Cách tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng phương pháp toạ độ - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d’ tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow {a'}  = ({a_1}';{a_2}';{a_3}')\). Khi đó:

\(\cos (d,d') = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow {a'} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_1}' + {a_2}{a_2}' + {a_3}{a_3}'} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} .\sqrt {{a_1}{'^2} + {a_2}{'^2} + {a_3}{'^2}} }}\).

Lưu ý:

+ \({0^o} \le (d,d') \le {90^o}\).

+ Nếu d // d’ hoặc d\( \equiv \)d’ thì \((d,d') = {0^o}\).

+ \(d \bot d' \Leftrightarrow (d,d') = {90^o}\).

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 - t\\z = 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\) và d’: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 1 + 2t'\\z = 3 - t'\end{array} \right.\) \((t' \in \mathbb{R})\).

Giải:

Đường thẳng d và d’ lần lượt có các vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a  = (1; - 1;2)\) và \(\overrightarrow {a'}  = (1;2; - 1)\).

Ta có \(\cos (d,d') = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow {a'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow {a'} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 - 1.2 + 2.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{6} = \frac{1}{2}\).

Vậy \((d,d') = {60^o}\).