Cách tính thể tích khối chóp cụt đều - Toán 11

Cho hình chóp đều \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\). Mặt phẳng (P) song song với đáy của hình chóp và cắt các cạnh \(S{A_1}\), \(S{A_2}\), …, \(S{A_n}\) lần lượt tại \({B_1}\), \({B_2}\), …, \({B_n}\).

Phần của hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và \(\left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right)\) được gọi là hình chóp cụt đều \({A_1}{A_2}...{A_n}.{B_1}{B_2}...{B_n}\).

Trong hình chóp đều \({A_1}{A_2}...{A_n}.{B_1}{B_2}...{B_n}\), ta gọi:

- Các đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\), \({B_1}{B_2}...{B_n}\) lần lượt là đáy lớn, đáy nhỏ;

- Các tứ giác \({A_1}{A_2}{B_2}{B_1}\), \({A_2}{A_3}{B_3}{B_2}\), …, \({A_n}{A_1}{B_1}{B_n}\) là các mặt bên;

- Các đoạn thẳng \({A_1}{B_1}\), \({A_2}{B_2}\), …, \({A_n}{B_n}\) là các cạnh bên;

- Các cạnh của hai đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\), \({B_1}{B_2}...{B_n}\) là các cạnh đáy;

- Đoạn thẳng nối tâm của hai đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\), \({B_1}{B_2}...{B_n}\) là đường cao; độ dài đường cao là chiều cao.

Tuỳ theo đáy là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều,… , ta có hình chóp cụt tam giác đều, hình chóp cụt tứ giác đều, hình chóp cụt ngũ giác đều,…

Nhận xét:

- Hai đáy của hình chóp cụt đều nằm trên hai mặt phẳng song song và có các cạnh tương ứng song song; đồng thời hai đáy đó là các đa giác đều có cùng số cạnh;

- Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân;

- Các đường thẳng chứa cạnh bên của hình chóp cụt đều cùng đi qua một điểm;

- Đường cao của hình chóp cụt đều thì vuông góc với hai đáy của hình chóp cụt đều đó.

Sử dụng công thức: \(V = \frac{1}{3}h\left( {{S_1} + \sqrt {{S_1}{S_2}}  + {S_2}} \right)\).

Trong đó:

- V: thể tích khối chóp cụt đều.

- \({S_1}\), \({S_2}\): diện tích hai đáy khối chóp cụt đều.

- h: chiều cao khối chóp cụt đều.

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho khối chóp cụt tam giác đều ABCA'B'C' có chiều cao bằng 3a, AB = 4a, A'B' = a. Tính thể tích của khối chóp cụt đều ABCA'B'C'.

Giải:

Diện tích tam giác đều ABC là:

\({S_1} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.4a.4a.\sin {60^o} = 4\sqrt 3 {a^2}\).

Diện tích tam giác đều A'B'C' là:

\({S_2} = \frac{1}{2}A'B'.A'C'.\sin \widehat {B'A'C'} = \frac{1}{2}.a.a.\sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}\).

Thể tích khối chóp cụt đều ABC.A'B'C' là:

\(V = \frac{1}{3}.3a.\left( {4\sqrt 3 {a^2} + \sqrt {4\sqrt 3 {a^2}.\frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}}  + \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} \right) = \frac{{21\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).

2) Cắt khối chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a bởi một mặt phẳng song song với đáy và đi qua trung điểm các cạnh bên. Tính thể tích khối chóp cụt đều được tạo thành.

Giải:

Gọi ABC.A'B'C' là khối chóp cụt đều được tạo thành, O và O' lần lượt là tâm của hai đáy ABC và A'B'C'. Ta có:

Chiều cao của khối chóp cụt đều là \(h = OO' = \frac{{SO}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Tam giác đều ABC có diện tích: \(S = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Tam giác đều A'B'C' có cạnh \(A'B' = \frac{{AB}}{2}\) nên có diện tích: \(S' = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{{16}} = \frac{S}{4}\).

Do đó, thể tích khối chóp cựt đều được tạo thành là:

\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'}  + S'} \right) = \frac{1}{3}a\left( {S + \frac{S}{2} + \frac{S}{4}} \right) = \frac{{7aS}}{{12}} = \frac{{7a}}{{12}} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{7{a^3}\sqrt 3 }}{{48}}\).