Cách tính thể tích khối lăng trụ, khối hộp - Toán 11

a) Định nghĩa

Hình gồm hai đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\), \({A_1}'{A_2}'...{A_n}'\) và các hình bình hành \({A_1}{A_2}{A_2}'{A_1}'\), \({A_2}{A_3}{A_3}'{A_2}'\),…, \({A_n}{A_1}{A_1}'{A_n}'\) được gọi là hình lăng trụ, kí hiệu là \({A_1}{A_2}...{A_n}.{A_1}'{A_2}'...{A_n}'\).

Trong hình lăng trụ \({A_1}{A_2}...{A_n}.{A_1}'{A_2}'...{A_n}'\):

- Hai đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\) và \({A_1}'{A_2}'...{A_n}'\) gọi là hai mặt đáy;

- Các hình bình hành \({A_1}{A_2}{A_2}'{A_1}'\), \({A_2}{A_3}{A_3}'{A_2}'\),…, \({A_n}{A_1}{A_1}'{A_n}'\) gọi là các mặt bên;

- Các cạnh của hai mặt đáy gọi là các cạnh đáy;

- Các đoạn thẳng \({A_1}{A_1}'\), \({A_2}{A_2}'\),…, \({A_n}{A_n}'\) gọi là các cạnh bên;

- Các đỉnh của hai mặt đáy gọi là các đỉnh của hình lăng trụ.

b) Tên gọi các loại lăng trụ dựa vào hình dạng của đáy

Nếu đáy của lăng trụ là một tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thì hình lăng trụ tương ứng gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ từ giác, hình lăng trụ ngũ giác.

c) Tính chất

- Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau.

- Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

- Hai mặt đáy của hình lăng trụ là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

a) Định nghĩa

Hình hộp là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

Trong mỗi hình hộp, ta gọi:

- Hai mặt không có đỉnh chung là hai mặt đối diện;

- Hai cạnh song song không nằm trong một mặt là hai cạnh đối diện;

- Hai đỉnh không thuộc cùng một mặt là hai đỉnh đối diện;

- Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện là đường chéo.

b) Tính chất

- Các mặt của hình hộp là các hình bình hành.

- Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.

Chú ý: Ta có thể coi hai mặt đối diện bất kì của hình hộp là mặt đáy của nó.

Sử dụng công thức: V = S.h.

Trong đó:

- V: thể tích khối lăng trụ.

- S: diện tích đáy khối lăng trụ.

- h: chiều cao khối lăng trụ.

Nhận xét:

- Do chiều cao của khối lăng trụ đứng bằng độ dài cạnh bên nên thể tích khối lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với độ dài cạnh bên.

- Vì khối hộp là khối lăng trụ có đáy là hình bình hành nên công thức tính thể tích khối hộp tương tự khối lăng trụ: V = S.h.

- Thể tích khối hộp chữ nhật ba kích thước (chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c): V = abc.

- Thể tích khối lập phương cạnh a là: \(V = {a^3}\).

Ví dụ minh hoạ:

1)

a) Tính thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là: 6a; 4a; 3a.

b) Cho khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên AA' = 2a, hình chiếu của A' trên (ABCD) trùng với giao điểm O của AC và BD. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

Giải:

a) Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước: \(V = 6a.4a.3a = 72{a^3}\).

b)

Chiều cao của khối lăng trụ:

\(h = A'O = \sqrt {A'{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {4{a^2} - 2{a^2}}  = a\sqrt 2 \).

Thể tích khối lăng trụ: \(V = S.h = 4{a^2}.a\sqrt 2  = 4{a^3}\sqrt 2 \).

2) Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, mặt (ACC'A') vuông góc với hai mặt đáy, tam giác A'AC cân tại A và AA' = b (a < 2b). Tính thể tích của khối lăng trụ.

Giải:

Gọi A'H là đường cao của tam giác cân A'AC. Khi đó, H là trung điểm của AC.

Do \((ACC'A') \bot (ABC)\) và \(A'H \bot AC\) nên \(A'H \bot (ABC)\).

Vậy khối lăng trụ có chiều cao là \(A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \).

Tam giác đều ABC có diện tích là \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy khối lăng trụ có thể tích là \(V = {S_{ABC}} \cdot A'H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{{a^2}\sqrt {3(4{b^2} - {a^2})} }}{8}\).