Công thức cộng xác suất là gì? Tính xác suất bằng công thức cộng - Toán 11

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra.

Khi đó \(A \cap B = \emptyset \).

Đối với hai biến cố A, B bất kì:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).

Đối với hai biến cố A, B xung khắc:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

1) Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có hai chữ số. Xét biến cố A: “Số được chọn là số chia hết cho 8” và biến cố B: “Số được chọn là số chia hết cho 9”. Tính \(P(A \cup B)\).

Giải:

Trong 90 số có hai chữ số, có 11 số chia hết cho 8, có 10 số chia hết cho 9 và có 1 số chia hết cho cả 8 và 9. Vì thế, ta có: \(P(A) = \frac{{11}}{{90}}\), \(P(B) = \frac{{10}}{{90}}\), \(P(A \cap B) = \frac{1}{{90}}\).

Vậy \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{{11}}{{90}} + \frac{{10}}{{90}} - \frac{1}{{90}} = \frac{{20}}{{90}} = \frac{2}{9}\).

2) Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, ..., 12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5”. Tính \(P(A \cup B)\).

Giải:

Không gian mẫu của phép thử trên có 12 phần tử, tức là \(n(\Omega ) = 12\).

Số các kết quả thuận lợi cho các biến cố A, B lần lượt là \(n(A) = 4\), \(n(B) = 2\). Suy ra

\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\), \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6}\).

Trong các số 1, 2, 3, ..., 12, không có số nào chia hết cho cả 3 và 5. Vì thế A, B là hai biến cố xung khắc. Suy ra:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\).

3) Một đội tình nguyện gồm 9 học sinh khối 10 và 7 học sinh khối 11. Chọn ra ngẫu nhiên 3 người trong đội. Tính xác suất của biến cố “Cả 3 người được chọn học cùng một khối”.

Giải:

Gọi A là biến cố “Cả 3 học sinh được chọn đều thuộc khối 10” và B là biến cố “Cả 3 học sinh được chọn đều thuộc khối 11”. Khi đó \(P(A \cup B)\) là biến cố “Cả 3 người được chọn học cùng một khối”. Do A và B là hai biến cố xung khắc nên \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

Ta thấy \(P(A) = \frac{{C_9^3}}{{C_{16}^3}}\) và \(P(B) = \frac{{C_7^3}}{{C_{16}^3}}\), nên \(P(A \cup B) = \frac{{C_9^3 + C_7^3}}{{C_{16}^3}} = \frac{{17}}{{80}}\).

4) Ở lúa, hạt gạo đục là tính trạng trội hoàn toàn so với hạt gạo trong. Cho cây lúa có hạt gạo đục thuần chủng thụ phấn với cây lúa có hạt gạo trong được F1 toàn hạt gạo đục. Tiếp tục cho các cây lúa F1 thụ phấn với nhau và thu được các hạt gạo mới. Lần lượt chọn ra ngẫu nhiên 2 hạt gạo mới, tính xác suất của biến cố “Có đúng 1 hạt gạo đục trong 2 hạt gạo được lấy ra”.

Giải:

Quy ước gene A: hạt gạo đục và gene a: hạt gạo trong. Ở thể hệ F2, ba kiểu gene AA, Aa, aa xuất hiện với tỉ lệ 1: 2: 1 nên tỉ lệ hạt gạo đục so với hạt gạo trong là 3: 1.

Gọi \({A_1}\), \({A_2}\) lần lượt là biến cố “Hạt gạo lấy ra lần thứ nhất là hạt gạo đục” và biến cố “Hạt gạo lấy ra lần thứ hai là hạt gạo đục”.

Ta có \({A_1}\), \({A_2}\) là hai biến cố độc lập và \(P({A_1}) = P({A_2}) = \frac{3}{4}\). Xác suất của biến cố “Có đúng 1 hạt gạo đục trong 2 hạt gạo được lấy ra” là:

\(P({A_1}\overline {{A_2}}  \cup \overline {{A_1}} {A_2}) = P({A_1}\overline {{A_2}} ) + P(\overline {{A_1}} {A_2}) = P({A_1})P(\overline {{A_2}} ) + P(\overline {{A_1}} )P({A_2})\)

\( = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8}\).

5) Một hộp chứa 100 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 100. Chọn ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3 hoặc 5”.

Giải:

Gọi A là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3” và B là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 5”.

\(A \cup B\) là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3 hoặc 5”.

Từ 1 đến 100 có 33 số chia hết cho 3 nên \(P(A) = \frac{{33}}{{100}} = 0,33\).

Từ 1 đến 100 có 20 số chia hết cho 5 nên \(P(B) = \frac{{20}}{{100}} = 0,2\).

Một số chia hết cho cả 3 và 5 khi nó chia hết cho 15. Từ 1 đến 100 có 6 số chia hết cho 15 nên

\(P(AB) = \frac{6}{{100}} = 0,06\).

Vậy \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,33 + 0,2 - 0,06 = 0,47\).