-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 2: Tổ hợp xác suất - Đề số 2
Đề bài
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn $1000$. Xác suất để số đó chia hết cho $5$ là:
-
A.
\(\dfrac{1}{5}\)
-
B.
\(\dfrac{{201}}{{1000}}\)
-
C.
\(\dfrac{{200}}{{999}}\)
-
D.
\(\dfrac{{199}}{{999}}\)
Giả sử $A$ và $B$ là hai biến cố cùng liên quan đến phép thử $T$. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
1) Nếu $A $ và $B$ là hai biến cố độc lập thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .
2) Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .
3) \(P(AB) = P(A).P(B)\).
-
A.
Chỉ 1 đúng
-
B.
Chỉ 2 đúng
-
C.
Chỉ 3 đúng
-
D.
Cả ba đều sai.
Cho \(A\) là một biến cố liên quan phép thử \(T\). Xác suất xảy ra biến cố \(A\) là:
-
A.
\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
-
B.
\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( \Omega \right)}}{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}\)
-
C.
\(P\left( A \right) = n\left( {{\Omega _A}} \right)\)
-
D.
\(P\left( A \right) = n\left( \Omega \right) - n\left( {{\Omega _A}} \right)\)
Cho hai tập hợp \(A,B\) rời nhau có số phần tử lần lượt là \({n_A},{n_B}\). Số phần tử của tập hợp \(A \cup B\) là:
-
A.
\({n_A} + {n_B}\)
-
B.
\({n_A}.{n_B}\)
-
C.
\({n_A} \cup {n_B}\)
-
D.
\(\left| {{n_A} - {n_B}} \right|\)
Một lớp có $8$ học sinh được bầu chọn vào 3 chức vụ khác nhau: lớp trưởng, lớp phó và bí thư (không được kiêm nhiệm). Số cách lựa chọn khác nhau sẽ là:
-
A.
$336$
-
B.
$56$
-
C.
$31$
-
D.
$40320$
Tìm hệ số của ${x^{12}}$ trong khai triển ${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}}.$
-
A.
$C_{10}^8.$
-
B.
$C_{10}^2{.2^8}.$
-
C.
$C_{10}^2.$
-
D.
$ - \,C_{10}^2{.2^8}.$
Xếp ngẫu nhiên $3$ nam và $3$ nữ ngồi vào $6$ ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất để nam nữ ngồi xen kẽ nhau là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{15}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{20}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{10}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{5}\)
Gieo hai con xúc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích của số chấm xuất hiện ở mỗi xúc sắc . Số phần tử của không gian mẫu là:
-
A.
\(9\)
-
B.
\(18\)
-
C.
\(36\)
-
D.
\(39\)
Trong các thí nghiệm sau, thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?
-
A.
Gieo đồng xu xem nó là mặt sấp hay mặt ngửa
-
B.
Gieo ba đồng xu và xem có mấy đồng xu lật ngửa.
-
C.
Chọn bất kì một viên bi trong hộp và xem nó là màu gì.
-
D.
Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ vào hộp đựng bi và xem có tất cả bao nhiêu viên bi trong hộp
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
-
A.
\(A_n^k\)
-
B.
\(A_k^n\)
-
C.
\(C_n^k\)
-
D.
\(C_k^n\)
Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử được gọi là:
-
A.
tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử
-
B.
chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử
-
C.
\(C_n^k\)
-
D.
\(A_n^k\)
Với \(\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = 72\) thì giá trị của $n$ là:
-
A.
$n = 8$
-
B.
$n = 9$
-
C.
$n = 6$
-
D.
$n = 5$
Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có $8$ màu khác nhau, các cây bút chì cũng có $8$ màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn
-
A.
$64$.
-
B.
$16$.
-
C.
$32$.
-
D.
$20$.
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và là số chẵn?
-
A.
$360$
-
B.
$343$
-
C.
$523$
-
D.
$347$
Từ $5$ bông hoa hồng vàng, $3$ bông hoa hồng trắng và $4$ bông hoa hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn một bó hồng gồm $7$ bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất $3$ bông hoa hồng vàng và $3$ bông hoa hồng đỏ?
-
A.
$10$ cách
-
B.
$20$ cách
-
C.
$120$ cách
-
D.
$150$ cách
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \dfrac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\) là:
-
A.
$2$
-
B.
$1$
-
C.
$0$
-
D.
$3$
Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = 243\) là:
-
A.
\(n = 5\)
-
B.
\(n = 4\)
-
C.
\(n = 3\)
-
D.
\(n = 6\)
Hệ số của số hạng chứa \({x^{10}}\) trong khai triển nhi thức \({\left( {x + 2} \right)^n}\) biết n là số nguyên dương thỏa mãn \({3^n}C_n^0 - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 2048\) là:
-
A.
\(22{x^{10}}\)
-
B.
\(123{x^{10}}\)
-
C.
$123$
-
D.
$22$
Gieo đồng xu hai lần liên tiếp. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần.
-
A.
\(\dfrac{1}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{3}{4}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{3}\)
Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất \(5\) lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm ở hai lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba.
-
A.
\(\dfrac{{10}}{{216}}\)
-
B.
\(\dfrac{{15}}{{216}}\)
-
C.
\(\dfrac{{16}}{{216}}\)
-
D.
\(\dfrac{{15}}{{{6^5}}}\)
Gieo ngẫu nhiên bốn đồng xu cân đối và đồng chất. Xác suất để cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp là:
-
A.
\(\dfrac{4}{{16}}\)
-
B.
\(\dfrac{2}{{16}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{16}}\)
-
D.
\(\dfrac{6}{{16}}\)
Một chiếc tàu khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa có xác suất khoan trúng túi dầu là $0,4$. Xác suất để trong $5$ lần khoan độc lập, chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần.
-
A.
\(0,07776\)
-
B.
\(0,84222\)
-
C.
\(0,15778\)
-
D.
\(0,92224\)
Xác suất bắn trúng đích của một người bắn súng là $0,6$. Xác suất để trong ba lần bắn độc lập người đó bắn trúng đích đúng một lần.
-
A.
\(0,4\)
-
B.
\(0,6\)
-
C.
\(0,096\)
-
D.
\(0,288\)
Với \(k,n \in N,2 \le k \le n\) thì giá trị của biểu thức $A = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} - C_{n + 4}^k + 1$ bằng?
-
A.
$A = 0$
-
B.
$A = 1$
-
C.
$A = 3$
-
D.
$A = - 1$
Gieo ba con xúc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc đó bằng nhau là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{216}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{18}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{36}}\)
Lời giải và đáp án
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn $1000$. Xác suất để số đó chia hết cho $5$ là:
-
A.
\(\dfrac{1}{5}\)
-
B.
\(\dfrac{{201}}{{1000}}\)
-
C.
\(\dfrac{{200}}{{999}}\)
-
D.
\(\dfrac{{199}}{{999}}\)
Đáp án : A
- Tính số phần tử của không gian mẫu \(\left| \Omega \right|\)
- Tính số kết quả có lợi cho biến cố \(\left| A \right|\)
- Sử dụng công thức tính xác suất \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn $1000$ ta có \(\left| \Omega \right| = 1000\)
Gọi $A$ là biến cố chọn được số chia hết cho $5.$
Khi đó: \(A = \left\{ {5k\left| {0 \le 5k < 1000} \right.} \right\} = \left\{ {5k\left| {0 \le k < 200} \right.} \right\}\)
Nên \(\left| A \right| = 200\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{200}}{{1000}} = \dfrac{1}{5}\)
Giả sử $A$ và $B$ là hai biến cố cùng liên quan đến phép thử $T$. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
1) Nếu $A $ và $B$ là hai biến cố độc lập thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .
2) Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .
3) \(P(AB) = P(A).P(B)\).
-
A.
Chỉ 1 đúng
-
B.
Chỉ 2 đúng
-
C.
Chỉ 3 đúng
-
D.
Cả ba đều sai.
Đáp án : B
Nhắc lại lý thuyết:
- Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì \(P(AB) = P(A).P(B)\) .
- Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .
Dựa vào lý thuyết biến cố đối và biến cố độc lập ta có:
- Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì \(P(AB) = P(A).P(B)\) .
- Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Vậy chỉ có $2$ đúng.
Cho \(A\) là một biến cố liên quan phép thử \(T\). Xác suất xảy ra biến cố \(A\) là:
-
A.
\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\)
-
B.
\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( \Omega \right)}}{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}\)
-
C.
\(P\left( A \right) = n\left( {{\Omega _A}} \right)\)
-
D.
\(P\left( A \right) = n\left( \Omega \right) - n\left( {{\Omega _A}} \right)\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính xác suất của biến cố
Xác suất xảy ra biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
Cho hai tập hợp \(A,B\) rời nhau có số phần tử lần lượt là \({n_A},{n_B}\). Số phần tử của tập hợp \(A \cup B\) là:
-
A.
\({n_A} + {n_B}\)
-
B.
\({n_A}.{n_B}\)
-
C.
\({n_A} \cup {n_B}\)
-
D.
\(\left| {{n_A} - {n_B}} \right|\)
Đáp án : A
Số phần tử của tập hợp \(A \cup B\) là: \(n = {n_A} + {n_B}\).
Một lớp có $8$ học sinh được bầu chọn vào 3 chức vụ khác nhau: lớp trưởng, lớp phó và bí thư (không được kiêm nhiệm). Số cách lựa chọn khác nhau sẽ là:
-
A.
$336$
-
B.
$56$
-
C.
$31$
-
D.
$40320$
Đáp án : A
Vì các chức vụ là khác nhau nên mỗi cách chọn sẽ là $1$ chỉnh hợp chập $3$ của $8$
Số cách chọn ra $3$ người để bầu cho $3$ vị trí khác nhau là \(A_8^3 = 336\) (cách).
Tìm hệ số của ${x^{12}}$ trong khai triển ${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}}.$
-
A.
$C_{10}^8.$
-
B.
$C_{10}^2{.2^8}.$
-
C.
$C_{10}^2.$
-
D.
$ - \,C_{10}^2{.2^8}.$
Đáp án : B
Sử dụng công thức tổng quát ${{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k\,=\,0}^{n}{C_{n}^{k}}.{{a}^{n\,-\,k}}.{{b}^{k}}\,\,\xrightarrow{{}}$ Tìm hệ số của số hạng cần tìm.
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có
${\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {2x} \right)^{10\, - \,k}}.{\left( { - \,{x^2}} \right)^k} $ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.2^{10\, - \,k}}.{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{10\, + \,k}}.$
Hệ số của ${x^{12}}$ ứng với $10+k=12\Leftrightarrow k=2\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Hệ số cần tìm là $C_{10}^2{.2^8}.{\left( { - \,1} \right)^2} = C_{10}^2{.2^8}.$
Xếp ngẫu nhiên $3$ nam và $3$ nữ ngồi vào $6$ ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất để nam nữ ngồi xen kẽ nhau là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{15}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{{20}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{10}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{5}\)
Đáp án : C
- Tính số phần tử của không gian mẫu \(\left| \Omega \right|\)
- Tính số kết quả có lợi cho biến cố \(\left| A \right|\)
- Sử dụng công thức tính xác suất \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}}\)
Không gian mẫu \(\Omega \) là tập các hoán vị của 6 phần tử, ta có: \(\left| \Omega \right| = 6! = 720\)
Gọi A là biến cố nam và nữ ngồi xen kẽ nhau.
Đánh số ghế từ \(1\) đến \(6\).
TH1: Xếp nam vào các ghế \(1,3,5\) có \(3!\) cách, xếp nữ vào các ghế \(2,4,6\) có \(3!\) cách nên có \(3!.3!\) cách.
TH2: Xếp nam vào các ghế \(2,4,6\) và xếp nữ vào các ghế \(1,3,5\) cũng có \(3!.3!\) cách.
Khi đó \(\left| A \right| = 2.3!.3! = 72\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{72}}{{720}} = \dfrac{1}{{10}}\)
Gieo hai con xúc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích của số chấm xuất hiện ở mỗi xúc sắc . Số phần tử của không gian mẫu là:
-
A.
\(9\)
-
B.
\(18\)
-
C.
\(36\)
-
D.
\(39\)
Đáp án : B
Sử dụng phương pháp liệt kê.
Số chấm có thể xuất hiện ở xúc sắc thứ nhất là 1;2;3;4;5;6.
Số chấm có thể xuất hiện ở xúc sắc thứ hai là 1;2;3;4;5;6.
Mỗi phần tử của không gian mẫu là tích của 2 số bất kì xuất hiện ở mỗi xúc sắc trên (2 số này có thể trùng nhau).
Mô tả không gian mẫu
$\Omega = $ $\left\{ {1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;} \right.\left. {15;16;18;20;24;25;30;36} \right\}$
Vậy số phần tử là \(18\).
Trong các thí nghiệm sau, thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?
-
A.
Gieo đồng xu xem nó là mặt sấp hay mặt ngửa
-
B.
Gieo ba đồng xu và xem có mấy đồng xu lật ngửa.
-
C.
Chọn bất kì một viên bi trong hộp và xem nó là màu gì.
-
D.
Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ vào hộp đựng bi và xem có tất cả bao nhiêu viên bi trong hộp
Đáp án : D
Định nghĩa phép thư ngẫu nhiên:
- Là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử ấy. Ta gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử.
Các thí nghiệm ở đáp án A, B, C đều là các phép thử ngẫu nhiên vì ta không đoán trước kết quả, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra với nó.
Thí nghiệm ở đáp án D không phải phép thử ngẫu nhiên vì ta đã biết chắc kết quả là có \(5\) viên bi.
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
-
A.
\(A_n^k\)
-
B.
\(A_k^n\)
-
C.
\(C_n^k\)
-
D.
\(C_k^n\)
Đáp án : C
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là \(C_n^k\).
Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử được gọi là:
-
A.
tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử
-
B.
chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử
-
C.
\(C_n^k\)
-
D.
\(A_n^k\)
Đáp án : A
Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.
Với \(\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = 72\) thì giá trị của $n$ là:
-
A.
$n = 8$
-
B.
$n = 9$
-
C.
$n = 6$
-
D.
$n = 5$
Đáp án : A
Áp dụng công thức: \(n! = 1.2.3.....n\,\,\left( {n \in N} \right)\)
ĐK: \(n \in N,n > 1\)
\(\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = 72 \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 72 \Leftrightarrow {n^2} + n - 72 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 9\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có $8$ màu khác nhau, các cây bút chì cũng có $8$ màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn
-
A.
$64$.
-
B.
$16$.
-
C.
$32$.
-
D.
$20$.
Đáp án : A
Đếm số cách chọn mỗi loại bút và sử dụng quy tắc nhân.
Chọn cây bút mực: có $8$ cách
Chọn cây bút chì: có $8$ cách
Theo quy tắc nhân, số cách mua là: $8.8 = 64$ (cách)
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và là số chẵn?
-
A.
$360$
-
B.
$343$
-
C.
$523$
-
D.
$347$
Đáp án : A
Sử dụng quy tắc nhân với chú ý có bốn công đoạn để lập được số thỏa mãn bài toán.
Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số cần tìm là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c \ne d} \right)\), \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\}\)
Vì \(\overline {abcd} \) là số chẵn nên \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\} \)
\(\Rightarrow \) Có $3$ cách chọn $d.$
Vì $a \ne d$ nên có $6$ cách chọn $a$
$b\ne a, d$ nên có $5$ cách chọn $b$
$c \ne a, b, d$ nên có $4$ cách chọn $c$
Áp dụng quy tắc nhân ta có số các số thỏa mãn là: $3.6.5.4 = 360$ (số)
Từ $5$ bông hoa hồng vàng, $3$ bông hoa hồng trắng và $4$ bông hoa hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn một bó hồng gồm $7$ bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất $3$ bông hoa hồng vàng và $3$ bông hoa hồng đỏ?
-
A.
$10$ cách
-
B.
$20$ cách
-
C.
$120$ cách
-
D.
$150$ cách
Đáp án : D
Ta thấy chỉ chọn $7$ bông hồng mà có ít nhất $3$ bông hoa hồng vàng và ít nhất $3$ bông hoa hồng đỏ nên chỉ có $3$ trường hợp sau:
TH1: Chọn được $3$ bông hoa hồng vàng và $4$ bông hoa hồng đỏ.
TH2: Chọn được $4$ bông hoa hồng vàng và $3$ bông hoa hồng đỏ.
TH3: Chọn được $3$ bông hoa hồng vàng, $3$ bông hoa hồng đỏ và $1$ bông hoa hồng trắng.
TH1: Chọn được $3$ bông hoa hồng vàng và $4$ bông hoa hồng đỏ.
Số cách chọn $3$ bông hồng vàng là \(C_5^3 = 10\) cách.
Số cách chọn $4$ bông hồng đỏ là \(C_4^4 = 1\) cách.
Theo quy tắc nhân thì có $10.1 = 10$ cách.
TH2: Chọn được $4$ bông hoa hồng vàng và $3$ bông hoa hồng đỏ.
Tương tự TH1 ta có số cách chọn là \(C_5^4.C_4^3 = 20\) cách.
TH3: Chọn được $3$ bông hoa hồng vàng, $3$ bông hoa hồng đỏ và $1$ bông hoa hồng trắng.
Tương tự TH1 ta có số cách chọn là \(C_5^3.C_4^3.C_3^1 = 120\) cách.
Vậy theo quy tắc cộng ta có $10 + 20 + 120 = 150$ cách.
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \dfrac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\) là:
-
A.
$2$
-
B.
$1$
-
C.
$0$
-
D.
$3$
Đáp án : B
Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) sau đó giải hệ phương trình.
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le y\\0 \le x \le y + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le y\,\,\left( {x,y \in N} \right)\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \dfrac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{y!}}{{x!\left( {y - x} \right)!}}.\dfrac{{x!\left( {y + 2 - x} \right)!}}{{\left( {y + 2} \right)!}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{{y!}}{{x!\left( {y - x} \right)!}}.\dfrac{{\left( {y - x} \right)!}}{{y!}} = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left( {y - x + 1} \right)\left( {y - x + 2} \right)}}{{\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{{x!}} = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\,\,\left( {tm} \right)\\\dfrac{{\left( {y - 3} \right)\left( {y - 2} \right)}}{{\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}} = \dfrac{1}{3}\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow 3{y^2} - 15y + 18 = {y^2} + 3y + 2\\ \Leftrightarrow 2{y^2} - 18y + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 8\,\,\left( {tm} \right)\\y = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;8} \right)\)
Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = 243\) là:
-
A.
\(n = 5\)
-
B.
\(n = 4\)
-
C.
\(n = 3\)
-
D.
\(n = 6\)
Đáp án : A
+) Xuất phát từ khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
+) Thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp.
+) Giải phương trình để tìm \(n\)
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Thay \(a = 1,b = 2\) ta có:
\({3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n\)
Kết hợp với giả thiết ta có: \({3^n} = 243 \Leftrightarrow {3^n} = {3^5} \Leftrightarrow n = 5\)
Hệ số của số hạng chứa \({x^{10}}\) trong khai triển nhi thức \({\left( {x + 2} \right)^n}\) biết n là số nguyên dương thỏa mãn \({3^n}C_n^0 - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 2048\) là:
-
A.
\(22{x^{10}}\)
-
B.
\(123{x^{10}}\)
-
C.
$123$
-
D.
$22$
Đáp án : D
Xét khai triển \({\left( {x - 1} \right)^n}\) sau đó thay x = 3 vào để tìm n.
Dùng khi triển của nhị thức Newton để tìm hệ số của số hạng chứa \({x^{10}}\) bằng cách cho số mũ của x bằng 10.
Xét khai triển
\({\left( {x - 1} \right)^n} = C_n^0{\left( { - 1} \right)^0}{x^n} + C_n^1{\left( { - 1} \right)^1}{x^{n - 1}} + ... + C_n^n{\left( { - 1} \right)^n}{x^0}\)
Thay x = 3 ta có: \({\left( {3 - 1} \right)^n} = {3^n}C_n^0 - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 2048 \Leftrightarrow {2^n} = 2048 \Leftrightarrow n = 11.\)
\( \Rightarrow {\left( {x + 2} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}{2^{11 - k}}} \,\left( {0 \le k \le n,k \in N} \right)\)
Hệ số của số hạng chứa \({x^{10}} \Leftrightarrow k = 10.\)
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^{10}}\) là: \(C_{11}^{10}2 = 22.\)
Gieo đồng xu hai lần liên tiếp. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần.
-
A.
\(\dfrac{1}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{3}{4}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{3}\)
Đáp án : C
- Tính \(n\left( \Omega \right)\).
- Liệt kê các phần tử của biến cố \(A\) và công thức tính xác suất \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = 2.2 = 4\).
Biến cố \(A\) có \({\Omega _A} = \left\{ {SN,NS,NN} \right\}\) nên \(n\left( {{\Omega _A}} \right) = 3\).
Vậy xác suất \(P\left( A \right) = \dfrac{3}{4}\).
Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất \(5\) lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm ở hai lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba.
-
A.
\(\dfrac{{10}}{{216}}\)
-
B.
\(\dfrac{{15}}{{216}}\)
-
C.
\(\dfrac{{16}}{{216}}\)
-
D.
\(\dfrac{{15}}{{{6^5}}}\)
Đáp án : B
- Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Liệt kê và tính số khả năng có thể xảy ra của biến cố.
- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = {6^5}\).
Bộ kết quả của ba lần gieo đầu thỏa mãn yêu cầu là:
\(\begin{array}{l}\left( {1;1;2} \right),\left( {1;2;3} \right),\left( {1;3;4} \right),\left( {1;4;5} \right),\\ \left( {1;5;6} \right), \left( {2;1;3} \right),\left( {2;2;4} \right),\left( {2;3;5} \right),\\ \left( {2;4;6} \right),\left( {3;1;4} \right),\left( {3;2;5} \right),\left( {3;3;6} \right),\\ \left( {4;1;5} \right),\left( {4;2;6} \right),\left( {5;1;6} \right)\end{array}\)
Hai lần gieo sau mỗi lần gieo có \(6\) khả năng xảy ra nên \(n\left( A \right) = 15.6.6\).
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{15.6.6}}{{{6^5}}} = \dfrac{{15}}{{216}}\).
Gieo ngẫu nhiên bốn đồng xu cân đối và đồng chất. Xác suất để cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp là:
-
A.
\(\dfrac{4}{{16}}\)
-
B.
\(\dfrac{2}{{16}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{16}}\)
-
D.
\(\dfrac{6}{{16}}\)
Đáp án : C
- Tính số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right)\).
- Tính số khả năng xảy ra của biến cố \(A\).
- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp”.
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = {2^4} = 16,n\left( {{\Omega _A}} \right) = 1 \) \(\Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{1}{{16}}\)
Một chiếc tàu khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa có xác suất khoan trúng túi dầu là $0,4$. Xác suất để trong $5$ lần khoan độc lập, chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần.
-
A.
\(0,07776\)
-
B.
\(0,84222\)
-
C.
\(0,15778\)
-
D.
\(0,92224\)
Đáp án : D
Sử dụng các công thức tính xác suất.
- Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì \(P(AB) = P(A).P(B)\) .
- Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .
- Nếu A và B là hai biến cố đối nhau thì \(P\left( A \right) + P(B) = 1\)
Gọi A là biến cố “chiếc tàu khoan trúng túi dầu”. Ta có \(P\left( A \right) = 0,4\)
Suy ra \(\bar A\) là biến cố “chiếc tàu khoan không trúng túi dầu”. Ta có \(P(\bar A) = 0,6\)
Xét phép thử “tàu khoan 5 lần độc lập” với biến cố
B:“chiếc tàu không khoan trúng túi dầu lần nào”, ta có \(P(B) = 0,{6^5} = 0,07776\)
Khi đó ta có \(\overline B\) “chiếc tàu khoan trúng túi dầu ít nhất một lần”. Ta có:
\(P\left( {\overline B} \right) = 1 - P(B) \) \(= 1 - 0,07776 = 0,92224\)
Xác suất bắn trúng đích của một người bắn súng là $0,6$. Xác suất để trong ba lần bắn độc lập người đó bắn trúng đích đúng một lần.
-
A.
\(0,4\)
-
B.
\(0,6\)
-
C.
\(0,096\)
-
D.
\(0,288\)
Đáp án : D
Sử dụng các công thức tính xác suất.
- Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì \(P(AB) = P(A).P(B)\) .
- Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .
- Nếu A và B là hai biến cố đối nhau thì \(P\left( A \right) + P(B) = 1\)
Gọi A là biến cố “người bắn súng bắn trúng đích”. Ta có \(P\left( A \right) = 0,6\)
Suy ra \(\overline A\) là biến cố “người bắn súng không bắn trúng đích”. Ta có \(P(\overline A) = 0,4\)
Xét phép thử “bắn ba lần độc lập” với biến cố “người đó bắn trúng đích đúng một lần”, ta có các biến cố xung khắc sau:
• \(B\): “Bắn trúng đích lần đầu và trượt ở hai lần bắn sau”. Ta có \(P(B) = 0,6.0,4.0,4 = 0,096\)
• C: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ hai và trượt ở lần đầu và lần thứ ba”. Ta có
\(P(C) = 0,4.0,6.0,4 = 0,096\)
• D: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ ba và trượt ở hai lần đầu”. Ta có:
\(P(D) = 0,4.0,4.0,6 = 0,096\)
Xác suất để người đó bắn trúng đích đúng một lần là:
\(P = P(A) + P(B) + P(C) = 0,096 + 0,096 + 0,096 = 0,288\)
Với \(k,n \in N,2 \le k \le n\) thì giá trị của biểu thức $A = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4} - C_{n + 4}^k + 1$ bằng?
-
A.
$A = 0$
-
B.
$A = 1$
-
C.
$A = 3$
-
D.
$A = - 1$
Đáp án : B
Đối với những bài toán tổng những tổ hợp có chỉ số trên và chỉ số dưới là những số tự nhiên liên tiếp ta sử dụng công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)
Trước hết ta chứng minh công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)
\(\begin{array}{l}VT = C_n^k + C_n^{k + 1}\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}}\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {\dfrac{1}{{n - k}} + \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\dfrac{{k + 1 + n - k}}{{\left( {n - k} \right)\left( {k + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{n!\left( {n + 1} \right)}}{{k!\left( {k + 1} \right)\left( {n - k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} = C_{n + 1}^{k + 1} = VP\end{array}\)
Ta tính giá trị của biểu thức B sau đây:
$\begin{array}{l}B = C_n^k + 4C_n^{k - 1} + 6C_n^{k - 2} + 4C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4}\\\,\,\,\,\, = C_n^k + C_n^{k - 1} + 3\left( {C_n^{k - 1} + C_n^{k - 2}} \right) + 3\left( {C_n^{k - 2} + C_n^{k - 3}} \right) + C_n^{k - 3} + C_n^{k - 4}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + 3C_{n + 1}^{k - 1} + 3C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} + 2\left( {C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2}} \right) + C_{n + 1}^{k - 2} + C_{n + 1}^{k - 3}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 2}^k + 2C_{n + 2}^{k - 1} + C_{n + 2}^{k - 2}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 1}^k + C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 1} + C_{n + 1}^{k - 2}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 3}^k + C_{n + 3}^{k - 1}\\\,\,\,\,\, = C_{n + 4}^k\\ \Rightarrow A = B - C_{n + 4}^k + 1 = C_{n + 4}^k - C_{n + 4}^k + 1 = 1\end{array}$
Gieo ba con xúc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc đó bằng nhau là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{216}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{18}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{36}}\)
Đáp án : D
- Tính số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right)\).
- Liệt kê và tính số khả năng xảy ra của biến cố \(A\)
- Tính xác suất theo công thức \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = {6^3}\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Số chấm trên ba con xúc sắc bằng nhau”.
Khi đó các trường hợp có thể có của $A$ là: \({\left( {1;1;1} \right),\left( {2;2;2} \right),\left( {3;3;3} \right),\left( {4;4;4} \right),\left( {5;5;5} \right),\left( {6;6;6} \right)}\)
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{6}{{216}} = \dfrac{1}{{36}}\).
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
