Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng phương pháp toạ độ - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \). Điểm \({M_1}\) thuộc \({d_1}\), điểm \({M_2}\) thuộc \({d_2}\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) được tính bằng công thức:

\(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \({M_1}\left( {0;1;6} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2;3} \right)\);

đường thẳng \({d_2}\) đi qua \({M_2}\left( {1; - 2;3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Tính khoảng cách giữa \({d_1}\) và \({d_2}\).

Giải:

Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1; - 3; - 3} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 5;4; - 1} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  =  - 14\).

Vậy khoảng cách giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

\(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| { - 14} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {42} }}{3}\).