1. Phương pháp tìm đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, trục thực, trục ảo, tâm sai, hình chữ nhật cơ sở của hypebol
Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a, b > 0)$. Khi đó:
+ Toạ độ các đỉnh: $A_1(-a; 0)$, $A_2(a; 0)$.
+ Toạ độ tiêu điểm: $F_1 \left( -\sqrt{a^2 + b^2}; 0 \right)$, $F_2 \left( \sqrt{a^2 + b^2}; 0 \right)$.
+ Độ dài trục thực bằng $2a$.
+ Độ dài trục ảo bằng $2b$.
+ Tiêu cự: $F_1F_2 = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.
+ Tâm sai $e = \frac{c}{a} < 1$.
+ Toạ độ đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $A_1(-a; -b)$, $A_2(a; -b)$, $A_3(a; b)$, $A_4(-a; b)$.
2. Ví dụ minh hoạ tìm đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, trục thực, trục ảo, tâm sai, hình chữ nhật cơ sở của hypebol
1) Hypebol $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ có hai tiêu điểm là?
Giải:
Ta có: $\begin{cases} a^2 = 16 \\ b^2 = 9 \\ c^2 = a^2 + b^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 4 \\ b = 3 \\ c = 5 \end{cases}$. Các tiêu điểm là $F_1(-5,0)$, $F_2(5;0)$.
2) Tâm sai của Hyperbol $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1$ bằng:
Giải:
Ta có: $\begin{cases} a^2 = 5 \\ b^2 = 4 \\ c^2 = a^2 + b^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = \sqrt{5} \\ b = 2 \\ c = 3 \end{cases} \Rightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{3}{\sqrt{5}}$.
3) Đường Hyperbol $\frac{x^{2}}{20}-\frac{y^{2}}{16}=1$ có tiêu cự bằng?
Giải:
Ta có: $\begin{cases} a^{2}=20 \\ b^{2}=16 \\ c^{2}=a^{2}+b^{2} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=2\sqrt{5} \\ b=4 \\ c=6 \end{cases}$
Tiêu cự $2c=12$.
4) Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?
Giải:
Ta có $a^{2}=9$, $b^{2}=16$, nên $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=5$. Vậy hypebol có hai tiêu điểm là $F_{1}(-5;0),\,F_{2}(5;0)$ và có tiêu cự $2c=10$.
Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng $2a=2\sqrt{9}=6$.
