-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương 3 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 2 – Đại số và giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11
-
Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Chương 1 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 2 - Hình học 11
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 11
-
-
Đề thi giữa kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa kì 2
-
Đề thi học kì 2
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 11 chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 1
Đề bài
Phương trình \(\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là:
-
A.
$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$
-
B.
$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$
-
C.
$\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$
-
D.
$\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$
Phương trình \(\sqrt 3 \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)\)
Số nghiệm của phương trình \(2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = 0\) với \(\pi \le x \le 5\pi \) là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(0\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(2\)
Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) luôn đi qua điểm nào dưới đây?
-
A.
\(O\left( {0;0} \right)\)
-
B.
\(M\left( {0;1} \right)\)
-
C.
\(N\left( {\dfrac{\pi }{2};0} \right)\)
-
D.
\(P\left( {1;0} \right)\)
Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
Không có m
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
Với mọi m
Phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \) có hai họ nghiệm có dạng \(x = \alpha + k2\pi ,\,x = \beta + k2\pi ,\)
\(\left( { - \dfrac{\pi }{2} < \alpha <\beta < \dfrac{\pi }{2}} \right)\) . Khi đó \(\alpha .\beta \) là:
-
A.
\( - \dfrac{{5{\pi ^2}}}{{12}}\)
-
B.
\( - \dfrac{{5{\pi ^2}}}{{144}}\)
-
C.
\(\dfrac{{5{\pi ^2}}}{{144}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{12}}\)
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos 3x}}{{1 + \sin 4x}}} \)
-
A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{4},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{{3\pi }}{8} + k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
C.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
D.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Nghiệm của phương trình \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}$ là:
-
A.
\(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{6}\)
-
C.
\(x = \dfrac{{5\pi }}{6}\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{3}\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x\):
-
A.
\(\max y = 4;\min y = \dfrac{3}{4}\)
-
B.
\(\max y = 3;\min y = 2\)
-
C.
\(\max y = 4;\min y = 2\)
-
D.
\(\max y = 3,\min y = \dfrac{3}{4}\)
Phương trình \(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{{3\pi }}{4} + 2k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Chọn mệnh đề sai:
-
A.
\(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Phương trình \(\cos 2x = 1\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Hàm số nào sau đây không là hàm số lẻ?
-
A.
\(y = \tan x\)
-
B.
\(y = \cot x\)
-
C.
\(y = \sin x\)
-
D.
\(y = \cos x\)
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\) trên đường tròn lượng giác là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$4$
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 3\sin x + 4\cos x - 1\):
-
A.
\(\min y = - 6;\max y = 4\)
-
B.
\(\min y = - 5;\max y = 5\)
-
C.
\(\min y = - 3;\max y = 4\)
-
D.
\(\min y = - 6;\max y = 6\)
Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = \sqrt {2\sin x + 3} \)
-
A.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 1\)
-
B.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 0\)
-
C.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = \sqrt 3 \)
-
D.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 3\)
Nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \cos x\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = k\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Phương trình \(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6\) có nghiệm là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình \({\sin ^2}x - m\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 2m\) có nghiệm?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin x - \cos x\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
D.
Tất cả đều đúng.
Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
-
A.
\(\left| a \right| \ge 1\)
-
B.
\(\left| a \right| > 1\)
-
C.
\(\left| a \right| = 1\)
-
D.
\(\left| a \right| \ne 1\)
Trong khoảng \(\left( {0\,\,;\,\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\) phương trình \({\sin ^2}4x + 3\sin 4x\cos 4x - 4{\cos ^2}4x = 0\) có:
-
A.
Ba nghiệm
-
B.
Một nghiệm
-
C.
Hai nghiệm
-
D.
Bốn nghiệm
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right.\).
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\y = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} - k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x\):
-
A.
\(\max y = 2 + \sqrt {10} ;\min y = 2 - \sqrt {10} \)
-
B.
\(\max y = 2 + \sqrt 5 ;\min y = 2 - \sqrt 5 \)
-
C.
\(\max y = 2 + \sqrt 2 ;\min y = 2 - \sqrt 2 \)
-
D.
\(\max y = 2 + \sqrt 7 ;\min y = 2 - \sqrt 7 \)
Lời giải và đáp án
Phương trình \(\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là:
-
A.
$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$
-
B.
$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$
-
C.
$\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$
-
D.
$\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$
Đáp án : A
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Đặt \(\cot x = t\) và giải phương trình tìm \(t\), từ đó tìm \(x\).
ĐK: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
\(\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\)
Đặt \(\cot x = t\) khi đó phương trình có dạng
$\sqrt 3 {t^2} - 4t + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\t = \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\\cot x = \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)$
Phương trình \(\sqrt 3 \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : B
Giải phương trình lượng giác đặc biệt \(\cot x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\).
ĐKXĐ: \(\sin \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 5x - \dfrac{\pi }{8} \ne k\pi \) \( \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{{40}} + \dfrac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\)
Ta có:
\(\sqrt 3 \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \cot \left( {5x - \dfrac{\pi }{8}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 5x - \dfrac{\pi }{8} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) \(\Leftrightarrow 5x = \dfrac{{5\pi }}{8} + k\pi \) \(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{5}\left( {k \in Z} \right)\)
Số nghiệm của phương trình \(2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = 0\) với \(\pi \le x \le 5\pi \) là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(0\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(2\)
Đáp án : D
Biến đổi phương trình về dạng \(\sin x = m\) rồi sử dụng phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\)
Ta có:
\(2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Mà \(\pi \le x \le 5\pi \Rightarrow \pi \le \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \le 5\pi \Leftrightarrow \dfrac{{3\pi }}{4} \le k2\pi \le \dfrac{{19\pi }}{4} \Leftrightarrow \dfrac{3}{8} \le k \le \dfrac{{19}}{8} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm trong đoạn \(\left[ {\pi ;5\pi } \right]\).
Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) luôn đi qua điểm nào dưới đây?
-
A.
\(O\left( {0;0} \right)\)
-
B.
\(M\left( {0;1} \right)\)
-
C.
\(N\left( {\dfrac{\pi }{2};0} \right)\)
-
D.
\(P\left( {1;0} \right)\)
Đáp án : A
Điểm thuộc đồ thị hàm số nếu tọa độ của nó thỏa mãn phương trình hàm số.
Nếu \(x = 0\) thì \(y = \tan 0 = 0\) nên điểm \(O\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = \tan x\)
B sai vì khi thay hoành độ của điểm M vào ta được $y=\tan x=\tan 0=0\ne 1$
C sai vì với $x=\dfrac{\pi}{2}$, không tồn tại $\tan \dfrac{\pi}{2}$
D sai vì với $x=1$ thì ta được $y=\tan 1 \ne 0$
Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?
-
A.
\(m = 1\)
-
B.
Không có m
-
C.
\(m = 0\)
-
D.
Với mọi m
Đáp án : D
Điều kiện để phương trình \(a\cos x + b\sin x = c\) có nghiệm là \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
\(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 \\b = - m\\c = 1\end{array} \right.\)
Để phương trình có nghiệm thì \({a^2} + {b^2} \ge {c^2} \Leftrightarrow 3 + {m^2} \ge 1 \Leftrightarrow {m^2} \ge - 2\) (luôn đúng với \(\forall m\) )
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.
Phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \) có hai họ nghiệm có dạng \(x = \alpha + k2\pi ,\,x = \beta + k2\pi ,\)
\(\left( { - \dfrac{\pi }{2} < \alpha <\beta < \dfrac{\pi }{2}} \right)\) . Khi đó \(\alpha .\beta \) là:
-
A.
\( - \dfrac{{5{\pi ^2}}}{{12}}\)
-
B.
\( - \dfrac{{5{\pi ^2}}}{{144}}\)
-
C.
\(\dfrac{{5{\pi ^2}}}{{144}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{12}}\)
Đáp án : B
Bước 1: Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\):
\(a.\sin x+b.\cos x=c\)
+) Nếu $a^2+b^2 \ge c$ thì chia hai vế cho $\sqrt{a^2+b^2}$
+) Biến đổi $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ về dạng $\cos m$ và $\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ về dạng $\sin m$.
+) Sử dụng công thức cộng: $\sin a. \cos b+\sin b. \cos a=\sin (a+b)$
Bước 2: Giải phương trình tìm giá trị \(\alpha ,\beta \) và suy ra đáp án.
$\sin x=\sin a$\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = a + k2\pi }\\{x =\pi-a + k2\pi }\end{array}} \right.\)
Bước 1:
\({\mkern 1mu} \sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}\)
Bước 2:
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {\rm{\;}} - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\alpha {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \dfrac{\pi }{{12}}}\\{\beta {\rm{\;}} = \dfrac{{5\pi }}{{12}}}\end{array}} \right. \)
(Vì $ - \dfrac{\pi }{{12}}$ và $ \dfrac{{5\pi }}{{12}}$ đều thỏa mãn điều kiện đề bài)
\(\Rightarrow \alpha .\beta {\rm{\;}} = \dfrac{{ - 5{\pi ^2}}}{{144}}\)
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos 3x}}{{1 + \sin 4x}}} \)
-
A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{4},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
B.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{{3\pi }}{8} + k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
C.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
D.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Đáp án : C
Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định nếu \(f\left( x \right) \ge 0\).
Điều kiện: \(\dfrac{{1 - \cos 3x}}{{1 + \sin 4x}} \ge 0\)
Nhận thấy \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \le 1,\forall x \Rightarrow 1 - \cos 3x \ge 0\\\sin 4x \ge - 1,\forall x \Rightarrow 1 + \sin 4x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{1 - \cos 3x}}{{1 + \sin 4x}} \ge 0,\forall x\)
Do đó hàm số xác định nếu:
\(1 + \sin 4x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 4x \ne - 1 \Leftrightarrow 4x \ne - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2}\)
Nghiệm của phương trình \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}$ là:
-
A.
\(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{6}\)
-
C.
\(x = \dfrac{{5\pi }}{6}\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{3}\)
Đáp án : B
Bước 1: Đưa $\dfrac{1}{2}$ về dạng $\sin \alpha $
Sử dụng máy tính để tìm $\alpha $:
SHIFT => MODE => 4 : chuyển về chế độ Radian
SHIFT => SIN => (1/2) =>"="
Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\)
Bước 3: Xét từng họ nghiệm và thay vào $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}$ để tìm k sau đó thay k ngược lại để tìm x.
Bước 1:
Ta có: \(\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6}\)
Bước 2:
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Bước 3:
+) Xét $x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi$
Ta có $ - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} \le \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \le \dfrac{\pi }{2} $
\(\begin{array}{l} - \dfrac{{2\pi }}{3} \le k2\pi \le \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow - \dfrac{{2\pi }}{{3.2\pi }} \le k \le \dfrac{\pi }{{3.2\pi }}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} \le k \le \dfrac{1}{6}\end{array}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\). Thay vào x ta được: \(x = \dfrac{\pi }{6}\)
+) Xét \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \)
\(\begin{array}{l} - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{2} \le \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \le \dfrac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{{4\pi }}{3} \le k2\pi \le - \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow - \dfrac{{4\pi }}{{3.2\pi }} \le k \le - \dfrac{\pi }{{3.2\pi }}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{2}{3} \le k \le - \dfrac{1}{6}\end{array}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên không có giá trị k thỏa mãn
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là \(x = \dfrac{\pi }{6}\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x\):
-
A.
\(\max y = 4;\min y = \dfrac{3}{4}\)
-
B.
\(\max y = 3;\min y = 2\)
-
C.
\(\max y = 4;\min y = 2\)
-
D.
\(\max y = 3,\min y = \dfrac{3}{4}\)
Đáp án : D
Bước 1: Sử dụng công thức hạ bậc $2{\sin ^2}x=1 - \cos 2x$ và công thức \({\cos ^2}2x=(\cos 2x)^2\)
Bước 2: Biến đổi hàm số về tam thức bậc hai ẩn \(t = \cos 2x\).
Bước 3: Sử dụng kiến thức về hàm bậc hai $y=ax^2+bx+c$ để đánh giá GTLN, GTNN của \(y=f(x)\) trên [c;d]
+) Tìm $f(c),f(d)$ và f tại đỉnh của parabol \(x=-\dfrac{b}{2a}\)
+) GTLN và GTNN của 3 số tìm được chính là GTLN và GTNN của hàm số ban đầu.
Bước 1:
Theo công thức hạ bậc ta có: $2{\sin ^2}x=1 - \cos 2x$
=>\(y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x\)\( = 1 - \cos 2x + {\cos ^2}2x\)
\(=(\cos 2x)^2- \cos 2x +1\)
Bước 2:
Đặt \(t = \cos 2x;t \in \left[ { - 1;1} \right]\) ta được \(y = f\left( t \right) = {t^2} - t + 1;t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Bước 3:
Ta cần tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - t + 1\) trên đoạn \( \in \left[ { - 1;1} \right]\).
\( \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1;f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{4};f\left( { - 1} \right) = 3\)
Số lớn nhất là $3$, số nhỏ nhất là \(\dfrac{3}{4}\).
\( \Rightarrow \max y = 3;\min y = \dfrac{3}{4}\).
Phương trình \(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{{3\pi }}{4} + 2k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : D
Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Sử dụng công thức: $\sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2}+k2\pi$
Bước 2: Giải phương trình tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện.
Sử dụng công thức:
$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
$\sin x = -1 \Leftrightarrow x =- \dfrac{\pi}{2}+k2\pi$
Bước 1:
Điều kiện:
\(1 - \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 1 \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Bước 2:
\(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow {\cos ^2}2x = 0 \)
\(\Leftrightarrow {1-{\sin ^2}2x = 0} \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = 1 \)\(\Leftrightarrow \sin 2x = - 1\) (vì \(\sin 2x \ne 1\))
\( \Leftrightarrow 2x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)
Đặt $k=l+1 $ ta được:
\(- \dfrac{\pi }{4} + k\pi= - \dfrac{\pi }{4} + l\pi+\pi\)\(= \dfrac{{3\pi }}{4} + l\pi \left( {l \in Z} \right)\)
Vậy $x= \dfrac{{3\pi }}{4} + l\pi \left( {l \in Z} \right)$ hay $x= \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \left( {l \in Z} \right)$
Chọn mệnh đề sai:
-
A.
\(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : C
Đáp án A: \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên A đúng.
Đáp án B: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên B đúng, C sai.
Đáp án D: \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) nên D đúng.
Phương trình \(\cos 2x = 1\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : A
Ta có: \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 0 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Hàm số nào sau đây không là hàm số lẻ?
-
A.
\(y = \tan x\)
-
B.
\(y = \cot x\)
-
C.
\(y = \sin x\)
-
D.
\(y = \cos x\)
Đáp án : D
Các hàm số \(y = \sin x,y = \tan x,y = \cot x\) đều là hàm số lẻ.
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn vì $\cos x = \cos (-x)$
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : D
Biến đổi phương trình về phương trình lượng giác cơ bản \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \)
Ta có: \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\) trên đường tròn lượng giác là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$4$
Đáp án : C
- Giải phương trình bậc hai đối với \(\sin x\) tìm nghiệm.
- Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn đơn vị và kết luận.
\(4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\)
Đặt \(\sin x = t\,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\) khi đó phương trình có dạng: \(4{t^2} - 4t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = - \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
\(t = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Vây số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình \(4{\sin ^2}x - 4\sin x - 3 = 0\) trên đường tròn lượng giác là 2 điểm như hình trên.
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 3\sin x + 4\cos x - 1\):
-
A.
\(\min y = - 6;\max y = 4\)
-
B.
\(\min y = - 5;\max y = 5\)
-
C.
\(\min y = - 3;\max y = 4\)
-
D.
\(\min y = - 6;\max y = 6\)
Đáp án : A
Bước 1: Biến đổi $(y+1)^2$
Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: \({\left( {ac + bd} \right)^2}\le\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \).
Bước 3: Xét dấu bằng xảy ra
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}\)
Áp dụng công thức $\tan x=a \Leftrightarrow x=\arctan a + k\pi$ để tìm x.
Bước 1:
Ta có: \(y = 3\sin x + 4\cos x - 1 \) \(\Leftrightarrow y + 1 = 3\sin x + 4\cos x\)
\(\Rightarrow{\left( {y + 1} \right)^2}= {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2} \)
Bước 2:
Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: \({\left( {ac + bd} \right)^2}\le\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \) . Với $a=3, c=\sin x, b=4, d=\cos x$
Khi đó \({\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\)\( = \left( {{3^2} + {4^2}} \right).1 = 25 \) \(\Rightarrow - 5 \le y + 1 \le 5 \Leftrightarrow - 6 \le y \le 4\)
Bước 3:
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{3} = \dfrac{{\cos x}}{4} \)\(\Leftrightarrow \tan x = \dfrac{3}{4}\) \( \Leftrightarrow x = \arctan \dfrac{3}{4} + k\pi \)
Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = \sqrt {2\sin x + 3} \)
-
A.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 1\)
-
B.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 0\)
-
C.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = \sqrt 3 \)
-
D.
\(\max y = \sqrt 5 ,\min y = 3\)
Đáp án : A
Sử dụng \( - 1 \le \sin x \le 1\) để đánh giá biểu thức \(\sqrt {2\sin x + 3} \), từ đó tìm được GTNN, GTLN của hàm số.
Do \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -2 \le 2\sin x \le 2 \)\(\Rightarrow -2+3 \le2\sin x + 3 \le 2+3 \)\(\Rightarrow1 \le \sqrt {2\sin x + 3} \le \sqrt 5 \).
Dấu “=” xảy ra khi lần lượt \(\sin x = - 1\) và $\sin x = 1$
Nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \cos x\) là:
-
A.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(x = k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(x = k\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : A
- Biến đổi phương trình về dạng \(\sin x = \sin y\) hoặc \(\cos x = \cos y\)
Sử dụng công thức: $\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)=\cos x$
- Giải phương trình lượng giác cơ bản:
\(\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + k2\pi \\x = \pi - y + k2\pi \end{array} \right.\)
Ta có:
\(\sin 3x = \cos x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =\left( { \dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \\3x = \pi - \left( {\dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Phương trình \(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6\) có nghiệm là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : A
- Xét \(\cos x = 0\) có thỏa mãn phương trình hay không.
- Xét \(\cos x \ne 0\) thì chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\), trở thành phương trình bậc hai với ẩn là \(\tan x\)
- Giải phương trình trên tìm \(\tan x\) suy ra nghiệm \(x\).
\(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6 \Leftrightarrow 6{\sin ^2}x + 14\sqrt 3 \sin x\cos x - 8{\cos ^2}x = 6\,\left( * \right)\)
Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}x = 1\)
Thay vào phương trình (*) ta có: \(6.1 + 14.0 - 8.0 = 6 \Leftrightarrow 6 = 6\) (luôn đúng)
\( \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình (*) cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\begin{array}{l}6\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 14\sqrt 3 \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - 8 = \dfrac{6}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow 6{\tan ^2}x + 14\sqrt 3 \tan x - 8 = 6\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 14\sqrt 3 \tan x - 14 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 {\mathop{\rm tanx}\nolimits} - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Kết hợp 2 trường hợp ta có nghiệm của phương trình là: \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình \({\sin ^2}x - m\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 2m\) có nghiệm?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Đáp án : C
- Xét \(\cos x = 0\) có thỏa mãn phương trình hay không.
- Xét \(\cos x \ne 0\), chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\), giải phương trình bậc hai ẩn \(\tan x\).
- Đặt \(t = \tan x\), điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là phương trình bậc hai ẩn \(t\) có nghiệm.
Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}x = 1\)
Thay vào phương trình ta có: \(1 - m.0 - 3.0 = 2m\, \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2} \notin Z \Rightarrow \)loại
Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).
Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} - m\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - 3 = \dfrac{{2m}}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x - m\tan x - 3 = 2m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right){\tan ^2}x + m\tan x + 2m + 3 = 0\end{array}\)
Đặt \(\tan x = t\) khi đó phương trình có dạng \(\left( {2m - 1} \right){t^2} + mt + 2m + 3 = 0\)
\(m = \dfrac{1}{2} \notin Z \Rightarrow \)loại
\(m \ne \dfrac{1}{2}\) ta có: \(\Delta = {m^2} - 4\left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right) = {m^2} - 16{m^2} - 16m + 12 = - 15{m^2} - 16m + 12\)
Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 8 -2 \sqrt {61} }}{{15}} \le m \le \dfrac{{ - 8 + 2\sqrt {61} }}{{15}}\).
Mà \(m \in Z \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 0\end{array} \right.\)
Phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin x - \cos x\) có nghiệm là:
-
A.
\(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
B.
\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
C.
\(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
D.
Tất cả đều đúng.
Đáp án : B
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng tích \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Sử dụng các công thức \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\);\({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\)
Bước 2: Giải các phương trình
\(\cos x=0\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Phương trình \(a.\sin x + b.\cos x = c\) vô nghiệm nếu \({a^2} + {b^2} < {c^2}\)
Bước 1:
\(\begin{array}{l}{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin x - \cos x \\\Leftrightarrow {\cos ^3}x + \cos x= \sin x -\sin ^3x \\\Leftrightarrow \cos x\left( {{{\cos }^2}x + 1} \right) = \sin x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + 1} \right) = \sin x.{\cos ^2}x\end{array}\)
$\Leftrightarrow \cos x\left( {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + 1 - \sin x\cos x} \right) = 0$
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow \cos x.\dfrac{{1 + \cos 2x +2- \sin 2x}}{2} = 0\end{array}\)
$ \Leftrightarrow \cos x\left( {1 + \cos 2x + 2 - \sin 2x} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \cos x\left( { - \sin 2x + \cos 2x + 3} \right) = 0$
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\left( 1 \right)\\ - \sin 2x + \cos 2x + 3 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Bước 2:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Xét (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\\c = - 3\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} < {c^2} \)
\(\Rightarrow \) phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là:\(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
-
A.
\(\left| a \right| \ge 1\)
-
B.
\(\left| a \right| > 1\)
-
C.
\(\left| a \right| = 1\)
-
D.
\(\left| a \right| \ne 1\)
Đáp án : B
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đối với chỉ một hàm số lượng giác.
$\left\{ \begin{array}{l}1 - {\tan ^2}x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} \ne 0\\\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)$
$\begin{array}{l}\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = 1 - {\cos ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right){\cos ^2}x = {a^2} - 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} < 1\end{array}$
Vì \(\cos x \ne 0 \Rightarrow 0 < {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x > 0 \Leftrightarrow {a^2} - 1 > 0 \Rightarrow \left| a \right| > 1\)
Trong khoảng \(\left( {0\,\,;\,\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\) phương trình \({\sin ^2}4x + 3\sin 4x\cos 4x - 4{\cos ^2}4x = 0\) có:
-
A.
Ba nghiệm
-
B.
Một nghiệm
-
C.
Hai nghiệm
-
D.
Bốn nghiệm
Đáp án : D
- Xét \(\cos 4x = 0\) có thỏa mãn phương trình hay không.
- Xét \(\cos 4x \ne 0\), chia cả hai vế phương trình cho \({\cos ^2}4x \ne 0\), giải phương trình bậc hai ẩn \(\tan x\), từ đó suy ra nghiệm của phương trình.
Trường hợp 1: \(\cos 4x = 0 \Leftrightarrow 4x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}4x = 1\)
Thay vào phương trình ta có: \(1 + 3.0 - 4.0 = 0 \Leftrightarrow 1 = 0\,\,\left( {Vô lý} \right)\)
\( \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\) không là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2: \(\cos 4x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}4x\) ta được:
\(\dfrac{{{{\sin }^2}4x}}{{{{\cos }^2}4x}} + 3\dfrac{{\sin 4x}}{{\cos 4x}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {\tan ^2}4x + 3\tan 4x - 4 = 0\)
Đặt \(\tan 4x = t\). Khi đó phương trình trở thành
\({t^2} + 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 4x = 1\\\tan 4x = - 4\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\4x = \arctan \left( { - 4} \right) + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x = \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \dfrac{{k\pi }}{4}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Xét nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right),\,x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{4} < \dfrac{\pi }{2}\\k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{k}{4} < \dfrac{1}{2}\\k \in Z\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{7}{4}\\k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\pi }}{{16}}\\x = \dfrac{{5\pi }}{{16}}\end{array} \right.\)
Xét nghiệm \(x = \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 < \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \dfrac{{k\pi }}{4} < \dfrac{\pi }{2}\\k \in Z\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) < \dfrac{{k\pi }}{4} < \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right)\\k \in Z\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,42 < k < 2,42\\k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \dfrac{\pi }{4}\\x = \dfrac{1}{4}\arctan \left( { - 4} \right) + \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0\,\,;\,\,\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right.\).
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\y = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} - k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\y = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Đáp án : C
Bước 1: Sử dụng phương pháp thế để rút \(x\) từ phương trình trên thay vào phương trình dưới.
Bước 2: Giải phương trình dưới bằng cách sử dụng công thức \(\cos x - \cos y = - 2\sin \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\)
Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản
$\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$
Bước 1:
$\left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{\pi }{3}\\\cos x - \cos y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + \dfrac{\pi }{3}\\\cos \left( {y + \dfrac{\pi }{3}} \right) - \cos y = - 1\left( * \right)\end{array} \right.$
Bước 2:
$\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow - 2\sin \left( {y + \dfrac{\pi }{6}} \right).\sin \dfrac{\pi }{6} = - 1\\ \Leftrightarrow - 2\sin \left( {y + \dfrac{\pi }{6}} \right).\dfrac{1}{2} = - 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {y + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\end{array}$
Bước 3:
$\Leftrightarrow y + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow y = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$$\Rightarrow x = y + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x\):
-
A.
\(\max y = 2 + \sqrt {10} ;\min y = 2 - \sqrt {10} \)
-
B.
\(\max y = 2 + \sqrt 5 ;\min y = 2 - \sqrt 5 \)
-
C.
\(\max y = 2 + \sqrt 2 ;\min y = 2 - \sqrt 2 \)
-
D.
\(\max y = 2 + \sqrt 7 ;\min y = 2 - \sqrt 7 \)
Đáp án : A
Bước 1: Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác:
${\cos ^2}x=1 + \cos 2x$ và ${\sin ^2}x +{\cos ^2}x=1$ biến đổi hàm số đã cho về dạng \(y = a\sin u\left( x \right) + b\cos u\left( x \right)\)
Bước 2: Biến đổi ${\left( {y + 1} \right)^2}$
Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – ki để đánh giá tìm max, min cho hàm số.
Bước 4: Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{c}{a}=\dfrac{d}{b}$
Lưu ý: $\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)=1$
Bước 1:
Ta có
\(y = {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x \) \(={\sin ^2}x +{\cos ^2}x + 3\sin 2x + 2{\cos ^2}x\) \(= 1 + 3\sin 2x + 2{\cos ^2}x \) \(= 1 + 3\sin 2x + 1 + \cos 2x \) \(= 2 + 3\sin 2x + \cos 2x\)
Bước 2:
$\Rightarrow y - 2 = 3\sin 2x + \cos 2x $$\Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {3\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} $
Bước 3:
$ {\left( {3\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} = {\left( {3.\sin 2x +1. \cos 2x} \right)^2}$
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki với $a=3;b=1;c=\sin 2x;d=\cos 2x$$ {\left( {3.\sin 2x +1. \cos 2x} \right)^2}$ $\le \left( {{3^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 10.1=10$
$\Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} \le 10$
$\Rightarrow - \sqrt {10} \le y - 2 \le \sqrt {10} $ $\Rightarrow 2 - \sqrt {10} \le y \le 2 + \sqrt {10}$
Bước 4:
Dấu “=” xảy ra
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2x}}{3} = \dfrac{{\cos 2x}}{1} \)\(\Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2x}}{\cos 2x}=3\Leftrightarrow \tan 2x = 3\) \( \Leftrightarrow 2x = \arctan 3 + k\pi \) \(\Leftrightarrow x = \dfrac{{\arctan 3}}{2} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 5
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 7: Quan hệ song song trong không gian - Đề số 3
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 2
