^1 {2dx} \).
-
C.
\(\int\limits_0^\pi {\sin xdx} \).
-
D.
\(\int\limits_0^2 {xdx} \).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có nguyên hàm trên $\left( {a;b} \right)$ đồng thời thỏa mãn \(f\left( a \right) = f\left( b \right)\). Lựa chọn phương án đúng:
-
A.
\(\int\limits_a^b {f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx} = 0\)
-
B.
\(\int\limits_a^b {f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx} = 1\)
-
C.
\(\int\limits_a^b {f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx} = - 1\)
-
D.
\(\int\limits_a^b {f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx} = 2\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:
-
A.
$S = \left| {\int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} } \right|$
-
B.
$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} $
-
C.
$S = \int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
-
D.
$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} dx} \). Đặt \(u = 8 + \cos x\) thì kết quả nào sau đây là đúng?
-
A.
\(I = 2\int\limits_8^9 {\sqrt u du} \)
-
B.
\(I = \dfrac{1}{2}\int\limits_8^9 {\sqrt u du} \)
-
C.
\(I = \int\limits_9^8 {\sqrt u du} \)
-
D.
\(I = \int\limits_8^9 {\sqrt u du} \)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{5}^{2x}}.\)
-
A.
\(\int{{{5}^{2x}}\,\text{d}x}=2.\dfrac{{{5}^{2x}}}{\ln 5}+C.\)
-
B.
\(\int{{{5}^{2x}}\,\text{d}x}=\dfrac{{{25}^{x}}}{2\ln 5}+C.\)
-
C.
\(\int{{{5}^{2x}}\,\text{d}x}={{2.5}^{2x}}\ln 5+C.\)
-
D.
\(\int{{{5}^{2x}}\,\text{d}x}=\dfrac{{{25}^{x\,+\,1}}}{x+1}+C.\)
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 1;\ 3 \right]\) , trục $Ox$ và hai đường thẳng \(x=1,\ \ x=3\) có diện tích là:
-
A.
\(S=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx.}\)
-
B.
\(S=\int\limits_{1}^{3}{\left| f\left( x \right) \right|dx.}\)
-
C.
\(S=\int\limits_{3}^{1}{f\left( x \right)dx.}\)
-
D.
\(S=\int\limits_{3}^{1}{\left| f\left( x \right) \right|dx.}\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(\int {0dx} = C\)
-
B.
\(\int {dx} = C\)
-
C.
\(\int {dx} = 0\)
-
D.
\(\int {0dx} = x + C\)
Trong không gian $Oxyz$, cho vật thể được giới hạn bởi 2 mặt phẳng \((P),\,\,(Q)\) vuông góc với $Ox$ lần lượt tại \(x = a,\,\,x = b,\,\,(a < b)\). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$, \((a \le x \le b)\) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là \(S(x)\), với \(y = S(x)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\). Thể tích $V$ của vật thế đó được tính theo công thức:
-
A.
\(V = \int\limits_a^b {{S^2}(x)dx} \).
-
B.
\(V = \pi \int\limits_a^b {{S^2}(x)dx} \).
-
C.
\(V = \pi \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
-
D.
\(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \) . Giả sử đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1} \) thì ta được:
-
A.
\(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} + 1} \right)du} \)
-
B.
\(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( { - {u^2} + 1} \right)du} \)
-
C.
\(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)du} \)
-
D.
\(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} - 1} \right)du} \)
Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$ và $\int {f'(x)} dx = (ax + b){e^x} + c$ với $a, b, c$ là các hằng số. Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
$a + b = 2$
-
B.
$a + b = 3$
-
C.
$a + b = 0$
-
D.
$a + b = 1$
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$. Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ đi qua $M\left( {\dfrac{\pi }{3};0} \right)$ thì là:
-
A.
$F\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} - \cot x$
-
B.
$F\left( x \right) = \sqrt 3 - \cot x$
-
C.
$F\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \cot x$
-
D.
$F\left( x \right) = - \cot x + C$
Tính \(I = \int {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx} \) ta được:
-
A.
\(x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \sqrt {{x^2} + 1} + C\)
-
B.
\(\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \sqrt {{x^2} + 1} + C\)
-
C.
\(x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + \sqrt {{x^2} + 1} + C\)
-
D.
\(\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + \sqrt {{x^2} + 1} + C\)
Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} \) được viết dưới dạng \(a + b\ln 2\) với \(a,b \in Q\). Khi đó \(a + b\) có giá trị là:
-
A.
\(\dfrac{3}{2}\)
-
B.
\( - \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{5}{2}\)
-
D.
\( - \dfrac{5}{2}\)
Cho hai tích phân $I = \int\limits_0^2 {{x^3}dx} $, $J = \int\limits_0^2 {xdx} $. Tìm mối quan hệ giữa $I$ và $J$
-
A.
\(I.J = 8\).
-
B.
\(I.J = \frac{{32}}{5}\).
-
C.
\(I - J = \frac{{128}}{7}\).
-
D.
\(I + J = \frac{{64}}{9}\).
Tìm \(a\) biết \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\dfrac{{{e^x}dx}}{{2 + {e^x}}}} = \ln \dfrac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}}\) với $a, b$ là các số nguyên dương.
-
A.
\(a = 1\)
-
B.
\(a = - \dfrac{1}{3}\)
-
C.
$a = 2$
-
D.
$a = – 2$
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),~$trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 2\) (như hình vẽ). Đặt $a=\underset{-1}{\overset{0}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx,~b=\underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\(S = b - a.\)
-
B.
\(S = b + a.\)
-
C.
\(S = - b + a.\)
-
D.
\(S = - b - a.\)
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y={{\text{e}}^{x}}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0,x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?
-
A.
\(V=\frac{{{\text{e}}^{2}}-1}{2}\).
-
B.
\(V=\frac{\pi ({{\text{e}}^{2}}+1)}{2}\).
-
C.
\(V=\frac{\pi ({{\text{e}}^{2}}-1)}{2}\)
-
D.
\(V=\frac{\pi {{\text{e}}^{2}}}{2}\).
Biết hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {{{\ln }^2}x + 3} }}\) có đồ thị đi qua điểm \(\left( {e;2016} \right)\). Khi đó giá trị \(F\left( 1 \right)\) là
-
A.
\(\sqrt 3 + 2014\).
-
B.
\(\sqrt 3 + 2016\).
-
C.
\(2\sqrt 3 + 2014\).
-
D.
\(2\sqrt 3 + 2016\).
Cho hàm số \(y=f(x)\) có \(f'(x)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ 0;+\infty \right)\) thỏa mãn \(3f(x)+f'(x)=\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}\) biết \(f(0)=\frac{11}{3}\). Giá trị \(f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)\) bằng
-
A.
\(\frac{1}{2}\).
-
B.
\(\frac{5\sqrt{6}}{18}\).
-
C.
\(1.\)
-
D.
\(\frac{5\sqrt{6}}{9}\).
Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn có phương trình ${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$ khi quanh trục $Ox.$
-
A.
$V = 6{\pi ^2}.$
-
B.
$V = 4{\pi ^2}.$
-
C.
$V = 2{\pi ^2}.$
-
D.
$V = 8{\pi ^2}.$
Lời giải và đáp án
Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh $Ox$ của hình giới hạn bởi trục $Ox$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2} - ax\,\,\,\,\left( {a > 0} \right)$ bằng $V = 2.$ Khẳng định nào dưới đây đúng ?
-
A.
$a \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right).$
-
B.
$a \in \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right).$
-
C.
$a \in \left( {\dfrac{3}{2};2} \right).$
-
D.
$a \in \left( {2;\dfrac{5}{2}} \right).$
Đáp án : C
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và trục $Ox$, tìm ra các cận $x = a$ và $x = b$.
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),x = a,x = b\) quanh trục $Ox$ là: $V = \pi .\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} .$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $Ox$ là ${x^2} - ax = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = a\end{array} \right..$
Khi đó, thể tích cần xác định cho bởi $V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {{x^2} - ax} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^a {\left( {{x^4} - 2a{x^3} + {a^2}{x^2}} \right){\rm{d}}x} $
$ = \pi \left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} - \dfrac{{a{x^4}}}{2} + \dfrac{{{a^2}{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^a = \dfrac{{\pi {a^5}}}{{30}}.$
Mặt khác $V = 2 \Rightarrow \dfrac{{\pi {a^5}}}{{30}} = 2 \Leftrightarrow a = \sqrt[5]{{\dfrac{{60}}{\pi }}} \in \left( {\dfrac{3}{2};2} \right).$
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y=\cos x\) ?
-
A.
\(y=\tan x\)
-
B.
\(y=\cot x\)
-
C.
\(y=\sin x\)
-
D.
\(y=-\sin x\)
Đáp án : C
Ta có: \(\int{\cos xdx=\sin x+C.}\)
Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu:
-
A.
\(F'\left( x \right) = f''\left( x \right)\)
-
B.
\(F'\left( x \right) = f'\left( x \right)\)
-
C.
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\)
-
D.
\(f'\left( x \right) = F\left( x \right)\)
Đáp án : C
Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\left[ {1;4} \right]$ và $f(1) = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f(4) = 10$. Giá trị của $I = \int\limits_1^4 {f'(x)dx} $ là
-
A.
$I = 12$
-
B.
$I = 48$
-
C.
$I = 8$
-
D.
$I = 3$
Đáp án : C
Sử dụng công thức $\int\limits_a^b {u'(x)dx} = u(b)-u(a) $
$I = \int\limits_1^4 {f'(x)dx} = f\left. {(x)} \right|_1^4 = f(4) - f(1) = 10 - 2 = 8$
Tính tích phân \(I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\dfrac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx} \) bằng phương pháp đổi biến số \(u = \sqrt {{e^x} - 1} \). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
A.
\(I = \left. {\left( {\dfrac{{{u^3}}}{3} + u} \right)} \right|_1^2\)
-
B.
\(I = \left. {\dfrac{4}{3}\left( {{u^3} + u} \right)} \right|_1^2\)
-
C.
\(I = \left. {2\left( {\dfrac{{{u^3}}}{3} + u} \right)} \right|_1^2\)
-
D.
\(I = \left. {\dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{{{u^3}}}{3} + u} \right)} \right|_1^2\)
Đáp án : C
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Đặt \(u = \sqrt {{e^x} - 1} \Rightarrow {u^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow 2udu = {e^x}dx\) và \({e^x} = {u^2} + 1\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \ln 2 \Rightarrow u = 1\\x = \ln 5 \Rightarrow u = 2\end{array} \right.\)
Khi đó ta có $I = \int\limits_{\ln 2}^{\ln 5} {\dfrac{{{e^{2x}}}}{{\sqrt {{e^x} - 1} }}dx} = 2\int\limits_1^2 {\dfrac{{\left( {{u^2} + 1} \right)udu}}{u}} = 2\int\limits_1^2 {\left( {{u^2} + 1} \right)du} = 2\left. {\left( {\dfrac{{{u^3}}}{3} + u} \right)} \right|_1^2$
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác \(2\)?
-
A.
\(\int\limits_1^{{e^2}} {\ln xdx} \).
-
B.
\(\int\limits_0^1 {2dx} \).
-
C.
\(\int\limits_0^\pi {\sin xdx} \).
-
D.
\(\int\limits_0^2 {xdx} \).
Đáp án : A
Tính tích phân từng đáp án và dùng phương pháp loại trừ, sử dụng công thức nguyên hàm số cơ bản:
\(\int {dx = x + C} \), \(\int {\sin xdx = - \cos x + C} \), \(\int {{x^\alpha }dx = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} \) và công thức tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
+) \(\int\limits_0^1 {2dx} = \left. {2x} \right|_0^1 = 2\),
+) \(\int\limits_0^2 {xdx} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^2 = 2\)
+) \(\int\limits_0^\pi {\sin xdx} = \left. { - \cos x} \right|_0^\pi = 2\)
Do đó ta dự đoán chỉ có đáp án A là kết quả khác \(2\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có nguyên hàm trên $\left( {a;b} \right)$ đồng thời thỏa mãn \(f\left( a \right) = f\left( b \right)\). Lựa chọn phương án đúng:
-
A.
\(\int\limits_a^b {f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx} = 0\)
-
B.
\(\int\limits_a^b {f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx} = 1\)
-
C.
\(\int\limits_a^b {f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx} = - 1\)
-
D.
\(\int\limits_a^b {f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx} = 2\)
Đáp án : A
Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}dx} \) bằng phương pháp đổi biến:
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Đặt \(t = f\left( x \right) \Rightarrow dt = f'\left( x \right)dx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = f\left( a \right)\\x = b \Rightarrow t = f\left( b \right)\end{array} \right.\)
Khi đó \(I = \int\limits_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {{e^t}dt} = 0\) (Vì \(f\left( a \right) = f\left( b \right)\))
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:
-
A.
$S = \left| {\int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} } \right|$
-
B.
$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} $
-
C.
$S = \int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
-
D.
$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
Đáp án : D
- Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.
- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\)
- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:
${x^3}-x = 2x \Leftrightarrow {x^3}-3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (chỉ xét trên $\left( {-1;1} \right)$)
Với $x \in \left( {-1;0} \right)$ thì ${x^3}-3x > 0$ ; với $x \in \left( {0;1} \right)$ thì ${x^3}-3x < 0$
Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - 3x} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {8 + \cos x} dx} \). Đặt \(u = 8 + \cos x\) thì kết quả nào sau đây là đúng?
-
A.
\(I = 2\int\limits_8^9 {\sqrt u du} \)
-
B.
\(I = \dfrac{1}{2}\int\limits_8^9 {\sqrt u du} \)
-
C.
\(I = \int\limits_9^8 {\sqrt u du} \)
-
D.
\(I = \int\limits_8^9 {\sqrt u du} \)
Đáp án : D
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Đặt \(u = 8 + \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx \Rightarrow \sin xdx = - du\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 9\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 8\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I = - \int\limits_9^8 {\sqrt u du} = \int\limits_8^9 {\sqrt u du} \)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{5}^{2x}}.\)
-
A.
\(\int{{{5}^{2x}}\,\text{d}x}=2.\dfrac{{{5}^{2x}}}{\ln 5}+C.\)
-
B.
\(\int{{{5}^{2x}}\,\text{d}x}=\dfrac{{{25}^{x}}}{2\ln 5}+C.\)
-
C.
\(\int{{{5}^{2x}}\,\text{d}x}={{2.5}^{2x}}\ln 5+C.\)
-
D.
\(\int{{{5}^{2x}}\,\text{d}x}=\dfrac{{{25}^{x\,+\,1}}}{x+1}+C.\)
Đáp án : B
Ta có \(f\left( x \right)={{25}^{x}}\Rightarrow \int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{{{25}^{x}}\,\text{d}x}=\dfrac{{{25}^{x}}}{\ln 25}+C=\dfrac{{{5}^{2x}}}{2\ln 5}+C.\)
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 1;\ 3 \right]\) , trục $Ox$ và hai đường thẳng \(x=1,\ \ x=3\) có diện tích là:
-
A.
\(S=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx.}\)
-
B.
\(S=\int\limits_{1}^{3}{\left| f\left( x \right) \right|dx.}\)
-
C.
\(S=\int\limits_{3}^{1}{f\left( x \right)dx.}\)
-
D.
\(S=\int\limits_{3}^{1}{\left| f\left( x \right) \right|dx.}\)
Đáp án : B
Hình phẳng được giới hạn bởi hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x=a,\ x=b\) có diện tích được tính bới công thức: \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx.}\)
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta được: \(S=\int\limits_{1}^{3}{\left| f\left( x \right) \right|dx.}\)
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(\int {0dx} = C\)
-
B.
\(\int {dx} = C\)
-
C.
\(\int {dx} = 0\)
-
D.
\(\int {0dx} = x + C\)
Đáp án : A
Ta có: \(\int {0dx} = C\) nên A đúng, D sai.
\(\int {dx} = x+C \) nên B, C sai
Trong không gian $Oxyz$, cho vật thể được giới hạn bởi 2 mặt phẳng \((P),\,\,(Q)\) vuông góc với $Ox$ lần lượt tại \(x = a,\,\,x = b,\,\,(a < b)\). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$, \((a \le x \le b)\) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là \(S(x)\), với \(y = S(x)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\). Thể tích $V$ của vật thế đó được tính theo công thức:
-
A.
\(V = \int\limits_a^b {{S^2}(x)dx} \).
-
B.
\(V = \pi \int\limits_a^b {{S^2}(x)dx} \).
-
C.
\(V = \pi \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
-
D.
\(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
Đáp án : D
Thể tích $V$ của vật thế đó được tính theo công thức: \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \) . Giả sử đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1} \) thì ta được:
-
A.
\(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} + 1} \right)du} \)
-
B.
\(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( { - {u^2} + 1} \right)du} \)
-
C.
\(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)du} \)
-
D.
\(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} - 1} \right)du} \)
Đáp án : C
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right) = \sqrt {3\tan x + 1} \).
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\).
\(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \)
Đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1} \Rightarrow {u^2} = 3\tan x + 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{{{\cos }^2}x}}dx = 2udu \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{2udu}}{3}\)\(I = \int {\dfrac{{2\left( {{u^2} - 1} \right)}}{{3u}}2udu = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)} } du\)
Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$ và $\int {f'(x)} dx = (ax + b){e^x} + c$ với $a, b, c$ là các hằng số. Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
$a + b = 2$
-
B.
$a + b = 3$
-
C.
$a + b = 0$
-
D.
$a + b = 1$
Đáp án : D
Sử dụng phương pháp nguyên hàm nguyên hàm từng phần cho dạng bài hàm số mũ:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = uv - \int {vdu} \)
Ta có: $f'(x) = \left( {x + 1} \right){e^x} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} $.
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right. $
$\Rightarrow I = \left( {x + 1} \right){e^x} - \int {{e^x}} dx = x{e^x} + {e^x} - {e^x} + C = x{e^x} + C$
Do đó ta được $a = 1;b = 0 \Rightarrow a + b = 1$.
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$. Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ đi qua $M\left( {\dfrac{\pi }{3};0} \right)$ thì là:
-
A.
$F\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} - \cot x$
-
B.
$F\left( x \right) = \sqrt 3 - \cot x$
-
C.
$F\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \cot x$
-
D.
$F\left( x \right) = - \cot x + C$
Đáp án : A
- Sử dụng công thức nguyên hàm hàm sơ cấp để tìm họ \(F\left( x \right)\).
- Điểm \(M \in \)đồ thị hàm số \(y = F\left( x \right)\) nếu tọa độ của \(M\) thỏa mãn phương trình \(F\left( x \right)\).
Ta có: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C = F\left( x \right)$
Đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ đi qua $M\left( {\dfrac{\pi }{3};0} \right)$ nên $F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=0$
$ \Leftrightarrow - \cot \dfrac{\pi }{3} + C = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow F\left( x \right) = - \cot x + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$
Tính \(I = \int {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx} \) ta được:
-
A.
\(x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \sqrt {{x^2} + 1} + C\)
-
B.
\(\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \sqrt {{x^2} + 1} + C\)
-
C.
\(x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + \sqrt {{x^2} + 1} + C\)
-
D.
\(\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + \sqrt {{x^2} + 1} + C\)
Đáp án : A
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\dv = dx\end{array} \right.\) .
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx\\v = x\end{array} \right. \)
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{\dfrac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx = \dfrac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\v = x\end{array} \right.$
\( \Rightarrow I = x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} + {C_1}.\)
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow tdt = xdx \)
$\Rightarrow \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} = \int {\dfrac{{tdt}}{t}} = \int {dt} = t + {C_2} = \sqrt {{x^2} + 1} + {C_2}$
Khi đó ta có: \( \Rightarrow I = x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \sqrt {{x^2} + 1} + C.\)
Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} \) được viết dưới dạng \(a + b\ln 2\) với \(a,b \in Q\). Khi đó \(a + b\) có giá trị là:
-
A.
\(\dfrac{3}{2}\)
-
B.
\( - \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{5}{2}\)
-
D.
\( - \dfrac{5}{2}\)
Đáp án : B
Sử dụng bảng nguyên hàm các hàm sơ cấp để tính tích phân, từ đó tìm \(a,b \Rightarrow a + b\).
Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^0 \)
$= \dfrac{1}{2} - 2\ln 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - \dfrac{3}{2}$
Cho hai tích phân $I = \int\limits_0^2 {{x^3}dx} $, $J = \int\limits_0^2 {xdx} $. Tìm mối quan hệ giữa $I$ và $J$
-
A.
\(I.J = 8\).
-
B.
\(I.J = \frac{{32}}{5}\).
-
C.
\(I - J = \frac{{128}}{7}\).
-
D.
\(I + J = \frac{{64}}{9}\).
Đáp án : A
Tính \(I,J\) sử dụng công thức nguyên hàm hàm lũy thừa rồi xét tính dúng sai của từng đáp án.
$I = \int\limits_0^2 {{x^3}dx} = \left. {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^2 = 4$ và $J = \int\limits_0^2 {xdx} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^2 = 2$.
Suy ra \(I.J = 8\).
Tìm \(a\) biết \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\dfrac{{{e^x}dx}}{{2 + {e^x}}}} = \ln \dfrac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}}\) với $a, b$ là các số nguyên dương.
-
A.
\(a = 1\)
-
B.
\(a = - \dfrac{1}{3}\)
-
C.
$a = 2$
-
D.
$a = – 2$
Đáp án : C
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Đặt \(t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = {e^{ - 1}}\\x = 2 \Rightarrow t = {e^2}\end{array} \right.\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{{e^{ - 1}}}^{{e^2}} {\dfrac{{dt}}{{t + 2}}} = \left. {\ln \left| {t + 2} \right|} \right|_{{e^{ - 1}}}^{{e^2}} = \ln \left( {{e^2} + 2} \right) - \ln \left( {{e^{ - 1}} + 2} \right) = \ln \dfrac{{{e^2} + 2}}{{{e^{ - 1}} + 2}}\\ = \ln \dfrac{{{e^2} + 2}}{{\dfrac{1}{e} + 2}} = \ln \dfrac{{2e + {e^3}}}{{2e + 1}} = \ln \dfrac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ae + {e^3} = 2e + {e^3}\\ae + b = 2e + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),~$trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 2\) (như hình vẽ). Đặt $a=\underset{-1}{\overset{0}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx,~b=\underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\(S = b - a.\)
-
B.
\(S = b + a.\)
-
C.
\(S = - b + a.\)
-
D.
\(S = - b - a.\)
Đáp án : A
- Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) là:\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
- Công thức tổng 2 tích phân $\int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} $
Diện tích hình phẳng là S =\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f(x)} \right|} dx\)
Dựa vào hình vẽ ta có được: $S = \int\limits_{ - 1}^0 {(0 - f(x))dx} + \int\limits_0^2 {f(x)dx} = - \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx + } \int\limits_0^2 {f(x)dx} = b - a$
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y={{\text{e}}^{x}}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0,x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?
-
A.
\(V=\frac{{{\text{e}}^{2}}-1}{2}\).
-
B.
\(V=\frac{\pi ({{\text{e}}^{2}}+1)}{2}\).
-
C.
\(V=\frac{\pi ({{\text{e}}^{2}}-1)}{2}\)
-
D.
\(V=\frac{\pi {{\text{e}}^{2}}}{2}\).
Đáp án : C
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), đường thẳng \(x=a;x=b\) và trục hoành là \(V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}\).
Ta có: \(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x}}dx}=\pi \left. \frac{{{e}^{2x}}}{2} \right|_{0}^{1}=\frac{\pi \left( {{e}^{2}}-1 \right)}{2}\)
Biết hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {{{\ln }^2}x + 3} }}\) có đồ thị đi qua điểm \(\left( {e;2016} \right)\). Khi đó giá trị \(F\left( 1 \right)\) là
-
A.
\(\sqrt 3 + 2014\).
-
B.
\(\sqrt 3 + 2016\).
-
C.
\(2\sqrt 3 + 2014\).
-
D.
\(2\sqrt 3 + 2016\).
Đáp án : A
Đổi biến đặt \(t = \sqrt {{{\ln }^2}x + 3} \)
Đặt \(t = \sqrt {{{\ln }^2}x + 3} \) ta có: \(\int {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {{{\ln }^2}a + 3} }}dx} = \int {\dfrac{{tdt}}{t}} = t + C = \sqrt {{{\ln }^2}x + 3} + C\)
Do đó \(F\left( x \right) = \sqrt {{{\ln }^2}x + 3} + C\).
\(F\left( e \right) = 2016 \Rightarrow C = 2014 \Rightarrow F\left( x \right) = \sqrt {{{\ln }^2}x + 3} + 2014 \Rightarrow F\left( 1 \right) = \sqrt 3 + 2014\)
Cho hàm số \(y=f(x)\) có \(f'(x)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ 0;+\infty \right)\) thỏa mãn \(3f(x)+f'(x)=\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}\) biết \(f(0)=\frac{11}{3}\). Giá trị \(f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)\) bằng
-
A.
\(\frac{1}{2}\).
-
B.
\(\frac{5\sqrt{6}}{18}\).
-
C.
\(1.\)
-
D.
\(\frac{5\sqrt{6}}{9}\).
Đáp án : B
Đạo hàm: \(\left( f.g \right)'=f'.g+f.g'\).
\(3f(x)+f'(x)=\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}\Leftrightarrow 3{{e}^{3x}}f(x)+{{e}^{3x}}f'(x)={{e}^{3x}}\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}\Leftrightarrow \left[ {{e}^{3x}}f(x) \right]'={{e}^{3x}}\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}\)
\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{\left[ {{e}^{3x}}f(x) \right]'dx}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{{{e}^{3x}}\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}}dx\,\)
Ta có: \(\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{\left[ {{e}^{3x}}f(x) \right]'dx}=\left. \left( {{e}^{3x}}f(x) \right) \right|_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}={{e}^{\frac{3\ln 6}{2}}}f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)-f(0)={{e}^{\ln \sqrt{{{6}^{3}}}}}f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)-\frac{11}{3}=6\sqrt{6}.f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)-\frac{11}{3}\)
\(\begin{align} I=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{{{e}^{3x}}\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{{{e}^{2x}}\sqrt{{{e}^{2x}}+3}}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{\sqrt{{{e}^{2x}}+3}}\,d\left( {{e}^{2x}}+3 \right) \\ =\frac{1}{2}\left. .\frac{{{\left( \sqrt{{{e}^{2x}}+3} \right)}^{3}}}{\frac{3}{2}} \right|_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}=\left. \frac{\left( {{e}^{2x}}+3 \right)\sqrt{{{e}^{2x}}+3}}{3} \right|_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}=9-\frac{8}{3}=\frac{19}{3} \\ \Rightarrow 6\sqrt{6}.f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)-\frac{11}{3}=\frac{19}{3}\Rightarrow f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)=\frac{10}{6\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{18} \\ \end{align}\)
Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn có phương trình ${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$ khi quanh trục $Ox.$
-
A.
$V = 6{\pi ^2}.$
-
B.
$V = 4{\pi ^2}.$
-
C.
$V = 2{\pi ^2}.$
-
D.
$V = 8{\pi ^2}.$
Đáp án : B
Rút các hàm số theo biến x: \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).
Xác định các đường giới hạn.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),x = a,x = b\) quanh trục Ox là: $V = \pi .\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} .$
Xét $\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$ có tâm $I\left( {0;2} \right),$ bán kính $R = 1.$ Như vậy
Nửa $\left( C \right)$ trên ứng với $2 \le y \le 3$ có phương trình $y = {f_1}\left( x \right) = 2 + \sqrt {1 - {x^2}} $ với $x \in \left[ { - \,1;1} \right].$
Nửa $\left( C \right)$ dưới ứng với $1 \le y \le 2$ có phương trình $y = {f_2}\left( x \right) = 2 - \sqrt {1 - {x^2}} $ với $x \in \left[ { - \,1;1} \right].$
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là
$V = \pi \int\limits_{ - \,1}^1 {\left[ {{{\left( {2 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( {2 - \sqrt {1 - {x^2}}} \right)}^2}} \right]\,{\rm{d}}x} = 8\pi \int\limits_{ - \,1}^1 {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} .$
Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = \cos t\,{\rm{d}}t$ và đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = - \,1\, \Rightarrow \,t = - \dfrac{\pi }{2}\\x = 1\, \Rightarrow \,t = \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right..$
Khi đó $V = 8\pi \int\limits_{ - \,\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {{{\cos }^2}t} .\cos t\,{\rm{d}}t} = 4\pi \int\limits_{ - \,\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)\,{\rm{d}}t} = 4\pi \left. {\left( {t + \dfrac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{ - \,\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} = 4{\pi ^2}.$
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
