1. Phương pháp tìm tiêu điểm, đường chuẩn, tham số tiêu, bán kính qua tiêu điểm của parabol
Từ phương trình chính tắc của parabol (P): \({y^2} = 2px\) (p > 0), ta suy ra:
- Tham số tiêu: p.
- Tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\).
- Phương trình đường chuẩn: \(x = - \frac{p}{2}\).
- Bán kính qua tiêu của điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(MF = \left| {{x_0} + \frac{p}{2}} \right|\).
2. Ví dụ minh hoạ tìm tiêu điểm, đường chuẩn, tham số tiêu, bán kính qua tiêu điểm của parabol
1) Cho parabol (P): \({y^2} = x\).
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \) của (P).
b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.
Giải:
a) Ta có \(2p = 1\) nên \(p = \frac{1}{2}\).
Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x =- \frac{1}{4}\).
b) Điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc (P) có khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi \({y_0}^2 = {x_0}\) và MF = 3. Do \(MF = d(M,\Delta )\) nên \(d(M,\Delta ) = 3\).
Mặt khác \(\Delta :x =- \frac{1}{4}\) và \({x_0} = {y_0}^2 \ge 0\) nên \(3 = d(M,\Delta ) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}\).
Vậy \({x_0} = \frac{{11}}{4}\) và \({y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\) hoặc \({y_0} =- \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).
Vậy có hai điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ là \(\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\).
2) Cho parabol $y^{2}=6x$.
a) Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol.
b) Giả sử $M$ là điểm thuộc parabol có hoành độ là 4. Tính bán kính qua tiêu điểm $M$.
Giải:
a) Ta có: $2p=6$, suy ra $p=3$. Tiêu điểm của parabol là $F\left(\frac{3}{2};0\right)$. Đường chuẩn của parabol có phương trình là $x=-\frac{3}{2}$.
b) Bán kính qua tiêu của điểm $M$ là $MF=4+\frac{3}{2}=5,5$.
3) Tìm toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của parabol
$(P):y^{2}=4x$.
Giải:
Ta có $2p=4$, suy ra $p=2$. Vậy $(P)$ có tiêu điểm $F(1;0)$, đỉnh $O(0;0)$ đường chuẩn $\Delta:x=-1$ và nhận Ox làm trục đối xứng.
4) Tính bán kính qua tiêu của điểm $M(1;2)$ trên parabol $(P):y^{2}=4x$.
Giải:
Ta có $2p=4$, suy ra $p=2$. Vậy độ dài bán kính qua tiêu của điểm $M(1;2)$ là:
$FM=x+\frac{p}{2}=1+\frac{2}{2}=2$.
5) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm A(6;6). Tìm tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của (P).
Giải:
Gọi phương trình chính tắc của (P) là $y^{2}=2px(p>0)$.
Theo đề bài, (P) đi qua điểm A(6;6) $\Rightarrow$ $6^{2}=2p.6\Rightarrow p=3$.
Suy ra phương trình đường chuẩn của (P) là $x=-\frac{3}{2}$
7) Cho parabol có phương trình $y^{2}=4x$.
a) Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol.
b) Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 3.
Giải:
a) Từ phương trình chính tắc của parabol, ta có $2p=4\Leftrightarrow p=2$.
Vậy parabol có tiêu điểm là $F(1;0)$ và đường chuẩn là $x=-1$.
b) Theo công thức bán kính qua tiêu ta có $MF=3+1=4$.
