Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 3: Dãy số - Đề số 1
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.2n.\) Mệnh đề nào sau đây sai?
-
A.
\({u_1} = - 2.\)
-
B.
\({u_2} = 4.\)
-
C.
\({u_3} = - 6.\)
-
D.
\({u_4} = - 8.\)
Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?
-
A.
Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 3n - 5\)
-
B.
Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \sqrt 3 - \sqrt 5 n\)
-
C.
Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {n^2} - n\)
-
D.
Dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = 2017\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} + 2018\)
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
$q = - 4\,.$
-
B.
$q = 4.$
-
C.
$q = - 12.$
-
D.
$q = 10.$
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..\) Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.
-
A.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
-
B.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$
-
C.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
-
D.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
\( \bullet \) Bước 1, kiểm tra mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p.\)
\( \bullet \) Bước 2, giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k \ge p\) và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1.\)
Trong hai bước trên:
-
A.
Chỉ có bước 1 đúng.
-
B.
Chỉ có bước 2 đúng.
-
C.
Cả hai bước đều đúng
-
D.
Cả hai bước đều sai
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q > 0\) . Biết \({u_2} = 4;{u_4} = 9\) .
-
A.
\({u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
B.
\({u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\({u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\({u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_3} = - 2\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\,\,\forall n \in N^*.\) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
-
A.
\({u_n} = 3n - 11\)
-
B.
\({u_n} = 3n - 8\)
-
C.
\({u_n} = 2n - 8\)
-
D.
\({u_n} = n - 5\)
Nghiệm của phương trình $1 + 7 + 13 + \ldots + x = 280$ là:
-
A.
$x = 53$
-
B.
$x = 55$
-
C.
$x = 57$
-
D.
$x = 59$
Cho cấp số nhân$\left( {{u_n}} \right)$có ${u_1} = - 1;\,q = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$. Số $\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?
-
A.
số hạng thứ $103$
-
B.
số hạng thứ $104$
-
C.
số hạng thứ $105$
-
D.
Đáp án khác
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?
-
A.
Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\), với \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\sin \dfrac{\pi }{n},\,\,\forall n \in N^*\)
-
B.
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), với ${b_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\,\,\forall n \in N^*$
-
C.
Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\), với ${c_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }},\,\,\forall n \in N^*$
-
D.
Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\), với \({d_n} = \dfrac{n}{{{n^2} + 1}},\,\,\forall n \in N^*\)
Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}\) và \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = n + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)\) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
A.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
-
B.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
-
C.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
-
D.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp $8$ lần số đo của góc nhỏ nhất. Tìm góc lớn nhất:
-
A.
${190^0}$
-
B.
${191^0}$
-
C.
${192^0}$
-
D.
${193^0}$
Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có \({a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\,\,\forall n \in N^*\) .
-
A.
$14$
-
B.
$15$
-
C.
$13$
-
D.
$12$
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai khác $0$. Biết rằng các số \({u_1}{u_2};{u_2}{u_3};{u_1}{u_3}\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công bội \(q \ne 0\). Khi đó $q$ bằng:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$ - 1$
-
D.
$ - 2$
Với \(n \in {N^*}\), ta xét các mệnh đề: $P:$“\({7^n} + 5\) chia hết cho $2$”; $Q:$ “\({7^n} + 5\) chia hết cho $3$” và $R:$ “\({7^n} + 5\) chia hết cho $6$”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
-
A.
$3$
-
B.
$0$
-
C.
$1$
-
D.
$2$
Với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\), bất đẳng thức nào sau đây đúng?
-
A.
\({3^n} > 4n + 1\)
-
B.
\({3^n} > 4n + 2\)
-
C.
\({3^n} > 3n + 2\)
-
D.
Cả ba đều đúng
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào bị chặn trên ?
-
A.
Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 3n + 1\)
-
B.
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \dfrac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\)
-
C.
Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {3.2^{n + 1}}\)
-
D.
Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\)
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt $7$ hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô vuông thứ hai nhiều hơn ô đầu tiên là $5$ hạt dẻ, tiếp tục đặt vào ô vuông thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là $5$ hạt dẻ,… và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng hết $25450$ hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?
-
A.
$98$ ô
-
B.
$100$ ô
-
C.
$102$ ô
-
D.
$104$ ô
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân $0,5m$. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm $21$ bậc, mỗi bậc cao $18cm$. Ký hiệu ${h_n}$ là độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao ${h_n}$.
-
A.
\({h_n} = 0,18n + 0,32\,\,\left( m \right)\)
-
B.
\({h_n} = 0,18n + 0,5\,\,\left( m \right)\)
-
C.
\({h_n} = 0,5n + 0,18\,\,\left( m \right)\)
-
D.
\({h_n} = 0,5n - 0,32\,\,\left( m \right)\)
Biết rằng tồn tại các giá trị của \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) để ba số \(1 + \sin x,\,\,{\sin ^2}x,\,\,1 + \sin 3x\) lập thành một cấp số cộng, tính tổng $S$ các giá trị đó của $x$.
-
A.
\(S = 5\pi \)
-
B.
\(S = 3\pi \)
-
C.
\(S = \dfrac{{7\pi }}{2}\)
-
D.
\(S = \dfrac{{23\pi }}{6}\)
Tính tổng \({S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + 11...11\) (có $10$ chữ số $1$)
-
A.
\(\dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{{10}^{10}} - 100}}{{81}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{{10}^9} - 100}}{{81}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{{10}^8} - 100}}{{81}}\)
Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni $210$ là $138$ ngày (nghĩa là sau $138$ ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Khi đó khối lượng còn lại của $20$ gam poloni $210$ sau $7314$ ngày là:
-
A.
$2,{22.10^{ - 15}}$
-
B.
$2,{21.10^{ - 15}}$
-
C.
$2,{20.10^{ - 15}}$
-
D.
$2,{23.10^{ - 15}}$
Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: \({x^4} - 10{x^2} + 2{m^2} + 7m = 0\), tính tổng lập phương của hai giá trị đó.
-
A.
\( - \dfrac{{343}}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{{721}}{8}\)
-
C.
\( - \dfrac{{721}}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{343}}{8}\)
So sánh \(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2}\) và \({\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n}\) , với \(a \ge 0,b \ge 0,n \in {N^*}\) ta được:
-
A.
\(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} < \left( \dfrac{{{{{a + b} }}}}{2}\right) ^n\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge \left( \dfrac{{{{{a + b} }}}}{2}\right) ^n\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} = \left( \dfrac{{{{{a + b} }}}}{2}\right) ^n\)
-
D.
Không so sánh được.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {2 + u_n^2} ,\,\,\forall n \ge 1\). Tổng \({S_{2018}} = u_1^2 + u_2^2 + ... + u_{2018}^2\) là :
-
A.
\({S_{2018}} = {2015^2}\)
-
B.
\({S_{2018}} = {2018^2}\)
-
C.
\({S_{2018}} = {2017^2}\)
-
D.
\({S_{2018}} = {2016^2}\)
Lời giải và đáp án
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.2n.\) Mệnh đề nào sau đây sai?
-
A.
\({u_1} = - 2.\)
-
B.
\({u_2} = 4.\)
-
C.
\({u_3} = - 6.\)
-
D.
\({u_4} = - 8.\)
Đáp án : D
Thay trực tiếp từng giá trị \(n = 1,2,3,4\) hoặc dùng chức năng CALC của máy tính.
Ta có:
\({u_1} = - 2.1 = - 2;\,\,{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2}.2.2 = 4,\,\,{u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}2.3 = - 6;\,\,{u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}2.4 = 8\)
Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?
-
A.
Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 3n - 5\)
-
B.
Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \sqrt 3 - \sqrt 5 n\)
-
C.
Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {n^2} - n\)
-
D.
Dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = 2017\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} + 2018\)
Đáp án : C
Chứng minh hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = const\,\,\forall n \ge 1\).
Đáp án A ta có \({a_{n + 1}} - {a_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 5 - \left( {3n - 5} \right)\) \( = 3n + 3 - 5 - 3n + 5 = 3 \)
\(\Rightarrow \left( {{a_n}} \right)\) là 1 CSC có công sai $d = 3.$
Đáp án B ta có \({b_{n + 1}} - {b_n} = \left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 \left( {n + 1} \right)} \right) - \left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 n} \right) \) \(= \sqrt 3 - \sqrt 5 n - \sqrt 5 - \sqrt 3 + \sqrt 5 n = - \sqrt 5 \)
\(\Rightarrow \left( {{b_n}} \right)\) là 1 CSC có công sai \(d = - \sqrt 5 \)
Đáp án C ta có \({c_{n + 1}} - {c_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - \left( {n + 1} \right) - {n^2} + n = {n^2} + 2n + 1 - n - 1 - {n^2} + n = 2n \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)\) không là CSC.
Đáp án D ta có \(\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} = 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_n} = 2018\,\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_{n + 1}} - {d_n} = 0 \Rightarrow \left( {{d_n}} \right)\) là CSC có công sai $d = 0.$
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.
-
A.
$q = - 4\,.$
-
B.
$q = 4.$
-
C.
$q = - 12.$
-
D.
$q = 10.$
Đáp án : A
Sử dụng định nghĩa công bội của cấp số nhân:
Nếu \(q\) là công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thì \(q = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \(q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..\) Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.
-
A.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
-
B.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$
-
C.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$
-
D.
$\left[ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$
Đáp án : A
Tìm hai số khi biết tổng $S$ và tích $P$ là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\).
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSC \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right. \Rightarrow {u_3},{u_5}\) là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 3\\X = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$
TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 3\\{u_1} + 4d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 2\\{u_1} + 4d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$.
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
\( \bullet \) Bước 1, kiểm tra mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p.\)
\( \bullet \) Bước 2, giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k \ge p\) và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1.\)
Trong hai bước trên:
-
A.
Chỉ có bước 1 đúng.
-
B.
Chỉ có bước 2 đúng.
-
C.
Cả hai bước đều đúng
-
D.
Cả hai bước đều sai
Đáp án : C
Đối với bài toán chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với mọi \(n \ge p\) với \(p\) là số tự nhiên cho trước thì:
- Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = p\).
- Bước 2: Với \(k \ge p\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\).
Từ lý thuyết trên ta thấy cả hai bước trên đều đúng.
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q > 0\) . Biết \({u_2} = 4;{u_4} = 9\) .
-
A.
\({u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
B.
\({u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\({u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
-
D.
\({u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
Đáp án : B
Sử dụng định nghĩa cấp số nhân:
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) (hữu hạn hoặc vô hạn) là cấp số nhân \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = q.{u_n},\forall n \ge 1,n \in {N^*}\)
Ta có \({u_2} = 4 = {u_1}.q\) và \({u_4} = 9 = {u_1}.{q^3}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow \dfrac{9}{4} = {q^2} \) \(\Rightarrow q = \dfrac{3}{2}{\rm{ }}\left( {q > 0} \right) \Rightarrow {u_1} = \dfrac{8}{3}\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_3} = - 2\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\,\,\forall n \in N^*.\) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
-
A.
\({u_n} = 3n - 11\)
-
B.
\({u_n} = 3n - 8\)
-
C.
\({u_n} = 2n - 8\)
-
D.
\({u_n} = n - 5\)
Đáp án : A
Xác định \({u_1}\) và $d.$
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
\({u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là CSC có công sai $d = 3.$
\({u_3} = {u_1} + 2d\) \( \Rightarrow {u_1} = {u_3} - 2d = - 2 - 2.3 = - 8\)
Vậy số hạng tổng quát của CSC trên là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 8 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n - 11.\)
Nghiệm của phương trình $1 + 7 + 13 + \ldots + x = 280$ là:
-
A.
$x = 53$
-
B.
$x = 55$
-
C.
$x = 57$
-
D.
$x = 59$
Đáp án : B
Nhận xét : Tổng trên là tổng của 1 cấp số cộng, áp dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu tiên của CSC: \({S_n} = \dfrac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}\)
Ta thấy tổng $1 + 7 + 13 + \ldots + x$ là tổng của cấp số cộng với \({u_1} = 1,d = 6\).
Giả sử $x$ là số hạng thứ $n$, khi đó \(x = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)6\), và $\begin{array}{l}1 + 7 + 13 + \ldots + x = \dfrac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} = \dfrac{{n\left( {2 + \left( {n - 1} \right).6} \right)}}{2} = 280\\ \Rightarrow 2n + 6n\left( {n - 1} \right) = 560\\ \Leftrightarrow 6{n^2} - 4n - 560 = 0 \Leftrightarrow n = 10\end{array}$
Vậy \(x = 1 + 9.6 = 55\).
Cho cấp số nhân$\left( {{u_n}} \right)$có ${u_1} = - 1;\,q = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$. Số $\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?
-
A.
số hạng thứ $103$
-
B.
số hạng thứ $104$
-
C.
số hạng thứ $105$
-
D.
Đáp án khác
Đáp án : B
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\)
Ta có: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{10}^{103}}}} = - 1.{\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = - \left( {\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}} \right) = {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{103}} \) \(\Leftrightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104\)
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?
-
A.
Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\), với \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\sin \dfrac{\pi }{n},\,\,\forall n \in N^*\)
-
B.
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), với ${b_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\,\,\forall n \in N^*$
-
C.
Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\), với ${c_n} = \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }},\,\,\forall n \in N^*$
-
D.
Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\), với \({d_n} = \dfrac{n}{{{n^2} + 1}},\,\,\forall n \in N^*\)
Đáp án : B
Suy ra trực tiếp từ các đáp án bằng cách xét hiệu \({x_{n + 1}} - {x_n}\) .
Ta thấy dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) dãy đan dấu nên không tăng cũng không giảm.
Với dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), ta có ${b_n} = {5^n} + 1,\,\,\forall n \in N^*$, vì ${\left( { - 1} \right)^{2n}} = 1$. Vì \({b_{n + 1}} = {5^{n + 1}} + 1 = {5.5^n} + 1 > {b_n} \Rightarrow \left( {{b_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Với dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) ta có ${c_{n + 1}} = \dfrac{1}{{n + 1 + \sqrt {n + 2} }} < \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }} = {c_n} \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)$là dãy số giảm.
Với dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) ta có \({d_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}}.\)
Xét hiệu \({d_{n + 1}} - {d_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}} - \dfrac{n}{{{n^2} + 1}} = \dfrac{{{n^3} + {n^2} + n + 1 - {n^3} - 2{n^2} - 2n}}{{\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{ - {n^2} - n + 1}}{{\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0\,\,\forall n \in N^*\)
Vậy \(\left( {{d_n}} \right)\) là dãy giảm.
Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}\) và \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = n + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)\) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
A.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
-
B.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
-
C.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
-
D.
\(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Đáp án : D
Xét tính tăng giảm của từng dãy số.
Đối với dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) , ta xét thương \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và so sánh thương đó với 1.
Đối với dãy \(\left( {{y_n}} \right)\) ta xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n}\) và so sánh hiệu đó với 0.
Xét thương : \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{\dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}}} = \dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \dfrac{{n + 2}}{2} = \dfrac{n}{2} + 1 > 1\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {x_{n + 1}} > {x_n} \Rightarrow \left( {{x_n}} \right)\) là dãy tăng.
Xét hiệu
\({y_{n + 1}} - {y_n} =\) \( \left( {n + 1} \right) + {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - n - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \) \(= {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 \)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}\left( {n + 2} \right) \ge 0\\
- {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \ge - 1
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \ge - 1 \) \(\Rightarrow {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 \ge 0\,\,\forall n \ge 1\)
Dễ thấy dấu "=" không xảy ra vì không tồn tại n để \(\left\{ \begin{array}{l}
{\sin ^2}\left( {n + 2} \right) = 0\\
- {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) = - 1
\end{array} \right.\)
Vậy \({\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 > 0\,\,\forall n \ge 1\)
\(\Rightarrow {y_{n + 1}} > {y_n}\)
Do đó \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy tăng.
Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp $8$ lần số đo của góc nhỏ nhất. Tìm góc lớn nhất:
-
A.
${190^0}$
-
B.
${191^0}$
-
C.
${192^0}$
-
D.
${193^0}$
Đáp án : C
Gọi số đo góc nhỏ nhất là \(A\) và biểu diễn các góc còn lại theo \(A\), sử dụng đinh nghĩa cấp số nhân.
Gọi $A,B,C,D$ là số đo của bốn góc của tứ giác lồi đã cho. Không mất tính tổng quát, giả sử \(A < B < C < D\).
Theo giả thiết ta có $D = 8A$ và $A,B,C,D$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đó, ta có:
\(\begin{array}{l}8A = D = A.{q^3} \Leftrightarrow q = 2 \\ \Rightarrow {360^0} = A + B + C + D \\ = A + 2A + 4A + 8A = 15A\\ \Rightarrow A = 24{}^0 \Rightarrow D = 24{}^0.8 = {192^0}\end{array}\)
Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có \({a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\,\,\forall n \in N^*\) .
-
A.
$14$
-
B.
$15$
-
C.
$13$
-
D.
$12$
Đáp án : B
Phân tích để xuất hiện hằng đẳng thức.
\({a_n} = - {n^2} + 4n + 11 = - {n^2} + 4n - 4 + 15 = - {\left( {n - 2} \right)^2} + 15 \le 15\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2\)
Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng $15$.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai khác $0$. Biết rằng các số \({u_1}{u_2};{u_2}{u_3};{u_1}{u_3}\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân với công bội \(q \ne 0\). Khi đó $q$ bằng:
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$ - 1$
-
D.
$ - 2$
Đáp án : D
Sử dụng định nghĩa cấp số nhân và tính chất của cấp số cộng.
Vì cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có công sai khác $0$ nên các số \({u_1};{u_2};{u_3};{u_4}\) đôi một khác nhau.
Suy ra \({u_1}{u_2} \ne 0\) và \(q \ne 1\).
Ta có
${u_2}{u_3} = {u_1}{u_2}.q;{u_1}{u_3} = {u_1}{u_2}.{q^2}$ $ \Leftrightarrow {u_3} = {u_1}.q = {u_2}.{q^2} $ $\Rightarrow {u_3} = {u_2}.{q^2};{u_1} = {u_2}.q$
Vì \({u_1};{u_2};{u_3}\) là cấp số cộng nên \({u_1} + {u_3} = 2{u_2}\)
Thay ${u_3} = {u_2}.{q^2};{u_1} = {u_2}.q$ vào ta được:
\({u_1} + {u_3} = 2{u_2} \Rightarrow {u_2}.q + {u_2}.{q^2} = 2{u_2} \) \(\Rightarrow {q^2} + q - 2 = 0 \Rightarrow q = - 2\)
Với \(n \in {N^*}\), ta xét các mệnh đề: $P:$“\({7^n} + 5\) chia hết cho $2$”; $Q:$ “\({7^n} + 5\) chia hết cho $3$” và $R:$ “\({7^n} + 5\) chia hết cho $6$”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
-
A.
$3$
-
B.
$0$
-
C.
$1$
-
D.
$2$
Đáp án : A
Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được \({7^n} + 5\) chia hết cho $6$.
Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được \({7^n} + 5\) chia hết cho $6$.
Thật vậy, với $n = 1$ ta có: \({7^1} + 5 = 12\,\, \vdots \,\,6\)
Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là \({7^k} + 5\) chia hết cho $6$, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n = k + 1$, nghĩa là phải chứng minh \({7^{k + 1}} + 5\) chia hết cho $6$.
Ta có: \({7^{k + 1}} + 5 = 7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30\)
Theo giả thiết quy nạp ta có \({7^k} + 5\) chia hết cho $6$, và $30$ chia hết cho $6$ nên \(7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30\) cũng chia hết cho $6$.
Do đó mệnh đề đúng với $n = k + 1$.
Vậy \({7^n} + 5\) chi hết cho $6$ với mọi \(n \in N^*\).
Mọi số chia hết cho $6$ đều chia hết cho $2$ và chia hết cho $3$.
Do đó cả 3 mệnh đề đều đúng.
Với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\), bất đẳng thức nào sau đây đúng?
-
A.
\({3^n} > 4n + 1\)
-
B.
\({3^n} > 4n + 2\)
-
C.
\({3^n} > 3n + 2\)
-
D.
Cả ba đều đúng
Đáp án : C
Thử một giá trị bất kì của $n$ thỏa mãn $n$ là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với $n = 2$ ta có: \({3^2} = 9 > 3.2 + 2\)
Ta chứng minh đáp án C đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bất đẳng thức đúng với $n = 2$, giả sử bất đẳng thức đúng đến $n = k (k \ge 2)$, tức là \({3^k} > 3k + 2\).
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$, tức là cần phải chứng minh \({3^{k + 1}} > 3\left( {k + 1} \right) + 2 = 3k + 5\)
Ta có: \({3^{k + 1}} = {3.3^k} > 3\left( {3k + 2} \right) \) \(= 9k + 6 > 3k + 5\)
Vậy bất đằng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào bị chặn trên ?
-
A.
Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 3n + 1\)
-
B.
Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \dfrac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}}\)
-
C.
Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {3.2^{n + 1}}\)
-
D.
Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\)
Đáp án : B
\({a_n} < M,\,\,\forall n\) thì dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) được gọi là bi chặn trên bởi $M$ và \({a_n} > m\,\,\forall n\) thì thì dãy \(\left( {{a_n}} \right)\) được gọi là bi chặn dưới bởi $m$.
Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn dưới bới \({a_1} = 4\)
Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) có \(\dfrac{1}{{n\left( {2n + 1} \right)}} < 1\,\,\forall n \in N^* \Rightarrow \left( {{b_n}} \right)\) là dãy số bị chặn trên bởi $1$.
Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn dưới bởi \({c_1} = 12\)
Dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) là dãy đan dấu và \({d_{2n}} = {\left( { - 2} \right)^{2n }}= {4^n}\) lớn tùy ý khi $n$ đủ lớn và \({d_{2n + 1}} = {\left( { - 2} \right)^{2n + 1}} = - {2.4^n}\) nhỏ tùy ý khi $n$ đủ lớn.
Do đó dãy \(\left( {{d_n}} \right)\) không bị chặn.
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt $7$ hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô vuông thứ hai nhiều hơn ô đầu tiên là $5$ hạt dẻ, tiếp tục đặt vào ô vuông thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là $5$ hạt dẻ,… và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng hết $25450$ hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?
-
A.
$98$ ô
-
B.
$100$ ô
-
C.
$102$ ô
-
D.
$104$ ô
Đáp án : B
Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n}$ là số hạt dẻ ở ô thứ n là một cấp số cộng có ${u_1} = 7$ và công sai $d = 5$. Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của CSC: \({S_n} = \dfrac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}\)
Gọi ${u_n}$ là số hạt dẻ ở ô thứ $n$ . Khi đó ta có ${u_1} = 7$ và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 5,\forall n \ge 1.\)
Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${u_1} = 7$ và công sai $d = 5$ nên ta có
\({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = \dfrac{{n\left[ {2.7 + \left( {n - 1} \right)5} \right]}}{2} = \dfrac{{5{n^2} + 9n}}{2}\)
Theo giả thiết ta có \({S_n} = 25450\) \( \Rightarrow \dfrac{{5{n^2} + 9n}}{2} = 25450 \Leftrightarrow n = 100\)
Vậy bàn cờ có $100$ ô.
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân $0,5m$. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm $21$ bậc, mỗi bậc cao $18cm$. Ký hiệu ${h_n}$ là độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao ${h_n}$.
-
A.
\({h_n} = 0,18n + 0,32\,\,\left( m \right)\)
-
B.
\({h_n} = 0,18n + 0,5\,\,\left( m \right)\)
-
C.
\({h_n} = 0,5n + 0,18\,\,\left( m \right)\)
-
D.
\({h_n} = 0,5n - 0,32\,\,\left( m \right)\)
Đáp án : A
- Dãy số $\left( {{h_n}} \right)$ với ${h_n}$ là độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân là một cấp số cộng có ${u_1} = 0,5$ và công sai $d = 0,18$ .
- Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSC: \({h_n} = {h_1}+\left( {n - 1} \right)d\)
Ký hiệu ${h_n}$ là độ cao bậc $n$ so với mặt sân. Khi đó ta có \({h_{n + 1}} = {h_n} + 0,18\,\,\left( m \right)\), trong đó ${h_1} = 0,5 m$ là độ cao của bậc 1 so với mặt sân.
Dãy số \(\left( {{h_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({h_1} = 0,5\) và công sai $d = 0,18$. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là \({h_n} = {h_1} + \left( {n - 1} \right)d= 0,5+ \left( {n - 1} \right)0,18 \)\( = 0,18n + 0,32\) (mét).
Biết rằng tồn tại các giá trị của \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) để ba số \(1 + \sin x,\,\,{\sin ^2}x,\,\,1 + \sin 3x\) lập thành một cấp số cộng, tính tổng $S$ các giá trị đó của $x$.
-
A.
\(S = 5\pi \)
-
B.
\(S = 3\pi \)
-
C.
\(S = \dfrac{{7\pi }}{2}\)
-
D.
\(S = \dfrac{{23\pi }}{6}\)
Đáp án : A
Sử dụng tính chất của CSC: \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\)
Ta có
$\begin{array}{l}1 + \sin x + 1 + \sin 3x = 2{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow 2 + \sin x + 3\sin x - 4{\sin ^3}x = 2{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x - 4\sin x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \pm 1\\\sin x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\\ + )\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{2} + k\pi \le 2\pi \\\Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le k \le \dfrac{3}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.\\ + )x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \le 2\pi \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{12}} \le k \le \dfrac{{13}}{{12}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{11\pi }}{6}\\ + )x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \le 2\pi \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7}}{{12}} \le k \le \dfrac{5}{{12}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6}\\ \Rightarrow S = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{3\pi }}{2} + \dfrac{{11\pi }}{{6}} + \dfrac{{7\pi }}{{6}} = 5\pi \end{array}$
Tính tổng \({S_n} = 1 + 11 + 111 + ... + 11...11\) (có $10$ chữ số $1$)
-
A.
\(\dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{{10}^{10}} - 100}}{{81}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{{10}^9} - 100}}{{81}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{{10}^8} - 100}}{{81}}\)
Đáp án : A
- Biến đổi các số hạng của tổng thành dạng \(\dfrac{{{{10}^n} - 1}}{9}\).
- Áp dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân để tính tổng đã cho.
Ta có
\(\begin{array}{l}{S_n} = \dfrac{{10 - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^2} - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^3} - 1}}{9} + ... + \dfrac{{{{10}^{10}} - 1}}{9} = \dfrac{1}{9}\left( {10 + {{10}^2} + ... + {{10}^{10}}} \right) - \dfrac{{10}}{9}\\ = \dfrac{1}{9}\left( {10.\dfrac{{{{10}^{10}} - 1}}{9}} \right) - \dfrac{{10}}{9} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 10 - 90}}{{81}} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\end{array}\)
Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni $210$ là $138$ ngày (nghĩa là sau $138$ ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Khi đó khối lượng còn lại của $20$ gam poloni $210$ sau $7314$ ngày là:
-
A.
$2,{22.10^{ - 15}}$
-
B.
$2,{21.10^{ - 15}}$
-
C.
$2,{20.10^{ - 15}}$
-
D.
$2,{23.10^{ - 15}}$
Đáp án : A
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân để tính số hạng \({u_{53}}\).
Gọi \({u_n}\) là khối lượng còn lại của $20$ gam poloni sau $n$ chu kì bán rã.
Ta có $7314$ ngày gồm \(\dfrac{{7314}}{{138}} = 53\) chu kì bán rã.
Do đó ta cần tính \({u_{53}}\)
Theo giả thiết của bài toán thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \dfrac{{20}}{2} = 10;q = \dfrac{1}{2}\)
Do đó \({u_{53}} = 10{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{52}} \approx 2,{22.10^{ - 15}}\)
Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: \({x^4} - 10{x^2} + 2{m^2} + 7m = 0\), tính tổng lập phương của hai giá trị đó.
-
A.
\( - \dfrac{{343}}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{{721}}{8}\)
-
C.
\( - \dfrac{{721}}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{343}}{8}\)
Đáp án : C
Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn $t$.
Tìm điều kiện của $m$ để phương trình bậc hai ẩn $t$ có hai nghiệm dương phân biệt.
Sử dụng tính chất của cấp số cộng \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\) để suy ra mối quan hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn $t$
Sử dụng định lý Vi-et.
Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - 10t + 2{m^2} + 7m = 0\) (*)
Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 2{m^2} - 7m > 0\\10 > 0\\2{m^2} + 7m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < 2{m^2} + 7m < 25\)
Với điều kiện trên thì (*) có 2 nghiệm phân biệt dương là \({t_1},{t_2}\,\,\left( {{t_1} < {t_2}} \right)\). Do đó phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau \( - \sqrt {{t_2}} , - \sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_2}} \).
Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng thì \( - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_2}} \Leftrightarrow 9{t_1} = {t_2}\)
Mà theo định lí Vi-et ta có \({t_1} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow 9{t_2} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow {t_2} = 1 \Rightarrow {t_1} = 9\)
Lại có \({t_1}{t_2} = 2{m^2} + 7m = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - \dfrac{9}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
Do đó \({1^3} + {\left( { - \dfrac{9}{2}} \right)^3} = - \dfrac{{721}}{8}\)
So sánh \(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2}\) và \({\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n}\) , với \(a \ge 0,b \ge 0,n \in {N^*}\) ta được:
-
A.
\(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} < \left( \dfrac{{{{{a + b} }}}}{2}\right) ^n\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge \left( \dfrac{{{{{a + b} }}}}{2}\right) ^n\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} = \left( \dfrac{{{{{a + b} }}}}{2}\right) ^n\)
-
D.
Không so sánh được.
Đáp án : B
+ Cho $n$ một giá trị bất kì, chẳng hạn $n=1,n=2,...$ để loại đáp án.
+ Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh bất đẳng thức.
Với $n = 1$ ta có \(\dfrac{{a + b}}{2} = \dfrac{{a + b}}{2}\), do đó loại đáp án A.
Với $n = 2$, chọn bất kì $a = 1,b = 2$ ta có:
\(\dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} = \dfrac{{{1^2} + {2^2}}}{2} = \dfrac{5}{2},\) \({\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n} = {\left( {\dfrac{{1 + 2}}{2}} \right)^2} = \dfrac{9}{4} \) \(\Rightarrow \dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2} > {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^n} \)
Đáp án C sai.
Ta chứng minh đáp án B đúng với mọi \(a \ge 0,b \ge 0,n \in {N^*}\) bằng phương pháp quy nạp.
Với $n = 1$ mệnh đề đúng.
Giả sử mệnh đề đúng đến \(n = k\left( {k \ge 1} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{a^k} + {b^k}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^k}\left( 1 \right)\)
Ta phải chứng minh \(\dfrac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\)
Thật vậy, ta nhân $2$ vế của (1) với \(\dfrac{{a + b}}{2} > 0\) ta có:
\(\dfrac{{{a^k} + {b^k}}}{2}.\dfrac{{a + b}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^k}.\dfrac{{a + b}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}}}{4} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}\left( 2 \right)\)
Do \(a \ge 0,b \ge 0\). Nếu \(a \ge b \ge 0 \Rightarrow \left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\), nếu \(0 \le a \le b \Rightarrow \left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\,\,\,\forall a \ge 0,b \ge 0\\ \Rightarrow {a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} \ge {a^k}b + a{b^k} \Rightarrow \dfrac{{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}}}{4} \le \dfrac{{{a^{k + 1}} + {a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{4} = \dfrac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2}\end{array}\)
Từ (2) suy ra $\dfrac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}$, do đó mệnh đề đúng đến $n = k + 1$.
Vậy mệnh đề đúng với mọi $n,a,b$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {2 + u_n^2} ,\,\,\forall n \ge 1\). Tổng \({S_{2018}} = u_1^2 + u_2^2 + ... + u_{2018}^2\) là :
-
A.
\({S_{2018}} = {2015^2}\)
-
B.
\({S_{2018}} = {2018^2}\)
-
C.
\({S_{2018}} = {2017^2}\)
-
D.
\({S_{2018}} = {2016^2}\)
Đáp án : B
Tìm số hạng tổng quát của \(u_n^2\) , thay vào tính \({S_{2018}}\)
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} = \sqrt {2 + u_n^2} \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 = u_n^2 + 2 = u_{n - 1}^2 + 2 + 2 = ... = u_1^2 + 2n = 1 + 2n\\ \Leftrightarrow u_n^2 = 1 + 2\left( {n - 1} \right) = 2n - 1\end{array}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}{S_{2018}} = \sum\limits_{n = 1}^{2018} {\left( {2n - 1} \right)} = 2\sum\limits_{n = 1}^{2018} n - \sum\limits_{n = 1}^{2018} 1 = 2\left( {1 + 2 + ... + 2018} \right) - 2018\\ = 2\dfrac{{2018\left( {2018 + 1} \right)}}{2} - 2018 = {2018^2} + 2018 - 2018 = {2018^2}\end{array}\)
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2