Cách xét dấu hệ số của hàm số biết đồ thị - Toán 12

Trong toán học, hệ số là một số nhân (nhân tử) trong một vài số hạng của một biểu thức. Một giá trị mà nó xuất hiện phía trước hoặc xuất hiện trong phép nhân với một giá trị khác và thường là một số nhưng không phải biến số.

Ví dụ minh hoạ:

\(7{x^2} + 6y + 5z - 4\) thì 7 là hệ số của \({x^2}\), 6 là hệ số của y, 5 là hệ số của z; 4 là hằng số.

Cho đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \((a \ne 0)\) có hai điểm cực trị.

Ví dụ minh hoạ:

Cho hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị dưới đây.

Nhánh cuối đồ thị đi xuống (hay \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \)) nên a < 0.

Một điểm cực trị nằm bên phải trục tung và một điểm cực trị thuộc trục tung nên b < 0.

Một điểm cực trị thuộc trục tung nên c = 0.

Đồ thị cắt trục tung phía trên trục hoành nên d > 0.

Cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) \((c \ne 0,ad - bc \ne 0)\).

Hàm số đồng biến trên tập xác định: ad – bc > 0.

Hàm số nghịch biến trên tập xác định: ad – bc < 0.

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm nằm trên trục hoành: bd > 0.

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm nằm dưới trục hoành: bd < 0.

Đường tiệm cận đứng của đồ thị nằm bên phải trục tung: \( - \frac{d}{c} > 0 \Leftrightarrow cd < 0\).                                                                                                                

Đường tiệm cận đứng của đồ thị nằm bên trái trục tung: \( - \frac{d}{c} < 0 \Leftrightarrow cd > 0\).

Đường tiệm cận ngang của đồ thị nằm phía trên trục hoành: \(\frac{a}{c} > 0 \Leftrightarrow ac > 0\).

Đường tiệm cận ngang của đồ thị nằm phía dưới trục hoành: \(\frac{a}{c} < 0 \Leftrightarrow ac < 0\).

Ví dụ minh hoạ:

Cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\). Mệnh đề nào đúng?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}ad < 0\\bc > 0\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}ad < 0\\bc < 0\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}ad > 0\\bc < 0\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}ad > 0\\bc > 0\end{array} \right.\)

Đường tiệm cận ngang của đồ thị nằm phía trên trục hoành: \(\frac{a}{c} > 0 \Leftrightarrow ac > 0\).

Đường tiệm cận đứng của đồ thị nằm bên trái trục tung: \( - \frac{d}{c} < 0 \Leftrightarrow cd > 0\).

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm nằm dưới trục hoành: bd < 0.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}ac > 0\\cd > 0\end{array} \right. \Rightarrow ad > 0\); \(\left\{ \begin{array}{l}cd > 0\\bd < 0\end{array} \right. \Rightarrow bc < 0\). Vậy đáp án đúng là C.