Cách tìm số điểm cực trị của hàm số dựa vào hàm f'(x) - Toán 12

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D và \({x_0} \in D\).

+ Nếu tồn tại khoảng \((a;b) \subset D\) chứa \({x_0}\) sao cho \(f(x) < f({x_0})\) với mọi \(x \in (a;b)\backslash \{ {x_0}\} \) thì \({x_0}\) được gọi là một điểm cực đại, \(f({x_0})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số y = f(x), kí hiệu là \({y_{CD}}\).

+ Nếu tồn tại khoảng \((a;b) \subset D\) chứa \({x_0}\) sao cho \(f(x) > f({x_0})\) với mọi \(x \in (a;b)\backslash \{ {x_0}\} \) thì \({x_0}\) được gọi là một điểm cực tiểu, \(f({x_0})\) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số y = f(x), kí hiệu là \({y_{CT}}\).

Cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị.

Đề bài yêu cầu tìm điểm cực trị của hàm số thì kết luận giá trị của x, giá trị cực trị của hàm số thì kết luận giá trị của y, điểm cực trị của đồ thị hàm số thì kết luận giá trị (x;y).

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và đồ thị của đạo hàm y = f’(x).

Bước 1: Tìm các giao điểm của đồ thị y = f’(x) với trục hoành.

Bước 2: Xét tại các giao điểm vừa tìm, nếu f’(x) đổi dấu (đang từ phía trên đi xuống phía dưới trục hoành hoặc ngược lại) thì điểm đó là một điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Ví dụ minh hoạ:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị của đạo hàm y = f’(x) như hình bên dưới. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x).

Giải:

Quan sát thấy đồ thị giao với trục hoành tại 4 điểm, nhưng chỉ qua 3 điểm thì f’(x) đổi dấu (phần đồ thị đang từ phía trên trục hoành đi xuống phía dưới trục hoành, hoặc ngược lại).

Vậy, hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và đạo hàm f’(x).

Số nghiệm bội lẻ thuộc K của phương trình f’(x) = 0 là số điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Ví dụ minh hoạ:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \(f'(x) = (x + 1){(x - 2)^2}{(x - 3)^3}{(x + 5)^4}\). Hỏi hàm số y = f(x) có mấy điểm cực trị.

Giải:

Ta thấy x = -1, x = 3 là các nghiệm bội lẻ (mũ 1, mũ 3,…) của f’(x) = 0 nên hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị.

Mặt khác, x = 2, x = -5 là các nghiệm bội chẵn (mũ 2, mũ 4,…) nên không phải điểm cực trị của hàm số y = f(x).